Fonction affine I Définition Étant donné deux nombres m et p, on définit une fonction affine f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre f(x) = mx+p. On note f : x mx+p cette fonction. Remarque : une fonction linéaire est une fonction affine particulière (p=0) II Représentation graphique dans un repère (O;I;J) Propriété 1 On admet que la représentation graphique de la fonction f : x mx+p est une droite (D) sécante à l'axe des ordonnées. On dit que (D) a pour équation y = mx+p (et on écrit (D) : y=mx+p). Propriété (réciproque de la propriété 1): Toute droite sécante à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine f : x mx+p donc a une équation du type y =mx+p. Généralisation : L'équation y = mx+p d'une droite (D) sécante à l'axe des ordonnées est un critère pour savoir si un point E(x E ;y E ) est ou n'est pas un point de (D) : Si les coordonnées de E vérifient l'équation de (D) alors E appartient à (D), donc si mx E +p = y E. Si les coordonnées de E ne vérifient pas l'équation de (D) alors E n'appartient pas à(d), donc si mx E +p y E III Étude des nombres m et p de f : x mx + p et de sa représentation graphique (D) 1. Le nombre p : Pour la fonction, p est l image de 0, f(0) = p. Pour la représentation graphique, p est l ordonnée du point de la droite (D) représentant f, d abscisse 0. On l appelle "l ordonnée à l'origine de (D)".. Le nombre m : Pour la fonction le nombre m indique si elle est croissante ou décroissante. Si m > 0 la fonction f est croissante sur R. x + f Si m < 0 la fonction f est décroissante sur R. Si m = 0 la fonction f est constante sur R. x + f f(x) = p, pour tout x 1
Justification : Pour tout a R et b R tels que a < b f(a) = m a+p et f(b) = m b+p donc f(b) f(a) = m(b a) d où m = f(b) f(a). b a Si m > 0 alors le numérateur et le dénominateur sont de même signe, or a < b donc b a > 0 et donc f(b) f(a) > 0 et f(a) < f(a), les nombres et leurs images sont rangés dans le même ordre. Si m < 0 alors le numérateur et le dénominateur sont de signe opposé, or a < b donc b a > 0 et donc f(b) f(a) < 0 et f(a) > f(b), les nombres et leurs images sont rangés dans un ordre différent. Si m = 0 alors f(b) f(a) = 0 donc f(a) = f(b), la fonction est constante. Pour la représentation graphique, m est "le coefficient directeur de (D)" (il donne la direction de (D)). Pour m = 0 on a f : x p ; f est une fonction affine constante; sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses. Conséquences : Propriété 3: Si deux droites ont le même coefficient directeur alors elles sont parallèles. Propriété 4 : (réciproque de la propriété 3) Si deux droites sont parallèles alors elles ont le même coefficient directeur. Pour une fonction affine, l accroissement de la fonction est proportionnel à l accroissement de la variable. Cela signifie que pour tous nombres réels a et b distincts, les quantités f(a) f(b) et a b sont proportionnelles, alors que pour une fonction linéaire (cas particulier) les images sont proportionnelles à leurs antécédents : f(x) = mx.
IV Lecture graphique de l équation d une droite : On peut lire graphiquement le coefficient directeur m et l ordonnée à l origine p. La droite (AB) est sécante à l axe des ordonnées, elle est donc la représentation graphique de la fonction affine f : x mx+p Lire le coefficient directeur des droites (AB), (CD), (AD) et (d) et si c est possible l ordonnée à l origine. Si l ordonnée à l origine ne peut-être lu de façon exacte le calculer 3
IV Etude du signe du binôme Définition : Une expression du type ax +b, avec a 0, est appelé un binôme. Objectifs : expérimenter différentes méthodes pour connaître le signe du binôme. Dans toute la suite on se propose de trouver le signe de x + 5, selon les valeurs du réel x. Première méthode : En résolvant des inéquations 1. Compléter : a) x + 5 = 0 donc pour x égal à... x+5 est... b) x + 5 > 0 donc pour x... x + 5 est...( + ). c) x + 5 < 0 donc pour x... x + 5 est...( - ). Résumer ces résultats dans le tableau - 5 + x + 5.... Deuxième méthode : en utilisant la représentation d une droite Soit la droite (D) d équation y = x + 5. On veut connaître le signe de y en fonction des valeurs de x 1. Dessiner la droite (D), et chercher les coordonnées du point d intersection de cette droite avec l axe (x x).. Colorier en bleu la partie de la droite sous l axe des abscisses et en rouge celle au dessus. 3. En utilisant le graphique, compléter le tableau de signes ci-dessous : Signe de x+5 4
Troisième méthode : En faisant un test Grâce aux méthodes précédentes on devine que le binôme s annule pour une valeur et une seule et que de chaque côté de cette valeur le binôme prend des signes différents. On peut donc calculer le binôme pour deux valeurs «bien choisie «de x 1. Calculer la valeur de x+5 pour x = 3. Calculer la valeur de x+5 pour x = 3. Compléter le tableau de signes ci-dessous : Signe de x + 5 4. Expliquer ce qu on entend par «bien choisie «Quatrième méthode : En appliquant le théorème Le signe du binôme ax + b est toujours donné par le tableau suivant : b a Signe de ax + b Signe de ( a). Signe de a D où le théorème Théorème : Le binôme ax+b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à celle qui annule ce binôme c est-à-dire b a. 1. Dans l expression x+5 qu elle est la valeur de a? quel est son signe? quelle est la valeur de x qui annule le binôme?. Compléter le tableau de signes ci-dessous : Signe de x + 5.. 5
V Généralisations géométrie analytique: (dans un repère) On appelle repère du plan le triplet (O ;I ;J) formé par trois points non alignés, le point O est appelé origine, la droite (OI) est appelée axe des abscisses, d unité OI et la droite (OJ) est appelée axe des ordonnées d unité OJ. Le point M(x ;y) a pour coordonnées les réels x et y représenté sur la figure suivante : Les longueurs étant toujours positives et les coordonnées positives ou négatives : Le point M a des coordonnées telles que: OH = x M OI et OF = y M OJ Le point M a des coordonnées telles que: OH = -x M OI et OF = -y M OJ Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires le repère est orthogonal ; si OI = OJ le repère est normé et si les deux conditions sont remplies, le repère est orthonormal ou orthonormé. 1. Equation d une droite parallèle à l axe des ordonnées : Une droite parallèle à l axe des ordonnées ne peut-être la représentation graphique d une fonction, car pour une valeur de x, il existe une infinité de nombre sur une telle droite. Tous les points de cette droite ont la même abscisse, d où l équation d une droite parallèle à l axe des ordonnées est de la forme : x = c. Coordonnées du milieu d un segment : Le point I(x I ;y I ) est le milieu du segment [AB], d extrémité A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) si et seulement si : x I = x A+x B 3. Points alignés : et y I = y A+y B Trois points A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) et C (x C ;y C ) sont alignés si et seulement si : ils ont la même abscisse x A = x B = x C. ou bien Ils n ont pas la même abscisse, mais les droites (AB) et (BC) ont le même coefficient directeur. (ou bien les droites (AB) et (AC), ou encore (les droites (AC) et (BC). 4. Calcul de distances dans un repère orthonormal (ou orthonormé) :. Dans un repère orthonormal, la distance AB entre les points A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) est telle que : AB² = (x B x A )² + (y B y A )² 6