PROGRAMME DE FORMATION A DISTANCE DES MAÎTRES MENFP 2011 2012

PROGRAMME DE FORMATION A DISTANCE DES MAÎTRES MENFP 2011 2012 MATHEMATIQUES Le calcul mental 1 ère et 2 ème AF Claire BEAUVAIS Conseillère Pédagogique Groupe Départemental Mathématiques de l Hérault Académie de MONTPELLIER

Objectifs de la séance Comprendre ce qu est le calcul mental Comprendre la différence entre le calcul automatisé et le calcul réfléchi Savoir à quoi sert le calcul mental dans l apprentissage Savoir aider les élèves àmémoriser les tables et les résultats importants Connaître les contenus en calcul mental pour chaque classe Connaître la progression à mettre en place pour chaque classe Comprendre la différence entre les moments d apprentissage de procédures, les moments d entraînements et les moments de consolidation Mettre en place des séances de calcul mental

Dans les programmes 1 ère AF : Compter dans l ordre croissant ou décroissant les nombres entiers jusqu à 69. Connaître la table d addition : résultats et décompositions 2 ème AF : Compter dans l ordre croissant ou décroissant les nombres jusqu à 999 Connaître la table d addition : résultats et décompositions Trouver le résultat d une soustraction simple de deux nombres 3 ème AF : Trouver le résultat d une addition ou d une soustraction simple de deux nombres. Connaître la table de multiplication. Multiplier un nombre entier par 10 ou 100 4 ème AF Trouver le résultat d une addition, d une soustraction, d une multiplication, d une division. Trouver le double ou le triple d un nombre. Multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1000. Diviser un nombre entier multiple de 10, 100 ou 1000 par 10, 100 ou 1000. Multiplier un nombre entier par 20, 30, 40, etc 200, 300, 400, etc

Quelques calculs pour les enseignants Ce travail est destiné aux enseignants et non aux élèves. Il va vous permettre d apprendre ou de réapprendre certaines procédures de calcul mental. Calculez sans poser 37+ 48 =? Combien avez vous trouvé? 85 Comment avez vous fait? Vous avez calculé les dizaines puis les unités : 30 + 40 = 70 7+8 = 15 70 + 15 = 85 Vous avez repéré que 48, c est 50 2 : 37 + 50 = 87 87 2 = 85 Vous avez calculé sur le modèle du calcul posé en calculant d abord les unités puis les dizaines. 7+8 = 15 30 +40 = 70 70+15 = 85 Pour chaque calcul, il y a plusieurs procédures possibles.

Voici quelques procédures intéressantes : Multiplier par 11: 11x 26 =? Combien avez vous trouvé? 286 Comment peut on faire? On multiplie 26 par 10, cela fait 260 et on ajoute 26 au résultat. Multiplier par 5 : 64x5 =? Combien avez vous trouvé? 320 Comment peut on faire? On multiplie par 10 ( 64x10=640) et on divise par 2 (640:2=320) Complément à 100 : 54 > 100 Combien avez vous trouvé? 47 Comment peut on faire? 53 >60 = 7, 60 >100= 40, 40+7 = 47

Rappel pour les enseignants? Qu est ce que le calcul mental? C est un calcul qui n est pas posé. Le calcul mental est d abord la recherche de procédures : on parle de calcul réfléchi On fixera ces procédures avec un entraînement régulier : séances d entrainement Progressivement, certains de ces résultats sont mémorisés. Ils deviendront ainsi toujours disponibles en mémoire : calcul automatisé. Pourquoi faire du calcul réfléchi? cela permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec les propriétés des opérations Pourquoi faire des séances d entraînement? L entraînement va permettre d accélérer certaines de ces procédures particulièrement efficaces. L accent est mis sur la compréhension des propriétés des opérations qui vont être mieux comprises et assimilées. Pourquoi faire du calcul automatisé? Certains résultats vont être mémorisés. Cela permet de les avoir toujours àdisposition en mémoire sans avoir besoin de les recalculer. Quels sont les résultats importants à mémoriser? : tables d addition, tables de multiplication, compléments à 10, doubles des nombres jusqu à 20, multiples de 25 jusqu à 25 x 4.

