Equation de Riccati discrète Illustration de l algorithme de Vaughan Jean Paul K. Tsasa Vangu Laboratoire d analyse recherche en économie quantitative In this paper we illustrate the nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation invented by David R. Vaughan in 1970. This Algorithm is typically used in macroeconomics to solve the rational expectations models, which can be written as linear differences equations. Keywords: Optimal linear control, Riccati equation. Code JEL: C61, E13 Introduction Les équations de Riccati, de noms des mathématiciens italiens Jacopo Francesco Riccati (1676 1754) et de Vincenzo Riccati (1708 1775), sont généralement utilisées en physique quantique (Erwin Rudolf Schrödinger) ; dans le calcul de la matrice de gains d une commande par retour d état (Rudolf Emil Kalman) ou dans le traitement des équations de la propagation de la chaleur en régime harmonique (Joseph Fourier). De manière générique, elles peuvent se traduire à l aide d une équation différentielle ordinaire du premier ordre, quadratique dans sa fonction inconnue : où ; et sont des fonctions à valeurs réelles ou complexes telles que : Si on obtient l équation de Bernoulli (Jacob Bernoulli, 1695) : dont la forme généralisée est donnée par l expression 2013 par Laréq. Tous droits réservés. Décembre 2013. Courriel : coordination@lareq.com
Jean Paul K. Tsasa 189 Soit : avec Leibniz en 1696. La solution à cette dernière équation a été proposée par Gottfried Dans l expression si l équation de Riccati devient une équation différentielle ordinaire linéaire. Par ailleurs, l équation de Riccati intervient également dans l analyse des problèmes de contrôle optimal en horizon infini en temps continu, tout comme en temps discret. Dans ces problèmes, on distingue généralement les variables d état et les variables de contrôle. Dans ce contexte, la résolution des équations de Riccati dites algébriques permet de déterminer les valeurs optimales des variables de contrôle pour tout moment du temps. Son expression matricielle est donnée par : en temps continu : en temps discret : où est une matrice symétrique de format comprenant les inconnus ; et sont des matrices des coefficients réels connus. En économie, les équations de Riccati interviennent dans la plupart de cas, en finance mathématique (Cf. e.g. le modèle proposé par le mathématicien américain Steve L. Heston) et en macroéconomie notamment, dans la résolution des équations récurrentes avec anticipations rationnelles [Cf. Blanchard Kahn (1980, p. 1307) ; Hansen Sargent (1980, p. 17) ; Lucas Sargent (1981, vol. 1, p. 100 ; vol. 2, p. 474) ; Sargent Ljungqvist (2014, p. 102 ; p. 939)]. De manière intuitive, Une équation récurrente est l'analogue discret d'une équation différentielle, et elle a pour inconnue une suite reliant plusieurs termes d'une même suite. On dispose de plusieurs méthodes pour résoudre ce type d équations récurrentes. Et dans ce cadre, l'équation de Riccati joue un rôle fondamental. Particulièrement, sa solution constitue une condition sine qua non dans la résolution des nombres problèmes posés dans les modèles d équilibre général dynamiques stochastiques. Au regard de son importance analytique (physique, ingénierie, finance, économie), il existe une littérature abondante sur les algorithmes permettant de dériver sa solution de l équation de Riccati. Dans ce papier, nous présentons les résultats d une étude classique suggérée par le mathématicien David Vaughan en 1970.
