Chapitre 5. Chapitre 5: Prévision 115. Slide 186

Chapitre 5: Prévision 115 Slide 186 Chapitre 5 Prévision Dans ce chapitre, nous aordons les prolèmes de prévision de la demande, qui sont très importantes à moyen terme pour l étlissement du plan agrégé, ainsi qu à long terme pour les décisions stratégiques

5.1 Principes fondamentaux 116 Tale des matières Chapitre 5 5.1 Principes fondamentaux 189 5.2 Procédure générale de prévision 192 Slide 187 5.3 Modèle constant 194 Moyenne moile simple...................... 194 Lissage exponentiel simple.................... 196 5.4 Modèle linéaire 200 Régression linéaire........................ 200 Lissage exponentiel doule.................... 202 Slide 188 5.5 Variations saisonnières 205 Facteurs de saisonnalité...................... 205 Lissage doule.......................... 212 Méthode de Holt......................... 213 Méthode de Winters........................ 216 5.6 Analyse des erreurs de prévision 218 Intervalle de confiance sur la prévision.............. 218 Détection automatique des erreurs de prévision......... 222 Méthodes auto-adaptatives.................... 226

5.1 Principes fondamentaux 117 Sources d informations 5.1 Principes fondamentaux Slide 189 expérience, sentiment du personnel de terrain jugement des experts et managers analyse de données antérieures autres données quantitatives méthodes de jugement OU méthodes quantitatives complexes Caractéristiques Prévisions décisions importantes Toujours fausses! (prudence, estimation de l erreur) Choix des méthodes pour répondre aux esoins (simplicité, efficacité) Prévisions ojectifs de vente Méthodes Slide 190 Méthodes qualitatives (enquêtes, jugements d experts,...) long terme, nouveaux produits Analyse de séries chronologiques Utilisation du passé pour prévoir le futur (régression, moyenne moile, lissage exponentiel) Méthodes causales (régression multiple, économétrie) Liens entre la demande et des facteurs externes Méthodes de simulation Modèle dynamique incorporant les variales internes et environnementales

5.2 Procédure générale de prévision 118 Composantes de la demande Slide 191 Oservations X t Variation aléatoire ɛ t Variations saisonnières Tendance 5.2 Procédure générale de prévision Notations Slide 192 Période actuelle : T Oservations : X t, t = 1,..., T Prévisions : ˆX T +τ, τ = 1, 2,... Choix du modèle Sujectif, asé sur intuition, oservation de la tendance générale Modèle constant : X t = a + ɛ t Modèle avec tendance linéaire : X t = a + t + ɛ t Modèle avec tendance quadratique : X t = a + t + ct 2 + ɛ t Modèle avec tendance linéaire et var. saisonnière : X t = (a + t)c t + ɛ t ɛ t : variation aléatoire non expliquée. E(ɛ t ) = 0, V (ɛ t ) = σ 2 ɛ.

5.3 Modèle constant 119 Estimation des paramètres du modèle Slide 193 Paramètres a,, c t + oservations X 1,..., X t estimations â(t ), ˆ(T ), ĉ(t ) (estimations sur ase des oservations jusqu en T ) Prévision de la demande Projection dans le futur de modèle estimé. Exemple : X t = a + t + ɛ t â(t ), ˆ(T ) Prévision : ˆXT +τ = â(t ) + ˆ(T )(T + τ), τ = 1, 2,... 5.3 Modèle constant Moyenne moile simple Modèle : X t = a + ɛ t. Estimation du paramètre a : Slide 194 â(t ) = 1 N T t=t N+1 X t (moyenne des N dernières oservations) Prévision : ˆX T +τ = â(t ), τ = 1, 2,... Remarque : minimise la somme des carrés des écarts : min a T t=t N+1 (X t a) 2

5.3 Modèle constant 120 Choix de N Slide 195 N grand : variance diminue (σ 2 ɛ /N) Meilleure élimination de l aspect aléatoire. N petit : prise en compte plus rapide des variations/tendances de la demande. N petit N grand Inconvénient : nécessite de mémoriser un grand nomre de valeurs antérieures. Lissage exponentiel simple Idée : donner plus d importance aux oservations récentes Moindres carrés pondérés exponentiellement 1 Slide 196 β β 2 min a T β T t (X t a) 2 t=1 avec 0 < β < 1 (poids décroissant avec l âge) T -5 T -4 T -3 T -2 T -1 T