Comment mettre en place des séances de calcul mental? Pour chaque type de question, les élèves essaient d abord de calculer le résultat par leurs propres moyens > calcul réfléchi. Puis, l enseignant propose une procédure intéressante en demandant aux élèves de l appliquer > apprentissage d une procédure. Il organisera des moments d entraînement en proposant aux élèves les mêmes types de question. Les élèves pourront ainsi entraîner les procédures apprises > entraînement. Certains résultats ( par exemple les tables ) vont commencés àêtre mémorisés. L enseignant accélérera cette mémorisation en mettant en place des moments plus rapides où les résultats ne seront pas recalculés mais puisés en mémoire > mémorisation. Construction du résultat > Entraînement > Mémorisation Attention : Tous les résultats n ont pas besoin d être mémorisés ( voir diapo précédente : Quels sont les résultats àmémoriser). Pour les autres résultats, on s arrêtera à l entraînement des procédures.

Déroulement d une séance de calcul mental Les séances de calcul mental doivent être courtes et régulières : entre 15 et 20 min tous les jours. Elles doivent être ritualisées, c est à dire se dérouler chaque jour, àla même heure, de la même façon. Elles se font en deux temps : D abord un temps de renforcement des résultats mémorisés ( entre 5 et 10 min). L enseignant interroge les élèves sur des résultats qu ils commencent àfixer «par cœur» ou sur des connaissances «par cœur» qu il veut entretenir. Ce travail est mené rapidement pour que les élèves, progressivement, ne reconstruisent plus le résultat mais le recherchent en mémoire. Puis un temps d apprentissage de procédures ou d entraînement ( entre 10 et 15 min ) Toutes les 4 ou 5 séances, l enseignant organisera un temps d apprentissage de procédures. Il donnera un calcul et laissera les élèves chercher àleur manière et proposer des procédures. Il attirera l attention sur une procédure en demandant aux élèves de l appliquer. Pendant les 3 ou 4 séances suivantes, les élèves entraîneront la procédure qu ils ont apprise. Pour chaque calcul, l enseignant expliquera ànouveau la démarche. Il laissera les élèves qui le souhaitent utiliser une autre procédure. Pendant la séance d entraînement, l enseignant fera réactiver aussi une procédure plus ancienne.

Comment faire mémoriser des résultats? On retient bien ce qui a du sens. Par exemple, il est beaucoup plus facile de retenir une phrase que des mots isolés. Pour mémoriser des résultats, il faut les comprendre. On ne demandera pas aux élèves de mémoriser des résultats sans les comprendre. Il sera plus facile de retenir les tables si on comprend comment elles sont constituées. Il faut comprendre que les résultats des tables ne sont pas isolés mais ont des rapports entre eux. Par exemple, les résultats de la table de 4 sont le double des résultats de la table de 2 Il faut comprendre que les résultats des tables peuvent se retrouver, se recalculer. Il sera plus facile de retenir les tables si on comprend leur utilité dans la vie quotidienne. Pour mémoriser les tables, il est utile de prendre conscience de ce qu on sait déjà et de ce qui reste à apprendre Enfin, la mémorisation ne peut pas se faire en une seule fois : l entraînement doit être suffisamment long et surtout régulier.

