Laboratoire d Analyse Recherche en Economie Quantitative One pager Mai 2012 Vol. 2 Num. 005 http://www.lareq.com Choix du paramètre de troncature dans LA PROCEDURE Des tests de racine unitaire Une relecture des tests Augmented Dickey Fuller et Phillips Perron Cédrick Tombola Muke * «mais l on ne peut pour autant oublier que l aspect de la réalité que l on perçoit dépend fatalement de l angle sous lequel on l observe» J. Goffaux Introduction Le présent papier fait un plaidoyer en faveur de la rectitude et de la rigueur dans la procédure des tests de racine unitaire de manière générale, et particulièrement dans le choix du paramètre de troncature qui conditionne leur efficacité et leur puissance d une part, et qui sous-tend la logique de leur construction de l autre. Nous ne pouvons continuer à supporter, dans nos cours à l université, qu un aspect aussi crucial des tests Augmented Dickey Fuller [ADF] et Phillips Perron [PP] en particulier, et de tous les autres tests de stationnarité en général, soit, aussi négligemment, balayé d un revers de la main sans la moindre interrogation sur la pertinence et la véracité de tels enseignements! La relecture des tests ADF et PP proposée dans ce papier démontre, en un langage tranché et rigoureux, que l efficacité de ces deux tests est assurée par une sélection optimale du paramètre de troncature qui, dans le test ADF garantit la blancheur des résidus de la régression et dans le test PP permet de corriger la statistique de Student de la présence d autocorrélation en prenant en compte l estimation de la variance résiduelle de long terme, plus robuste à l hétéroscédasticité et la présence d autocorrélation. En effet, le choix du paramètre de troncature est crucial dans la mesure où l inclusion d un nombre insuffisant de retards peut affecter le niveau du test d une part, et de l autre l introduction d un nombre trop élevé réduit le nombre de degrés de liberté et la puissance du test, ce qui conduit souvent, de manière incorrecte, au non rejet de l hypothèse nulle [H 0]. Il appert donc, loin d arguments faciles et de raisons pédagogiques souvent évoquées, que négliger un tel détail c est faire de la sauvagerie scientifique d un côté, et ignorer les fondamentaux de ces deux tests de l autre. Après le rappel de ces fondamentaux, ce papier propose différentes méthodes de sélection du paramètre de troncature, séparément pour les tests ADF et PP. * Assistant au CCAM UPC et Chercheur co accompli au Laboratoire d Analyse Recherche en Economie Quantitative [LAREQ] ; cedrictombola@lareq.com. Ou nombre de retards ou encore lag. 29
I. Logique sous-tendant les tests Dickey Fuller simple et augmenté A. Test de Dickey Fuller simple Dickey et Fuller (1976) sont les premiers à avoir fourni un ensemble d outils statistiques formels pour détecter la non stationnarité dans un processus de marche à l ivrogne [random walk]. La procédure du test consiste simplement à estimer par les moindres carrés ordinaires trois modèles autorégressifs du premier ordre dont les erreurs sont iid **, repris ci-après, et à tester ensuite l H 0 de présence d une racine unitaire [H 0 : ζ = 1] contre l hypothèse alternatice (H 1) de stationnarité [H 1 : ζ < 1]. Modèle [1] X t = ζx t-1 + η t [modèle sans dérive ni trend linéaire] Modèle [2] X t = γ + ζx t-1 + η t [modèle avec dérive] Modèle [3] X t = γ + ζx t-1 + σt + η t [modèle avec dérive et trend linéaire] où, pour chaque modèle, η t est un bruit blanc [BB], soit η t BB(0, ). En pratique, ces trois modèles sont estimés suivant une stratégie séquentielle, sous la forme ci-dessous obtenue en retirant X t-1 de deux côtés de la régression. [1 ] X t = φx t-1 + η t [2 ] X t = γ + φx t-1 + η t [3 ] X t = γ + φx t-1 + σt + η t A présent, tester l H 0 de non stationnarité revient simplement à tester la nullité du coefficient φ. Pour mener ce test, on calcule la statistique de Student t φ. Mais attention, cette statistique ne suit plus, sous H 0, une loi de Student usuelle, même asymptotiquement. Elle suit une distribution de Dickey-Fuller dont les valeurs ont été tabulées par Fuller (1979). On ne peut donc plus utiliser, pour grand échantillon, 1.64 comme valeur critique pour un test unilatéral à 5%. A côté de sa simplicité, le test de Dickey Fuller simple présente la faiblesse d assumer, à priori, que le processus η t est un bruit blanc, écartant la possibilité où les erreurs seraient générées par un processus moyenne mobile MA(q). Or, en réalité les erreurs peuvent être autocorrélées et hétéroscédastiques. Afin de prendre en compte cette faiblesse, deux types de corrections ont été proposées : une correction paramétrique [test de Dickey Fuller Augmenté] et une correction non paramétrique ou semi paramétrique [test de Phillips Perron]. Tombola (2012a). Pour l estimation par les moindres carrés ordinaires, cf. Tombola (2012b). ** Identiquement et indépendamment distribuées. A propos, lire Tombola (2012a). Ces tables sont reprises en annexe de ce papier. 30
B. Test de Dickey Fuller Augmenté Le test Dickey Fuller simple a été élargi au cas où l erreur est un AR(p) par Dickey et Fuller (1981), puis au cas où l erreur suit un processus ARMA(p, q) par Saïd et Dickey (1984, 1985). Il faut noter, d ores et déjà, que la mise en œuvre du test ADF est identique à celle du test de Dickey Fuller simple : on adopte la même procédure séquentielle descendante partant du modèle [3 ] et les statistiques de test sont également les mêmes. La grande différence, comme le montre la suite de ce papier, réside dans le fait que l application du test ADF nécessite au préalable le choix du paramètre de troncature p à introduire de sorte à blanchir les résidus et d appliquer, en conséquence, le test de Dickey Fuller simple. Pour rappel, le test de Dickey Fuller simple assume que le terme d erreur est un bruit blanc. Supposons à présent une marche aléatoire avec erreurs autocorrélées, on a le processus suivant. [i] (1 φl)x t = η t avec η t AR(p-1) C est à dire, [ii] où Z t BB(0, ) On a ainsi un modèle DS avec erreurs autocorrélées. En introduisant l opérateur retard dans [ii] et après une manipulation mathématique simple, il vient : [iii] (L, θ)η t = Z t où (L, θ) est un polynôme retard, soit (L, θ) = Connaissant [i] et [iii], après un développement trivial, on peut écrire : (L, θ) (1 φl)x t = Z t ou encore : [iv] X t φx t-1 = Z t Après développement, et en factorisant, on obtient : [v] X t = (φ + θ 1)X t-1 + (θ 2 φθ 1)X t-2 + + (θ p-1 φθ p-2)x t-p+1 φθ p-1x t-p + Z t On constate que X t suit à présent un processus autorégressif d ordre p, alors que l on était parti d un modèle autorégressif d ordre 1 avec erreurs autocorrélées d ordre p. Le processus suivi par X t a donc été blanchi. Nous renvoyons le lecteur au papier de Tsasa (2012) pour l appréhension des processus ARMA, en prévenant que la lecture de ce papier facilite la compréhension du développement qui va suivre. 31
