MATRICES ET CALCUL MATRICIEL

MATRICES ET CALCUL MATRICIEL Objectifs Savoir ce qu'est une matrice. Savoir additionner deux matrices. Savoir multiplier deux matrices. Savoir calculer l'inverse d'une matrice 1 Les matrices?...un tableau tout simplement! Il existe bien une dénition très belle et très structurée des matrices. En fait, ce qu'il faut en retenir, c'est l'aspect pratique d'une représentation mathématique. En créant cette notation, les mathématiciens ont voulu simplier des notations et des calculs qui à l'époque 1 étaient franchement peu pratiques. On peut donc dénir les matrices comme une forme de tableau, façon Excel. Dénition 1 (Notation. On appelle matrice à n lignes et p colonnes, une représentation sous forme d'un tableau d'un objet mathématique ou physique. Les éléments qui composent une matrice peuvent être des nombres réels, complexes, entiers, mais aussi des vecteurs,... On note alors : a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p M =...... a ij. a n1 a np = (a ij 1 i n sous forme étendue ou compressée! Les a ij sont donc des réels ou des complexes, ou des vecteurs,... Si a ij R, i {1,..., n}, j {1,..., p} alors on note M M n,p (R Si a ij C, i {1,..., n}, j {1,..., p} alors on note M M n,p (C Ainsi, M n,p (K est l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coecient dans l'ensemble K Exemple 1. Voici quelques exemples concrets : ( 1 2 3 A = M 1 0 1 2,3 (R i i B = i 2 M 3,2 (C 1 i 2 1. XVIII e et XIX e siècles 1 JA-JMB-ML

I = ( 1 0 0 1 M 2,2 (R D = ( 1 2 3 4 M 1,4 (R 2 Opérations sur les matrices 2.1 L'addition des matrices L'addition entre deux matrices est une opération très naturelle. Elle est notée + tout simplement et on a la dénition suivante : Dénition 2. Soit A et B deux matrices appartenant au même ensemble M n,p (K, alors si l'on a : A = (a ij 1 i n et bien B = (b ij 1 i n A + B = (a ij + b ij 1 i n M n,p (K Remarque 1. Vous voyez que la dénition est précise. L'addition de deux matrices n'est possible qu'à condition que les deux matrices appartiennent toutes deux au même ensemble. Sinon, la somme n'existe pas! 1 2 0 1 Exemple 2. Soit A = 3 1 et B = 1 1. Ces deux matrices appartiennent 1 0 1 2 toutes les deux au même ensemble M 3,2 (R. L'addition est donc possible et on a : 1 2 0 1 1 3 A + B = 3 1 + 1 1 = 2 0 1 0 1 2 2 2 Propriété 1. Soit A, B et C trois matrices appartenant à l'ensemble M n,p (K (i (ii La somme des matrices est commutative. La somme des matrices est associative. A + B = B + A (A + B + C = A + (B + C (iii Il existe un élément neutre pour l'addition des matrices. Cette matrice est appelé matrice nulle notée O et on a tout simplement : 0 0 O = (0 1 i n =. 0. 0 0 2 JA-JMB-ML

