Connaître les opérations sur les matrices : addition, multiplication, transposition,

Chapitre 6 Matrices Connaître les opérations sur les matrices : addition, multiplication, transposition, etc. Savoir utiliser la formule de Newton sur les matrices. Connaître les propriétés des matrices carrées, symétriques, scalaires, diagonales et triangulaires. Avoir fait quelques exercices type (diagonalisation, calcul de puissances et d inverse). Connaître le lien entre effectuer des opérations élémentaires et multiplier par certaines matrices particulières. La méthode de remontée. Introduire les notations utiles pour la suite ainsi que faire le lien entre système linéaire et matrices. $\ CC BY: I Introduction : définitions Dans tout le chapitre, la lettre K désigne R ou C. Les éléments de K sont appelés les scalaires (par opposition aux vecteurs), et sont traditionnellement notés avec des lettres grecques. I. Rappel sur K n Définition. L ensemble K n est l ensemble des n-uplets, c est-à-dire des éléments de la forme : x (x,, x n ), où les x i K. Les x i sont appelés les composantes du vecteur x. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même nombre d éléments et que tous leurs éléments sont égaux. Dans cet ensemble, on peut ajouter des éléments x et x en ajoutant composante par composante : (on parle d addition interne). x + x (x,, x n ) + (x,, x n ) (x + x,, x n + x n ).

2 CHAPITRE 6. MATRICES On peut aussi multiplier un vecteur x par un scalaire λ i.e. un élément de K, en multipliant toutes les composantes : λx λ(x,, x n ) (λx,, λx n ). (on parle de multiplication externe). On ne peut pas multiplier des vecteurs, mais il existe le produit scalaire entre deux vecteurs x et x : n x x (x,, x n ) (x,, x n ) x i x i Ce produit scalaire associe à deux vecteurs un scalaire i.e. un élément de K. i I.2 Ensemble des matrices M p,q (K) Définition 2. Une matrice A à p lignes et q colonnes à coefficients dans K est un tableau de p q éléments (a i,j ) i p, j q. C est donc : a a 2 a q a 2 a 22 a 2q A.... a p a p2 a pq Une matrice est donc déterminée par ses dimensions p et q, et par ses p q coefficients (qui sont éléments de K). Deux matrices A et B sont égales si elles ont mêmes dimensions, et si elles ont les mêmes coefficients, i.e. i [[, p]], j [[, q]], A ij B ij. On note M p,q (K), l ensemble des matrices de taille p par q. Note: Dans les matrices, le er indice est l indice de ligne, le suivant, l indice de colonne. Exemple: 2 3 M 2,3 (R) 4 5 6 i M 2,2 (C) i 5 2 3 La matrice de taille (3 2) telle que a i,j i + j est : 3 4 M 3,2 (R) 4 5 Une matrice de taille n (entier générique) est représenté en donnant ses éléments, par exemple : A ij max(i, j), ou bien en donnant sa forme générale en utilisant, ici : 2 3 4 n 2 2 3 4 n 3 3 3 4 n A 4 4 4 4 n.... n n n n n

II. OPÉRATION SUR LES MATRICES 3 On utilise aussi souvent la convention que les termes non écrits sont nuls. Enfin, les vecteurs de K n peuvent s identifier au vecteur colonne de M n, (K) ou au vecteur ligne M,n (K). II II. Opération sur les matrices Addition de matrices Définition 3. Soient A et B deux matrices de même taille p, q, la matrice A + B est définie comme la matrice de taille p, q, telle que : i [[, p]], j [[, q]], (A + B) ij A ij + B ij. L addition de deux matrices correspond donc à l addition dans K p q, i.e. l addition élément par élément. C est encore l addition interne : à deux matrices de taille (p, q) on associe une matrice de taille (p, q). Attention, on ne peut ajouter que des matrices de même taille. Proposition. On a les propriétés classiques de l addition : pour trois matrice A, B et C M p,q (K) l addition est commutative : A + B B + A l addition est associative : A + (B + C) (A + B) + C si on note 0 pq la matrice de taille p, q dont tous les éléments sont nuls, on a : A + 0 pq O pq + A A. Démonstration. C est l addition dans K p q, donc cela hérite des propriétés de l addition. Exemple: [ ] i + i 5 [ ] [ ] 2i 3i + 2i 4i 0 5i i 5 + 5i Il faut aussi être capable d additionner des matrices écrites avec des comme : 0 0 0 0 0 0 0 0 0.... 0 0... 0 0....... + 0.... 0 0......... 0..... 0.. 0.... 0... 0. 0.. 0 0 0 0 0 0 0 0 II.2 Multiplication par un scalaire Définition 4. Soient A une matrice de M p,q (K) et λ K, on appelle λa la matrice de M p,q (K), définie par i [[, p]], j [[, q]], (λa) ij λa ij. Ici encore, c est la simple multiplication d un vecteur par un scalaire, on retrouve la multiplication externe de K n. Note: De plus, on peut maintenant parler de différence entre matrices, comme A + ( B). Proposition 2. On a les propriétés classiques : soient A et B deux matrices de M p,q (K)

4 CHAPITRE 6. MATRICES α(βa) (αβ)a, (α + β)a αa + βa, α(a + B) αa + αb. Démonstration. Encore une fois il n y a rien à démontrer : ce sont les mêmes propriétés pour R p q Note: Attention dans l écriture (α + β)a αa + βa, les + n ont pas le même sens : cela peut être une addition dans K, ou dans M p,q (K) Exemple: λ [ ] x y z u v w [ λx λy ] λz λu λv λw II.3 Produit matriciel On quitte maintenant l aspect purement vectoriel des matrices en ajoutant le produit de matrices. Définition 5. Soient A M p,q et B M q,r On définit le produit de A par B comme la matrice C de taille p, r telle que : q i [[, p]], r [[, r]], C i,j A i,k B k,j Remarque: On ne peut pas faire le produit de n importe quelle matrice par une autre : il faut que les dimensions soient compatibles, il faut qu il y ait une dimension en commun (celle sur laquelle on fait la somme). En particulier, ce n est pas parce que le produit AB est défini que le produit BA est défini. On conserve le même nombre de lignes que la première et on prend le nombre de colonne de la seconde : si A M p,q et B M q,r, on a AB M p,r. L élément (AB) ij est donc le produit scalaire de la ligne i de A et de la colonne j de B. D une manière générale, on fait toujours le produit d une ligne par une colonne. Exemple: [ ] 2 [ ] a b c a + 3b + 5c 2a + 4b + 6c 3 4 d e f d + 3e + 5f 2b + 4e + 6f 5 6 Pour faire un produit matriciel, on utilise souvent la technique le produit ainsi : 2 3 4 [ ] [ 5 6 ] 2 2 6 2 2 2 8 24 Remarquons qu en particulier : [ ] [ ] a b x c d y k [ ] ax + by cx + dy