Avant de présenter la forme générale des tests de Dickey Fuller augmenté, considérons un processus autorégressif d ordre 2 : X t = α 1X t-1 + α 2X t-2 + Z t où Z t BB(0, ) En écrivant le modèle en différence, il vient : X t = (α 1 1)X t-1 + α 2X t-1 α 2X t-1 + α 2X t-2 + Z t X t = (α 1 + α 2 1)X t-1 α 2 X t-1 + Z t Prenons à présent un processus AR(3) : X t = α 1X t-1 + α 2X t-2 + α 3X t-3 + Z t On a alors : X t = (α 1 1)X t-1 + α 2X t-1 α 2X t-1 + α 3X t-3 α 3X t-3 + α 2X t-2 + α 3X t-2 α 3X t-2 + α 3X t-3 + Z t = (α 1 + α 2 + α 3 1)X t-1 (α 2 + α 3) X t-1 α 3 X t-2 + Z t En généralisant, pour un modèle AR(P), on a donc : [vi] X t = α 1X t-1 + α 2X t-2 + + α px t-p + Z t Ainsi, [vii] X t = En identifiant les coefficients avec ceux de la relation [v] et en reportant ces valeurs dans [vii], il vient : α 1 = φ + θ 1 α 2 = θ 2 φθ 1 α p-1 = θ p-1 φθ p-2 [viii] X t = (φ + θ 1 + θ 2 φθ 1 + + θ p-1 φθ p-2 φθ p-1 1)X t-1 D où [ix] X t = [φ(1 θ 1 θ 2 θ p-1) + (θ 1 + θ 2 + + θ p-1) 1]X t-1 En factorisant, et en posant : Ф i = ξ= (φ 1)(1 θ 1 θ 2 θ p-1) 32
l équation [ix] s écrit : [x] X t = ξx t-1 + Comme pour le cas du test de Dickey Fuller simple, tester l hypothèse nulle de racine unitaire revient à tester la nullité du coefficient de X t-1. Ainsi, c est l ajout des variables en différence qui a permis de blanchir le résidu et qui autorise donc la mise en œuvre des tests de Dickey Fuller. En conséquence, le choix du paramètre de troncature p se révèle donc déterminant pour l efficacité des tests ADF. Tout comme dans le cas du test de Dickey Fuller simple, le test augmenté est également basé sur l estimation de trois modèles : Modèle [1"] X t = ξx t-1 + Modèle [2"] X t = ξx t-1 + μ + Modèle [3"] X t = ξx t-1 + μ + Ωt + La procédure d estimation de ces trois modèles est identique à celle du test simple, et la statistique ADF n est rien d autre que la statistique de Student du coefficient autorégressif ξ associé à X t-1. C. Choix du paramètre de troncature pour les tests ADF La littérature propose plusieurs méthodes permettant de choisir le nombre de retards p à introduire, dans la procédure des tests ADF, afin de prendre en compte l éventuelle autocorrélation et donc d assurer la blancheur des résidus. Ce papier synthétise, avec un œil critique, l ensemble de ces méthodes et les stratégies pour leur mise en œuvre. Tableau 1. Synthèse des méthodes de choix du paramètre de troncature p pour les tests ADF Méthode [1] Méthode basée sur le corrélogramme [2] Méthode basée sur les critères d information [3] Méthode du lag-max de Campbell et Perron (1991) Procédure de sélection de p (Etapes) - Générer le corrélogramme de la série X t et étudier ses autocorrélations partielles ; - Retenir pour p le retard correspondant à la dernière autocorrélation partielle significativement différente de zéro. - Estimer plusieurs processus pour différentes valeurs de p ; - Retenir le modèle qui minimise les critères d information [Akaike, Schwarz, Hannan Quinn, ] Note : Selon Ng et Perron (1995), ces critères présentent l inconvénient de conduire souvent à sélectionner des modèles trop parcimonieux, affectant de ce fait la taille du test. - Fixer une valeur maximale pour p, notée p max, puis estimer le modèle de régression du test ADF ; - Tester la significativité du terme. S il est significatif, on conserve cette valeur pour p ; - Si X t-pmax n est pas significatif, réestimer le modèle de régression du 33
test ADF pour une valeur de p égale p max 1, puis tester la significativité du terme, et ainsi de suite. Note : Perron (1993) suggère d étudier la robustesse des résultats en prenant plusieurs valeurs possibles pour p max. [4] Combinaison des méthodes [1] et [3] - Choisir un retard p sur base des autocorrélations partielles de (1 L)X t ; - Introduire p dans la régression, puis tester la significativité du dernier retard. II. Logique sous-tendant le test de Phillips Perron et paramètre de troncature q A. Test de Phillips Perron Si le test ADF apporte une correction paramétrique au test de Dickey Fuller simple en prenant en compte l éventuelle autocorrélation des erreurs, le test de Phillips Perron (1988), quant à lui, propose une correction non