190 Equation de Riccati Illustration de l algorithme de Vaughan Ainsi, dans la section première, nous rappelons quelques résultats importants de problème de commande optimale. Dans la section deuxième, nous présentons le cadre de référence mobilisé par Vaughan (1970), et dans la section troisième, nous étudions l algorithme de Vaughan. Tout au long de ce papier, nous ne rappellerons pas certains concepts basiques de la théorie de contrôle optimal (commande optimale), tels que le lagrangien, le hamiltonien, le principe du minimum de Pontriaguine ou encore le principe d optimalité de Bellman. Afin de ne pas alourdir le texte, nous les admettons comme pré requis. I. Problème de contrôle optimal Le traitement des problèmes de contrôle optimal repose sur deux méthodes fondamentales, à noter : le principe du maximum (Lev Pontriaguine) et la programmation dynamique (Richard Bellman). Alors que la première méthode constitue une condition nécessaire d optimalité et permet de dériver de solutions en boucle ouverte (fonction du temps), la deuxième fournit les conditions suffisantes, conduisant à une commande en boucle fermée (fonction de l état du système). I.1. Problème statique Le problème statique de contrôle optimal peut être illustré comme suit. Figure 1 Vecteur contrôle Processus contrôlé (Plant) Vecteur d état Le problème statique consiste à résoudre le programme suivant. Soit une fonction bien définie telle que : telle que : ; ; connu et ; avec comme fonction objectif (performance index) : Le lagrangien fonctionnel s écrit : et le hamiltonien correspondant :
Jean Paul K. Tsasa 191 En considérant la différentielle totale de la fonction il vient que : En vertu de la condition nécessaire (condition du premier ordre) d optimalité, il suit que : De on établit : I.2. Problème à une étape Dans ce cas, le problème de commande (contrôle) optimale se présente comme suit. Figure 2 Commande 0 Valeur initiale du vecteur d état Valeur finale du Vecteur d état On a que : Soit un vecteur co-état (adjoint vector, costate vector). Le hamiltonien du problème en cause s écrit : Comme précédemment, on établit les résultats suivants :
192 Equation de Riccati Illustration de l algorithme de Vaughan I.3. Problème à plusieurs étapes Le problème de contrôle optimal à plusieurs étapes se présente comme suit. Figure 3 0 1 N 1 Il vient qu on a : La fonction objectif s écrit : Dès lors, pour chaque vecteur d état, il existe un vecteur co état multiplicateur de Lagrange correspondant (variables co-état, variables adjointes). et un Ainsi, on a : avec, et donc : En exécutant les conditions d optimalité, on a que :
Jean Paul K. Tsasa 193 En conséquence, on déduit : Dès lors, considérant : pour résoudre on commence aux et on calcule les équations vers l arrière (backwards) ; alors que pour résoudre on commence par qui est donné, et on calcule les équations vers l avant (forwards). Ainsi, le problème comprend deux valeurs limites et donc, il y a lieu de calculer simultanément les équations d état vers l avant et l équation co-état vers l arrière. Par ce mécanisme, on peut connaître à la fois, l état et le co-état pour calculer le vecteur contrôle. I.4. Système à temps discret Soit l instant du temps discret tel qu on exprime le processus contrôlé comme suit. Figure 4 Processus contrôlé (Plant) Il vient que : avec : Bien que fondamentalement distinct, ce problème est formellement quasi identique à celui du processus à plusieurs étapes.
194 Equation de Riccati Illustration de l algorithme de Vaughan Ainsi, les conditions nécessaires d optimalité sont telles que : où II. Cadre d analyse Considérons à présent, un système des fonctions à coefficients constants linéaires tel que : avec : où : désigne un vecteur d état de dimension ; un vecteur d output de dimension ; une matrice non singulière de transition du processus contrôlé ; une matrice d input de format ; un vecteur de contrôle de dimension ; une fonction objectif scalaire ; une matrice de pondération de valeur finale définie non négative de format ; une matrice de pondération d output définie positive de format ; une matrice de poids de contrôle définie positive de format ; le nombre d étapes sur lesquelles l optimisation doit être effectuée ; une matrice d output de dimensions On peut montrer que le problème de contrôle optimal correspondant est donné par : où est le vecteur co-état de dimension qui satisfait :
Jean Paul K. Tsasa 195 Considérant et une manipulation mathématique astucieuse nous permet d obtenir un système matriciel canonique d équations aux différences retardées (backward equations). où : ; Le processus d état initial fournit conditions limites. Les conditions limites restant sont : En posant que admet la solution de la forme : il vient que : où Une manipulation mathématique simple nous permet d exprimer le système une équation unique telle que : par L équation correspond exactement à une équation matricielle de Riccati discrète associée au problème de contrôle optimal linéaire discret. Le système peut être résolu récursivement de à c est à dire de à Le problème de contrôle optimal correspondant est donné par : Considérant ce cadre d analyse, Vaughan (1970) montre que la solution peut être obtenue à partir de pour tout à l aide des relations algébriques non récursives. En effet, fondamentalement, sa démarche va consister à trouver les valeurs propres et les vecteurs propres des équations canoniques état co-état. III. Algorithme de Vaughan L algorithme développé par Vaughan permet de résoudre directement l équation de Riccati et d en extraire une solution algébrique non récursive. Autrement, les relations établies par Vaughan déterminent directement, sans itération, d une part, la solution à l'état stationnaire de l'équation de Riccati, et d autre part, la solution transitoire pour un moment donné sans procéder de manière récursive à partir des conditions initiales.