II. OPÉRATION SUR LES MATRICES 5 Donc le système d équations linéaire { ax + by x0 bx + cy y 0 x peut s écrire comme une équation matricielle : AX X 0, avec X le vecteur (colonne) des y a b x0 inconnues, A la matrice (2 2) des coefficients, et X 0 le vecteur de second membre, c d y 0 ce qui motive le produit matriciel. Proposition 3. Résoudre le système : a x +... a p x p b (l ) a 2 x +... a 2p x p b 2 (l 2 ) (S).. a n x +... a np x p b n (l n ) d inconnue (x,..., x n ) revient à résoudre l équation : AX B, d inconnue X M n avec A a a 2 a p b a 2 a 22 a 2p.... M b 2 np la matrice des coefficients, B. M n le vecteur (colonne) du a n a n2 a np b n x x 2 second membre. et X le vecteur (colonne) des inconnues.. x n Proposition 4. Certaines propriétés classiques de la multiplication sont conservées mais attention pas toutes (commutativité et intégrité). Associativité : Soient A M p,q, B M q,r, et C M r,s, (i.e. telles que (AB)C ait un sens). On a alors : (AB)C A(BC) ABC Distributivité : Soient A M p,q, B M p,q, et C M q,r (i.e. telles que A(B + C) ait un sens). On a alors : A(B + C) AB + AC. De même si (A + B)C a un sens alors : (A + B)C AC + BC. Distributivité sur les scalaires : Soient A M p,q, B M p,q et λ K, on a alors (λa)b A(λB) λ(ab). Soit A M pq (K), et r N, on a alors : A0 qr 0 pr et 0 rp A 0 rq, Non commutativité : En règle générale AB BA. Dans le cas contraire, on dit que les matrices commutent.

6 CHAPITRE 6. MATRICES Non intégrité : on peut avoir deux matrices A 0 et B 0 et AB 0, De même, on peut avoir AB AC, sans que B C. Commençons par les contre-exemples. Pour AB BA : [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 tandis que [ ] [ ] 0 0 0 0 [ ] 0 0 Ainsi les scalaires commutent avec les matrices mais pas les matrices entre elles. Pour AB 0 avec A 0 et B 0 : [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 Démonstration. On commence par l associativité, soient A M p,q (K), B M q,r (K), et C M r,s (K). On a : (AB) M p,r (K), et (AB)C existe et (AB)C M p,s (K). De même (BC) M q,s (K), donc A(BC) existe et A(BC) M p,s (K). Donc les matrices ont la bonne dimension. q r De plus, d après les formules du produit matriciel, (AB) ij A ik B kj, et (BC) kj B kl C lj donc k ( r r q ) ((AB)C) ij (AB) il C lj A ik B kl C lj l l k r q q r A ik B kl C lj A ik B kl C lj l k k l q r q A ik B kl C lj A ik (BC) kj k l } {{ } k (BC) kj A(BC) ij Montrons la distributivité. Soient A M p,q, B M p,q, et C M q,r (i.e. telles que A(B + C) ait un sens). On a : q [A(B + C)] ij A ik (B + C) kj k q A ik B kj + A ik C kj k q q A ik B kj + A ik C kj k k (AB) ij + (AC) ij l

III. MATRICES CARRÉES 7 Idem de l autre côté. Enfin la distributivité sur les scalaires : (λa)b q (λa ik )B kj λ k q A ik B kj k q A ik (λb kj ). k Le dernier point est évident : q (A0) i,j A ik 0 kj 0. k III III. Matrices carrées Définition Définition 6. Une matrice carrée est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes. On note M p (K) l ensemble des matrices carrées de taille p. L intêrét principal de cet ensemble est que le produit y est bien défini et reste interne, on peut aussi multiplier une matrice carrée par elle-même. On peut donc toujours multiplier deux matrices carrées de même taille, et ceci dans les deux sens, mais le produit n est pas commutatif. Définition 7. On appelle matrice identité de taille n, la matrice carrée de M n (K) notée I n qui ne contient que des sur la diagonale. Proposition 5. Cette matrice vérifie : 0 0 0 0 0 0 I n........ 0 0 A M n (K), AI n I n A A. Démonstration. On peut le constater en faisant le produit ou simplement écrire : (i, j) [[, n]] 2, [ AI ]i,j n k A ij I kj A ij, en effet le seul terme non nul est le terme pour k j. Remarque: Un corollaire important : I n commute avec toutes les matrices. On dit que la matrice I n est l élément neutre pour la multiplication. Elle joue le même rôle que pour la multiplication des scalaires Attention à ne pas écrire au lieu de I n.

8 CHAPITRE 6. MATRICES Définition 8. Pour n N, On appelle puissance n-ième d une matrice A M n (K), la matrice A n AA A. Par convention : A 0 I n. Remarque: Calculer une puissance n-ième d une matrice n est pas facile. C est souvent le sujet des exercices. sur le commutant d une matrice : Toute matrice A commute avec elle-même, avec l identité et avec A n pour tout n. De plus, si A commute avec B et C, alors elle commute avec B + C et BC. Une conséquence importante est qu une matrice A commute avec tout polynôme en A, i.e. toute matrice B qui s écrit B a 0 I n + a A + a 2 A 2 + + a n A n. Déterminer l ensemble des matrices qui commutent avec une matrice A est un exercice classique. III.2 Formule du binôme Dans M n (K), on peut effectuer des calculs algébriques, en prenant garde au fait que deux matrices ne commutent pas. On a par exemple : et (A + B) 2 A 2 + B 2 + AB + BA (A + B)(A B) A 2 B 2 AB + BA Pour revenir à l identité classique, il faut que les matrices commutent, i.e. AB BA. Un cas particulier où on est sûr qu il n y a rien à vérifier est le cas de l identité (qui commute avec toutes les matrices). Dans ce cas, on a, par exemple, la formule du binôme de Newton, et les formules de factorisation. Proposition 6. Soient A M n (K), et p N, on a : p (I n + A) p On a aussi : k0 n I n A n (I n A) A k. p A k (6.) k k0 Si A et B sont deux matrices carrées qui commutent, alors : p p (A + B) p A k B p k. k k0 Note: À chaque fois que la formule en (A + B) n est utilisée, il faut préciser que les matrices commutent. Démonstration. Les démonstrations sont les mêmes que dans R ou C. Par exemple : n (I n A) k0 n A k k0 n k0 n k0 n A k A k0 n A k A k k0 k A k A k+ A k I n A n.