paramétrique au test de Dickey Fuller simple afin de régler le problème de l hétéroscédasticité des erreurs, sans avoir à ajouter des variables endogènes en différences retardées comme dans les tests ADF. La procédure du test reste donc basée sur les trois modèles autorégressifs du test de Dickey Fuller simple, repris ci-après, et consiste à tester l H 0 de racine unitaire [H 0 : φ= 0] contre celle de stationnarité [H 1 : φ< 0]. [1 ] X t = φx t-1 + η t [2 ] X t = γ + φx t-1 + η t [3 ] X t = γ + φx t-1 + σt + η t La statistique de test de Phillips-Perron est une statistique de Student corrigée de la présence d autocorrélation par la prise en compte d une estimation de la variance de long terme de η t [calculée par la densité spectrale de η t à la fréquence zéro], robuste à la présence d autocorrélation et d hétéroscédasticité. Phillips et Perron (1988) ont donc suggéré d adjoindre à la statistique de Student du coefficient autorégressif φ, un facteur de correction afin d éliminer les paramètres de nuisance associés à l existence de corrélations dans la composante stochastique du processus générateur de données [PGD] qui perturbent les résultats des tests de Dickey Fuller simple. L estimation de cette variance de long terme est donnée par : [xi] ψ 2 = γ η(0) + 2 où γ η(j), j = 0, 1,, q, est le coefficient d autocovariance d ordre j de η t et q est le paramètre de troncature [pour ne pas calculer les coefficients d autocovariance jusqu à un ordre infini!]. On préfère en général utiliser la correction de Newey-West : [xii] ψ 2 = γ η(0) + 2 34
Notons que La distribution asymptotique de la statistique de Student corrigée de ψ est la même que celle de DF simple, l on va donc se référer, comme pour les tests précédents, aux tables 1 et 2 de Dickey Fuller reprises en annexe de ce papier. B. Choix du paramètre de troncature pour les tests PP Comme on peut s en rendre compte, la mise en œuvre du test de PP est identique à celle du test de Dickey Fuller, il s agit d appliquer la procédure séquentielle descendante partant de l estimation du modèle avec dérive et trend linéaire. Cependant, la mise au point du test PP nécessite au préalable de choisir le paramètre de troncature q, qui par ailleurs, comme pour les tests ADF, conditionne la puissance du test. Le tableau ci-après reprend quelques formules d estimation du paramètre de troncature q. Il convient de noter à ce niveau que de deux tests ADF et PP, c est le test ADF qui est beaucoup plus sensible au choix du paramètre de troncature. Tableau 2. Synthèse des méthodes de choix du paramètre de troncature q pour les tests PP Formules proposées par Schwert (1989) Schwert (1989) propose deux valeurs de q, notées q 4 et q 12. q 4 = int q 12 = int où N est le nombre d observations et int[y] désigne la partie entière de y. Formule proposée par Newey et West (1984) Newey et West, quant à eux, suggèrent de choisir q tel que : q = int En pratique Plus généralement, on retient : q = N 1/4 Toutefois, en pratique, ces différentes formules conduisent à des résultats proches, ce qui pose donc moins d exigence sur la formule à choisir de quatre susmentionnées. De plus, si les résultats sont quasiment identiques, on choisira, par parcimonie, la formule donnant lieu au paramètre q le moins élevé. In fine, il va sans dire qu il serait sauvage de mener les tests de racine unitaire ADF et PP, sans préalablement veiller à la sélection optimale du paramètre de troncature, respectivement p et q. Ainsi, nous plaidons pour que cette étape soit élevée au premier rang et prenne une place centrale dans la procédure des tests ADF et PP ; ce n est qu à ce prix au prix de l attention portée aux petits détails essentiels, estimons-nous, que l on peut éviter cette "démagogie scientifique" qui, malheureusement, semble caractériser les enseignements de certains cours. L idée suivante d Einstein est assez éloquente pour permettre de clore notre propos. «L'extrême netteté, la clarté, et la certitude ne s'acquièrent qu'au prix d'un immense sacrifice: la perte de la vue d'ensemble.» 35