(iv Toute matrice A M n,p (K possède une matrice symétrique notée A M n,p (K telle que : A + ( A = O D'ailleurs pas abus de notation on note aussi A A = O. On a : A = ( a ij 1 i n Ces 4 propriétés font de (M n,p (K, + un groupe commutatif. 2.2 Multiplication d'une matrice et d'un scalaire On peut, comme avec des vecteurs (vous allez voir que ce n'est pas un hasard!, multiplier une matrice par un scalaire α c'est à dire un élément de l'ensemble K. Dénition 3. Soit une matrice A M n,p (K telle que A = (a ij 1 i n alors on a : αa 11 αa 1p Exemple 3. Soit A = α A = (αa ij 1 i n ( 1 2 3 4 =. αa ij. αa n1 αa np M 2,2 (R et soit α = 7 alors 7 A = ( 7 14 21 28 Remarque 2. Plusieurs remarques sur cette opération M n,p (K et un scalaire α K ; On peut ne pas écrire le de multiplication ; ainsi on écrit αa plutôt que α A Le scalaire s'écrit toujours à gauche de la matrice. Ainsi on écrit 7A mais surtout pas A7! De même on écrit 1 7 A mais surtout pas A 7! La multiplication d'une matrice par un scalaire est une loi externe. Propriété 2. Quelques propriétés sur la loi (i (ii (iii α K, (A, B (M n,p (K 2, α (A + B = αa + αb (α, β K 2, A M n,p (K, (α + β A = αa + βa (α, β K 2, A M n,p (K, α (βa = (αβ A (iv 1 est l'élément neutre pour la multiplication d'une matrice par un scalaire, que ce soit si K = R ou si K = C Remarque 3. Les 4 propriétés vues à la propriété 1 et les 4 que l'on vient de voir, font de (M n,p (K, +, un espace vectoriel. Les vecteurs sont donc dans cet espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes. On voit une nouvelle fois que la notation avec une èche serait désastreuse! 3 JA-JMB-ML

2.3 Multiplication des matrices La multiplication des matrices est une loi très particulière. Regardez bien cette dénition : Dénition 4. Soit une matrice A = (a ij 1 i n M n,p (K et soit une autre matrice B = (b ij 1 i p M p,q (K. 1 j q Alors le produit de A par B est possible, on a A B M n,q (K et : avec A B = (c ij 1 i n 1 j q c ij = p a ik b kj k=1 Remarque 4. TRÈS IMPORTANT! Le nombre de colonnes de la première matrice dans la multiplication doit être égal au nombre de ligne de la deuxième matrice. Sinon, le calcul de A B est impossible. La matrice résultat du produit de deux matrices, possède le nombre de lignes de la première matrice et le nombre de colonnes de la deuxième. On peut écrire AB au lieu de A B Exemple 4. On veut calculer le produit de AB avec ( 1 0 1 1 2 3 A =, B = 2 1 1 2 0 3 1 6 1 Le produit est possible car A M 2,3 (R et B M 3,3 (R. De plus la matrice AB M 2,3 (R. ( 1 1 + 2 2 + 3 1 1 0 + 2 1 + 3 6 1 ( 1 + 2 1 + 3 1 AB = ( ( 2 1 + 0 2 + 3 1 ( 2 0 + 0 1 + 3 6 ( 2 ( 1 + 0 1 + 3 1 8 20 4 AB = 1 18 5 Protons en pour calculer BA. Le produit n'est pas possible car B M 3,3 (R et A M 2,3 (R. C'est la première surprise de ce drôle de produit! AB peut exister et pas BA! Exemple 5. Soit A = possible et on a : 5 2 3 4 0 1 M 3,2 (R et B = AB = 12 15 4 10 9 8 1 0 2 ( 2 3 0 1 0 2 M 3,3 (R M 2,3 (R alors AB est 4 JA-JMB-ML

De même BA est possible et on a : BA = ( 19 16 5 4 M 2,2 (R Deuxième surprise, le produit matriciel n'est pas commutatif c'est à dire qu'en général quand les deux produits sont possibles AB BA ( ( 3 9 2 6 Exemple 6. Soit A = M 1 3 2,2 (R et B = M 1 3 2,2 (R, alors les deux produits AB et BA sont possibles et on a : ( 3 9 AB = ( 1 3 0 0 BA = 0 0 Encore une autre surprise de ce produit matriciel ; on dit que le produit de 2 matrices n'est pas intègre, c'est à dire que l'on peut avoir AB = O ou BA = O sans pour cela avoir l'une des deux matrice qui est nulle. Dans R ou C ceci est impossible, c'est ce qui nous permet d'ailleurs de résoudre des équations. Propriété 3. Quelques propriétés (i (ii (iii A M n,p (K, B M p,q (K, C M q,r (K, A (BC = (AB C On dit que le produit matriciel est associatif. A M n,p (K, (B 1, B 2 (M p,q (K 2, A (B 1 + B 2 = AB 1 + AB 2 On dit que le produit matriciel est distributif par rapport à la somme matricielle. A M n,p (K, B M p,q (K, α K, (αa B = α (AB et quelques "non propriétés"! En général : A M n,p (K, B M p,n (K, AB BA A M n,p (K, B M p,q (K, AB = O n'implique pas A = O ou B = O 3 Transposition des matrices Dénition 5. Soit A = (a ij 1 i n M n,p (K une matrice quelconque. On appelle transposée de la matrice A, la matrice notée t A appartenant à M p,n (K et dénie par : t A = (a ji 1 i n 5 JA-JMB-ML

