ÁÊÇ Á Ì ¾¼ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆ Æ Ó 4 Å Ü Å ÒÓØØ ÁÊÇ Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÐÓ Ð ¾ º ØØÔ»»ÛÛÛº ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº» Ñ ÒÓØØ» Ø ¾¼» ¹Ñ Ð Ñ ÒÓØØ ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº Áº ÌÖÓÙÚ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð³ ÐÐÙÖ Ð Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ù Ñ ÕÙ ÓÒÚÓ¹ ÐÙØ ÓÒ h(x, y) ÓÒÒ ¹ ÓÙ º ÌÖ Ö ÓÑÑ Ö Ñ ÒØ Ð³ ÐÐÙÖ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ Ð Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒµº ÕÙ Ð ØÝÔ ÐØÖ Ô ¹ Ô ¹ ÙØ Ô ¹ Ò Øºµ ³ Ø Ø¹ Ð ÈÓÙÚ Ø¹ÓÒ ÔÖ ÚÓ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ø Ò Ö Ö ÒØ Ð Ó ÒØ ÐØÖ ÂÙ Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ º ÕÙ Ð ØÝÔ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÐØÖ Ø Ò ÔÖÓÚ Ò Ö Ì ÓÖ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ³ ÙÖ Ø Ù Ø³ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð Ø¹ Ð ÈÓÙÖÕÙÓ h(x, y) = 1 16 ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ÐØÖ Ô Ö Ð 1 4 H(u) = ½ ¾ ½ + x= 1 4 ½ ¾ ½ h(x) exp ( 2πjux) = +1 x= 1 h(x) exp ( 2πjux) = 1 4 [exp(2πju) + 2 + exp( 2πju) = 1 1 + cos(2πu) [2 + 2 cos(2πu) = 4 2
³ Ø ÙÒ ÐØÖ Ô ¹ Õ٠гÓÒ ÔÓÙÚ Ø ÔÖ ÚÓ Ö Ò ÓÒ Ø Ø ÒØ ÕÙ ØÓÙ Ð Ó ÒØ ÐØÖ ÓÒØ ÔÓ Ø º ÐØÖ Ø ÙÒ ÐØÖ Ù Ò Ò ÔÖÓÚ Ò Ö Ð Ö Ø ¹ Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ Ù ÒÒ Ò ÓÒÒÙ º Ì ÓÖ ÕÙ Ñ ÒØ ³ Ø Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÙÖ Ø Ù Ó Ø Ò Ö Ò Ð Ó¹ Ñ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð ÙÒ Ù ÒÒ ÕÙ Ò³ Ø Ô Ð º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð Ù ÒÒ Ô Ö Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ð Ö ÓÙÖ Ö ÓÑÔÐ Ü Ö ¹ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ô Ö Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÓÑÔÐ Ü µº H(u) 1.5 1.5 -.5.5+.5cos(2piu) H(u) -.4 -.2.2.4 u ÁÁº Ê ÔÔ Ð Þ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð³ ÐÐÙÖ Ð Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ù Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ h(x, y) ÓÒÒ ¹ ÓÙ Ø ØÖ Ö ÓÑÑ Ö Ñ ÒØ Ð³ ÐÐÙÖ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ Ò¹ Ø Ð Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒµº ÉÙ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ùع Ð Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð ÔÓÙÖ ÕÙ Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÚÖ ÐØÖ Ô ¹ ÙØ ½ Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ð ÕÙ ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÑÔÐ Õ٠ع Ð ÙÖ Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ½ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ó Ø ÙÒ ÚÖ ÐØÖ Ô ¹ ÙØ ÌÖÓÙÚ Ö Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ¾ ÓÖÖ ÔÓÒ Òغ h(x, y) = ½ ¹ ½ ¹ ¹ ½ ¹ ½ ÉÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ùع Ð Ö ØÖ Ò Ö ÓÙ ÓÙØ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Øº