4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème est donné à titre indicatif. Exercice 1 ( 3 points ) PARTIE NUMERIQUE (18 points) Complétez (aucune justification n'étant demandée) le tableau suivant ( voir Annexe n 1 ) : a b c a b a c a + b b c 3 2 5 2 1 7 4 24 32 Exercice 2 ( 4,5 points ) Effectuez les calculs suivants en détaillant les étapes : A = 7 + ( 2) + ( + 6) B = 1 ( 4) + ( 2) C = ( 3) ( + 6) + ( 4) D = 1,5 4,7 + 2 E = 3 6 + 4 7 F = 1,2 + 2,1 4,3 + 6,9 10,5 G = 4 ( 9,5) H = 5 ( 4) 2 I = ( 24) : ( 6) Exercice 3 ( 2 points ) Effectuez les calculs suivants en détaillant les étapes : J = 9 2 ( 12 4 2 ) K = 2 ( 2 3 10 ) L = 4 + ( 21 : 3 5 2 ) ( 4 3 3 ) M = ( 70,1 ) ( + 5 ) ( + 2,5 ) ( 2 ) ( + 4 ) Exercice 4 ( 3 points ) Une pompe remplit un réservoir de 25 litres en 15 secondes. Déterminez (en vous aidant d'un tableau par exemple) : 1) combien de temps faut-il prévoir pour remplir une citerne de 300 litres? 2) combien de litres la pompe aura-t-elle débités en 60 secondes? Exercice 5 ( 5,5 points ) Deux magasins de location de planches à voile, VANDANLEDO et VANDEFASSE, proposent les tarifs suivants : Nombre de demi-journées 1 2 3 4 Tarif VANDANLEDO (en ) 50 100 150 200 Tarif VANDEFASSE (en ) 70 100 130 160 1 ) Représentez graphiquement cette situation dans un repère orthogonal ( sur votre feuille à petits carreaux ) Indication : - sur l'axe des abscisses : 4 cm 1 demi-journée - sur l'axe des ordonnées : 1 cm 20 Vous représenterez le tarif VANDANLEDO en vert et le tarif VANDEFASSE en noir. 2) Le tarif VANDANLEDO est-il proportionnel au nombre de demi-journées de location? Justifiez votre réponse. 3) Le tarif VANDEFASSE est-il proportionnel au nombre de demi-journées de location? Justifiez votre réponse.
Exercice 6 ( 7 points ) PARTIE GEOMETRIE ( 18 points ) La figure ci-contre n est pas représentée en vraie grandeur. On indique que : N, O, P sont alignés. MP = 5,3 cm ; OP = 2,8 cm OM = 4,5 cm ; MN = 5,1 cm 1) Démontrez que le triangle MOP est rectangle. 2) Calculez la longueur ON. 3) Calculez l aire du triangle MNP. Aide : Un tableau de valeurs des carrés est donné en Annexe n 2 Exercice 7 ( 7 points ) La figure ci-contre n est pas représentée en vraie grandeur. On indique que : F [DH]. EM = 3 cm et DF = 9 cm. 1) Démontrez que les droites (MN) et (DF) sont parallèles. 2) a) Calculez ED. Justifiez la réponse. b) Calculez MN. Justifiez la réponse. 3) La droite (MN) coupe la droite (EH) en un point I. Démontrez que le point I est le milieu de [EH]. Exercice 8 ( 4 points ) Un funambule doit marcher sur un câble tendu entre 2 poteaux verticaux écartés de 24 m. Les poteaux font 15 m et 8 m de haut, et le sol est horizontal. Calculez ( voir Annexe n 2 ), en mètres, la longueur du câble (que l on suppose tendu donc rectiligne). Remarque importante : vous pouvez nommer des points sur cette figure ( voir Annexe n 3 ) et vous en servir ensuite pour raisonner sur votre copie.
