LES VECTEURS : Un exemple de cours. I) De la translation Du latin transfere transporter aux vecteurs Du latin vector véhicule, de vehere transporter Introduction : Activités de groupe. Objectif : utiliser la présence de parallélogrammes pour caractériser la présence de translations différentes ; associer à chaque translation un vecteur ; associer vecteurs égaux et parallélogrammes ; introduire les notations usuelles. Exemples de situations d introduction (au choix, exemple 1 ou exemple 2): Exemple 1 : un pavage réalisé à l aide de parallélogrammes : ou d hexagones réguliers : Par exemple : En utilisant les sommets des parallélogrammes. On peut définir la translation qui transforme A en B (déf BO) : à un point M elle associe le point N tel que [AN] et [BM] aient le même milieu, c'est-à-dire telle que ABNM soit un parallélogramme. Exemple : C D. On fait fonctionner la même translation en utilisant les sommets des parallélogrammes : Exemples : E ; G ; I? C est la même translation qui fait passer de A à B, de C à D, etc On dit que c est la translation de vecteur AB. Comme ils sont associés à la même translation, les vecteurs AB, CD, EF sont un seul et même vecteur, ils sont égaux. On peut encore noter ce vecteur u. On dit alors que AB, CD, EF sont des représentants du vecteur u. On écrit : u = AB = CD = EF On peut ensuite définir la translation qui transforme A en D, l associer au vecteur AD, et avoir un questionnement similaire, incluant cette fois le cas de points alignés Ensuite : Les vecteurs AB et CE sont-ils égaux? Justifiez. Les vecteurs AB et BA sont-ils égaux? Justifiez. Proposez d autres représentants du vecteur BA : BA = Proposez d autres représentants du vecteur AE. Proposer d autres représentants du vecteur FD. Translation qui transforme A en lui-même. Vecteur nul.
Remarque : dans le pavage avec les hexagones, on peut utiliser dans un premier temps les rectangles ABLM, puis CDPO, OPJK,...(après justification). Il reste à justifier la nature de ABDC, ce qui introduit une difficulté supplémentaire, de nature à détourner l activité des élèves de l objectif principal. Ou alors, on anticipe et l étude de cette configuration fait l objet d un exercice antérieur! Exemple 2 : Exploration à l aide d un logiciel de géométrie dynamique (classe entière ou TP) Scenario possible par exemple avec geogebra. : Créer deux points A et B ; définir la translation qui transforme A en B (déf BO) : à un point M elle associe le point N tel que [AN] et [BM] aient le même milieu. Pour M quelconque, construire N (*voir algorithme-annexe1) Faire bouger M : dans le plan, puis sur la droite (AB). Observer et conjecturer (la nature du quadrilatère ABNM, le milieu des diagonales). Créer alors le vecteur AB et utiliser la translation de vecteur AB pour construire le point M obtenu à partir de M. Observer (M et N). La translation définie plus haut est (par définition) la translation de vecteur AB. Créer deux autres points C et D puis utiliser la translation de vecteur CD : construire le point P associé à M par cette nouvelle translation. Déplacer alors C et D pour que P et M soient confondus : Quelle semble être la nature du quadrilatère ABDC? Démontrer Créer d autres points et leurs images par cette même translation, écrire des égalités de vecteurs, distinguer AB et BA, etc (voir fin exemple 1) Institutionnalisation : (cf. énoncés BO) A et B étant deux points donnés dans le plan, on définit la translation qui transforme A en B, et le vecteur AB associé. On caractérise l égalité de deux vecteurs par la présence d un parallélogramme (éventuellement aplati). Remarque sur l unicité du point D tel que AB = CD, lorsque les points A, B et C sont donnés. Démonstration de l équivalence ( ). Représentants d un même vecteur ; Notation u. Exemples : Cas particuliers : vecteur nul (associé à la translation qui à A associe A) ; vecteur opposé au vecteur u = AB : BA est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A, on peut le noter oppu. Exercices : Construire un vecteur d origine donnée et égal à Utiliser la caractérisation d un parallélogramme (dans un sens ou dans l autre, travail sur l équivalence). Pas d exercice sur la translation. La translation n est citée que pour introduire la notion de vecteur, elle n est pas un objet d étude.