c'est à dire en version étendue : a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A =......... a n1 a n2 a np t A = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2............ a 1p a 2p a np Exemple 7. Propriété 4. (i (ii (iii (iv A = ( 1 2 3 4 5 6 M 2,3 (R t A = 1 4 2 5 3 6 M 3,2 (R A M n,p (K, B M n,p (K, t (A + B = t A + t B A M n,p (K, λ K, t (λa = λ t A A M n,p (K, t (t A = A A M n,p (K, B M p,q (K, t (AB = t B t A 4 Base canonique et dimension de M n,p (K Théorème 1. M n,p (K est un K espace vectoriel de dimension np dont la base canonique est formée des matrices 0 0 E l,m = 1 = 0 si i l = 1 si i = l 0 0 } {{ } =0 si j m =1 si j=m Exemple 8. On s'intéresse à M 2,3 (R. dim M 2,3 (R = 6 et la base canonique de M 2,3 (R est formée des 6 matrices suivantes : ( ( 1 0 0 0 0 0 E 11 = E ( 0 0 0 21 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 E 12 = E ( 0 0 0 22 = ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 E 13 = E 0 0 0 23 = 0 0 1 6 JA-JMB-ML

c'est à dire que n'importe quelle matrice de M 2,3 (R peut s'écrire comme combinaison linéaire des matrices dénies ci-dessus, à savoir : ( a b c A = = ae d e f 11 + be 12 + ce 13 + de 21 + ee 22 + fe 23 5 Les matrices carrées 5.1 Particularités des matrices carrées Dénition 6. On appelle matrice carrée, une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes. On note M n (K, l'ensemble des matrices carrées à coecients dans K, plutôt que M n,n (K. Toutes les opérations et propriétés dénies sur des matrices quelconques appartenant à M n,p (K restent valables sur les matrices carrées. Il existe cependant une matrice particulière appelée matrice identité, élément neutre pour la multiplication des matrices. Dénition 7. La matrice identité est notée I n et on a : 1 0 0 0 1 0 I n =...... 0 0 1 C'est d'ailleurs une matrice pour laquelle on a commutativité du produit matriciel c'est à dire : A M n (K, AI n = I n A = A Dénition 8. On peut aussi dénir la puissance n e d'une matrice carrée, par récurrence, c'est à dire : A 0 = I n A n = AA n 1 = A n 1 A Théorème 2. Binôme de Newton pour les matrices Soient X et Y appartenant à M n (K telles que X et Y commutent, c'est à dire XY = Y X (ce qui reste assez rare alors on a : n N, (X + Y n = n k=0 ( n k X n k Y k Attention, cette formule est évidemment fausse si les matrices ne commutent pas. Il existe d'autres matrices carrées particulières dont on se sert assez souvent : Dénition 9 (Les matrices diagonales. Une matrice diagonale est une matrice ayant tous les éléments hors de la diagonale principale 2 nuls et ceux de la diagonale sont quelconques. (Ils peuvent donc être nuls! La matrice O étant bien entendu une matrice diagonale 2. c'est à dire la diagonale partant du haut à gauche pour nir en bas à droite 7 JA-JMB-ML