Bibliographie CAMPBELL John and PERRON Pierre, 1991: Pitfalls and Opportunities: What Macroeconomists Should Know about Unit Roots, in NBER macroeconomics annual 1991, ed.by Blanchard and Fischer, pp. 141 201. MIT Press, Cambridge and London. DICKEY David, 1976, Estimation and Hypothesis Testing for Non Stationary Time Series, Ph.D. Thesis, Iowa State University. DICKEY David and FULLER Wayne, 1979, Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root Journal of the American Statistical Association, 74, p.427-431. ERTUR Cem, 1998, Méthodologie de tests de la racine unitaire, Université de Bourgogne, 44p. FULLER Wayne, 1976, Introduction to Statistical Time Series, John Wiley, New-York, 470 p. LARDIC Sandrine et MIGNON Valérie, 2002, Econométrie des séries temporelles macroéconomiques et financières, Economica, Paris. LUBRANO Michel, 2008, Tests de racine unitaire, 46p. NG Serena and PERRON Pierre, 1995, Unit Root Tests in ARMA Models with Data-Dependent Methods for the Selection of the Truncation Lag, Journal of the American Statistical Association, 90(429), 268 281. PERRON Pierre, 1993, Racines unitaires en Macroéconomie : le cas d une variable in Macroéconomie : développements récents, Malgrange et Salvas-Bronsard eds., p.327-358, Economica, 1993. PHILLIPS Peter and PERRON Pierre, 1988, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, 75, p.347-353. TOMBOLA Cédrick, 2012a, Processus Stochastique et Absence de Trend : Une Interprétation Prudente et Plus Attentive, One Pager, vol. 1, num. 010, (avril 2012), 11p. TOMBOLA Cédrick, 2012b, Econométrie 1 : Rappels et Recueils d exercices, Guide pour étudiant, (Avril 2012), 43p. TSASA Jean Paul, 2012, "Initiation à la Modélisation GARCH", Guide pour étudiant, (Mai 2012), 7p. 36
ANNEXES Annexe 1. Schématisation de la stratégie des tests de racine unitaire ADF et PP Etape I. Analyse du Plot La série semble ne pas comporter de trend/semble comporter un trend linéaire Etape II. Choix du Paramètre de Troncature pour les tests de racine unitaire Choix du nombre de retards p pour les tests ADF Choix du paramètre de troncature q pour les tests PP Etape III. Choix du Bon Modèle à estimer Test ADF Choisir le bon modèle parmi les trois modèles [1"], [2"] et [3"]. Test PP Choisir le bon modèle parmi les trois modèles [1 ], [2 ] et [3 ]. Etape IV. Verdict du Test Le processus est stationnaire Le processus est non stationnaire Etape V. Méthode de Stationnarisation Processus DS Processus TS Non stationnarité mixte - Filtre aux différences - Ecart à une tendance linéaire - Log retour - Filtre aux différences 37
Annexe 2. Table des valeurs critiques du test de Dickey Fuller pour ζ = 1 N 1% 5% 10% Modèle [1] 50-2.62-1.95-1.61 100-2.60-1.95-1.61 250-2.58-1.95-1.62 500-2.58-1.95-1.62-2.58-1.95-1.62 Modèle [2] 50-3.58-2.93-2.6 100-3.51-2.89-2.58 250-3.46-2.88-2.57 500-3.44-2.87-2.57-3.43-2.86-2.57 Modèle [2] 50-4.15-3.5-3.18 100-4.04-3.45-3.15 250-3.99-3.43-3.13 500-3.98-3.42-3.13-3.96-3.41-3.12 Annexe 3. Table des valeurs critiques de la constante et de la tendance, test de Dickey Fuller Modèle [2] Modèle [3] N Constante Constante Trend 1% 5% 10% 1% 5% 10% 1% 5% 10% 100 3.22 2.54 2.17 3.78 3.11 2.73 3.53 2.79 2.38 250 3.19 2.53 2.16 3.74 3.09 2.73 3.49 2.79 500 3.18 2.52 2.16 3.72 3.08 2.72 3.48 2.78 3.18 2.52 2.16 3.71 3.08 2.72 3.46 2.78 2.38 2.38 2.38 38