Chapitre 1 : Géométrie repérée dans le plan I Rappels sur les symétries : I. 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de [ ]. On appelle médiatrice du segment [ ] la droite perpendiculaire en I à ( ). Propriétés : La médiatrice de [ ] est l ensemble des points équidistants des extrémités de [ ] : 1) Si M est un point de la médiatrice de [ ], alors M M. ) Si M M, alors M est un point de la médiatrice de [ ]. On considère un point n appartenant pas D du plan. à une droite ( ) Dire que le point est le symétrique du point par rapport à la droite ( D ) signifie que la droite ( D ) est la médiatrice du segment [ ']. Remarque : Si le point appartient à la droite ( D ), les points et sont confondus. I. Symétrie centrale : On considère deux points et O distincts du plan. Dire que le point est le symétrique du point par au point O signifie que le point O est le milieu du segment [ ']. 1
II Rappels sur les configurations du plan : II. 1 Droites remarquables dans un triangle : Médiatrices : Une médiatrice d un triangle est la médiatrice d un de ses côtés. Propriété : Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle. Médianes : Propriété : Une médiane d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et par le milieu du côté opposé. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. Hauteurs : Propriété : Une hauteur d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. issectrices : Propriété : La bissectrice d un angle partage un angle en deux angles adjacents de même mesure. Une bissectrice d un triangle est la bissectrice d un de ses trois angles. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit dans le triangle.
II. Triangles particuliers : Triangle isocèle : On appelle triangle isocèle tout triangle ayant deux côtés de même longueur. Propriétés : 1) Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure. ) Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base. Triangle équilatéral : On appelle triangle équilatéral tout triangle dont les côtés ont la même longueur. Propriétés : 1) Les angles d un triangle équilatéral ont la même mesure : 60. ) Un triangle équilatéral a trois axe de symétrie : les médiatrices de ses côtés. 3) Les droites remarquables dans un triangle équilatéral sont toutes confondues. Triangle rectangle : On appelle triangle rectangle tout triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse. Propriétés : 1) Dans un triangle rectangle, le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle. ) Tout triangle dont les sommets appartiennent à un cercle et dont l un des côtés est un diamètre de ce cercle est rectangle. 3) Théorème de Pythagore : Si le triangle C est un triangle rectangle en, alors 4) Réciproque du théorème de Pythagore : Si C + C, alors le triangle C est rectangle en. 3 C + C.
II. 3 Quadrilatères particuliers : Parallélogramme : On appelle parallélogramme tout quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles deux à deux Propriétés : 1) Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. ) Les côtés opposés d un parallélogramme sont deux à deux de la même longueur. 3) Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Propriétés pour démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme : Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont de la même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Rectangle : On appelle rectangle tout quadrilatère ayant trois angles droits. Propriétés : 1) Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. ) Un rectangle a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. 3) Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Propriétés pour démontrer qu un parallélogramme est un rectangle : Si les diagonales d un parallélogramme sont de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires ( ou un angle droit ), alors ce parallélogramme est un rectangle. 4
Losange : On appelle losange tout quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur. Propriétés : 1) Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. ) Un losange a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. 3) Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. Propriétés pour démontrer qu un parallélogramme est un losange : Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce parallélogramme est un losange. Carré : On appelle carré tout quadrilatère ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Propriétés : 1) Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires. ) Un carré a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. 3) Un carré a quatre axes de symétrie. Propriétés pour démontrer qu un losange est un carré: Si les diagonales d un losange sont de la même longueur, alors ce losange est un carré. Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires ( ou un angle droit ), alors ce losange est un carré. Propriétés pour démontrer qu un rectangle est un carré : Si les diagonales d un rectangle sont perpendiculaires, alors ce rectangle est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce rectangle est un carré. II. 4 Cercles Le cercle de centre et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que M R. 5
III Repères et coordonnées du plan : III. 1 Repères du plan : Définitions : 1) Un repère du plan est un triplet ( O; I; J ) de trois points non alignés. ) Le point O s appelle l origine, la droite ( OI ) s appelle l axe des abscisses et la droite ( OJ ) s appelle l axe des ordonnées. 3) Si les axes sont perpendiculaires en O, alors on dit que le repère ( O; I; J ) est orthogonal. 4) Si les axes sont perpendiculaires en O et si OI OJ, alors on dit que le repère O; I; J est orthonormé. ( ) repère quelconque repère orthogonal repère orthonormé III. Coordonnées d un point du plan : Théorème : On se place dans le plan rapporté au repère ( O; I; J ). Tout point M du plan est repéré par un unique couple de réels ( ; ) coordonnées de M. On dit que x M est l abscisse de M et M Exemple : On considère le plan muni du repère orthonormé ( O; I; J ) ci dessous. x y appelé M M y son ordonnée. 1) Déterminer graphiquement les coordonnées des points, et C. 7 ) Placer les points D et E de coordonnées respectives ( 6;0) et ;3. 6
Remarques : 1) Dans le repère ( O; I; J ), le point O a pour coordonnées (0 ; 0). ) Un point n est pas égal à ses coordonnées. III. 3 Coordonnées du milieu d un segment : Propriété : On se place dans le plan muni du repère ( O; I; J ). Soient et deux points du plan de coordonnées respectives ( x ; y ) et ( ; ) K est le milieu de [] si et seulement si x xk y yk + x + y x y. Dém. : Voir Hyperbole page 156 ( dur! ) Exemple : On reprend les points et de la partie II. 1 : Calculer les coordonnées du point K, milieu de ( 7; 1) et ( 3;4) On sait que K est le milieu de []. x + x 7 + ( 3) xk xk Donc y + y y K ( 1) + 4 y K Vérifier sur le dessin xk yk 4 3. x y K K 3 7
- n 33 page 7 : faire dessin dans un repère orthonormé ( 1cm ), placer points + coordonnées milieu parallélogramme. - n 3 page 71 a : faire dessin dans un repère orthonormé ( 1 carreau ) + coordonnées symétrique. - n 37 page 7 b : faire dessin dans un repère orthonormé ( 1cm ), coordonnées 3 points coordonnées 4 ième point pour avoir parallélogramme milieu ( dans les sens ). III. 4 Distance entre deux points du plan dans un repère orthonormé : Propriétés : Soit ( O; I; J ) un repère orthonormé du plan. Soient et deux points du plan de coordonnées respectives ( x ; y ) et ( ; ) lors ( x x ) ( y y ) +. x y. Dém : Pythagore. Exemple : On reprends les points et de la partie II. 1 : 7; 1 Calculer la distance entre les points ( ) et ( 3;4). ( ) ( ) ( 3 7) ( 4 ( 1) ) ( 10) ( 5) x x + y y + + 100 + 5 15 5 5 5 5 Vérifier sur le dessin - n 1 feuille 1 : coordonnées points + conjecture + démontrer triangle rectangle + périmètre + aire + coordonnées centre cercle circonscrit. - n feuille 1 : coordonnées points pour démontrer triangle équilatéral - n 3 feuille 1 : coordonnées points + cercle + rayon du cercle + point appartenant à ce cercle + médiatrice. - n 4 feuille 1 : coordonnées points + conjecture + démontrer rectangle ( avec diagonales ). - n 5 feuille 1 : distance triangle isocèle + coordonnées pied hauteur principale + calcul hauteur. - n 6 feuille 1 : coordonnées points + conjecture + démontrer carré ( avec diagonales et côtés consécutifs ). - n 7 feuille 1 : cercle + rayon + coordonnées points d intersection cercle et (yy ). 8