III. MATRICES CARRÉES 9 Note: On voit en particulier ici l intérêt d apprendre la formule de Newton sous la forme ( + x) n. En effet, la formule sur (I + A) n est vraie quelque soit la matrice A, tandis que celle sur (A + B) n n est vraie que si A et B commute. La formule du binôme de Newton est particulièrement utile pour calculer la puissance n-ième d une matrice A qui s écrit A λi + µn, où N est une matrice dont il est facile de calculer la puissance n-ième. C est le cas en particulier si la matrice N est nilpotente i.e. si N p 0 pour un certain p, dans ce cas la somme 6. se réduit à une somme pour k < p. C est aussi le cas, si la matrice N vérifie N p λ p N, i.e. s écrit comme un scalaire multiplié par elle-même. Dans ce cas, on peut écrire la formule 6. comme un scalaire multiplié par N. Exemple: Soit A M 2 (R), qui s écrit : A On écrit : A [ ] a 0 + 0 a [ ] a c avec a et b réels. 0 a [ ] 0 c a 0 0 [ ] 0 + c 0 [ ] 0 ai 2 + cn 0 0 [ ] 0 avec N. En calculant, on obtient N 2 0. Ainsi on a : n 2, N n N n 2 N 2 0. 0 0 On obtient alors : A n (ai + bn) n n (ai) n k (bn) k k k0 n a n k b k N k k k0 n a n k b k N k car k 2N k 0 k k0 a n I 2 + na n bn [ ] a n na n b 0 a n. [ ] a + b b Exemple: Soit A M 2 (R) qui s écrit : A avec a et b réels. On écrit alors : b a + b A a 0 + 0 a b b ai 2 + b b b ai 2 + bj, avec J. On obtient facilement J 2 2J. Puis, par récurrence, on démontre n N, J n 2 n J. (Attention la formule n est pas vraie si n 0).

0 CHAPITRE 6. MATRICES On a alors : A n (ai + bj) n n (ai) n k (bj) k k k0 n a n I 2 + (ai) n k (bj) k k k n a n I 2 + a n k b k 2 k J k k [ n ( ] a n n I 2 + )a n k b k 2 k J k k } {{ } R Or on a : n a n k b k 2 k [ n ( ] n )a n k (2b) k k 2 k k k [ n ( ] n )a n k (2b) k a n 2 2 k k0 ] [(a + 2b) n a n. Ainsi : III.3 A n a n I 2 + 2 Matrices inversibles ] [ a [(a + 2b) n a n n + J 2 [ (a + 2b) n a n] [ 2 (a + 2b) n a n] ] [ (a + 2b) n a n] 2[ (a + 2b) n a n] a n + 2 Définition 9. Une matrice A M n (K) est dite inversible s il existe B M n (K) telle que AB BA I n. La matrice B est alors unique et on la note A. Note: Par définition pour montrer qu une matrice A est inversible et que son inverse est B, il suffit donc de vérifier AB I et BA I. Démonstration. Démontrons que l inverse est unique en supposant qu il existe deux inverses B et B vérifiant AB AB BA B A I n. On a alors : B AB B B. Note: Une matrice commute toujours avec son inverse. Proposition 7. De plus, si AB AC et A est inversible, alors on a B C. En particulier, si AB 0 et A est inversible, alors B 0. Ainsi, une matrice inversible est simplifiable dans une équation. Démonstration. Cette conséquence est claire : si AB AC alors en multipliant par A, on a B C.

IV. TRANSPOSITION, MATRICES SYMÉTRIQUES ET ANTISYMÉTRIQUES Note: En fait, on peut démontrer qu il suffit que AB I n pour avoir BA I n. Voir le programme de seconde année pour cela. Exemple: Soit une matrice A telle que A 2 αa + βi. On a alors : A 2 αa βi et donc A(A αi) βi et (A αi)a βi Si β 0, on peut alors écrire : [ ] A β (A αi) I et [ β (A αi) ] A I. Ainsi, la matrice A est inversible, et A β (A αi). Si β 0, on a : A(A αi) 0. Ainsi, il y a deux solution : soit A n est pas inversible, soit A αi (avec dans ce cas forcément α 0). Proposition 8. Soient A B deux matrices carrées de taille n inversible, alors (AB) est inversible avec (AB) B A. En particulier, (A ) n (A n ), ce qui permet de définir la puissance négative d une matrice inversible. Démonstration. Pour démontrer que (AB) est inversible d inverse B A, il suffit de former les deux produits : (AB)B A AA I n et B A (AB) BB I n Note: La matrice 0 n est évidement pas inversible, (on peut par exemple le démontrer en remarquant qu elle n est pas simplifiable dans l équation 0A 0). La somme de matrices inversibles n est évidement pas inversible (dans le cas général), par exemple pour toute matrice A, A + ( A) 0 n est pas inversible. Si A est inversible et λ 0, alors (λa) est inversible d inverse λ A. IV IV. Transposition, matrices symétriques et antisymétriques Transposition Définition 0. Soit A M pq On appelle transposée de A, la matrice t A M qp, telle que ( i [[, q]], j [[, p]], t A) A ji. ij Autrement dit, les lignes de t A sont les colonnes de A. Note: La transposée a une interprétation mathématique dans le programme de seconde année. Exemple: t 2 [ ] 3 5 3 4 2 4 6 5 6

