Durée : heures Baccalauréat STID/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 8 juin 05 EXERCICE 3 points. Le temps d attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi eponentielle de paramètre λ=0, eprimé en min ). En moyenne une personne attend à ce péage : a. min b. 5 min c. 0 min d. 0 min Le temps d attente moyen est l espérance mathématique de la variable aléatoire, soit λ = 0, = 5. Réponse b.. La forme eponentielle du nombre complee z = 3+i3 3 est : a. 3e i π 3 b. 6e i π 3 c. 6e i π 3 d. 6e i π 3 z = 3) + 3 3) = 9+7= 36=6 cosθ = 3 = 6 argz)= θ tel que sinθ = 3 3 3 = 6 Réponse b. 3. On considère le complee z = i. Le nombre complee z est égal à : Donc θ= π 3 à π près. a. z = b. z = c. z = d. z = i i ) = ) i )+ i ) = i = i Réponse d. EXERCICE 5 points Partie A On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f )= a+ b ln)+ où a et b sont deu réels. C f est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. Les points A et E sont deu points de la courbe C f. Le point A a pour coordonnées ; ) et le point E a pour abscisse. La tangente à C f au point E est horizontale.. D après le graphique, on voit que f )=. Comme la tangente à C f au point E d abscisse est horizontale, on peut dire que f )=0.. La fonction f est dérivable sur ]0;+ [ et f )= a+ b
Baccalauréat STI D/STL A. P. M. E. P. y 0 9 8 7 6 5 3 A C f 0 D B C 0 3 5 6 7 8 9 0 E 3. f )= a+ b ln)+ f )= a+ b ln)+= a= f )= a+ b et a= donc f )=+ b ; f )=0 + b = 0 b= On a a= et b= donc f )= ln)+. Partie B Soit la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f )= ln)+. }. lim ln)= = lim ln)=+ 0 0 lim = 0 = lim f )=+ = lim + = 0 0 0 On peut en déduire que la droite d équation = 0 est asymptote verticale à la courbe C f.. Pour tout > 0 : f )= ln) ) +. ln) On sait que lim + On en déduit que lim f )=+ + = 0 donc lim + ln) 3. La fonction f est dérivable sur ]0;+ [ et f )=. ) = et donc lim ln) ) =+ + On résout dans l intervalle ]0;+ [ l inéquation f )>0. f )>0 > 0 > 0 > puisque > 0. On calcule la valeur du minimum : f )= ln)+=5 ln) 0,55. D où le tableau de variations de la fonction f sur ]0;+ [ : Antilles-Guyane 8 juin 05
Baccalauréat STI D/STL A. P. M. E. P. 0 + f ) 0 + + + f ) 5 ln) Partie C Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture. La forme d une pièce est donnée sur la figure ci-contre et correspond à la zone hachurée sur le graphique précédent. On souhaite déterminer la mesure de l aire de la pièce en unité d aire. Le point D est le point de la courbe C f d abscisse. Les points B et C ont pour coordonnées respectives ; 0) et ; 0). Soit la fonction G définie sur ]0 ; + [ par G)= ln). B A C D. G )= ln)+ =ln) Donc la fonction G est une primitive de la fonction ln sur ]0 ; + [.. La fonction + a pour primitive + donc la fonction F définie sur ]0;+ [ par F )= + G) est une primitive de la fonction f. F )= + ln) )= + ln)+ = + 5 ln) 3. L aire de la plaque est l aire du domaine délimité par l ae des abscisses, la courbe C f et les droites d équations = et =. Comme la fonction f est positive sur [ ; ], cette aire est égale à l intégrale : I = f t)dt ) ) I = f t)dt = F ) F)= + 0 8ln) + 5 ln) = 8ln) = 3 8ln) 0,95 unité d aire. EXERCICE 3 points Étude de la production de plats préparés sous vide. L entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide.. Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de 00 grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, eprimée en gramme, est supérieure à 39 grammes. On note M la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire M suit la loi normale d espérance 00 et d écart type 5. a. La probabilité qu un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre 39 et 0 grammes est P39M 0). À la calculatrice, on trouve P39M 0) 0,673. b. La probabilité qu un plat soit conforme est PM 39) 0,885. Antilles-Guyane 3 8 juin 05