5.3 Modèle constant 121 Valeur de l estimateur : Slide 197 â(t ) = S T = 1 β 1 β T T β T t X t t=1 S T = 1 β 1 β T X T + 1 βt 1 1 β T βs T 1 Grand nomre d oservations : T β T 0. S T = αx T + (1 α)s T 1 α = 1 β, 0 < α < 1. Lissage exponentiel simple : â(t ) = αx T + (1 α)â(t 1) Slide 198 avec â(t 1) : estimateur de a lorsque les demandes X 1,..., X T 1 sont connues. â(t ) : estimateur de a lorsque les demandes X 1,..., X T sont connues. Remarques : 1. S T prend en compte toutes les données passées sans devoir les mémoriser 2. Initialisation : calcul de S 0 : moyenne moile ou régression. 3. Choix de α?

5.4 Modèle linéaire 122 Interprétation de α Slide 199 S T = αx T + (1 α)s T 1 = S T 1 + α (X T S T 1 ) } {{ } Erreur de prévision α = coefficient de réponse aux erreurs de prévision Nouvelle prévision = ancienne prévision + α erreur de prévision α grand : grande réponse, ajustement rapide à des variations permanentes α petit : stailité de la prévision, peu d importance donnée à des événements non répétitifs. 5.4 Modèle linéaire Régression linéaire Slide 200 a Modèle : X t = a + t + ɛ t Estimation de a et : Minimiser la somme des carrés des écarts : min a, T (X t a t) 2 t=1 â(t ), ˆ(t) solution de T â(t ) + T (T +1) 2 â(t ) + T (T +1) 2 T (T +1)(2T +1) 6 ˆ(T ) = T X t t=1 T ˆ(T ) = tx t t=1

5.4 Modèle linéaire 123 Désavantage : Poids égal pour tous les écarts passés. Il est proale que la demande future soit plus influencée par les demandes passées récentes critère pondéré : Slide 201 min a, T β t (X t a t) 2 t=1 avec β t : poids de l erreur de période t. β t décroit quant l âge augmente. T Normalisation : β t = 1. t=1 Lissage exponentiel doule Lissage exponentiel simple si tendance linéaire (X t = a + t + ɛ t ) retard systématique pour la prise en compte de la tendance. Slide 202 S T = αx t + (1 α)s T 1 E(S T ) = (a + T ) 1 α } {{ α } iais systématique S T seul ne permet pas d estimer les deux paramètres a et. Augmenter α permet de réduire le iais mais augmente l instailité de la prévision (la variance de l estimateur).

5.5 Variations saisonnières 124 Slide 203 Lissage doule Lissage simple des demandes + lissage des valeurs lissées. S T = αx t + (1 α)s T 1 E(S T ) = (a + T ) 1 α α S T = αs t + (1 α)s T 1 E(S T ) = E(S T ) 1 α α On peut en déduire que : E(S T ) E(S T ) = 1 α α ˆ(T ) = α 1 α (S T S T ) E(X T ) = a + T = E(S T ) + 1 α α = 2E(S T ) S T â(t ) + ˆ(T )T = 2S T S T Prévision Slide 204 Initialisation ˆX T +τ = ˆX T + τˆ(t ) τ = 1, 2,... ( ) ( ) α α = 2 + τ S T 1 + τ ST 1 α 1 α Choix de a 0 et 0 (analyse sujective, régression linéaire) a 0 = 2S 0 S 0 0 = α 1 α (S 0 S 0) S 0 = a 0 1 α α 0 S0 = a 0 2 1 α α 0

5.5 Variations saisonnières 125 Slide 205 Principe général 5.5 Variations saisonnières Facteurs de saisonnalité 1. Extraire la composante saisonnière 2. Prévision sur les demandes désaisonnalisées (méthodes précédentes) 3. Saisonnaliser les prévisions Types de facteurs saisonniers Additifs (X t = a + t + c t + ɛ t ) Slide 206 Multiplicatifs (X t = (a + t)c t + ɛ t ) Longueur du cycle : L périodes, c 1 + c 2 + + c L = L.