2 CHAPITRE 6. MATRICES Proposition 9. On a les propriétés suivantes : transposé de transposé Pour toute matrice A M pq, on a t ( t A) A, transposé d une somme Pour toutes matrices A et B M pq, on a t (A + B) t A + t B transposé d un produit Pour toutes matrices A M pq et B M qr, on a t (AB) t B t A, transposé d une puissance Pour toute matrice A M p, on a : n N, t (A n ) ( t A) n, que l on note simplement t A n. transposé de l inverse Pour toute matrice A M p inversible, on a : t A est inversible et ( t A) t (A ). Démonstration. Les deux premiers points sont évidents. Démontrons la propriété sur le produit. Soient A M pq et B M qr deux matrices. On a : t (AB) ij q (AB) ji A jk B ki k q q ( t A) kj ( t B) ik k k ( t B t A) ij t B ik t A kj La relation n N, t (A n ) ( t A) n, se démontre alors par récurrence en utilisant la propriété précédente. Soit A inversible, la matrice t (A ) existe alors et t A t (A ) t (A A) I n et t (A ) t A t (AA ) I n Ce qui démontre que t A est inversible et la relation ( t A) t (A ). IV.2 Matrices symétriques et antisymétriques En conséquence de la transposition, on définit Définition. Soit A M p une matrice carrée. On dit que A est une matrice symétrique si t A A, tandis qu on dit qu une matrice A est antisymétrique si t A A. 2 3 0 2 Exemple: La matrice 2 4 5 est symétrique, tandis que la matrice : 0 3 est 3 5 6 2 3 0 antisymétrique. Note: Une matrice antisymétrique vérifie donc i [[, p]], A ii 0, i.e. les coefficients diagonaux sont nuls. La seule matrice symétrique et antisymétrique est la matrice nulle. On note S n (K) (resp. A n (K)) l ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques). Proposition 0. Pour les matrices symétriques, on a : Si A et B sont symétriques, A + B est symétrique, i.e. la somme de deux matrices symétriques est une matrice symétrique.

IV. TRANSPOSITION, MATRICES SYMÉTRIQUES ET ANTISYMÉTRIQUES 3 Si A et B sont symétriques et si A et B commutent, alors AB est aussi symétrique. En particulier, si A est une matrice symétrique, alors n N, A n est une matrice symétrique. Si A est une matrice symétrique, et A inversible, alors A est une matrice symétrique. Pour les matrices antisymétrique, la situation est plus complexe, on a : Si A et B sont antisymétriques, A + B est antisymétrique, i.e. la somme de deux matrices antisymétriques est une matrice antisymétrique. Par contre, le produit de deux antisymétriques n est pas, dans le cas général, antisymétrique même si les matrices commutent. De même la puissance n-ième d une matrice antisymétrique n est pas antisymétrique. Si A est une matrice antisymétrique, et A inversible, alors A est une matrice antisymétrique. Démonstration. Pour la première partie, soient A et B deux matrices symétriques, on a alors : t (A + B) t A + t B A + B, donc A + B est symétrique. t (AB) t B t A BA AB, donc AB est symétrique (si les matrices commutent). En raisonnant par récurrence on obtient alors : n N, t (A n ) est symétrique. [ ] Si A est inversible et symétrique, alors on a t (A ) t A A, donc l inverse de A est aussi symétrique. Pour la deuxième partie, soient A et B deux matrices antisymétriques, on a alors : t (A + B) t A + t B A B (A + B), donc A + B est antisymétrique. [ [ Si A est inversible et antisymétrique, alors on a t (A ) t A] A] A, donc l inverse de A est aussi antisymétrique. Pour les contre-exemples : 2 3 2 3 3 2 ( 7 ) 7 2 (donc le produit de deux matrices symétriques n est pas toujours symétriques). 0 0 2 0 2 0 ( 0 2 2 0 ) 0 0 2 0 0 2 donc le produit de deux matrices antisymétriques n est pas antisymétrique, même si les matrices commutent. On a aussi : 2 0 0 0 0 n est pas antisymétrique. Application Montrer que toute matrice A s écrit de manière unique comme la somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique. Application 2 Déterminer les conditions pour que deux matrices A et B antisymétriques vérifient AB est symétrique. IV.3 Trace Cette partie est hors programme, il s agit d un exercice classique à savoir refaire.

4 CHAPITRE 6. MATRICES La trace est une application à connaître : Définition 2. Soit une matrice A M n (K), les coefficients diagonaux de A sont les n réels : A ii. On appelle trace de A, le réel T r(a) A kk, i.e. la trace est la somme des éléments diagonaux. k Note: On peut aussi parler de coefficients diagonaux d une matrice non carrée et de sa trace, dans ce cas, en considérant les élément A kk. Proposition. On a les propriétés : A, B M n (K), λ K, T r(a + B) T r(a) + T r(b), et T r(λa) λt r(a). A 2 ij i,j A, B M n (K), T r(ab) T r(ba). A M n (K), T r( t AA) (i.e. la somme des carrés de tous les coefficients). En particulier, T r( t AA) 0 si et seulement si A 0. Démonstration. Soit A et B deux matrices, alors on a : i [[, n]], (A + B) ii A ii + B ii, donc : De même, pour λ K, Pour le produit, on a : T r(a + B) (A + B) ii A ii + B ii T r(a) + T r(b). i i i T r(λa) (λa) ii λa ii λ A ii λt r(a). i i i T r(ab) (AB) ii A ik B ki B ki A ik (BA) kk T r(ba). i i k k i k } {{ } (BA) kk Pour la dernière propriété, on a : T r( t AA) ( t AA) ii ( t A) ij A ji A 2 ji. i i j i j En particulier, cette somme n est constituée que de termes positifs, donc si elle est nulle c est que tous les termes sont nuls, et donc que : (i, j) [[, n]] 2, A ij 0, i.e. tous les coefficients de A sont nuls et donc A 0. Ce résultat est à redémontrer (en l adaptant) avant de l utiliser.

V. MATRICES PARTICULIÈRES 5 V Matrices particulières V. Matrices scalaires Définition 3. Soit λ K. On appelle matrices scalaires, une matrice M M p (K) qui s écrit M λi n. Proposition 2. Multiplier par une telle matrice revient alors à multiplier par λ. Note: En particulier, les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices. Si λ 0, la matrice M λi n est inversible d inverse λ I n. De manière évidente, la somme, le produit et l inverse (si λ 0) de matrice scalaire est une matrices scalaire. V.2 Matrices diagonales Définition 4. Une matrice diagonale est une matrice A qui vérifie : i j a ij 0, i.e. les seuls éléments non nuls sont sur la diagonale. λ 0 0. 0 λ.. 2. Ainsi la matrice A s écrit : A........ 0 0 0 λ n Note: On utilise parfois la notation A diag(λ,, λ n ). Proposition 3. On a les propriétés : La somme de matrices diagonales est diagonales, avec des coefficients diagonaux obtenus en faisant la somme des coefficients diagonaux. Cela s écrit : λ 0 0 α 0 0 λ + α 0 0. 0 λ.. 2.. 0 α.. 2.. 0 λ 2 + α.. 2...... +... 0....... 0....... 0 0 0 λ n 0 0 α n 0 0 λ n + α n Le produit de matrices diagonales est diagonales, avec des coefficients diagonaux obtenus en faisant le produit des coefficients diagonaux. Cela s écrit : λ 0 0 α 0 0 λ α 0 0. 0 λ.. 2.. 0 α.. 2.. 0 λ 2 α.. 2......... 0....... 0....... 0 0 0 λ n 0 0 α n 0 0 λ n α n