ÐØÖ Ô Ö Ð ¹½ ¹½ H(u) = ¹½ ¹½ + x= h(x) exp ( 2πjux) = +1 x= 1 h(x) exp ( 2πjux) = exp(2πju) + 3 exp ( 2πju) = 3 2 cos(2πu) ³ Ø ÙÒ Ö Ù ÙÖ ÓÒØÓÙÖ Ò³ Ø ÓÒ Ô ÙÒ Ö Ð ÐØÖ Ô ¹ Ùغ ÈÓÙÖ ÕÙ Ð Ò Ó Ø ÙÒ Ð Ù Ö Ø Ö ØÖ Ò Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ f(ν) = 1 º º Ö ØÖ Ò Ö Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ð Ð ÓÒØ ÓÒ F 1 (f(ν)) = δ(x)º Ò ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ø Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ [ 1 3 1 [ 1 = [ 1 2 1 ÕÙ Ø Ò ÙÒ ÚÖ ÐØÖ Ô Ùغ Ò ¾ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ù Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÙ ½ ¹¾ ½ ¹¾ ¹¾ ½ ¹¾ ½ f(x) 6 5 4 3 2 1-1 3-2cos(2piu) f(x) -.4 -.2.2.4 x
ÁÁÁº ÐÙÐ Ö Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö Õ٠г Ñ I(x, y) ¹ ÓÙ Ú Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò x Ø Ò y ÓÒØ Ð³ÓÖ Ò Ø Ò ÕÙ Ô Ö ÙÒ º ÁÒ ÕÙ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÙ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ú Ð Ö ÒØ Ò x ÐÙ Ò y Ø Ð Ö ÙÐØ Ø Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù ÑÓ ÙÐ Ù Ö ÒØ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ù Ú ÒØ G = G x I(x, y) + G y I(x, y) Ø Ð Ö ÙÐØ Ø Ð Ø Ø ÓÒ Ù ÓÒØÓÙÖ ÑÓ ÙÐ Ö ÒØ Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ØÖÓ º 1 2 3 2 2 3 4 3 5 4 4 3 1 1 1 1 Gx 1 Gy Gx Gy 1 1 2 1 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 1 4 4 4 3 1 Gx + Gy et Resultat 4 3 3 4 2 2 2 8 2 1 3 5 4 3 1 Áκ Ö Ú Þ Ð ÔÖÓ Ù Ñ Ò Ó ÙÚÖ ÙÖ Ð³ Ü ÑÔÐ Ð ÙÖ ¹ ÓÙ Ø ÓÑÑ ÒØ Þ ÓÒ Ö ÙÐØ Øº ËÙ Ú Ñ ÒØ Ð³ Ñ Ò Ø Ð ÓÒ Ô ØÖ ÓÙÖ Ö Ð Ô ØÖ ÑÓ Ø Ð³ Ñ Ö ÙÐØ Øº ÔÖÓ Ù Ø ÙÒ ÐØÖ Ô ¹ º ÁÐ ÓÒ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ì Ð³ Ñ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö ØØ Ì Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÓÖØ Ñ Ò ÓÒÒ ÐÐ º Ð ÔÓÙÖ Ø ÐØÖ Ö Ð ÖÙ Ø Ñ Ù ³ Ð Ñ Ò Ö Ð Ø Ð Ð³ Ñ Ø ³ ÒØÖÓ Ù Ö ÙÒ ÓÙ ÙÖ Ð³ Ñ º ÔÐÙ ÐØÖ Ô ¹ ÔÓÙÖ Ø ³ ÒØÖÓ Ù Ö ÙÖ Ð³ Ñ Ö ÙÐØ Ø ÙÒ ÖØ Ò ÓÒ ÙÐ Ø ÓÒ Ù Ô Ö Ð Ø ÕÙ Ð Ì ÒÚ Ö ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÓÖØ Ø ÙÒ ÒÙ Ö Ò Ð Ð ÐÓ ÓÒ Ö Ð Ò ÔÖÓ Ù ÒØ Ø Øµº
κ ÈÓÙÚ Þ ÚÓÙ ÜÔÐ ÕÙ Þ Ö Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ÕÙ Ô ÔÓÙÖ ØØ Ñ º ÙÖ µ ij Ñ ÒÓÒ ÖÙ Ø Ø ÓÑÔÓ ÖÐ ÓÒ ÒØÖ ÕÙ ÓÒØ Ð Ö ÝÓÒ Ö ÔÔÖÓ ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ º ³ Ø Ð³ Ø ÑÓ Ö ³ Ð Ò ÓÙ ¹ ÒØ ÐÐÓÒÒ ÓÙ ÒÓÖ Ð³ Ø Ù Ù Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ô ØÖ º Ô Ö Ò ØÙÖ ÖÐ ÓÒ ÒØÖ ÕÙ ÓÒØ Ð Ö ÝÓÒ Ö ÔÔÖÓ ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ µ Ð Ø ÑÔÓ Ð ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ô Ö Ó ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ Þ Ô Ø Ø ÔÓÙÖ Ú Ø Ö Ð Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ô ØÖ ØØ Ñ º ÎÁº Ó Ö ÙÒ Ñ Ð Ô ØÖ ÑÓ ÙÐ Ð Ì µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø ÜÔÐ ÕÙ Þ ÔÓÙÖÕÙÓ ÚÓÙ Ú Þ Ø Ó Ü º ÙÖ ½µ µ µ µ µ µ µ º ½ ÌÖÓ ÁÑ Ø ØÖÓ Ô ØÖ...