Comment aider à l apprentissage et la mémorisation des tables d addition? On ne fait pas réciter chaque fois les tables en partant du début sinon les élèves seront obligés de tout réciter pour retrouver les résultats. On interrogera les élèves en mélangeant l ordre. Pour aider àla mémorisation, on fera comprendre aux élèves la structure des tables. Au début, ils retrouveront les résultats par le calcul et le raisonnement avant de les savoir «par cœur». On calcule les résultats, on repère leurs places et on remplit la table au fur et àmesure que l on apprend. Les doubles : c est une diagonale de la table d addition ( 1+1, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5, 6+6, 7+7, 8+8, 9+9, 10+10 ) Les presque doubles : on calcule le double et on ajoute 1 ( 1+2, 2+3, 3+4, 4+5, 5+6, 6+7, 7+8, 8+9, 9+10 et les mêmes sommes en inversant les termes : 2+1, etc ) Les compléments à10 (1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5, 6+4, 7+3, 8+2, 9+1) c est l autre diagonale de la table d addition, il suffit de connaître les 5 premiers résultats pour retrouver les 4 derniers en inversant les termes. Les sommes de 2 nombres inférieurs à5 : 2+4, 2+5, 3+5 En inversant les termes, on obtient les sommes 4+2, 5+2, 5+3 Les sommes d un nombre supérieur à5 et d un nombre inférieur ou égal à5 : 6+1, 6+2, 6+3, 7+1, 7+2, 7+4, 7+5, 8+1, 8+3, 8+4, 8+5, 9+2, 9+3, 9+4, 9+5 Les mêmes sommes en inversant les termes. Les sommes de 2 nombres supérieurs à5 ( 6+8, 6+9, 6+10, 7+9, 7+10, 8+10) Les mêmes sommes en inversant les termes.

LA TABLE D ADDITION Tracer un quadrillage de 11 cases x 11 cases. Placer les 10 premiers nombres dans la première ligne et la première colonne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 On laisse en haut et àgauche la place du 0

Placer les résultats de la 2 ème ligne et de la 2 ème colonne. On ajoute 1 à chaque fois. Placer les résultats des doubles ( 1+1, 2+2, etc Oùsont situés ces résultats? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 4 6 5 8 6 10 7 12 8 14 9 16 10 18 11 20

Les résultats des «presque doubles», àdroite des doubles. Les compléments à 10. Où sont ils situés 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 10 4 6 7 10 5 8 13 10 6 10 11 7 10 12 13 8 10 14 15 9 10 16 17 10 18 19 11 20

La petite table d addition : le sommes de nombres inférieurs ou égaux à5. Résultats situés dans le quart supérieur gauche. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 10 4 6 6 7 8 10 5 7 7 8 13 10 6 7 8 9 10 11 7 10 12 13 8 10 14 15 9 10 16 17 10 18 19 11 20

Somme d un nombre plus grand que 5 et d un nombre inférieur ou égal à5. Résultats du quart en haut àdroite mais aussi en bas àgauche. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 7 7 8 13 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 10 12 13 8 10 14 15 9 10 16 17 10 18 19 11 20

PROGRESSION EN CALCUL MENTAL POUR LA 1 ère AF Compter de 1 en 1 jusqu à 69 Compter àpartir de n importe quel nombre entre 1 et 69. Compter àrebours de 1 en 1 àpartir de 69 Compter àrebours àpartir de n importe quel nombre entre 1 et 69 Compter de 2 en 2 Compter àrebours de 2 en 2 Somme de nombres inférieurs à5: questions du type 2+3=? questions du type 2 +? = 5 Somme de 2 nombres ( somme inférieure ou égale à10 ) questions du type 6+3=? questions du type 2 +? = 9 Compléments à10 : le premier nombre est proche de 10 : questions du type 7 +? = 10 Le premier nombre est éloigné de 10 : questions du type 2 +? = 10 Doubles questions du type 4+4 Addition de 2 nombres inférieurs ou égaux à10 questions du type 9 + 6 =? questions du type 2 +? = 11