6 CHAPITRE 6. MATRICES Une matrice diagonale est diagonale, si tous les éléments diagonaux sont non nuls. L inverse est alors obtenue en inversant les coefficients diagonaux. Cela s écrit : λ 0 0 λ. 0 0 0 λ.. 2.. 0....... λ 2.... 0...... 0 0 0 λ n 0 0 λ n La puissance p-ième d une matrice diagonale se calcule facilement : il suffit de mettre les coefficients diagonaux à la puissance p : p λ 0 0 λ p 0 0. 0 λ.. 2. 0 λ p... 2......... 0...... 0 0 0 λ n 0 0 λ p n Démonstration. Il suffit de le vérifier. On retiendra en particulier qu une matrice diagonale est très facile à inverser, ainsi qu à mettre à la puissance n-ième. Application Soient D une matrice diagonale et P une matrice inversible. Soit une matrice A telle que A PDP. Exprimer A n en fonction de P, P et D n. (Ce raisonnement par récurrence classique est à savoir faire. Il faut toujours le refaire dans un écrit de concours). Proposition 4. Soit A une matrice carré de taille n et D une matrice diagonale de taille n. On note (λ i ) i [,n] les éléments diagonaux de D, et L i (resp. C i ) les lignes (resp. les colonnes) de A. La matrice DA est alors obtenue à partir de A en appliquant à A les opérations : i [[, n]], L i λ i L i, i.e. chaque ligne de A est multipliée par λ i. La matrice AD est obtenue à partir de A en appliquant à A les opérations : i [[, n]], C i λ i C i, i.e. chaque colonne de A est multipliée par λ i. Démonstration. C est un simple calcul de produits de matrices définies avec des. On peut voir aussi avec un calcul direct : (i, j) [[, n]] (DA) ij D }{{} ik A kj λ i A ij. La deuxième relation se montre de la même manière. V.3 Matrice triangulaire k 0 si i j Définition 5. Une matrice triangulaire (supérieure) est une matrice carré A de taille n qui vérifie i > j a ij 0. Ainsi, A s écrit : a a 2 a n a 22 a 2n A.... a nn

V. MATRICES PARTICULIÈRES 7 On définit aussi les matrices triangulaires inférieures. Note: On peut aussi définir les matrices triangulaires strictement inférieures/supérieures en imposant des coefficients diagonaux nuls. La transposé d une matrice triangulaire supérieure est évidemment une matrice triangulaire inférieure. Proposition 5. On a les propriétés : La somme de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est triangulaire supérieure (resp. inférieure). Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est triangulaire supérieure (resp. inférieure). De plus, les coefficients diagonaux sont obtenus en faisant le produit des coefficients diagonaux. Une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi supérieure (resp. inférieure). De plus, les coefficients diagonaux sont alors les inverses des coefficients diagonaux. Démonstration. Le mieux pour démontrer ces propositions est de le voir en faisant le produit de deux matrices génériques triangulaires supérieures et de voir que le profil est conservé par somme et produit. Cela s écrit avec deux matrices triangulaires supérieures : a a 2 a n b b 2 b n a + b a 2 + b 2 a n + b n a 22 a 2n... + b 22 b 2n.... a 22 + b 22 a 2n + b 2n..... a nn b nn a nn + b nn Et : a a 2 a n b b 2 b n a b a 22 a 2n b 22 b 2n....... a 22 b 22...... a nn b nn a nn b nn Les termes marqués d une étoile étant des termes qui sont (sauf exception) non nuls et que l on ne calcule pas. On peut aussi le démontrer en considérant (AB) ij A ik B kj. k On a alors pour deux matrices A et B triangulaires supérieures : j si i > j, on peut écrire : (AB) ij A }{{} ik B kj + A ik B kj 0, car dans la première somme }{{} k 0 kj+ 0 i > j k, donc A ik 0 et dans la deuxième : k > j donc B kj 0. Donc les termes en dessous de la diagonales sont nuls. si i j, on a : (AB) ii i A }{{} ik k 0 B kj + A ii B ii + ki+ A ik B }{{} ki 0, 0

8 CHAPITRE 6. MATRICES Le fait que l inverse d une triangulaire supérieure est triangulaire supérieure n est pas évident, et se démontre en utilisant la méthode de remontée. Note: Si une matrice est triangulaire inférieure stricte, alors elle n est pas inversible. Méthode de remontée Le grand intérêt des matrices triangulaires est que si A est une matrice triangulaire et B un vecteur colonne, le système AX B se résout par méthode de remontée, c est-à-dire qu on part de la dernière ligne et que l on calcule les inconnues au fur et à mesure, en partant de la dernière. Soit A une matrice triangulaire supérieure de taille n et inversible, soit B M n un vecteur colonne. Le système AX B d inconnu le vecteur X M n s écrit : a a nn a 22 a 2n AX B....... a n n x x 2. a n n x n a nn x n b b 2. b n b n Résoudre cette équation matricielle, revient donc à résoudre le système d inconnues (x,..., x n ) : a x +...... +a nn x n b a 22 x 2 +... +a 2n x n b 2........ a n n x n + a n n x n b n a nn x n b n Si la matrice A est inversible, alors comme dit dans la proposition 5, ses coefficients diagonaux sont alors non nuls. Le système a alors une unique solution qui se calcule rapidement : la dernière ligne donne x n : x n b n a nn, l avant-dernière ligne s écrit : on peut donc en déduire x n sous la forme : a n n x n + a n n x n b n, x n a n n (b n a n n x n ). Comme x n est déjà calculé, on a bien x n. On calcule de même les x i pour i n.... La ligne i s écrit (avec le signe somme) : a ik x k b i, ce qui donne x i en utilisant les valeurs déjà calculées de x k pour k > j : x i b i a ik x k. a ii ki ki+