5.5 Variations saisonnières 126 Exemple Slide 207 En moyenne, vente de 1000 unités/an dans le passé. Saison Ventes Facteur de saisonnalité Printemps 200 200/250 = 0.8 Eté 350 350/250 = 1.4 Automne 300 300/250 = 1.2 Hiver 150 150/250 = 0.6 1000 4 Prévision de vente de 1100 unités pour l année prochaine (i.e. 275/trimestre) Saison Prévision Printemps 260 0.8 = 220 Eté 260 1.4 = 385 Automne 260 1.2 = 330 Hiver 260 0.6 = 165 Slide 208 Calcul des facteurs de saisonnalité 1. Otention des données rutes 700 Année 1 2 3 600 Printemps 504 581 586 500 400 Eté 484 523 543 300 Automne 409 452 454 200 100 Hiver 644 666 685 0

5.5 Variations saisonnières 127 Slide 209 2. Calcul des moyennes centrées M t sur L périodes élimination de l effet saisonnier moyenne non iaisée par la tendance Remarque : L pair : M t = 1 1 L 2 X t L/2 + t+l/2 1 i=t L/2+1 700 Année 1 2 3 600 Printemps - 545 562 500 400 Eté - 553 565 300 Automne 520 556-200 100 Hiver 534 559-0 X i + 1 2 X t+l/2 3. Calcul des facteurs de saisonnalité F t = X t M t, c t = moyenne des F t de même période du cycle. Slide 210 Année 1 2 3 c t Printemps - 1.067 1.043 1.055 Eté - 0.946 0.962 0.954 Automne 0.787 0.813-0.800 Hiver 1.205 1.191-1.198

5.5 Variations saisonnières 128 Procédure de prévision 1. Calcul des facteurs c t 2. Désaisonnalisation de la demande Slide 211 XD t = X t /c t t = 1,... T 3. Calcul de prévisions désaisonnalisées ˆ XD T +τ, τ = 1, 2,... (moyenne moile, lissage, régression,...) 4. Prévision saisonnalisée ˆX T +τ = ˆ XD T +τ c T +τ Lissage doule 1. Calcul des facteurs c t 2. Désaisonnalisation de la demande XD t = X t /c t t = 1,... T Slide 212 3. Mise à jour du modèle de lissage doule S T = αxd t + (1 α)s T 1 S T = αs t + (1 α)s T 1 4. Prévision saisonnalisée ( ) ˆX T +τ = XD ˆ T + τˆ(t ) ( = 2S T ST + c T +τ α 1 α (S T S T )τ ) c T +τ

5.5 Variations saisonnières 129 Méthode de Holt Principe : lisser séparément les deux paramètres a et du modèle 2 constantes de lissage R a et R. (Flexiilité) Slide 213 Principe de lissage : Nouvelle valeur = ancienne valeur + réponse erreur oservée. Erreur : e T = XD T (a T 1 + T 1 ) a T = (a T 1 + T 1 ) +R a e t T = T 1 +R e t Procédure de Holt 1. Calcul des facteurs c t 2. Désaisonnalisation de la demande XD t = X t /c t t = 1,... T 3. Calcul de l erreur de prévision Slide 214 4. Mise à jour des valeurs lissées e T = XD T (a T 1 + T 1 ) a T = (a T 1 + T 1 ) +R a e t T = T 1 +R e t 5. Prévision saisonnalisée ˆX T +τ = (a T + T τ) c T +τ

5.5 Variations saisonnières 130 Slide 215 Choix de R a et R R a 2 N+1 (moyenne moile) Si R proche de R a, ajustement trop rapide de la pente. Holt lissage doule (α) R = α 2 R a = α(2 α) R = 2 R a 2 1 R a (Winters) R max = Ra 2 > 2 R a 2 1 R a En pratique : R a = 2 N + 1 R [2 R a 2 1 R a, R 2 a] Valeurs typiques : R a = 0.25, R = 0.02. Méthode de Winters Lissage doule et Holt : calcul des c t par moyennes grand nomre de données. Slide 216 Idée : calculer c t par lissage 3 paramètres à estimer. Estimateurs : a(t ) : demande lissée en période T (T ) : pente lissée c T (T L) : valeur lissée de c T calculée en T L (un cycle complet avant T )