196 Equation de Riccati Illustration de l algorithme de Vaughan Soit : où désigne le système matriciel de l équation canonique retardée établie dans Proposition. Les valeurs propres de valeur propre est aussi une valeur propre. sont telles que la réciproque de chaque Preuve. Soit une valeur propre de ; et des partitions du vecteur propre correspondant telles que : ou encore sous la forme partitionnée : Il vient que d équations retardées : est une valeur propre de la transposée du système matriciel canonique ou encore : Puisque est une valeur propre de de ce fait, il est également une valeur propre de Et par ailleurs, comme est une valeur propre de il suit que est une valeur propre de Il suit que les valeurs propres peuvent être disposées comme dans une matrice diagonale : où désigne une matrice de valeurs propres, supposées distinctes, situées à l'extérieur du cercle unité. Et donc, il existe une matrice non singulière des vecteurs caractéristiques (vecteur propres) telle que :
Jean Paul K. Tsasa 197 Considérons à présent un nouveau vecteur d état suivante : défini par la transformation où les composantes sont partitions de Et don, on a : Puisque nous voulons laisser pour extraire la solution à l'état stationnaire du problème en temps infini, il vient que les éléments diagonaux de vont croître sans limite et s'écarter les uns des autres. Donc, il est nécessaire d apporter une modification aux équations de sorte que lorsque le ratio d un nombres sur un autre est assez petit, le terme le plus petit peut ainsi être négligé sans perdre les informations essentielles. De plus, Vaughan (1970) montre que cette modification des équations peut être atteinte. Pour ce faire, il sied de convertir la relation à partir de sa forme de valeur initiale dans laquelle et sont exprimés en termes de valeurs initiales et à l effet d obtenir une forme de valeur limite dans laquelle et sont exprimés en termes de valeurs limites et La relation résultant de cette opération est telle que : Remarquons que contrairement à l expression la relation contient uniquement de puissances négatives de Il découle que : la condition limite peut donc s écrire en termes de et comme suit : où : la relation entre et : où : la relation entre et : où :
198 Equation de Riccati Illustration de l algorithme de Vaughan Les équations fournissent la solution algébrique non récursive pour Pour procéder à la dérivation de la solution à l état stationnaire, étant donné que : il suit que : Ainsi, l état stationnaire matrice peut être obtenu à l aide des vecteurs propres de la Somme toute, le résultat présenté dans ce papier est majeur. En particulier, il nous permettra, dans les publications ultérieures, d aborder avec plus de fluidité trois thématiques importantes en analyse macroéconomique, à noter : la formulation et l estimation des modèles d anticipations rationnels linéaires dynamiques (Hansen Sargent, 1980) ; la résolution des modèles d anticipations rationnelles linéaires récurrentes (Blanchard Kahn, 1980) ; et, l application des méthodes de perturbation du premier ordre dans la résolution des modèles d équilibre général dynamiques stochastiques.
Jean Paul K. Tsasa 199 Bibliographie BLANCHARD Olivier J. et Charles M. KAHN, 1980, The Solution of Linear Difference Models Under Rational Expectations, Econometrica 48(5): 1305 1310. HANSEN Lars Peter et Thomas J. SARGENT, 1980, Formulating and Estimating Dynamic Linear Rational Expectations Models, Journal of Economic Dynamics and Control, 2, 7 46. HEER Burkhard et Alfred MAUßNER, 2009, Dynamic General Equilibrium Modeling. Computational Methods and Applications, Second Edition Springer Verlag, Berlin, 702p. JUDD Kenneth L., 1998, Numerical Methods in Economics, MIT Press, Cambridge, MA, 656p. KING Robert G. et Mark W. WATSON, 1998, "The Solution of Singular Linear Difference Systems under Rational Expectations", International Economic Review, 4(39): 1015 1026. KING Robert G., Charles L. PLOSSER et Sergio T. REBELO, 1988, Production, Growth and Business Cycles I: The Basic Neoclassical Model, Journal of Monetary Economics (juin), 21 (2 3): 195 232. LJUNGQVIST Lars et Thomas J. SARGENT, 2004, Recursive Macroeconomic Theory, 2 nd edition, The Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Massachusetts, 1082p. LJUNGQVIST Lars et Thomas J. SARGENT, 2012, Recursive Macroeconomic Theory, 3ème edition, The Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Massachusetts, 1331p. LUCAS Robert E., Jr. et Thomas J. SARGENT, eds, 1981a, Rational Expectations and Econometric Practice (Volume 1), The University of Minnesota Press, Minneapolis, 367p. LUCAS Robert E., Jr. et Thomas J. SARGENT, eds, 1981b, Rational Expectations and Econometric Practice (Volume 2), The University of Minnesota Press, Minneapolis, pp. 369 689. SCHMITT GROHE Stephanie et Martin URIBE, 2004, Solving Dynamic General Equilibrium Models using a Second Order Approximation to the Policy Function, Journal of Economic Dynamics and Control, 28 (4): 755 775. SIMS Christopher A., 2002, Solving Linear Rational Expectations Models, Computational Economics (octobre), 20 (1 2): 1 20 STOKEY Nancy L. et Robert E. LUCAS Jr., avec Edward C. PRESCOTT, 1989, Recursive Methods in Economic Dynamics, Harvard University Press, Massachusetts, 588p. VAUGHAN David R., 1970, A Nonrecursive Algebraic Solution for the Discrete Riccati Equation, Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Automatic Control, AC 15 (5): 597 599.