VI. MATRICES ET SYSTÈMES 9 Application 2 Montrer qu une matrice s écrit toujours comme somme d une diagonale, d une triangulaire supérieure stricte et d une triangulaire inférieure stricte. Application 3 Montrer que l inverse d une matrice triangulaire supérieure de taille 2 2 est triangulaire supérieure. Algorithme de remontée en Scilab Voici l algorithme permettant de résoudre le système AX b pour une matrice A triangulaire supérieure et inversible : function xresoudremontee(a,b) // entrée: A matrice triangulaire supérieure inversible de taille (n,n) // b vecteur de taille n // sortie: x vecteur de taille n solution de AXb nsize(a,"r"); x(n)b(n)/a(n,n); // dernier élément for in-:-: // on calcule la somme somme0; for ki+:n sommesomme+a(i,k)*x(k); //nb: x(k) est déjà calculé end x(i)(b(i)-somme)/a(i,i); end endfunction Note: L initialisation du dernier élément à part n est pas utile : si i n, la boucle for ki+:n ne contient aucun terme, l exécution ne rentre alors pas dans cette boucle. VI Matrices et systèmes Comme on l a vu : résoudre un système linéaire revient à déterminer les solutions d une équation AX B, avec A la matrices des coefficients, B le vecteur du second membre, et X le vecteur des inconnues. VI. Remarques sur l application X AX Le but de cette partie est de montrer par le calcul matriciel, certains résultats que l on reverra avec plus de détails dans les chapitres sur les espaces vectoriels (??) et les applications linéaires (??). Si X est un vecteur colonne de taille n et A M n (K), on peut effectuer le produit AX, qui est alors un vecteur colonne de taille n. Cette opération permets d associer à la matrice A l application

20 CHAPITRE 6. MATRICES φ A : K n K n définie par : X x. x n Y AX On peut ainsi voir A comme une fonction sur K n. Définition 6. On appelle l image du vecteur colonne X M n par la matrice A M n le vecteur colonne AX. Proposition 6. On a pour tout X et Y M n et tout λ K : A(X + Y ) AX + AY et A(λx) λax. y. y n Ainsi : φ A (X + Y ) φ A (X) + φ A (Y ) et φ A (λx) λφ A (X). Note: La fonction φ A est donc une application linéaire. On peut aussi faire le produit t XA, qui est un vecteur ligne de taille n. Application Démontrer que φ est injective, si et seulement si φ(x) 0 X 0. Définition 7. On appelle e i le vecteur colonne de taille n tel que (e i ) j (l élément j de ce i-ième vecteur) est nul si i j, vaut sinon. Ainsi : 0. 0 e i ligne i 0. 0 Ce vecteur s interprètera plus tard comme le i-ème vecteurs de la base canonique de R n, pour l instant on voit juste que x 0 0 x 2 X. x 0. + x 2. + + x. n 0 0 0 x n x i e i. i Remarque: Supposons que l on ait résolu les n équations AX e i (en supposant que tous ces systèmes aient une solution). On dispose donc de n vecteurs X i vérifiant AX i e i. Soit maintenant B coefficients). b. b n un second membre d un système AX B (donc avec les mêmes

VI. MATRICES ET SYSTÈMES 2 Alors on a : A( b i X i ) b i AX i b i e i B. k k Ainsi, si on a résolu les n systèmes AX i e i, alors : d une part tous les systèmes AX B, i.e. avec les mêmes coefficients et un second membre quelconque, ont une solution, de plus une solution est : b i X i, i.e. une combinaison linéaire des vecteur (X i ) i [,n]] avec les poids (b i ) i [,n]]. k Application 2 Démontrer que l application φ A est surjective si et seulement si i [[, n]], f i M n : φ A (f i ) e i. Proposition 7. Soit une matrice A M n (K), alors Ae i est la colonne i de A. Ainsi, l image par A du vecteur e i (i-ième vecteur de la base canonique) est la colonne i de A. Démonstration. Encore une fois le plus simple est de le démontrer avec une matrice générique, en faisant le produit à la main : k a a i a n 0 a i... 0..... 0. a n a ni a nn 0 a ni Sinon on peut voir : j [[, n]], (Ae i ) j A jk (e i ) k A ji. k Ce qui signifie que la j-ième coordonnée du vecteur (colonne) (Ae i ) est l élément (j, i) de A, ce qui signifie bien que (Ae i ) est la colonne i de A. Remarque: Au niveau application, si on note pour i [[, n]] C i le vecteur C i Ae i (C i est l image par A du vecteur e i, mais c est aussi la i-ième colonne de A). Alors x K n, Ax A( x i e i ) x i Ae i x i C i. i i i Ainsi, l image d un vecteur est la combinaison linéaire des images des vecteurs de la base i.e. des colonnes de A. On peut aussi voir que si deux matrices A et B vérifient : X M n, AX BX, alors A B. on verra que dans ce cas la solution est unique

22 CHAPITRE 6. MATRICES VI.2 Matrices des opérations élémentaires Le lien entre opérations élémentaires et matrices n est qu un outil destiné aux démonstrations du chapitre??. Il est donc inutile de connaître par cœur toutes les matrices d opérations élémentaires, seuls la conclusion finale est importante. De même les notations utilisés ici ne sont pas standards et ne sont pas à retenir. Puisque résoudre un système linéaire revient à résoudre un système du type AX B, avec A la matrice des coefficients et B le vecteur colonne du second membre. On cherche à faire le lien entre les opérations sur le système (échange de ligne, combinaison linéaire de lignes, etc.) et la multiplication matricielle. Pour simplifier, on se restreint à des matrices carrées, i.e. des systèmes avec autant d équations que d inconnues. Les résultats généraux seront donnés au chapitre??. Par exemple, soit P la matrice diagonale des éléments (λ i ) i [,n]], on a vu que la matrice PA est obtenue à partir de A en multipliant chacune des lignes par λ i. Or si la matrice si P est inversible, i.e. si i [[, n]], λ i 0 on a : AX B PAX PB (si la matrice P n est pas inversible, on n a qu une implication). On vient donc de démontrer le résultat déjà connu depuis la terminale : en multipliant chacune des lignes d un systèmes linéaires par une valeur non nulle, et en faisant la même opération sur le second membre, on obtient un système équivalent. Le but de cette partie est d associer à chaque opérations élémentaires sur les systèmes une matrice. Échanger des lignes Définition 8. Soit k < l n, on appelle matrice de permutation des lignes k, l, la matrice P kl de taille n égale à l identité sauf que sur la colonne k le est sur la ligne l et sur la colonne l, le est sur la ligne k. Par exemple, si n 7, k 2 et l 5, on a : Cette définition provient de : P kl 0 0 c k Proposition 8. Soit A une matrice de taille n, alors PA est la matrice de taille n égale à A sauf qu on a échangé la ligne k et l. c l l k l l

