Correction du Devoir Commun de Quatrième Lundi 13 février 006 L usage des calculatrices est autorisé. Vous rédigerez les parties sur des feuilles doubles différentes. La qualité de la présentation (propreté de la copie, espacement, mise en valeur des résultats ) l orthographe, la clarté et la précision des explications et des justifications seront notées sur points. Le sujet comporte pages. Il faut remettre le sujet avec la copie d examen. Note sur 0 Grille de notation Elève Moyenne classe Note maximale Note minimale Barème Note obtenue Activités numériques Activités géométriques Exercice 1 3 Exercice Exercice 3 3 Exercice 3 Exercice Exercice 1 3 Exercice 3 Exercice 3 3 Exercice 3 Exercice 9 Présentation, orthographe, rédaction et justifications Remarques : Les figures ne sont pas à l échelle. 1
Première partie : Activités numériques ( 1 points) Exercice n 1 (3 points) Calculer les expressions suivantes en indiquant les étapes intermédiaires et donner le résultat sous la forme la plus simple possible : 3,17 +,8 A = 6,9 + 3,17 + 0,8 A = 0,69 + 0,0 1 1 3, 6 A= d ' où A= 0,73 B = 3, 0, 7 ( 1 ) C = ( 3 ) + ( 7) B = 3, 0,7 (- )² B = 3, 0,7 16 B = 3, 11, B = 7,8 C = (16 9) + 9 C = 7 + 9 C = 3 + 9 C = 8 Exercice n ( points) Calculer les nombres D et E en indiquant les étapes intermédiaires et en donnant les résultats sous forme de fraction irréductible : 3 1 1 D = E = ( ):( + ) 3 9 3 3 1 3 6+ 1 D = E = ( ):( ) 3 3 1 3 7 7 D = E = : 3 1 1 3 8 1 7 3 1 D= d' où D= E = d' où E = 1 1 7 Exercice n 3 : (3 points) Sachant que a = 3 ; b = 1 ; c = Calculer F = ab + cd et F = ab + cd 1 1 F = ( ) + ( ) 3 1 1 F = 6 6 11 F = d' où F = 30 30 ; d = 1 a+ d G = b+ c a+ d G =. b+ c 1 + G = 3 1 + 3 + 8 G = ( ):( ) 6 0 1 3 G = : 6 0 1 0 G = d' où G = 6 3 9
Exercice n : (3 points) Donner la notation scientifique des nombres suivants en indiquant les étapes intermédiaires : H = 1, 11 H = 7, 11 H = 1, 07 1 13 H = 1, 07 La notation scientifique de ce nombre est 1, 07 13 7 3 I = I = 1 I = 1 doù ' I= 1, 9 3 3 J = 3 3 1 ( ) 9 J = J = 1, 11 Exercice n : ( points) Kinan achète 8 pin's de même prix. Ziad achète pin's qui valent chacun livres syriennes de moins que ceux de Kinan. a) Si x est le prix d'un pin's acheté par Kinan, quel est le prix d'un pin's acheté par Ziad? Le prix d'un pin's acheté par Ziad est : x (livres syriennes) b) Quel est le montant de l'achat de Kinan? Le montant de l'achat de Kinan est : 8 x (livres syriennes) c) Quel est le montant de l'achat de Ziad? Le montant de l'achat de Ziad est : (x ) (livres syriennes) d) Sachant que Kinan et Ziad ont dépensé la même somme, quel est le prix d'un pin's de Kinan? 8x = (x ) 8x = x 0 x 8x 0 = 0 x + 0 0 = 0 x 0 = d ' où x = livres syriennes Le prix d'un pin's de Kinan est livres syriennes 3
Deuxième partie : Activités Géométriques ( 1 points) Exercice n 1 : Questions de cours (3 points) 1) Citer la propriété de la «droite des milieux» dans un triangle. La propriété : La droite passant par les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. ) Enoncer la propriété de Thalès. Dans un triangle ABC, soit M un point de [AB] et N un point de [AC]. Si (MN) et (BC) sont parallèles, alors 3) Enoncer la propriété de Pythagore. AM AN MN = = AB AC BC Dans un triangle rectangle le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés perpendiculaires. Exercice n : Spécial saint Valentin. Deux triangles amoureux (3 points) Deux triangles amoureux se donnent rendez-vous aux points G et H. (EF), (BC) et (GH) sont parallèles. De plus : AH = 6cm AC = 1cm DG = cm EG = 7cm et CB = 3cm. Calculer la longueur du segment EF. Dans le triangle BAC on a : G appartient à [AB] H appartient à [AC] Les droites (BC) et (GH) sont parallèles et d après la propriété de Thalès on peut écrire : AG AH GH = = AB AC BC 6 GH = doù ' GH = 1, cm 1 3 On peut utiliser aussi la propriété de la droite des milieux dans le triangle ABC. Dans le triangle EDF on a : G appartient à [ED] H appartient à [DF] Les droites (EF) et (GH) sont parallèles et d après la propriété de Thalès on peut écrire : DG GH DH = = DE EF DF 1, = 9 EF 9 1, EF = d ' où EF = 6,7cm [EF] est égal à 6,7 cm