ÁÑ µ Ú Ô ØÖ µ г Ñ Ð ÓÙÖ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÙØ Ð Ù Ú ÒØ Ð³ Ü Ü ÕÙ ØÖ Ù Ø Ô Ö ÙÒ Ì ÔÖ ÒØ ÒØ ÒÓÑ Ö Ù Ö ÕÙ Ò Ô Ø Ð Ù Ú ÒØ Ð³ Ü ν Ó Ð³ Ü Ýµº ÁÑ µ Ú Ô ØÖ µ г Ñ Ù Ñ Ö ¹Ñ Ò ÔÖ ÒØ Ô Ø Ð Ñ ÒØ ÒÓÑ Ö Ù ÓÒØ ÒÙ Ø Ù Ú ÒØ Ö ÒØ Ü Õ٠гÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ù Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÕÙ Ò Ô Ø Ð Ó Ö ÒØ Ü µº ÁÑ µ Ú Ô ØÖ µ г Ñ Ø Ö Ø Ô Ö ÙÒ ÓÖØ Ô Ò Ö Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÔÓÒ Ö º Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð Ð ØÖ Ù Ø Ô Ö ÙÒ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù ÑÓØ Ô ØÖ Ð Ô Ö ÙÒ Ô Ò Ö Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÔÓÒ Ö º ÎÁÁº ÐÙÐ Ö Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ À Ñ Ö Ð³ Ñ 2 2 Ù Ú ÒØ [ 2 1 3 2 [ 2 1 ÈÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ð À Ñ Ö 2 2 3 2 [ [ 2 1 1 1 < > /4 = 2 [ 3 2 [ 1 1 2 1 1 1 < > /4 = 1/2 3 2 1 1 [ [ 2 1 1 1 < > /4 = 1/2 [ 3 2 [ 1 1 2 1 1 1 < > /4 = º 3 2 1 1 [ 2 1 = 2 3 2 [ 1 1 1/2 1 1 [ 1 1 + 1/2 1 1 [ 1 1 + 1 1 [ 1 1 1 1 ÎÁÁÁº Ê ÔÓÒ Ö Ö Ú Ñ ÒØ ½ ¾ Ô Ö µ ÙÜ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ½º ÓÒÒ Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÒØ Ù ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÙØ Ð ÙÒ Ìµ Óѹ Ô Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ù ÐØÖ Ô Ø Ðº ¾º ÓÒÒ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÙÖ ÙÒ ÐØÖ Ö ÕÙ Ò¹ Ø Ð ÙØ Ð ÒØ ÙÒ Ìµ Ø ÙÒ ÐØÖ Ô Ø Ð Ú ÙÒ Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ M M Ø ÙÒ Ñ Ø ÐÐ N N ÓÒ ÔÖ Ò Ö Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ¾ ÓÔ Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ¾ ÓÑÔÐ Ü ÓÔ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ½ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ½ ÓÔµº Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø Ð ÔÐÙ Ú ÒØ ÙÜ ÔÖ Ò Ö Ð ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ø ÐÐ 128 128 Ô Ö Ü ÑÔÐ µ º ÉÙ Ð Ø Ð ØÝÔ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó Ø ÓÒ ³ ØØ Ò Ö ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ Ø Ù ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð ÐÙ ÓÒØ Ð ÓÖ Ð³ Ñ ÓÒØ Ö ÑÔÐ Ú Ð ÙÖ ÒÙÐÐ ÐÙ Ó٠г Ñ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ ØÓÖÓ Ð ÓÙ ÐÙ ÓÙ Ð ÓÖ Ð³ Ñ Ò ÓÒØ Ô ÔÖ Ò ÓÑÔØ ÂÙ Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ º
½ Ä ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÙØ Ð ÙÒ Ìµ Ø ÔÐÙ Ö Ô ÕÙ Ð ÐØÖ Ô Ø Ð ÙÖØÓÙØ ÔÓÙÖ Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ ÑÔÓÖØ ÒØ º ¾ ÈÓÙÖ Ð ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð 2N 2 log N Ì Á Ì Ð³ Ñ µ M 2 log M Ì Ñ ÕÙ µ 6N 2 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ N 2 ÓÑÔÐ Ü Ò Ð³ Ô Ö ÕÙ Ò µº ÈÓÙÖ Ð ÐØÖ Ô Ø Ð N 2 (2M 2 1) 2M 2 N 2 º ü Ô ÖØ Ö ³ÙÒ Ñ ÕÙ 3 3 ÓÙ 4 4 Ð Ø ÔÐÙ ÒØ Ö ÒØ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÐÙÐ ØÓ Ö µ Ö Ù ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ðº ÐÙ Ó Ð³ Ñ Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ ØÓÖÓ Ð Ö Ð Ø Ò ÕÙ ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð Ô Ö Ó ÒØÖ Ò ¹ ÕÙ Ñ ÒØ Ð³ Ñ º Á º ÉÙ Ð Ø Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ø ÓÖ ÕÙ µ Ú Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ô ÙØ ÓÑÔÖ Ö ØØ Ñ Ø ÐÐ 8 8 Ô Ü Ð Ø ÓÑÔÓÖØ ÒØ ØÖÓ Ò Ú ÙÜ Ö Ö ÒØ µ Ò ÙÙÒ Ô ÖØ 111 111 111 111 ÇÒ ÐÙРг ÒØÖÓÔ ØØ Ñ º ÓÙÖ ÓÑÔÖ ÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ ³ÀÙ Ñ Òµ GÑ Ü Æ ÅÓÝ Ò Ø ÒØÖÓÔÝ = h i log 2 (h i ) Ó Ð ÓÑÑ Ø ÓÒ Ø ÙÖ Ð Ö ÒØ Ò Ú ÙÜ Ö ØØ Ñ º G Ñ Ü Ø Ð ÒÓÑ Ö Ò Ú ÙÜ Ö Ñ Ü Ñ Ð Ø h i Ð ÔÖÓ Ð Ø ³ ÚÓ Ö Ð Ò Ú Ù Ö = iº ÇÒ ØÖÓÙÚ ÒØÖÓÔÝ = 2 i= h i log 2 (h i ) = 44 64 log 2 i= ( ) 44 + 17 64 64 log 2 =.3716 +.58 +.269 = 1.866 Ø»Ô Ü Ðº ( ) 17 + 3 ( ) 3 64 64 log 2 64 ÁÐ ÙØ ÓÒ Ù Ñ Ò ÑÙÑ 64 1.866 ÔÓÙÖ Ó Ö ØØ Ñ Ò Ô ÖØ Ó Ø 69.54 Ø º