VI. MATRICES ET SYSTÈMES 23 Démonstration. sur un exemple 0 0 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 2 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 5 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 57 a 3 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 a 3 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 a 4 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 4 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 5 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 57 a 2 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 6 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 6 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 7 a 72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77 a 7 a 72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77 Note: On pourra retenir en particulier que P est obtenue à partir de l identité, en appliquant à l identité les changements de lignes : pour retrouver la matrice P kl on applique donc l opération associée à l identité, car : P kl P kl I n. Proposition 9. Les matrices P kl sont inversibles et leurs inverses sont elles mêmes. En conséquence, on ne conserve l équivalence des systèmes en inversant deux lignes. Démonstration. En effet, l opération inverse d échanger les lignes k et l est de les échanger à nouveau, donc P kl est inversible et P kl P kl. Note: Lorsqu on manipule les matrices P, il est important de garder en tête leur interprétation en termes d opérations élémentaires. Si P k l et P kl sont deux matrices avec 4 indices distincts, alors ces matrices commutent. Cela signifie que si on change les lignes k et l et k et l, si les 4 indices sont distincts, alors peu importe l ordre de ces opérations. Multiplier une ligne par un scalaire β Définition 9. On appelle matrice M i (β), où β est un nombre réel, une matrice de taille n égale à l identité, sauf que l élément i, i est remplacé par β. Ces matrices sont appelées matrices de multiplication de la ligne i par β. Par exemple si n 8, M 4 (β) est : M 4 (β) β l i Cette définition provient de Proposition 20. Soit A une matrice de taille n, alors M i (β)a est la matrice obtenue en multipliant la ligne i de A par β.

24 CHAPITRE 6. MATRICES Note: Ici encore, M i (β) est la matrice identité à qui on a appliqué l opération correspondante. Démonstration. Évident par un calcul direct, c est aussi un cas particulier de multiplication de matrice diagonale. Proposition 2. Si β est non nul, alors M i (β) est inversible d inverse M i ( β ). En conséquence, on conserve l équivalence des systèmes en multipliant une ligne par une valeur β 0. Démonstration. Ici encore, c est un cas particulier de la proposition sur le matrices diagonales. On peut aussi le voir ainsi : L inverse de l opération «multiplier la ligne i par β» est «diviser la ligne i par β». Ajouter à une ligne une autre ligne Définition 20. Pour i [[, n]] et k [[, n]], avec k i on appelle matrice L i,k (α) une matrice égale à l identité, sauf sur la colonne i, où on a mis un coefficient α ligne k. Exemple : l i L 36 (α) α l k Ces matrices sont appelées matrices de combinaison linéaire. Cette définition provient de c i Proposition 22. Soit A une matrice de taille n, alors L i A est la matrice obtenue en faisant l opération : l k l k + αl i. Démonstration. Encore une fois, le plus simple est de le voir directement. Sur un exemple : α a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 2 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 3 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 a 4 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 5 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 57 a 6 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 a 67 a 7 a 72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 2 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 3 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 a 4 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 5 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 57 a 6 + αa 3 a 62 + αa 32 a 63 + αa 33 a 64 + αa 34 a 64 a 65 + αa 35 a 66 + αa 36 a 67 + αa 37 a 7 a 72 a 73 a 74 a 75 a 76 a 77

VI. MATRICES ET SYSTÈMES 25 Note: Encore une fois, L ik est la matrice identité à qui on a appliqué l opération correspondante. Proposition 23. La matrice L ik (α) est inversible et {L ik (α)} est L ik ( α). Démonstration. Pour inverser l opération l k l k + αl i, il faut faire : l k l k αl i. Conclusion On retiendra plusieurs points essentiels : Faire des opérations élémentaires sur les lignes d une matrice A corresponds à multiplier la matrice A à gauche par des matrices particulières. Les opérations élémentaires actuellement connues sont : Échanger deux lignes : l k l l. La matrice P correspondante est inversible. Multiplier une ligne par un scalaire β : l i βl i. La matrice correspondante est alors inversible que dans le cas où β 0. Ajouter à une ligne k une autre ligne i multipliée par α : l k l k + αl i. La matrice L ik (α) correspondante est alors inversible (quelque soit la valeur de α). Remarque: On peut montrer que faire des opérations sur les colonnes de la matrice A revient à multiplier la matrice A à droite par les mêmes matrices. En combinant ces opérations, on obtient les opérations élémentaires du type : k i, l k l k + α k l i, qui sont inversibles quelque soit le choix des valeurs (α k ) k i. Ces opérations élémentaires seront les plus utilisées pour résoudre les systèmes : la ligne i reste inchangée et on ajoute à toutes les autres lignes α k l i. On pourra aussi faire des opérations du type : l k βl k + αl i, qui sera inversibles si β 0. Lorsque l on fait plusieurs opérations à la suite sur les lignes d une matrice, cela revient à multiplier plusieurs fois la matrice A à gauche par différentes matrices (chaque matrice correspondant à une opération). Comme la multiplication n est pas commutative, l ordre dans lequel on fait ces opérations à de l importance.

26 CHAPITRE 6. MATRICES Feuille d exercices Matrices BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Exercice Soient A Résolution d équation matricielle simple ( 2 3 4 ) et B ( 5 0 3 2. Effectuer le produit AB, que se passe-t-il pour BA? 2. Trouver toutes les matrices X telles que AX B 3. Trouver toutes les matrices X telles que XA B. Correction ). a b c 2. Il faut chercher les solutions avec des matrices de la forme :. La résolution du système d e f 2 d équation donne : X. (c est la seule solution). 0 2 3. Si XA a un sens, c est que X est de type (p, 2) on a alors XA de type (p, 2), ne peut Exercice 2 Puissance ( d une ) matrice et suites couplées Soit la matrice A. Déterminer A n pour tout n N, 2. On considère les deux suites (x n ) et (y n ) définies par la donnée de x 0 et y 0 et les relations de récurrence { xn+ x n y n On pose X n ( xn y n 3. Établir une relation entre X n+, A et X n.x ) y n+ x n + y n 4. En déduire une expression de x n et y n en fonction de x 0, y 0, et n. Correction :. On a A n 2 n A, ce que l on peut démontrer par récurrence. 2. X n+ AX n, donc par récurrence, on a X n A n X 0. x n 2 n (x 0 y 0 ) 3. on obtient : y n 2 n (y 0 x 0 ) Exercice 3 Matrice nilpotente et commutant 0 0 Soit la matrice : N 0 0 0 0 0

