LIVRET DE MTHÉMTIQUES ENTRÉE EN SECONDE Lycée Jean-Paul II (Sartrouville) nnée 204-205 Pourquoi ce livret? Les vacances d été sont longues et la mise en route en septembre souvent difficile. fin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions indispensables pour entamer la seconde dans de bonnes conditions en mathématiques. Comment utiliser ce livret? Ce livret est à travailler par chaque élève entrant en seconde, de préférence durant les 3 dernières semaines du mois d août afin de préparer la prochaine rentrée. Le travail sera-t-il noté? Non, pas directement mais en septembre ou octobre, une évaluation notée aura lieu et portera sur les notions travaillées dans ce livret. J ai oublié une formule, un théorème... Consulter le cahier de cours de Troisième ou le site des inspecteurs de l académie de Versailles regroupant la plupart des notions mathématiques, classées par ordre alphabétique : https ://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/lexique.jsp Comment vérifier mes réponses et ma rédaction? Les élèves pourront et devront poser leurs questions aux professeurs de mathématiques dès la rentrée. ucune correction polycopiée ne sera distribuée ni aucune correction magistrale faite en cours. Les questions, pour être efficaces, doivent venir des élèves, de leurs besoins suivant leur travail (et réciproquement). Dois-je faire tous les exercices? Il est fortement conseillé de tous les chercher et de rédiger correctement les réponses. C est pour cela qu il est préférable de travailler sur 2 ou 3 semaines afin de répartir le travail.
SOMMIRE Fonctions... p 3 Pourcentages, probabilités, algorithmique... p 4 Espace... p 5 Théorème de Pythagore et réciproque... p 6 Nombres... p 7 Calcul littéral... p 8 2
Fonctions Exercice On considère ci-dessous, le tableau de données d une fonction g : Répondre aux questions par des phrases :. Quelle est l image de 3 par la fonction g? 2. Donner un antécédent de 4 par la fonction g. 3. Quel nombre a pour image 2 par la fonction g? x 4 3 2 0 2 3 4 g(x) 4 3 2 3 4 3 4 0 4. Quel nombre a pour antécédent 0 par la fonction g? 5. Donner deux nombres qui ont la même image par la fonction g. Exercice 2 Soit f la fonction définie par f : x x 2 3 pour tout nombre x.. Faire une phrase pour dire comment est définie la fonction f. 2. Calculer les images de 0; 3; ; 3 2 par f. Exercice 3 La courbe ci-contre représente une fonction f.. Tracer en pointillés les traits de lecture dans la couleur demandée et faire des phrases pour répondre : en noir : l image de 3 par la fonction f en bleu : l image de 4 par la fonction f en vert : un antécédent de par la fonction f en rouge : un antécédent de 2 2. Compléter les égalités : f( 3) =...; f(0) =...; f(...) = 2 0 3. À l aide du graphique compléter le tableau de valeurs de la fonction f : x 4 3 0, 5 4 6 f(x) 3
Pourcentages, Probabilités, lgorithmique Exercice 4 Trois personnes, line, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac.. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d line : Sac de Bernard : Sac de Claude : 5 billes rouges 0 billes rouges et 30 billes noires 00 billes rouges et 3 billes noires Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge? 2. On souhaite qu line ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. vant tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d line? Exercice 5. Un article coûtant 49,9=C est soldé à 40%. Quel est son prix après réduction? 2. Le prix du litre d essence est de,5=c en mars. Ce prix augmente de 30% en avril puis de 0% en mai. Combien coûte-t-il après ces deux augmentations (c est à dire fin mai)? Que pensez-vous de l affirmation "Le prix de l essence a augmenté de 40% entre mars et mai"? Justifiez votre réponse. 3. près une augmentation de 35% le prix d un article est de 74,25=C. Combien coûtait cet article avant augmentation? Exercice 6 La note de restaurant ci-contre est partiellement effacée. Retrouver les éléments manquants, en justifiant. RESTURNT "la Gavrotte" 4 menus à 6,50=C l unité... bouteille d eau minérale... 4 cafés à,20 =C l unité... Sous total... Service 5,5% du sous total 4,8 =C Total... Exercice 7 On considère l algorithme suivant : Choisir un nombre x Lui ajouter 4 Multiplier par 2 le résultat obtenu Élever au carré le dernier résultat.. Quel nombre obtient-on en suivant l algorithme précédent pour x = 3? 2. vez-vous déjà rencontré un autre algorithme au collège? Si oui, lequel? À quoi servait-il? 4