Exercice n 3 : (3 points) Une télé encombrante! Pour la fête de Saint Valentin, Monsieur Lamoureux vient d acheter une télé de 6 cm. A main levée, l écran de cette télé peut être représenté par le rectangle suivant : 6 cm cm Monsieur Lamoureux pourra-t-il loger son téléviseur dans son meuble de 37 cm de hauteur? Solution : L écran de cette télé a une forme rectangulaire, alors sa diagonale est l hypoténuse du triangle ABC.. Alors le triangle ABC est rectangle en B, et d après la propriété de Pythagore on peut écrire : AC² = AB² + BC² 6² = AB² + ² 3136 = AB² + 176 AB² = 3136 176 AB² = 137 AB = 137 (cm).valeur exacte. D où AB 37,00 cm La hauteur de la télé est supérieure à la place qui lui est réservée. Alors il ne peut pas loger son téléviseur, il le gardera par terre!!! Exercice n : (3 points) En empruntant le sentier de A jusqu à B, puis le pont sur la rivière de B jusqu à C et enfin à nouveau le sentier de C jusqu à D, François quitte sa maison et rejoint celle de Guillaume. En considérant les indications données sur le schéma, calculer la distance parcourue par François. Remarque : La distance sera donnée au mètre près par excès. Solution : La distance à parcourir entre ces deux maisons est : AB + BC + CD La longueur AB représente l hypoténuse du triangle ABG rectangle en G, et d après la propriété de Pythagore on a : AB² = AG² + GB² AB² = 1² + 300² AB² = 1 0 + 90 000 AB² = 0 AB = 0 (m). Valeur exacte AB 30 (m) à l unité près par excès. La longueur CD représente l hypoténuse du triangle CDF rectangle en F, et d après la propriété de Pythagore on a : CD² = CF² + DF² CD² = 60² + 00² CD² = 67 600 + 0 000 CD² = 7 600 CD = 7600 (m). Valeur exacte D où CD 38 (m) à l unité près par défaut. AB + BC + CD = 0 + 0 + 7600 78 (m) La distance parcourue est 78 mètres près par excès.
E xercice n : (9 points) Dans la figure ci-contre, (qui n est pas en vraie grandeur) : ABCD, DFIG et IEBJ sont des rectangles E est le point du segment [AB] tel que AE =16cm F est le point du segment [AD] tel que FD = 1cm la lettre x désigne un nombre positif et on pose EB = x (x est en cm) la distance AF est toujours le double de la distance EB, c est à dire AF = x Partie A : La lettre P désigne le périmètre du polygone grisé ABCGF (on rappelle que «périmètre» désigne la longueur du contour de la figure). Le but de cette partie est d exprimer P en fonction de x. 1. Calculer la valeur exacte de la longueur FG. Dans le triangle FDG rectangle en D et d après la propriété de Pythagore on a : FG² = FD² + DG² FG² = 16² + 1² FG² = 6 + 1 FG² = 00 FG = 00 d où FG = 0 (cm) La valeur exacte de la longueur FG est 0 centimètres. Exprimer les distances AB et BC en fonction de x. AB = AE + EB AB = 16 + x (c m) BC = BJ + JC BC = x + 1 ( cm) P 3. Exprimer le périmètre en fonction de x. Réduire le plus possible cette expression littérale du périmètre P. P (ABCGF) est égale à la somme de tous les côtés P (ABCGF) = AB + BC + CG + GF + FA P (ABCGF) = 16 + x + x + 1 + x + 0 + x P (ABCGF) = 6x + 8 (cm) d où on a : 6
P artie B : La lettre A désigne l aire du polygone grisé ABCGF. Le but de cette partie est d exprimer A en fonction de x. 1. Démontrer que l aire du rectangle ABCD, en fonction de x, est égale à 16 + x 1 + x ( ) ( ) A(ABCD) = L l A(ABCD) = AB BC A(ABCD) = (x + 16 ) (x + 1). Développer et réduire cette expression. A(ABCD) = x² + 1x + 3x + 19 A(ABCD) = x² + x + 19 ( cm²). L aire du rectangle ABCD en fonction de x est x² + x + 19 ( cm²) 3. Calculer l aire du triangle rectangle FDG. Base hauteur corespondante A(FDG) = 1 16 A(FDG) = A(FDG) = 96 (cm²). L aire du triangle rectangle FDG est 96 cm².. Utiliser les deux résultats précédents pour donner une expression littérale développée et réduite de l aire A du polygone grisé ABCGF en fonction de x A (ABCGF) = A(ABCD) - A(FDG) A (ABCGF) = x² + x + 19 96 A (ABCGF) = x² + x + 96 (cm²) L aire A du polygone grisé ABCGF en fonction de x est x² +x + 96 cm² Partie C : 1. Déterminer la valeur exacte de x pour que le périmètre du polygone grisé ABCGF mesure 300 cm.. P (ABCGF) = 6x + 8 300 = 6x + 8 ( 8) 6x 8 + 8 = 300 8 6x = ( : 6) 6x = 6 6 x = (cm) Lorsque le périmètre du po lygone grisé ABCGF est égal à 3 mètres alors x est égal à centimètres. Calculer ensuite l aire A dans ce cas particulier. A (ABCGF) = x² + x + 96 A (ABCGF) = ² + + 96 A (ABCGF) = 7 (cm²) A (ABCGF) est 7 cm² lorsque x est égal centimètres. P 7