Sommaire 1 C est quoi une fonction? 2 2 Représentation graphique d une fonction. 6 3 Fonction affine. 8 4 Représentation graphique d une fonction affine. 10 5 Coefficient directeur d une fonction affine. 12 6 Sens de variation d une fonction affine. 13 1
Chapitre 1 C est quoi une fonction? Voici un petit exemple, dans lequel on numérote les lettres de l alphabet. Figure 1.1 Exemple n 1. On associe à la lettre A le nombre 1, et à la lettre B et le nombre 2, etc... Ainsi on peut, par exemple coder un texte avec des nombres (BAC se code 213). Dans cet exemple, l ensemble de départ ne contient que les lettres de l alphabet, et l ensemble d arrivée ne contient que des nombres entiers compris entre 1 et 26. Dans cet exemple, la fonction c est la règle qui explique quel nombre on va associer à une certaine lettre. 2
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Voici un autre exemple. Figure 1.2 Exemple n 2. Dans cet exemple, on associe des nombres de l ensemble de départ à des nombres dans l ensemble d arrivée. Au nombre 1 on associe le nombre 2 ; au nombre 2,5 on associe le nombre 7,25. Dans ce cas la règle qui permet d associer un nombre de l ensemble de départ à un nombre dans l ensemble d arrivée n est pas aussi triviale que dans l exemple n 1. La façon la plus simple de décrire cette règle, ou fonction, c est de donner une formule. On associe à une valeur de l ensemble de départ, cette valeur au carré plus un dans l ensemble d arrivée. Plus simplement, si x est un nombre dans l ensemble de départ, on l associe à l expression algébrique x 2 + 1 dans l ensemble d arrivée. Cette règle est une fonction, on peut la nommer, par exemple la fonction f. En mathématiques, cette association se note : f : x x 2 + 1 la fonction f qui à x associe x 2 + 1 3
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Ainsi, on peut donner les associations suivantes : f : 2, 5 7, 25 la fonction f qui à 2, 5 associe 7, 25 f : 4 17 la fonction f qui à 4 associe 17 On peut utiliser une autre notation, car les résultats 17 et 7, 25 ont été obtenus à partir des valeurs 2, 5 et 4 en utilisant la même fonction. 2, 5 a pour image 7, 25 par la fonction f. 4 a pour image 17 par la fonction f. L image est fonction de (dépend de) la valeur, cela se note en mathématiques : f (x) = x 2 + 1 f(x) est l image de x par la fonction f. par exemple : f(2, 5) est l image de 2, 5 par la fonction f ; la valeur de f(2, 5) est 7, 25 (f(2, 5) = 7, 25) f( 4) est l image de 4 par la fonction f ; la valeur de f( 4) est 17 (f( 4) = 17) 4
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Voici un dernier exemple : Figure 1.3 Exemple n 3. Dans cet exemple, on associe des nombres de l ensemble de départ à des nombres dans l ensemble d arrivée grâce à une fonction (on la nomme g par exemple). Cette fonction est définie par l écriture algébrique suivante : g : x 2x 1 ainsi l image de x ( c est à dire g(x), se calcule ainsi : g(x) = 2x 1 On peut écrire les phrases suivantes : 2 3 a pour image 1 3 par la fonction g. 10 a pour image 19 par la fonction g. De même, 1 3 est l image de 2 3 par la fonction g. Et 19 est l image de 10 par la fonction g. f( 2) = 5 et f(10) = 19 5
Chapitre 2 Représentation graphique d une fonction. Figure 2.1 Représentation graphique de l exemple n 2. Pour construire cette représentation graphique, on utilise des points (les petites croix bleues). 6
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Les coordonnées de ses points, correspondent à une valeur et à son image. Les points (1; 2) ; (2, 5; 7, 25) ; (3; 10) ; ( 4; 17) permettent de construire la courbe repésentative de la fonction de l exemple n 2. Bien sûr, il en faut beaucoup plus pour, en les reliant, obtenir la courbe en bleue. Cette courbe est constituée d une infinité de points placés les uns à côté des autres. Voici la représentation graphique de la fonction définie dans l exemple n 3 Figure 2.2 Représentation graphique de l exemple n 3. Pour construire cette représentation graphique, on utilise aussi des points (les petites croix bleues). Les coordonnées de ses points, correspondent à une valeur et à son image. Les points (0, 5; 0) ; ( 2; 5) ; ( 2 3 ; 1 3 ) ; (10; 19) permettent de construire la courbe repésentative de la fonction de l exemple n 3. Cette représentation graphique, est constituée d une infinité de points placés les uns à la suite des autres. 7