Baccalauréat STI D/STL A. P. M. E. P.. Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de 300. On arrondit la probabilité de l évènement «un plat préparé prélevé au hasard dans la production n est pas conforme» à 0,. On prélève au hasard 300 plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à un lot de 300 plats, associe le nombre de plats préparés non conformes qu il contient. a. La probabilité qu un plat soit non conforme est 0,. On prélève au hasard 300 plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de plats défectueu dans le lot de 300 suit la loi binomiale de paramètres n= 300 et p = 0,. b. L espérance mathématique d une variable aléatoire qui suit la loin binomiale Bn, p) est EX ) = np. Donc l espérance mathématique de la variable aléatoire X est 300 0, = 36. c. La probabilité que dans un échantillon de 300 plats prélevés au hasard, au moins 80 plats soient conformes, est la probabilité que dans cet échantillon il y ait au plus 0 plats non conformes, c est-à-dire PX 0). À la calculatrice, on trouve : PX 0) 0,00. 3. Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de produits non conformes de %. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 00 dans lequel 50 plats se révèlent être non conformes. a. La fréquence de plats non conformes dans l échantillon prélevé est f = 50 00 = 0,5. b. Lorsque la proportion p dans la population est connue, l intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d une fréquence obtenue sur un échantillon de taille n est : Comme n= 00 et p= 0,, l intervalle est : [ ] p p) p p) I = p,96 ; p+,96 n n [ ] 0, 0,) 0, 0,) I = 0,,96 ; 0,+,96 [0,0; 0,] 00 00 c. La fréquence observée dans l échantillon est de 0,5 ; cette fréquence appartient à l intervalle [0, 0; 0, ] donc on peut considérer que l échantillon est représentatif de la production du fabricant. EXERCICE ÉTUDE DU DÉFICIT D UNE MULTINATIONALE points Le déficit d une multinationale a été de 5 millions d euros en 0. Devant l ampleur de ce déficit, l équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de 5 millions d euros. Jusqu à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s engage à ce que le déficit baisse de 8,6 % tous les ans. On définit la suite u n ) de la manière suivante : on note u n le déficit en million d euros de cette multinationale lors de l année 0+n. Ainsi u 0 = 5.. a. Une baisse de 8,6 % revient à une multiplication par 8,6 00 = 0,9. Donc u = 0,9u 0. b. Le déficit de la multinationale en 06 correspond à u. Pour la même raison que dans la question précédente : u = 0,9u = 0,9 0,9u 0 = 0,9 0,9 5,53 millions d euros. Antilles-Guyane 8 juin 05
Baccalauréat STI D/STL A. P. M. E. P. c. Une baisse de 8,6 % correspond à une multiplication par 0,9 donc, pour tout entier naturel n, u n+ = 0,9u n. On sait que u 0 = 5. La suite u n ) est géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q = 0,9. Donc, pour tout n, u n = u 0 q n = 5 0,9 n.. a. 0,9 n 3 ln 0,9n )ln 3 n ln0,9) ln 3 n ln 3 ln0, 9) croissance de la fonction ln sur ]0;+ [ propriété de la fonction ln car ln0,9)< 0 b. ln 3,7 donc l engagement de ramener le déficit en dessous des 5 millions d euros ln0,9) sera atteint au bout de 3 années, soit en 0+3= 07. 