º ½º ÈÓÙÖ ÙÒ Ñ Ø ÐÐ N N Ò ÕÙ Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Óѹ ÔÐ Ü Ø µ ÔÓÙÖ µ Ö Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø Ì µº µ Ö Ð Ì Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö Ð Ø ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ º º Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ Ö Ì ½ µº µ Ö ÙÒ Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖÑ Ìµ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö Ð Ø ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ º º Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ Ö Ì ½ µº µ Ö ÙÒ Ì ¾ º ¾º ÐÙÐ Ö Ô Ö Ì Ð ÕÙ ØÖ Ó ÒØ Ô ØÖ Ð Ù Ú Ø ÙÖ 4 ÒØ ÐÐÓÒ Ù Ú ÒØ [1 1 1 1 ÁÒ ÕÙ Ö Ù ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ Ð Ö ÕÙ Ò Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ù ÙÜ Ñ ÒØ ÐÐÓÒº º ÐÙÐ Ö Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ì Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÒØ ÐÐÓÒ Ô ØÖ Ð Ñ Ñ Ú Ø ÙÖº ½ ½º Ì ¾ ³ÙÒ Ñ N N = N 4 º ¾º Ì ¾ ³ÙÒ Ñ N N = 2N Ì ½ = 2N(N 2 ) = 2N 3 º º Ì ¾ ³ÙÒ Ñ N N = 2N Ì ½ 2N(N log N) = 2N 2 log Nº º Ì ¾ ³ÙÒ Ñ N N = N 2 log Nº ¾ F() = 1 4 F(1) = 1 4 F(2) = 1 4 F(3) = 1 4 3 ( 1 ) exp( πjx/2) = 4 exp() + exp( πj/2) + exp( πj) + exp( 3πj/2) x= 3 ( 1 ) exp( πjx) = 4 exp() + exp( πj) + exp( 2πj) + exp( 3πj) x= 3 ( 1 ) exp( 3πjx/3) = 4 exp() + exp( 3πj/2) + exp( 3πj) + exp( 9πj/2) x= = 1 (1 j 1 + j) = 4 = 1 (1 1 + 1 1) = 4 = 1 (1 j 1 + j) = 4 ij ÒØ ÖÚ Ð Ö ÕÙ Ò Ô Ö ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ù ÙÜ Ñ ÒØ ÐÐÓÒ Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ν = 1/T Ú T Ð ÔÐÙ Ö Ò Ô Ö Ó Ü Ø ÒØ Ò Ð Ò Ð º º Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ñ Ù Ò Ð ÓÒ T = 4 T µ Ú T Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ð T = 1 ½ Ô Ü Ðµµ Ø Ø ν = 1/4º ½ ÔØ
f()=1 f(1)=1 f(2)=1 f(3)=1 paire impaire f()=1 f(2)=1 f(1)=1 f(3)=1 paire impaire paire impaire f()=1 f(2)=1 f(1)=1 f(3)=1 ÇÒ Ó Ø ÐÙÐ Ö F 4 () Ø F 4 (1)º [ F 4 () = 1 2 = 1 [ 1 2 2 = 1 4 2 (), F Ô Ö 2 () + F ÑÔ Ö [ F Ô Ö 1 + F ÑÔ Ö [ 1 + 1 + 1 + 1 1 () + 1 2 = 1. [ [, F Ô Ö 1 () + F ÑÔ Ö 1 (), F 4 (1) = 1 [ F Ô Ö 2 (1) jf ÑÔ Ö 2 (1), 2 = 1 [ 1 [, F Ô Ö 1 (1) F ÑÔ Ö 1 (1) (j/2) [ F Ô Ö 1 (1) + F ÑÔ Ö 1 (1), 2 2 = 1 [ 1 [ [ 1 1 (j/2) 1 1 =. 2 2 Áº ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ð ÐØÖ Å ÖÖ ³ÙÒ Ñ I ÓÒ Ø Ò ÙÜ Ø Ô ½º ÍÒ ÐØÖ Ù Ò Ö Ð ÙÖ Iº ¾º Ä ÐÙÐ Ù Ð ÔÐ Ò Ð³ Ñ ÐØÖ Ó Ø Ò٠г Ø Ô ½º ÓÒÒ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ ÐØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ð Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ô ¹ ØÖ Ð ½ º ÇÒ Ò ÓÒ Ö Ö ÕÙ³ÙÒ ÙÐ Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ò ÓÒ ÔÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÒ ³ Ö ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ ÐØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð Ð Ì ³ÙÒ Ù ÒÒ Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ì º ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ³ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ù ÒÒ ³ Ö Ø G(x) = 1 2πσ exp ( x2 2σ 2 ) Ä Ø Ô ½º Ø ¾º Ö Ú ÒÒ ÒØ ÐØÖ Ö Ð³ Ñ I Ô Ö Ð Ð ÔÐ Ò ³ÙÒ Ù ÒÒ º Ò Ò ÓÒ Ö ÒØ ÕÙ³ÙÒ ÙÐ Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ú ÒØ ÐØÖ Ö Ð³ Ñ I Ô Ö ÙÒ ÈË ÕÙ Ö Ø Ò ÐÝØ ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ö Ú ÓÒ ³ÙÒ Ù ÒÒ º ÈÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ ÐØÖ Ò Ð³ Ô Ô Ý ÕÙ ÓÒ ÖÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ù ÒÒ G(x) = 1 2πσ exp ( x2 2σ 2 )