VI. MATRICES ET SYSTÈMES 27. Calculer N 2 et N 3, 2. Déterminer l ensemble des matrices qui commutent avec N, i.e. résoudre l équation XN N X, d inconnue X. Correction :. On obtient N 2 0 0 0 0 0 0 0 0, et N 3 0 2. On fait l équation AN NA, avec A de taille (3, 3), ce qui donne : 0 a b d e f AN NA 0 d e g h i 0 g h 0 0 0 d g h 0 d e i b d a b c A 0 a b 0 0 a A ai + bn + cn 2, (a, b, c) R 3 Exercice 4 Formule de Newton et matrice nilpotente 2 0 Soit la matrice A 0 2 0 0 2. Déterminer λ et µ tels que A λi 3 + µn avec N la matrice de l exercice précédent. 2. Calculer A 2 et A 3 en fonction de I 3, N et N 2. 3. En déduire A n pour tout n N. Correction :. A 2I + N. 2. A 2 4I + 4N + N 2, et A 3 8I + 2N + 6N 2. 3. A n 2 n I + n2 n n(n ) I + 2 n 2 N 2. 2 Exercice 5 Calcul de l inverse par polynôme annulateur 4 0 Soit la matrice A 3. Calculer A 2, 2. Déterminer λ et µ tels que A 2 + λa + µi 2 0 2. 3. En déduire que la matrice A est inversible et calculer A. Correction :

28 CHAPITRE 6. MATRICES 6 0. On obtient : A 2. 2. on a A 2 A + 2I, 3. On obtient alors : A 2 ( I) ( 2 ( I) ) A I. Exercice 6 Étant donné un nombre complexe a, on définit la matrice M I I 3, et J. Déterminer M en fonction de a, I et J. 2. Déterminer J k pour k N. 3. En déduire une expression de la matrice M n pour n N. 4. (a) Exprimer M 2 en fonction de M et I, a a a On note (b) En déduire les valeurs de a pour lesquels M est inversible et déterminer M (lorsqu elle existe). (c) Dans le cas où M est inversible, montrer que la formule trouvée au 3 est encore vraie pour n, puis pour tout entier n Z. Correction :. M (a )I + J. 2. J k 3 k J (récurrence). 3. M (a ) n I + 3 [(a + 2)n (a ) n ] J (en utilisant Newton). 4. (a) En reprenant l équation précédente pour n 2, on obtient : M 2 (2a + )M (a )(a + 2)M (b) Si a et a 2, On a : [ [ M (2a + )I M] ] (a )(a + 2) [ [ (2a + )I M] ] M I. (a )(a + 2) Si a on obtient M(3I M) 0, donc si M est inversible (par l absurde) alors M 3I (contradiction). Donc M n est pas inversible. Pour a 2, on obtient de même M 3I, donc M non inversible. (c) Pour a et a 2, on a : M [ ] (2a + )I M (a )(a + 2) [ ] (2a + )I (a )I J (a )(a + 2) (a )(a + 2) (a + 2)I (a )(a + 2) J (a ) I + [ 3 a + 2 ] J a

VI. MATRICES ET SYSTÈMES 29 Donc la formule est vrai pour n. Ai n Z, on a soit n 0 et la formule est vrai, soit n m avec m N, et il faut montrer que : M m (M m ) (a ) m I + 3 [(a + 2) m (a ) m ] J. Pour cela, il suffit de calculer : M m (a ) m I + [ (a + 2) m (a ) m] J 3 [ ][ (a ) m I + 3 [(a + 2)m (a ) m ] J (a ) m I + 3 [ (a + 2) m (a ) m] J ]. Comme les matrices J et I commutent, et J 2 3J on obtient : I + 3 [ a m + a + 2 a + 2 a I + 3 m ] J + [ (a + 2) m (a ) m] [(a + 2) m (a ) m ] J 2 9 [ a m + a + 2 m ] 2 J + [ a a + 2 a 3 a + 2 m a + 2 m ] + J I. a Exercice 7 Soit A une matrice carrée telle qu il existe D diagonale et P inversible, et telle que A PDP. On note λ,..., λ n les valeurs sur la diagonale de D. Calculer A n pour n N en fonction de (λ i ) i...n. Exercice 8 Soit (u n ) n N une suite définie par les valeurs de u 0 et de u et la relation de récurrence vraie pour tout entier naturel n. (R) : u n+2 u n+ + 2u n,. Donner l expression de u n en fonction de n et de u 0 et u. 2. Soit la matrice Montrer que A n s écrit : avec les suites a n et b n vérifiant (R). 3. Déterminer A n pour tout n. Correction A A n a n b n b n b n a n b n b n b n a n. suite récurrente linéaire d ordre 2 : r 2 r 2 (r 2)(r + ) u n α2 n + β( ) n On trouve : 2. Par récurrence. u n 3 [2n (u + u 0 ) ( ) n (u 2u 0 )].

30 CHAPITRE 6. MATRICES 3. En mettant ensemble les questions, on a : D où A n. a n 3 (2n+ + ( ) n ) b n 3 ( 2n + ( ) n ). Exercice 9 On appelle trace d une matrice A M n (K) le réel T r(a) n k A kk, autrement dit la trace est la somme des éléments diagonaux.. Montrer que pour toutes matrices A et B, et tout scalaire λ, on a : T r(a+b) T r(a)+t r(b), et T r(λa) λt r(a). 2. Montrer que pour toutes matrices A et B, on a T r(ab) T r(ba) 3. En déduire qu il n existe pas de matrice A et B telles que AB BA I n. Exercice 0 Soient les matrices : A 2 3 2 0 4 2 E, B ( 2 2. Calculer les produits suivants : 2. Résoudre les équations suivantes : (a) A 2X B 2 2 3 0 0 0 5 ), F (b) 2A + 3(X B) C 5(X + C) 3B, C ( 3 2 ) 0 2 2 2 3 0, G ( 2 0 7 4 AB, BA, AD, AE, EA, ED, EBD, D ). 3 2 5,