Exemple 9. D = est une matrice diagonale appartenant à M 3 (R λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 Propriété 5. D = λ 1 0 0 0 λ 2 0..... Dn = λ n 1 0 0 0 λ n 2 0..... 0 0 λ n 0 0 λ n n Retenez bien cette propriété, elle va beaucoup nous servir! Dénition 10 (Matrices triangulaires. Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée ayant ces coecients au dessus de la diagonale principale, diagonale comprise,non nuls, les autres étant nuls. Une matrice triangulaire inférieure c'est bien sûr le contraire, c'est à dire que c'est une matrice carrée ayant ces coecients au dessous de la diagonale principale, diagonale comprise,non nuls, les autres étant nuls. Exemple 10. Voici une matrice supérieure : S = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 En voici une inférieure : T = 1 0 0 1 2 0 1 2 3 Dénition 11 (Trace d'une matrice carrée. On appelle trace d'une matrice carrée A M n (K, la somme des éléments de la diagonale principale et on la note tr(a, c'est à dire que i=n tr(a = Exemple 11. Soit A = 1 7 3 3 5 2 5 3 12 i=1 a ii alors tr(a = 1 + 5 + ( 12 = 6 Propriété 6. Soit A M n (K, une matrice carrée, et t A sa transposée, alors tr(a = tr (t A 8 JA-JMB-ML

5.2 Inverse d'une matrice carrée Dénition 12. Soit A M n (K une matrice carrée. On dit que la matrice A est inversible s'il existe une matrice, notée, A 1 M n (K telle que AA 1 = A 1 A = I n. On appelle A 1, inverse de la matrice A. Remarque 5. L'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coecient dans K inversibles est noté : GL n (K Attention, toutes les matrices carrées ne possèdent pas forcément une matrice inverse. On verra dans le chapitre sur les déterminants comment savoir si oui ou non, une matrice quelconque carrée possède ou pas une matrice inverse. On ne parle de matrice inverse que pour les matrices carrées, sinon, cela n'a aucun sens! Il existe plusieurs techniques pour calculer l'inverse d'une matrice carrée. Nous en voyons une seule dans ce chapitre, puis une en travaux dirigés, et enn, nous en verrons une dernière dans ce fameux chapitre sur les déterminants. Il en existe bien sûr d'autres. Exemple 12 (Technique De Gauss-Jordan. Gauss a inventé une technique algorithmique très puissante pour faire des transformations autorisées sur les matrices. Jordan a ané cette méthode an de déterminer l'inverse d'une matrice carrée. Cette technique consiste par diérentes manipulations sur les lignes formant la matrice, à introduire des 1 sur la diagonale de la matrice A et des 0 ailleurs, et de faire subir en même temps le même processus de transformation sur la matrice identité. Ainsi on passe de la matrice A à la matrice identité I n et de la matrice I n à la matrice que l'on cherche A 1. Pour cela, il a même inventé une notation particulière ; la voici : L i + αl j L i signie qu'on multiplie la ligne L j par le coecient α, qu'on l'additionne à la ligne L i et qu'on réinjecte le tout dans L i. On a aussi αl i L i qui multiplie la ligne L i par α et qui le réinjecte dans L i On peut aussi permuter deux lignes ainsi : L i l j ; cela peut paraître inutile mais vous allez voir qu'il est nécessaire d'opérer ainsi pour toujours avoir un pivot non nul. Le mieux est de voir ceci sur une matrice particulière. Cherchons donc si elle existe l'inverse de 2 1 1 A = 1 3 1 2 1 2 Pour cela on adopte la notation suivante, dans laquelle on associe dans une même simili-matrice, la matrice A à gauche et la matrice identité I 3 à droite : A { }} { 2 1 1 1 3 1 2 1 2 I { }} 3 { 1 0 0 0 1 0 0 0 1 On s'occupe d'abord d'introduire des 0 dans la première colonne, puis dans la deuxième et enn dans la troisième ; pour cela on pivote toujours par rapport éléments de la diagonale qui sont donc les pivots. 9 JA-JMB-ML