PROGRESSION EN CALCUL MENTAL POUR LA 2 ème AF Somme de 2 nombres ( somme inférieure ou égale à10 ) questions du type 6+3=? questions du type 7 +? = 9 Compléments à10 : le premier nombre est proche de 10 : questions du type 7 +? = 10 Le premier nombre est éloigné de 10 : questions du type 2 +? = 10 sous forme de soustraction : 10 6 =? Soustraction àpartir d un nombre inférieur ou égal à10 questions du type 9 4 =? questions du type : J enlève 4 àun nombre, j obtiens 5, quel était le nombre? Addition de 2 nombres ( somme inférieure ou égale à20) questions du type 9 + 6 =? questions du type 2 +? = 11 questions du type 12 + 6 =? questions du type 13 +? = 17 Ajouter ou soustraire une ou plusieurs dizaines questions du type 37 + 10 =? questions du type 58 10 =? questions du type 46 + 30 =? questions du type 78 20 =? Ajouter 11 questions du type 65 + 11

SEANCE DE CALCUL MENTAL POUR LA 1 ère AF Mémorisation : Complément à10 Apprentissage de procédures : Somme de 2 nombres ( chaque nombre inférieur ou égal à10 ) Cette séance n est qu un exemple d une séance de calcul mental en 1 AF. Suivant la progression des élèves, on choisira d autres thèmes. Organisation matérielle : Il est plus facile de travailler avec des ardoises. L enseignant pose la question et les élèves écrivent le résultat sur l ardoise. Au signal, ils lèvent l ardoise àla hauteur de leur menton. Ainsi, l enseignant peut voir toutes les réponses très rapidement et se rendre compte du niveau de sa classe. Puis, il dit : «Posez les ardoises et effacez» et il repose une autre question. Ce procédé a l avantage de plus de donner des séances rythmées et efficaces en peu de temps. Si les élèves n ont pas d ardoise, on les fera écrire sur une feuille ou sur le cahier. L enseignant interrogera un élève différent à chaque fois.

Mémorisation : L enseignant fait sortir les ardoises ( ou les cahiers ). Il dit : «Aujourd hui, nous allons travailler les compléments à 10.» Il pose la première question : 8 + quel nombre? = 10. Il laisse quelques secondes pour écrire la réponse. «Montrez.» Il regarde les réponses des élèves. «La réponse est 2.» Il écrit au tableau 8+2=10. Il procède de la même manière pour les questions suivantes : 7 +? = 10 9 +? = 10 5 +? = 10 6 +? = 10 3 +? = 10 1 +? = 10 2 +? = 10 4 +? = 10 L enseignant pose une dizaine de questions rapidement. Il commence par les questions les plus faciles pour encourager les élèves puis augmente la difficulté. Durée : 5 à10 min

Apprentissage de procédure : Le matériel de numération ( capsules ) est présent pour la validation. L enseignant annonce : Aujourd hui, nous allons apprendre àcalculer rapidement des additions. Vous allez chercher tout seuls puis vous écrirez ce que vous avez trouvé et nous discuterons pour savoir comment vous avez fait. 9 + 4 =? Montrez. Comment avez vous fait? Certains élèves vont compter 1 par 1 àpartir de 9. Ce calcul est long et peut provoquer des erreurs. Certains élèves peuvent utiliser le complément à10 qui a été «réactivé» par la mémorisation. Sinon, c est l enseignant qui expliquera en montrant avec le matériel de numération : Ici, j ai 9 capsules et, là, j ai 4 capsules. Je prends 1 capsule dans la pile de 4 pour faire 10. J ai maintenant 10 et 3 : j ai 13 capsules. Effacez. 8 + 3 =? L enseignant fait écrire puis montrer. Il interroge les élèves sur leurs procédures. Les élèves peuvent expliquer àleur manière, par exemple : Je partage 3 en 2et 1, 2 avec 8 fait 10, 10 et 1 fait 11. Je sais que 3, c est 2+1. Je fais 8 + 2 + 1, ça fait 11. A chaque calcul, l enseignant reformule et réexplique la procédure. Il montre avec le matériel. Si des élèves ne comprennent pas, il les fait manipuler pour reformer la dizaine et voir ce qu il reste comme unités après 10. Calculs suivants : 7 + 4, 8 + 5, 9 + 3, 7+ 5, 9 + 5, 8 + 4, 9 + 2, 6+5 Durée : 10 à15 min Cette procédure devra être renforcée par des séances d entraînement.