Ë Ö Ú Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ x Ø G (x) = x 2πσ 3 exp( x2 2σ 2 ) Ø Ö Ú ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð ÔÐ Ò Ò xµ ( G 1 x 2 (x) = )exp 2πσ 3 σ 2 1 ( x2 2σ 2 ) ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ ÐØÖ Ò Ð³ Ô Ô Ø Ð Ù Ú ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ xº Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÓÒ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ Ò Ð ÓÑ Ò ÓÙÖ Öº ÍØ Ð ÓÒ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ì ÔÓÙÖ Ø Ð Ö ÕÙ F(G(x) ) = (2πjν) 2 F(G(x)) = 4π 2 ν 2 F(G(x)) Ø Ð Ø Ø Ð Ò ÓÙÖ ÕÙ F(G(x)) = exp ( 2π 2 u 2 σ 2 )º ÇÒ Ò Ù Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ Ù ÐØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð F(G(x) ) = 4π 2 ν 2 exp ( 2π 2 u 2 σ 2 ) ÁÁº ½º ËÓ Ø Ð ÐØÖ ½ Ô Ø Ð ÕÙ Ö Ð ÙÖ Ð Ò Ð ÙÒ Ñ Ò ÓÒÒ Ð f(x) гÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ f(x) k 2 f(x) x 2 ½µ µ ÌÖÓÙÚ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð³ ÐÐÙÖ Ð Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÑÓ ÙÐ Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öµ ÐØÖ ÔÓÙÖ k > 1º µ Ò Ù Ö Ð ØÝÔ ÐØÖ ÓÒØ Ð ³ Ø ÔÓÙÖ k > Ø Ö ÔÔ Ð Ö º ÒÓØ ÓÙÖ µ ÕÙ Ð Ô ÒÓÑ Ò ÐØÖ Ö ÔÔ Ö ØÖ Ò Ö ÔÔ Ð ÒØ ÓÒ Ð Ò Ú Ð Ý Ø Ñ Ú Ù Ð ÙÑ Ò Ø ÓÒÒ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ð³ ³ÙÒ Ö Ô ÕÙ µ ÓÒ Ø ÙÖ ÙÒ Ò Ð ½ Ò Ð Öº µ ÉÙ Ð ÖÐ ÓÙ k (> ) Ò ÐØÖ µ Ë ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ [1 3 º º ½ Ð Ò Ø ÓÐÓÒÒ µ ØÖ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ 2 x 2 ÓÒÒ Ö Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ [1 3 ÕÙ Ö Ð Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½µ ÔÓÙÖ k = 1º µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ [1 3 ØÖÓÙÚ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ô Ö Ð Ù Ø h(x)µ ÙØ Ð Ö Ð Ì H(ν) = +1 x= 1 h(x)exp ( 2πjνx) ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ø ÓÑÔ Ö Ö Ð Ú Ð Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ µº ÈÓÙÖÕÙÓ ÙÜ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÓÒØ ÐÐ Ö ÒØ ÂÙ Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ º ¾º ËÓ Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð ÐØÖ ½ Ô Ø Ð Ð ÓÒØ ÓÒ f(x) ÕÙ Ö Ð Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ f(x) + k 2 f(x) x 2 ¾µ µ ÌÖÓÙÚ Þ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð³ ÐÐÙÖ Ð Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÑÓ ÙÐ Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öµ ÐØÖ ÔÓÙÖ k > 1º µ Ë ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ [1 3 º º ½ Ð Ò ÓÐÓÒÒ µ ØÖ Ø ÓÒ¹ Ò ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ 2 x ÓÒÒ Þ Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ [1 3 2 ÕÙ Ö Ð Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ µ ÔÓÙÖ k ÕÙ ÐÓÒÕÙ º µ Ò Ù Ö Ð Ú Ð ÙÖ k ÔÓÙÖ Ð Õ٠Рг ÕÙ Ø ÓÒ µ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ ÐØÖ Ô ¹ º µ ÕÙÓ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÐØÖ ØÖÓÙÚ Ò ¾º µ ÔÓÙÖ k =.25