Espace Exercice 8 Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 0 cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan vaut 6 cm. La figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur, représente la sphère et le cercle (C). (C) H. En utilisant uniquement les données de l énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle HO, rectangle en H. On laissera les traits de construction apparents. O 2. Calculer le rayon du cercle (C). 3. Calculer la circonférence du cercle (C). On arrondira le résultat en millimètre près. Exercice 9 Le quadrilatère BJI est la section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à l arête [CD]. I est le milieu de [HD] et J le milieu de [CG].. Quelle est la nature du quadrilatère BJI? 3 cm B D C J 2. Calculer la valeur exacte de I 3. Représenter en vraie en grandeur le triangle DI, puis le quadrilatère BJI. (on laissera les traits de constructions apparents). 4 cm E F 6 cm I H G Exercice 0 Sur la figure ci-contre est représenté un cône de sommet S en perspective. La hauteur du cône est de 4 cm et le rayon du disque de base O est de cm. S. Calculer la valeur exacte du périmètre du disque de base. S 2. Calculer la valeur exacte de S. 3. La seconde figure (en traits pleins) est le patron du cône. Si on complète cette figure avec les pointillés, quel est le périmètre de ce disque en pointillés de rayon [SM]? 4. En déduire la mesure de l angle x O x + O M 5. Construire en vraie grandeur le patron de ce cône. 5
Théorème de Pythagore et réciproque Exercice B Calculer les longueurs C et BC (voir la figure cicontre) Donner les valeurs exactes des deux résultats. 5 cm C 3 cm 6 cm D Exercice 2 Construire un triangle RST tel que RS = 7,5 cm, ST = 8,5 cm et RT = 4 cm. Ce triangle est-il rectangle? Justifier la réponse. Exercice 3 Dans le schéma ci-contre, OC = 5, ĈOB = 35 et BO = 5. O. Déterminer la valeur exacte de BC. 2. Déterminer la valeur exacte deb, puis une valeur approchée à 0 2 près. C B 6
Nombres Exercice 4 Voici une liste de nombres : 7 ; 6 ; 2,5 ; 3 ; 2 ; π ; 36 ; 24 6 ; 3 ; 5 ; 4 Préciser pour chaque nombre s il s agit : a) d un nombre relatif b) d un nombre relatif décimal c) d un nombre relatif rationnel. Exercice 5 Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes intermédiaires. Donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible. ) 4 9 6 + 7 5 2) ( 3 2 7 ) ( 32 ) 5 + 3) ( ) ( ) 3 3 2 2 + 5 8 4) 3 3 +5 4 3 2 5) 2 a+ + a + a avec a 0 et a Exercice 6 Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes intermédiaires. Donner le résultat sous la forme d une puissance. a) 0 5 0 7 b) 3 4 3 4 c) (7) 2 d) 0 3 (0 2 ) 5 0 4 0 9 Exercice 7. Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes intermédiaires. Donner les résultats sous la forme la plus simple possible. a) (3 5) 2 b) (4 5) 2 c) ( 2 2+ 3 ) 2 7
Calcul littéral Exercice 8 Développer et réduire les expressions suivantes : (x) = 3(x 2) 6(2x ) B(x) = x 2 (x+3)(x 3) C(x) = (3x 2) 2 (x ) 2 D(x) = 2x 5(4x+3)+(5x 3)(x 4) Exercice 9 Factoriser les expressions suivantes : (x) = x 2 +2x B(x) = 3(2x )+(2x )(5x+3) C(x) = 6x 2 24x+9 D(x) = 9x 2 (5 x) 2 E(x) = (2x+3)(x+5) (x+5) F(x) = (5x+3)( 2x) ( 2x) 2 Exercice 20 Résoudre les équations suivantes d inconnue x. a) 3x 9 = 0 b) 3x = 5x+4 c) 3x = 0 d) (2x+3)(x ) = 0 e) 4 3 x 3 = 0 f) x2 4 = 0 g) 3(x 4) 2x(x+) = x 3(5 x 2 ) Exercice 2 Résoudre les inéquations suivantes d inconnue x, et représenter l ensemble des solutions sur une droite graduée a) x+3 b) 5x 3 c) 2x+7 > 5x+2 d) 3x+2 < 2 e) 3 4 x 5 > 2 +x Exercice 22 Un magasin de vêtements propose une carte offrant une réduction de 50% à chaque passage en caisse. Cette carte, valable un an, coûte 30 euros. À partir de quel montant d achats est-il préférable d acheter la carte? Exercice 23 I L On considère une piscine BCD, et on souhaite l entourer par un parterre de marbre de largeur 0,5x. On donne B = 2x+ et BC = x+. J D 0,5x B C P K x+. Exprimer l aire du parterre de marbre en fonction de x. 2. Déterminer la valeur de x pour que le parterre de marbre et la piscine aient la même aire. 2x+ 8