SEANCE DE CALCUL MENTAL POUR LA 2 ème AF Mémorisation : Somme de 2 nombres ( chaque nombre inférieur ou égal à10 ) Apprentissage de procédures : Ajouter une ou plusieurs dizaines Cette séance n est qu un exemple d une séance de calcul mental en 2 ème AF. Suivant la progression des élèves, on choisira d autres thèmes. Organisation matérielle : Il est plus facile de travailler avec des ardoises. L enseignant pose la question et les élèves écrivent le résultat sur l ardoise. Au signal, ils lèvent l ardoise àla hauteur de leur menton. Ainsi, l enseignant peut voir toutes les réponses très rapidement et se rendre compte du niveau de sa classe. Puis, il dit : «Posez les ardoises et effacez» et il repose une autre question. Ce procédé a l avantage de plus de donner des séances rythmées et efficaces en peu de temps. Si les élèves n ont pas d ardoise, on les fera écrire sur une feuille ou sur le cahier. L enseignant interrogera un élève différent à chaque fois.

Mémorisation : L enseignant fait sortir les ardoises ( ou les cahiers ). Il dit : «Aujourd hui, nous allons travailler la table d addition.» Il pose la première question : 8 + 5 Il laisse quelques secondes pour écrire la réponse. «Montrez.» Il regarde les réponses des élèves. «La réponse est 13.» Il procède de la même manière pour les questions suivantes : 7 + 4 =? 9 + 6 =? 8 + 5 =? 9 + 4 =? 7 + 6 =? 8 + 9 =? 7 + 8 =? 9 + 7 =? 9 + 9 =? 8 + 8 =? L enseignant pose une dizaine de questions rapidement. Il commence par les questions les plus faciles pour encourager les élèves puis augmente la difficulté. Durée : 5 à10 min

Apprentissage de procédure : Le matériel de numération ( par exemple petite capsules pour les unités et grosses capsules pour les dizaines) est présent pour la validation. L enseignant annonce : Aujourd hui, nous allons apprendre àajouter 10 àun nombre. Vous allez chercher tout seuls puis vous écrirez ce que vous avez trouvé et nous discuterons pour savoir comment vous avez fait. 27 + 10 =? Montrez. Comment avez vous fait? Certains élèves vont calculer en «avançant»de 10 àpartir de 27. Ce calcul est long et peut aussi être source d erreurs. Certains élèves peuvent penser àajouter directement la dizaine parce que 27, c est 2 dizaines et 7 unités. Sinon, c est l enseignant qui expliquera en montrant avec le matériel de numération : J ai 2 dizaines et 7 unités, je rajoute 10, c est une dizaine. Donc je rajoute une dizaine aux 2 dizaines, je ne touche pas aux unités. Finalement, j ai 3 dizaines et 7 unités. Effacez. Maintenant 46 + 10 =? L enseignant fait écrire puis montrer. Il interroge les élèves sur leurs procédures. Les élèves peuvent expliquer àleur manière, par exemple : J ajoute une dizaine à4 dizaines. Ca fait 56. A chaque calcul, l enseignant réexplique la procédure et reformule. Calculs suivants : 73 + 10, 62 + 10 Si les élèves réussissent ces calculs, l enseignant fait ajouter deux dizaines : 54 + 20, 78+20. Il peut ensuite passer àdes ajouts de 30, 40, 50, 60 sans que le total dépasse 100. 59+30, 58+40, 61+30, 22+50, 49+20, 37+60 Durée : 10 à15 min Cette procédure devra être renforcée par des séances d entraînement.