Coordonnées d un vecteur dans un repère : On considère un repère (O ; I ; J), un vecteur u donné, et M le point associé au point O par le translation de vecteur u. Par définition, u = OM. Définition : Dans un repère (O ; I ; J), les coordonnées d un vecteur u sont celles du point M tel que u = OM. Exemples : (figure) vecteur nul 0 (0 ; 0) Autre notation du repère (O; I; J) : si on pose i = OI et j = OJ le repère peut aussi se noter (O; i ; j ). Propriété : Deux vecteurs sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes coordonnées dans un même repère. C'est-à-dire : u (x ; y) = v (x ; y ) équivaut à : x=x et y=y. Si on considère M image de O par la translation de vecteur u et M image de O par la translation de vecteur v : Supposons u = v : Deux vecteurs égaux correspondent à la même translation. Cela signifie que par cette translation le point O a une seule image M = M. Les points M et M ont les mêmes coordonnées, d où Coordonnées du vecteur AB : Exemples numériques On peut utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour formuler une conjecture sur les coordonnées du vecteur AB. Dans un repère (O; I; J) on donne les points A (x A ; y A ) et B(x B ; y B ). On considère M le point tel que AB = OM. Ceci signifie que les segments [AM] et [OB] ont le même milieu K. x Or, x K = B y B x et y k = d une part, et d autre part : A x xk = M y A y et y k = M 2 2 2 2 xb On en déduit : x M = 2x K x A = 2 - xa = x B x A. De même : y M = 2y K y A = y B - y A. 2 Le vecteur AB a les mêmes coordonnées que le vecteur OM ou que le point M, d où. Propriété : Etant donnés deux points A (x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dans un repère, les coordonnées du vecteur AB sont : (x B x A ; y B - y A ). Exemples : Remarque : Le vecteur opposé de AB, noté BA, a pour coordonnées (x A - x B ; y A -y B ) : ce sont les opposées des coordonnées de u. Autrement dit : si u (a ;b) alors oppu (-a ; -b). Exercices : Dans un repère : - Construire un vecteur égal à - Construire le 4 e sommet d un parallélogramme - Démontrer la présence d un parallélogramme Possibilité de chercher un algorithme de construction du 4 e sommet du parallélogramme ABDC connaissant les coordonnées de A, B et C. II- Somme de deux vecteurs : Situations d introduction (au choix) Exemple 1 : Construire F l image de la figure F par la translation de vecteur u ; puis F l image de F par la translation de vecteur v.
Que peut-on conjecturer sur la façon de passer de F à F directement? t u t v F F' u F'' v? Exemple 2 : Deux translations successives avec un «parallélogramme articulé». Dans le plan, on donne trois points A, B et C. M étant un point quelconque du plan, construire le point M image de M par la translation de vecteur AB puis le point M image de M par la translation de vecteur BC. Existe t-il un procédé qui permette de passer directement de M à M? Faire une figure On peut utiliser un logiciel de géométrie dynamique, ce qui permet de varier la position du point M. u = AB et v = BC. On peut poser t A u t B B v C,. Construire M et M par les translations respectives de vecteur u et de vecteur v. M M ' M" On peut conjecturer la nature du quadrilatère ACM M (parallélogramme), c'est-à-dire la présence d une translation. Pour montrer qu on passe de M à M par une translation, il suffit de prouver que le vecteur MM '' est égal à un vecteur connu (ici AC ), ou encore : quel que soit le point M de F on a ACM M est un parallélogramme. Par construction de M (définition de la translation de vecteur u ) on a : u = AB = ABM M est un parallélogramme. On en déduit que : AM = Par construction de M on a : v = BC = déduit que : BM ' = CM '' (2). Des égalités (1) et (2) on déduit que AM = d où l égalité : MM '' = AC. BM ' (1) MM '' AC, c'est-à-dire que MM '. Donc, M 'M ''. Donc, BCM M est un parallélogramme. On en CM ''. Ceci prouve que ACM M est un parallélogramme, Par définition, ceci prouve qu on passe de M à M par la translation de vecteur AC.