NOM, Prénom, Classe : ANNEXE Annexe n 1 a b c a b a c a + b b c 3 2 5 2 1 7 4 24 32 Annexe n 2 Pour l'exercice 6 : x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 x² 4 4,41 4,84 5,29 5,76 6,25 6,76 7,29 7,84 8,41 x 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 x² 9 9,61 10,24 10,89 11,6 12,25 12,96 13,69 14,44 15,21 x 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 x² 16 16,81 17,64 18,49 19,36 20,25 21,16 22,09 23,04 24,01 x 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 x² 25 26,01 27,04 28,09 29,16 30,25 31,36 32,49 33,64 34,81 Pour l'exercice 8 : x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 x² 25 100 225 400 625 900 1225 1600 2025 2500 Annexe n 3
CORRECTION DU DEVOIR COMMUN n 1 Exercice 1 ( 3 points ) => 0,25 pt / bonne réponse a b c a b a c a + b b c 3 2 5 6 15 1 7 2 1 7 2 14 3 8 4 6 8 24 32 10 14 Exercice 2 ( 4,5 points ) => 0,5 pt / 0,25 pt si pas assez détaillé / 0 pt si aucun détail A = 7 + ( 2) + ( + 6) A = 5 + (+6) Α = 11 D = 1,5 4,7 + 2 D = 6,2 + 2 D = 4,2 G = 4 ( 9,5) G = 38 B = 1 ( 4) + ( 2) B = 1 + (+4) + ( 2) B = +3 + ( 2) B = +1 E = 3 6 + 4 7 E = 3 + 4 6 7 E = 7 7 6 E = 6 H = 5 ( 4) 2 H = +20 2 H = 40 C = ( 3) ( + 6) + ( 4) C = +3 6 4 C = 3 4 C = 7 F = 1,2 + 2,1 4,3 + 6,9 10,5 F = 1,2 4,3 10,5 +2,1 + 6,9 F = 5,5 10,5 + 9,0 F = 16 + 9 F = 7 I = ( 24) : ( 6) I = 4 Exercice 3 ( 2 points ) => 0,5 pt / 0,25 pt si pas assez détaillé / 0 pt si aucun détail Effectuez les calculs suivants en détaillant les étapes : J = 9 2 ( 12 4 2 ) J = 9 2 ( 12 8 ) J = 9 2 4 J = 9 8 J = 1 L = 4 + ( 21 : 3 5 2 ) ( 4 3 3 ) L = 4 + ( 7 10 ) ( 4 9 ) L = 4 + ( 3 ) ( 5 ) L = 4 + ( +15 ) L = 19 K = 2 ( 2 3 10 ) K = 2 ( 6 10 ) K = 2 ( 4 ) K = +8 M = ( 70,1 ) ( + 5 ) ( + 2,5 ) ( 2 ) ( + 4 ) Μ = ( 70,1 ) ( + 5 ) ( 2 ) ( + 2,5 ) ( + 4 ) Μ = ( 70,1 ) ( 10 ) ( + 10 ) Μ = ( 70,1 ) ( 100 ) Μ = + 7 010 Exercice 4 ( 3 points ) Volume (en litres) 25 300 100 Temps (en secondes) 15 180 60 1) 0,5 point pour la réponse + 0,5 point pour la phrase de conclusion 2) 0,5 point pour la réponse + 0,5 point pour la phrase de conclusion + 1 point pour des calculs correctement justifiés (coefficient de proportionnalité entre les 2 lignes, ou entre les colonnes ou produit en croix)
Exercice 5 ( 5,5 points ) 1) axes non inversés (1 pt) graduations respectées (0,5 pt) et régulières (0,5 pt) légendes (0,5 pt) placement correct des points (1 pt) 2) le tarif Vandanledo est proportionnel au nombre de demi-journées de location car les points sont alignés avec l'origine du repère (1 pt) 3) le tarif Vandefasse n'est pas proportionnel au nombre de demi-journées de location car les points ne sont alignés avec l'origine du repère (1 pt) Exercice 6 ( 7 points ) 1) MP² = 5,3² = 28,09 (0,5 pt) OP² + OM² = 2,8² + 4,5² = 7,84 + 20,25 = 28,09 (0,5 pt) On constate que MP² = OP² + OM² (0,5 pt) donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore (0,5 pt), le triangle MOP est rectangle en O (0,5 pt). 2) Dans le triangle MON rectangle en O (0,5 pt), d'après le théorème de Pythagore (0,5 pt) on peut écrire : MN² = MO² + ON² (0,5 pt) 5,1² = 4,5² + ON² ON² = 26,01 20,25 ON² = 5,76 ON = 2,4 (0,5 pt pour la conduite des calculs) donc ON = 2,4 cm (0,5 pt : conclusion et unité) 3) Aire (MNP) = base hauteur 2 = PN MO 2 (0,5 pt pour l'une des 2 formules) avec MO = 4,5 cm et PN = PO + ON = 2,8 + 2,4 = 5,2 cm (0,5 pt pour la justification de PN) donc Aire (MNP) = 5,2 4,5 / 2 = 11,70 (0,5 pt) donc l'aire du triangle MNP est de 11,70 cm² (0,5 pt : conclusion et unité) Exercice 7 ( 7 points ) 1) Dans le triangle EDF (0,5 pt), M est le milieu de [ED] et N est le milieu de [EF] (0,5 pt) Or, dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au 3 ème côté (1 pt) Donc (MN) est parallèle à (DF). (pas de point puisque c'est dans la question) 2) a) ED = 2 EM car M est le milieu de [ED] (0,5 pt) donc ED = 2 3 = 6 : ED = 6 cm (0,5 pt) b) Dans le triangle EDF, M est le milieu de [ED] et N est le milieu de [EF] (0,5 pt) Or, dans un triangle, la longueur du segment dont les extrémités sont les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté (1 pt) Donc MN = DF : 2 = 9 : 2 = 4,5 (0,5 pt) donc MN = 4,5 cm (0,5 pt) 3) Dans le triangle EDH, M est le milieu de [ED] et (MN) est parallèle à (DH) (0,5 pt) Or, dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu (1 pt) Donc I est le milieu de [EH]. (pas de point puisque c'est dans la question)
Exercice 8 ( 4 points ) 0,5 point pour avoir complété judicieusement la figure (nommer des points, coder...). 1 point pour expliquer clairement pourquoi le triangle est rectangle et pour le calcul des 7 m 2 point pour l'utilisation du théorème de Pythagore 0,5 point pour la phrase de conclusion + unité : le câble mesure 25 m Présentation ( 4 points ) 1 pt : présentation générale, soin, clarté 1 pt : orthographe de mots-clés => Pythagore, proportionnalité, parallèle, milieu 1 pt : présentation des calculs (les uns sous les autres) dans la partie numérique 1 pt : vocabulaire et notations adaptés ( [segment], (droite), longueur ) dans la partie géométrie