½ µ Ä ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò ÓÙÖ Ö Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ f(x) F F(ν) Ø ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ø ÓÒ ØÖÓÙÚ f(x) k 2 f(x) F x 2 F(ν) [ 1 k(2πjν) 2 = F(ν) [ } 1 + 4kπ {{ 2 ν } 2. H(ν) Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð F(ν) Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ H(ν) = 1 + 4kπ 2 ν 2 ÓÒØ Ð ÑÓ ÙÐ Ø 1 + (4kπ 2 ν 2 ) º Ú H(ν) ν 1 Ø H(ν) ν º ij ÐÐÙÖ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ö Ô ÓÒØÖ ÔÓÙÖ k = 1µº H(u) Reponse Frequentielle 7 H(u) 6 5 4 3 2 1.2.4.6.8 1 u ½ µ ÁÐ ÓÒØÖÐ Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ ÐÐ Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ k Ð ÔÐÙ ÓÙ ÑÓ Ò ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÙ Ö Ù Ñ ÒØ ÓÒØÓÙÖ º ½ µ ÇÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ ½ ¹¾ ½ ÔÓÙÖ 2 x 2 f(x) k 2 f(x) [ x 2 = f(x) δ(x) ½ ¹¾ ½ [ 1 = f(x) 3 ¼ ½ ½ ¹¾ ½ = f(x) ¹½ ¹½ ÇÒ ØÖÓÙÚ ÓÒ Ð Ñ ÕÙ [1 3 ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ¹½ ¹½ ½ µ Ë ÓÒ ÔÔ ÐÐ H(ν) Ð Ì ¹½ ¹½ ÓÒ H(ν) = + x= h(x) exp ( 2πjνx) = +1 x= 1 h(x) exp ( 2πjνx) = exp(2πjν) + 3 exp ( 2πjν) = 3 2 cos(2πν) f(x) 6 5 4 3 2 1-1 3-2cos(2piu) f(x) -.4 -.2.2.4 x
ØØ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ø ÐÐ Ù ÙÒ Ö Ù ÙÖ ÓÒØÓÙÖ Ñ Ð Ì ³ ÔÔÐ ÕÙ ÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð Ô ØÖ Ø ÓÖ Ñ Òص Ô Ö Ó ÕÙ Ô Ö Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ì ½º ÔÐÙ ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ö Ö Ð³ Ø Ð Ö Ø ÓÒ Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ú ÓÒ ÕÙ ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ØØ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÕÙ Ñ Ð Ò ÓÑÔ Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ì Ø ÙÖ Ú Ö ÓÒ ÓÒØ ÒÙº ÆÓØ Ò Ø ÔÓÙÖ ØÖ ÔÐÙ ÔÖ Ð ³ Ø Ò Ù Ñ Ñ ÐØÖ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ð ÓÒ Ø Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ú Ð ÙÖ ν ÔÖÓ µ cos(2πν) 1 (2πν) 2 /2 Ø ÓÒ H(ν) = 3 2 cos(2πν) 3 2 (1 (2πν) 2 /2) = 1+4π 2 ν 2 ÒØ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ ØÖÓÙÚ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÔÓÙÖ k = 1º ¾ µ ÇÒ ØÖÓÙÚ f(x) + k 2 f(x) F [ F(ν) 1 4kπ 2 x 2 }{{ ν } 2 H(ν) Ø H(ν) = 1 4kπ 2 ν 2 ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ô Ö H(u) Reponse Frequentielle 3 H(u) 2.5 2 1.5 1.5 -.5-1.5.1.15.2.25.3.35.4 u ¾º µ f(x) + k 2 f(x) [ x 2 = f(x) δ(x) + k ½ ¹¾ ½ [ 1 = f(x) 3 ¼ ½ + k ½ ¹¾ ½ = f(x) ¹¾ ½ ÇÒ ØÖÓÙÚ ÓÒ Ð Ñ ÕÙ 1 3 ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ¹¾ ½ ¾º µ Ë ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø ÐÓÖ Ð ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ñ ÕÙ Ö Ù Ö Ø ÙÒ ÑÓÝ ÒÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÙÒ ÐØÖ Ô ¹ ÕÙ Ø ÓÒ Ð ÔÓÙÖ k > Ø k < 1/2º ¾º µ ÈÓÙÖ k =.25 ÓÒ ¹¾ ½ 1 4 ½ ¾ ½ ÕÙ Ø Ñ Ð Ö Ù ÐØÖ Ù Ò ÓÙ ÒÓÑ Ð Ð Ö ÙÖ 3 Ø ÕÙ Ø Ò Ô ¹ ÔÙ ÕÙ ØÓÙ Ó ÒØ ÓÒØ ÔÓ Ø µº
ÁÁÁº ½º Ê ÔÔ Ð Ö ÕÙ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ô ØÖ Ó Ø Ò٠г ³ÙÒ Ì µ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô Ö º ¾º ÇÒ ÔÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ì Ø ÓÙÖ Ö ÌÖ Ò ÓÖѵ Ø ÓÒ ÚÓÙ Ö Ø ÐÙÐ Ö Ð Ì ÌÖ Ò ÓÖÑ Ó ÒÙ Ö Ø µ г Ñ Ù Ú ÒØ Õ٠гÓÒ ÙÔÔÓ ÚÓ Ö ÙÒ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ø Ð Ö ÙÖ Ð ÙÒ ÔÙ Ò Ùܺ ÜÔÐ ÕÙ Þ ÓÑÑ ÒØ ÚÓÙ ÔÓÙÚ Þ ÐÙÐ Ö ØØ Ì Ô ÖØ Ö Ð Ì Ø Ö ÕÙ³ ÐÐ ÓÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÙÜ ØÖ Ò ÓÖÑ ÕÙ ÚÓÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö Ð º º