étape 1 : pivot : le 2 de la ligne 1 L 3 L 1 L 3 2L 2 L 1 L 2 étape 2 : pivot : le 5 de la ligne 2 5L 3 + 2L 2 L 3 5L 1 L 2 L 1 10 0 8 6 2 0 0 5 3 1 2 0 0 0 21 7 4 5 étape 3 : pivot : le 21 de la ligne 3 21L 1 + 8L 3 L 1 7L 2 L 3 L 2 2 1 1 1 0 0 0 5 3 1 2 0 0 2 3 1 0 1 210 0 0 70 10 40 0 35 0 0 10 5 0 0 21 7 4 5 étape 4 : on fait apparaître des 1 sur la diagonale 1 210 L 1 L 1 1 35 L 2 L 2 1 21 L 3 L 3 étape 5 : le résultat! 1 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 1 3 A 1 = 1 21 1 21 2 7 4 21 7 1 4 0 6 3 7 4 5 4 21 1 7 5 21 Remarque 6. Il ne faut jamais hésiter à écrire une matrice sans fraction à l'intérieur de celle-ci. C'est plus simple ensuite si on a besoin de la manipuler! Propriété 7. Soit une matrice A M n (K et une matrice B M n (K supposées toutes deux inversibles alors (AB 1 = B 1 A 1 10 JA-JMB-ML

6 Exercices Exercice 1. Calculer : ( ( 1 2 3 4 3 5 6 1 1. + 0 5 1 1 2 0 2 3 ( ( 1 2 3 3 5 2. + 0 4 1 1 2 ( 1 2 3 3. 3 4 5 6 Exercice 2. Calculer AB et BA avec : 2 1 ( 1. A = 1 0 1 2 5 et B = 3 4 0 3 4 2. A = ( 2 1 0 1 0 3 Exercice 3. Soit A = et B = ( 1 2 0 3 1 4 1 4 0 1 2 1 3 1 4 0 2 0. Trouver A (t A et (t A A. Exercice 4. Calculer l'inverse des matrices suivantes par la méthode du pivot de Gauss. 3 1 1 1. A = 1 3 1 0 2 2 1 1 2 2. B = 2 1 1 3 0 1 1 2 2 1 3. C = 2 1 2 0 1 1 1 1 3 1 2 1 Exercice 5. Soit la matrice M = 3 2 2 2 5 4 1 5 4. 1. Calculer M 2 et M 3. En déduire que M 3 + 2M 2 M 2I 3 = O. 2. Montrer que M est inversible et calculer son inverse. Exercice 6. On donne les matrices 4 0 2 A = 0 4 2 ; J = 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 0 1 1. Déterminer les réels a et b tels que A = ai + bj ; I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 11 JA-JMB-ML

2. Calculer J 2 3. Calculer A 2, A 3 et A 4 comme combinaison linéaire des matrices I et J. a 1 1 b 1 1 Exercice 7. Soient les matrices A = 1 a 1 et B = 1 b 1. Existe-t-il des 1 1 a 1 1 b couples de réels (a, b tels que AB = BA = I 3? Exercice 8. Montrer que la matrice A = 0 2 3 4 0 0 2 3 0 0 0 2 0 0 0 0 est nilpotente c'est à dire qu'il existe n, un entier naturel non nul, tel que A n = O. ( a a Exercice 9. On se propose d'étudier la puissance nième de M = où a et b sont b b deux réels. ( On suppose que M n peut s'écrire sous la forme : M n un u = n. v n v n 1. Exprimer u n+1 en fonction de u n, a et b ; puis v n+1 en fonction de v n, a et b. 2. En déduire l'expression de M n en fonction de n, a et b. ( 3 3 3. Application numérique : M = 1 1 Exercice 10. Calculer l'inverse de la matrice A = 10 3 7 6 2 3 20 7 4 1 0 1 12 JA-JMB-ML