3. a. L algorithme suivant renvoie l année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de 5 millions d euros : Variables Début Fin N un entier naturel Q et U deu nombres réels. N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,9 U prend la valeur 5 Tant que U 5 faire N prend la valeur N+ U prend la valeur Q U Fin Tant que Afficher N b. L algorithme suivant affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de 5 millions d euros : Variables Début Fin N un entier naturel Q et U deu nombres réels. N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,9 U prend la valeur 5 Tant que U 5 faire N prend la valeur N+ U prend la valeur Q U Afficher U Fin Tant que Afficher N. a. La somme des déficits sur onze ans à partir de l année 0 comprise, c est-à-dire : u 0 + u + u + +u 0, correspond à la sommme des premiers termes de la suite géométrique u n ) : de termes qnombre u 0 +u +u + +u 0 = u 0 = 5 0,9 09,555 millions d euros. q 0,9 b. L algorithme suivant donne cette somme en sortie : Antilles-Guyane 5 8 juin 05
Baccalauréat STI D/STL A. P. M. E. P. Variables Début Fin N un entier naturel Q et U deu nombres réels S un nombre réel Q prend la valeur 0,9 U prend la valeur 5 S prend la valeur U Pour N variant de à 0 faire U prend la valeur Q U S prend la valeur S +U Fin Pour Afficher S EXERCICE 5 points E On étudie la charge d un condensateur et l on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de : une source de tension continue E de 0 V. une résistance R de 0 5 Ω. un condensateur de capacité C de 0 6 F. R C u On note u la tension eprimée en volt au bornes du condensateur. Cette tension u est une fonction du temps t eprimé en seconde. La fonction u est définie et dérivable sur [0 ; + [ ; elle vérifie l équation différentielle RCu + u = E où u est la fonction dérivée de u.. D après le tete, E = 0, R = 0 5 et C = 0 6 ; donc : RCu + u= E 0 5 0 6 u + u= 0 0 u + u= 0 u + 0u = 00. a. La forme générale des solutions de l équation différentielle y + ay = b est y = k e at + b a où k est un réel quelconque, donc la forme générale de l équation différentielle u + 0u = 00 est ut)=ke 0t + 0. b. On considère qu à l instant t = 0, le condensateur est déchargé. ut) = k e 0t } + 0 = k e 0 + 0=0 k = 0 u0) = 0 L unique fonction u telle que u0)=0 est définie par ut)=0 0e 0t. c. On sait, d après le cours, que lim + e = 0, donc lim t + e 0t = 0 ; on en déduit que lim 0 t + 0e 0t = 0 et donc que lim ut)=0. t + Cela signifie que la charge du condensateur tend vers 0 volts quand le temps t augmente indéfiniment. 3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction u qui vient d être obtenue à la question. b. avec les unités suivantes : unité pour seconde sur l ae des abscisses et unité pour volt sur l ae des ordonnées. On appelle T le temps de charge en seconde pour que ut ) soit égal à 95 % de E. Or E = 0 donc 95% de E est égal à 9,5. Antilles-Guyane 6 8 juin 05
Baccalauréat STI D/STL A. P. M. E. P. y Charge du condensateur en fonction du temps 0 9,5 9 8 7 6 5 3 0,3 0,5,0,5 a. On détermine graphiquement le temps de charge T voir graphique). On trouve T 0, 3 seconde. b. On détermine le temps de charge par le calcul en résolvant l équation ut)=9,5 : ut)=9,5 0 0e 0t = 9,5 0,5 = 0e 0t 0,05 = e 0t ln0, 05) = 0t ln0,05) 0 = t La valeur arrondie à 0 de ln0,05) est 0,99 6. 0. En conservant les valeurs de C et de E, on obtient l équation différentielle R 0 6 u +u= 0 u + 06 06 u= R R 0 La forme des solutions est ut)=ke 06 R t + 0 ; comme u0)=0, on déduit que k = 0. On résout l équation ut) = 9, 5 : ut)=9,5 0 0e 06 R t = 9,5 0,5 = 0e 06 R t 0,05 = e 06 R t ln0,05) = 06 R t R 0 6 ln0,05) = t Donc le temps de charge est proportionnel à la résistance ; il suffit de doubler la valeur de la résistance pour que le temps de charge soit multiplié par deu. Antilles-Guyane 7 8 juin 05