Chapitre 3 Fonction affine. Si une fonction est une une fonction affine, alor s sa représen- tation gra phique est une droite. (C est le cas de l exemple n 3) La forme algébrique générale d'une fonction affine est f : x ax + b ax + b est l image de x par la fonction f. On peut au s si écrire une formule qui permet de calculer l image de x à partir de x : f(x) = ax + b. Dan s ces deux notation s algébriques, a et b sont des nombres réels. a se nomme coefficent directeur de la droite. et b se nomme ordonnée à l origine de la droite. 8
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Voici quelques exemples de fonctions affines. f(x) = 2x + 4 Le coefficient directeur est 2 l ordonnée à l origine est 4 g(x) = 6x 2 h(x) = Le coefficient directeur est 6 l ordonnée à l origine est 2 2 3 x 10 Le coefficient directeur est 2 3 l ordonnée à l origine est 10 i(x) = x Le coefficient directeur est 1 l ordonnée à l origine est 0 Les fonctions suivantes ne sont pas des fonctions affines. f(x) = x 2 + 1 g(x) = 5x 2 + 1 h(x) = 5x 3 + 2x + 5 i(x) = 1 x + 3 Remarque : Si l ordonnée à l origine est nulle, alors la forme algébrique de la fonction affine s écrit : f : x ax, sa représentation graphique est une droite qui passe par l origine du repère. Cette fonction affine est une fonction linéaire. C est le cas de la fonction i(x). 9
Chapitre 4 Représentation graphique d une fonction affine. La représentation gra phique d'une fonction affine du type f : x ax + b est formée de l en semble des points de coordonnées (x; y) qui vérifient l équation y = ax + b. Si un point M(x M ; y M ) fait partie de la représentation graphique d une fonction affine, alors ses coordonnées vérifient l équation y M = ax M + b. sa représenta- Soient une fonction affine f telle que f(x) = 0, 5x 3 et C f tion graphique. La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Pour tracer une droite, il suffit de construire deux points. Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points appartenant à la représentation graphique de la fonction f. Les coordonnées de ces points vérifient l équation y = 0, 5x 3. Si x A = 2 alors y A = 0, 5 2 3 = 1 3 = 2 Si x B = 8 alors y B = 0, 5 8 3 = 4 3 = 1 Donc les coordonnées des points sont A(2; 2) et B(8; 1) Il ne reste plus qu à placer ces deux points dans un repère, et à tracer la droite (AB) qui est la représentation graphique de la fonction f. 10
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Figure 4.1 Représentation graphique de la fonction f. Remarques : Cette représentation graphique de la fonction f aurait pu être construite avec d autres points. Le point C est le point d intersection de la droite (AB) et de l axe des ordonnées. Les coordonnées de ce point sont : C(0; 3). L ordonnée de ce point est l ordonnée à l origine. On aurait pu construire ce point, puis à partir de ce point, effectuer un décalage de une graduation vers la droite, et 0, 5 (c est le coefficient directeur) graduation vers le haut, on obtiendrait un nouveau point (le point D) sur cette droite. Figure 4.2 Représentation graphique de la fonction f. 11
Chapitre 5 Coefficient directeur d une fonction affine. Pour une fonction affine, il y a proportionnalité entre les accroi s sements de f(x) et les accroi s sements de x. En effet si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points appartenant à la représentation graphique d une fonction affine f alors on peut écrire les coordonnées de ces points ainsi A(x A ; f(x A )) et B(x B ; f(x B )) ; et surtout l acroissement entre f(x A ) et f(x B ) et proportionnel à l accroissement entre x A et x B. Ces accroissements permettent de calculer le coefficent directeur a. a = f(x B) f(x A ) x B x A Figure 5.1 Représentation graphique de la fonction f. 12
Chapitre 6 Sens de variation d une fonction affine. Si une fonction affine est croi s sante, alor s lor sque x croît, f(x) croît. Si une fonction affine est décroi s sante, alor s lor sque x croît, f(x) décroît. On peux remarquer que le signe du coefficient directeur donne le sens de variation d une fonction affine. En effet si a < 0 alors la fonction affine est décroissante. Figure 6.1 Fonction affine décroissante. 13
Cours sur les fonctions affines - classe de 3e Et si a > 0 alors la fonction affine est croissante. Figure 6.2 Fonction affine croissante. 14