Ù Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ µº º ÉÙ Ð Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ØØ ØÖ Ø Ù ÐÙÐ ³ÙÒ Ì ³ÙÒ Ñ Ø ÐÐ N N ½ µ È ÖØ Ö ÐÐ Ô Ö Ø Ô Ô ÖØ Ñ Ò Ö º ½ µ ÇÒ ÖØ Ù Ø ÕÙ Ð Ì ÙÔÔÓ Õ٠г Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ò x Ø y º º ÝÐ ÕÙ µ Ø ÕÙ Ð Ì ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ð³ Ñ Ø Ô Öº ÓÒ ÙÒ ØÖ Ø Ö Ø Ö Ò Ö Ô Ö Ð³ Ñ Ô ÖØ ÓÙ ÝÑ ØÖ Ñ ÖÓ Öµ Ò Ò Ö Ð Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÐÐ ÔÙ ÐÙÐ Ö Ð Ì Ð Ö Ú Ò Ö Ø Ö Ì º º Ì ( ) = Ì { } ÆÓØ ÇÒ ÓÑÔÖ Ò Ò Õ٠г Ñ Ö Ò Ù Ô Ö Ð Ñ Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò Õ٠г Ñ ÓÖ Ò Ð Ø ÕÙ ÔÙ ÕÙ ÐÐ ¹ Ø Ö Ò Ù Ô Ö Ì Ò³ ÕÙ³ÙÒ Ô ÖØ Ö ÐÐ Ò Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ø Ø ÓÒ ÒØ ÕÙ ÙÒ Ì º Ì ÓÖ ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ô ØÖ Ó Ø ÒÙ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ì Ø Ù 4 Ó ÔÐÙ Ö Ò Ò Ø ÐÐ Ð Ù Ö Ø ÓÙ ¹ ÒØ ÐÐÓÒ Ö ³ÙÒ Ø ÙÖ 2 ÔÓÙÖ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð Ñ Ñ Ø ÐÐ ÕÙ ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ò ÐÙÐ ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ì µ Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ó ÒØ Ó Ø ÒÙ ÓÒØ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö Ñ Ñ Ø ÙÖº ½ µ ÈÓÙÖ Ð Ì ³ÙÒ Ñ Ø ÐÐ N N ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ N 2 log 2 Nº ÈÓÙÖ ÐÙÐ Ö Ì Ð ÒÓÙ ÙØ ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ 4N 2 log 2 2N N 2 log 2 Nµº
Áκ ½º Ä Ñ 1 4 Ð º ¾ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ ÓÙÖ Ö Ö ÒØ Ñ (a) (d)º ÁÒ ÕÙ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ô ØÖ ÕÙ ÐÐ Ñ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ º ÂÙ Ø Ö ÕÙ Ö ÔÓÒ Ô Ö Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò Ð³ Ñ º ¾º ÉÙ ÐÐ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ð Ô ØÖ Ô ÓÙ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö º ÉÙ ÐÐ ÓÖØ ³ Ñ Ó Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÔÖ ÐÙÐ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ØØ Ñ ÓÒ ÒÚ Ö Ø º º ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 1µ ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ó Ø ÒÙ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÒÚ Ö Ò Ð Ò Ð ÒØ Ð Ô ÖØ Ö ÐÐ Ò Ò µ ÂÙ Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº µ µ µ µ ½µ ¾µ µ µ º ¾ ÁÑ Ø Ð ÙÖ ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ ÓÙÖ Ö Ò ÓÖ Ö Ð ØÓ Ö º ¹ г Ñ Ø Ò Ö Ø ÝÒØ Ø ÕÙ Ø Ø ÓÒ ÔÔ Ö ØÖ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙ ÓÒØ ÒÙ Ø Ô Ø Ð ØÖ Ò ØØ ÕÙ ÚÓÒØ Ñ Ø Ö Ð Ö Ò ÓÒ Ô ØÖ ³ ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ö ÕÙ Ò Ô Ø Ð Ð Ú Ø ÓÖØ Ó ÒØ ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ò ¹ÒÓ Ö Ú Ð Ò Ð³ Ñ º ÁÐ ³ Ø ÓÒ Ò Ñ Ù Ø Ð³ Ñ 4º ¹¾ г Ñ ÔÖ ÒØ ÓÖÑ ÔÖ ÒØ ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÒØ ÑÔÓÖØ Ò Ø ÓÖÑ Ö ÒØ ÕÙ ÚÓÒØ ØÖ Ù Ö Ô ØÖ Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ú Ö Ø Ö ÕÙ Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº ÁÐ ³ Ø ÓÒ Ð³ Ñ 2º ¹ ÍÒ ØÝÔ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ü Ø Ò Ð³ Ñ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ð µ ÜÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ð Ò ÔÖ ÕÙ Ú ÖØ Ð ÓÖØ Ó ÒØ Ò Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ð³ Ñ º ÔÐÙ ÙÒ ÑÓØ Ö Ô Ø 4 Ó µ Ù Ú ÒØ Ð³ Ü y Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ 4 ÓÙ 5 Ô Ü Ð Ù Ú ÒØ Ð³ Ü Ö ÕÙ Ò Ò y Ô ÙØ ØÖ ÚÙ ÙÖ Ð³ Ñ 3º ¹½ ÙÜ ØÝÔ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Þº Ø ÓÒ Ð ÖÓ Ø µ Ü Ø ÒØ Ò Ð³ Ñ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ØÝÔ ÓÖØ Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ ÙÖ ÙÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÜ ÙÜ ÔÖ ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ º ¾ Ä Ô ØÖ Ô ÓÙ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ø ÒÙÐÐ º ijÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö 1. ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÔÖ Ò Ð ÓÒ Ù Ù Ù Ô ØÖ ÓÑÔÐ Ü º º гÓÔ Ö Ø ÓÒ F(u, ν) F (u, ν)º ÇÖ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ F f( x, y) F (u, ν)
ÓÒ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÒÚ Ö ÓÒ Ú Ö Ð Ö Ô Ø Ð Ñ ÒØ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ f( x, y) ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÙ Õ٠г Ñ Ø Ô Ö Ó Õ٠г Ò Ò Ò Ð Ò Ø Ò ÓÐÓÒÒ Ö ÓÒ ÙØ Ð Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø µ ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ½ ¼ Ö Ð³ Ñ º ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ö ÓÒÒ Ö Ù Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö 1. ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ô Ù Ò Ð Ô Ö ¹½ Ø Ð Ö Ò Ò Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ù Ò Ðº ij Ñ Ö Ð Ñ Ñ Ñ ÓÒ Ô ³ÙÒ Ò Ð π ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÓÙÖ Ð³ Ñ ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ³ Ò Ð π Ö Ò ÓÙ ³ Ò Ð ½ ¼ Ö º κ ËÓ Ø ÙÒ ÕÙ Ò ³ Ñ Õ٠гÓÒ ÑÓ Ð Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f(x, y, t) x Ø y Ø ÒØ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ù Ô Ü Ð Ø t ÔÖ Ò ÒØ Ú Ð ÙÖ ÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð³ Ñ Ò Ð ÕÙ Ò º ½º ÇÒ Ö Ö Ø ÐÙÐ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø ÚÓÐÙÑ ÓÒÒ º Ö ÓÑÑ ÒØ Ð ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ Ø Ô ÖØ Ö Ð Ì ¾ Ø Ð Ì ½ ¾º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ò ÕÙ Ò ³ Ñ f(x, y, t) ÙÒ Ö ÓÒ Ó٠г Ñ ÒØ Ö µ Ù Ø ÙÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÔÙÖ Ú Ø ÓÙ Ú ÐÓ Ø µ (v x, v y ) ÒÓÙ ÚÓÒ ÕÙ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Õ٠Рг Ñ f(x, y, t) Ø ØØ Ú ÐÓ Ø Ø ÜÔÖ Ñ Ô Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ v x x f(x, y, t) + v y y f(x, y, t) + f(x, y, t) = µ t Ò ÔÓ ÒØ F(f(x, y, t)) = F(ν x, ν y, ν t ) ÕÙ Ú ÒØ ØØ Õº Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº º Ò Ù Ö ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ô ÙØ Ø Ñ Ö Ð ÓÙÔÐ (v x, v y ) ÓÒÒ ÒØ Ð Ú Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº ½ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö Ð Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÒ ÚÖ Ø ³ ÓÖ ÐÙÐ Ö ÔÓÙÖ ÕÙ Ú Ð ÙÖ t ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ¾ Ø Ò Ö Ð Ö Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ f(x, y, t) F F(ν x, ν y, t) ÔÙ Ò Ù Ø ÙÖ ØÓÙØ Ð Ð Ò Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÔÓÙÖ ÕÙ (ν x, ν y ) ÙØ Ð Ö Ò Ð Ñ ÒØ ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ½ º ¾ v x x f(x, y, t) + v y y f(x, y, t) + ) t f(x, y, t) = F 2πj F(νx, ν y, ν t ) (v x ν x + v y ν y + ν t = г ÕÙ Ø ÓÒ µ Ú ÒØ ÓÒ v x ν x + v y ν y + ν t = ÕÙ Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÐ Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº Ä ÔÐ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ³ Ò Ö Ô ØÖ Ð Ö Ð ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ v x ν x + v y ν y + ν t = º ÌÖÓÙÚ Ö ÔÐ Ò ³ Ø ØÖÓÙÚ Ö v x Ø v y º