5.6 Analyse des erreurs de prévision 131 Calcul des valeurs lissées X T a(t ) = α + (1 α) (a(t 1) + (T 1)) C T (T L) (T ) = β (a(t ) a(t 1)) + (1 β)(t 1) Slide 217 c T (T ) = γ X T a(t ) + (1 γ)c T (T L) Valeurs typiques : α = 0.25, β = 0.02, γ = 0.3. Prévision : ˆX(T + τ) = (a(t ) + τ(t )) c T +τ (T L + (τ mod L)) 5.6 Analyse des erreurs de prévision Intervalle de confiance sur la prévision Slide 218 Avantages du lissage : simplicité (compréhension, implémentation) faile nomre de données à conserver procédures de contrôle de la fiailité des prévisions Types de contrôle : signal d alarme + corrections manuelles modèles auto-adaptatifs Détection automatique des erreurs de prévision (modèle estimé s écarte de la réalité) intervalle de confiance sur la prévision

5.6 Analyse des erreurs de prévision 132 Erreur de prévision : e t = X t ˆX t Hypothèse : Modèle conforme à la réalité. Slide 219 X t = modèle + ɛ t erreur oservée (e t ) conforme aux variations aléatoires (ɛ t ) E(e t ) = 0, V (e t ) = σ 2 e e t N (0, σ 2 e) Non corrélation des e t successifs. (distriution normale) Intervalle de confiance estimer σ e. Soit l espérance de déviation asolue : Slide 220 = E ( e E(e) ) = E( e ) = E( ɛ ) = 2 0 ef ɛ (e)de = σ e 1.25 2 π σ e 0.8σ e Estimation de : moyenne des e t Lissage exponentiel : MAD T = α e T + (1 α)mad T 1, σ e 1.25MAD T (MAD = Mean Average Deviation)

5.6 Analyse des erreurs de prévision 133 Intervalle de confiance e t = N (0, σ 2 e) P ( 2σ e e T 2σ e ) = 0.95 Slide 221 donc P ( 2.5MAD T 1 X T ˆX ) T 2.5MAD T 1 = 0.95 ( P ˆXT 2.5MAD T 1 X T ˆX ) T + 2.5MAD T 1 = 0.95 Intervalle de confiance à 95 % de X T : [ ˆX T 2.5MAD T 1, ˆX T + 2.5MAD T 1 ] Détection automatique des erreurs de prévision Hypothèse : modèle correct σ e = 1.25MAD T intervalle de confiance. Slide 222 Test d hypothèse : si e T est trop grand (> 3MAD T ) alors proailité faile que le modèle soit correct. Test de la validité du modèle sur ase des oservations e t et valeurs calculées MAD t. 3 types d erreurs : 1. donnée douteuse 2. modèle de prévision iaisé 3. erreurs de prévision trop grandes

5.6 Analyse des erreurs de prévision 134 Donnée douteuse Modèle correct jusqu en T, erreur très grande en T. Slide 223 Filtre : Si e T > n 1 MAD T (n 1 3) alors la dernière donnée X T est douteuse. Si événement exceptionnel, non répétitif ne pas incorporer e T dans la mise à jour des estimateurs. Modèle iaisé Biais : sur-estimation ou sous-estimation systématique erreur systématiquement de même signe. MAD T : Erreur asolue lissée. Slide 224 Soit E t = moyenne lissée des erreurs (avec leur signe) E T = αe T + (1 α)e T 1 Filtre : si E T > n 2 (trop proche de 1) MAD T alors persistance des signes des e t.

5.6 Analyse des erreurs de prévision 135 Remarque : σ 2 E 1 N σ2 e = α α 2 α (1.25)2 MAD 2 n 2 = 1.25 2.33 2 α n 2 MAD 2.33σ E, intervalle de confiance à 98 % Slide 225 n 2 = 0.3 pour α = 0.1 Variailité des erreurs Modèle non iaisé mais e t très grands Filtre : si MAD T > n 3 ˆX T alors erreur relative trop grande Méthodes auto-adaptatives Détection des erreurs et correction du modèle automatiques. Slide 226 Idée : faire varier les paramètres de lissage en fonction des erreurs oservées. Exemple : α ou R a = E t MAD t α petit lorsque le modèle est non iaisé on lissage. α grand lorsque le modèle est iaisé on ajustement en cas de changement de tendance.