Définition : La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v. On note ce vecteur u + v. Avec les notations ci-dessus, on obtient l égalité AB BCAC : c est la relation de Chasles. Remarque : La relation de Chasles fournit une méthode pour contstruire la somme de deux vecteurs («construction bout à bout») Exemples : Autre méthode de construction : la «règle du parallélogramme». Coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère : Dans un repère (O ; I ; J) on donne u (a; b) et v (a ; b ) Exemples On peut utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour formuler une conjecture sur les coordonnées du vecteur somme u + v On considère M image de O par la translation de vecteur u, puis N image de M par la translation de vecteur v. Alors par définition de la somme, u + v = ON. On cherche donc les coordonnées de N. Par définition les coordonnées de M sont (a ; b) et les coordonnées de MN sont (x N a; y N - b). Or, les coordonnées de MN sont aussi celles de v ( vecteurs égaux), c'est-à-dire : x N a = a, et y N - b = b, ce qui donne : x N = a+ a et y N = b + b. Propriété : Dans un repère, les coordonnées de la somme de deux vecteurs u (a; b) et v (a ; b ) sont : (a+a ; b+b ). Exemples : Propriétés (démontrées très rapidement avec les coordonnées) : Pour tous vecteurs u et v : u + v = v +u u + 0 = 0 + u = u Exercices : Construire Calculer les coordonnées III- Produit d un vecteur par un nombre réel : Introduction : (A l aide d un logiciel de géométrie dynamique ) Dans un repère, on donneu (a ; b). Construire u +u = 2u, puis 3u. Coordonnées Définition et notation : k étant un réel et u (a ; b) un vecteur de coordonnées (a ; b) dans un repère, on appelle produit du vecteur u par le réel k le vecteur noté ku et ayant pour coordonnées (ka; kb) dans le même repère. On admet que le vecteur ku est indépendant du repère choisi. Exemples :. Cas particuliers : (1) 1u =u et 0u = 0 (mêmes coordonnées) (2) Comment caractériser le milieu de [AB]? (3) Vecteur opposé : Le vecteur opposé de u est le vecteur (-1)u, noté -u. En effet, si u (a ;b), on a vu que oppu (-a ; -b) : ces coordonnées sont aussi celles du vecteur ( 1) u. D après l unicité des coordonnées d un vecteur, on conclut que (-1)u est l opposé de u. On le note -u par analogie avec l opposé d un nombre.
Question : AB étant un vecteur non nul et k un réel donné, quelle est la position du point C tel que AC = k AB? (cf exemples) Propriété : AB étant un vecteur non nul et k un réel donné, le point C tel que AC = k AB est tel que : Si k>0, C est sur la demi-droite [AB) et AC = k AB ; Si k< 0, C est aligné avec A et b, mais C n est pas sur la demi-droite [AB), et AC = -k AB. (dessin) A et B étant donné, on se place dans un repère (A ; B ; J) orthonormé. Dans ce repère, AB (1 ;0) et AC = k AB a pour coordonnées (k; 0) par définition. Ou encore : C a pour coordonnées (k ;0). Si k> 0 : C est sur [AB) et AC = k = kab (car AB = 1). Si k< 0 : C est sur (AB) mais son abscisse est négative, donc C n est pas sur [AB). On a alors : AC = -k = -kab. ***** Propriétés «calculatoires» : voir annexe 2 ci-dessous. Vecteurs colinéaires : Définition : - On dit que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires lorsqu il existe un nombre réel k tel que v = ku. - Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs (Pour tout vecteuru (a ; b) on peut écrire 0 = 0 u ). Propriété (admise) : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Propriété (admise) : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. On dispose ainsi de deux propriétés qui permettent de caractériser un alignement et un parallélisme dans un repère du plan.. Exemple1 : Exemple2 : * Annexe 1 : Un premier algorithme à construire avec les élèves à partir de la définition: Données : A, B et C trois points Traitement : Construire le milieu de [BC] et le nommer K Sortie : Construire le symétrique de A par rapport à K et le nommer D Remarque : On peut en faire une construction automatisée via la notion de Macro dans les logiciels de géométrie dynamique... ***** Annexe 2 : Propriétés «calculatoires» : à mon avis, elles semblent DEVENUES HORS PROGRAMME (On travaille seulement en analytique et ces propriétés ne sont pas utiles pour résoudre les pb d alignement ou de parallélisme) (P1) ku = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0. Dans un repère, soit u (a ; b). Alors ku (ka ; kb) par définition. ku = 0 signifie alors que : (ka = 0 et kb = 0)). Ceci équivaut à : k = 0 ou (a = 0 et b = 0), c'est-à-dire : k = 0 ou u = 0. (P2) (k+k ) u = ku +k u (dém. : il suffit d écrire les coordonnées) (P3) k (u + v ) = ku + k v (id.) (P4) k(k u ) = (kk ) u (id) Différence de deux vecteurs : Par définition, on pose u - v = u +(- v ) (exemples de constructions)