Principe de Mazur en dimension supérieure

Principe de Mazur en dimension supérieure Deng Taiwang Univ. Paris 13 12/09/2013 (sous la direction de P. Boyer) Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 1 / 18

Introduction historique Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 2 / 18

Le grand théorème de Fermat Théorème Pour tout entier n 3, toute solution dans N de l équation vérifie xyz = 0. x n + y n = z n Pour p 5, soit (a, b, c) avec abc 0 tel que avec a 1 mod 4 et b pair. a p + b p + c p = 0 Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 3 / 18

La courbe elliptique de Frey-Hellegouarch (87) Elle est définie dans le plan projectif complexe par l équation E A,B,C : y 2 = x(x A)(x + B) avec (A, B, C) = (a p, b p, c p ). Partant de la propriété que toute droite du plan complexe coupe E A,B,C en trois points, on peut munir cette courbe d une loi de groupe définie sur Q puis construire un isomorphisme de groupe E A,B,C (C) C/Λ E avec Λ E = Z ω E Z. Ainsi pour tout entier n 1, les points de n-torsion E A,B,C [n] 1 n Λ E /Λ E (Z/nZ) 2 sont munis d une action du groupe de Galois G Q de Q Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 4 / 18

La représentation galoisienne associée La loi de groupe étant définie par des fractions rationnelles à coefficients dans Q, on obtient une représentation galoisienne ρ n : G Q Aut(E A,B,C [n]) GL 2 (Z/nZ). Pour n = p 5, elle vérifie les propriétés suivantes : elle est absolument irréductible ; elle est impaire, i.e. detρ p (c) = 1 où c est la conjugaison complexe ; localement, elle est non ramifiée en dehors de 2p et la ramification en p n est pas méchante (on dit qu elle est finie). Ribet (90) a prouvé qu il n existe pas de telle représentation qui soit en outre modulaire. Finalement Wiles aidé par Taylor (95) a montré la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil i.e. que dans le cas semi-stable, toute représentation galoisienne provenant d une courbe elliptique est modulaire. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 5 / 18

Courbes modulaires On appelle courbe modulaire de niveau N sur C, la surface de Riemann qui compactifie naturellement l espace Γ 0 (N)\H où Γ 0 (N) = { ( a b c d ) SL 2 (Z) c 0 } mod N agit sur le demi-plan de Poincaré H := {z C : Im(z) > 0} par homographies. On peut montrer qu il représente l espace de modules des courbes elliptiques (généralisées) munies d un sous-groupe d ordre N de sorte que X 0 (N) est définie sur Q et qu on peut en définir un joli modèle sur Z. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 6 / 18

Algèbre de Hecke On appelle forme modulaire parabolique de poids 2, toute forme différentielle holomorphe sur X 0 (N)(C) ; l espace S(N) de ces formes est alors un C-espace vectoriel de dimension g(n), le genre de X 0 (N). Cet espace est muni de l action d une famille d opérateurs dits de Hecke, T n pour n 1. Le sous-anneau T de End C (S(N)) qu ils engendrent est un Z-module libre de rang g(n). Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 7 / 18

Représentations modulaires Deligne associe à tout idéal maximal M de T, une représentation galoisienne ρ M : G Q GL 2 (κ M ) définie sur le corps fini κ M := T/M. On dit d une représentation galoisienne ρ : G Q GL 2 (F) à coefficients dans un corps fini F qu elle est modulaire de niveau N si elle est isomorphe à une représentation ρ M. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 8 / 18

Augmentation du niveau selon Mazur et Ribet Théorème Soit p 3 un nombre premier et ρ : G Q GL 2 (F p ) une représentation galicienne irréductible et modulaire de niveau N. Soit l un nombre premier divisant exactement N tel que soit l p soit l = p avec ρ finie en p, alors ρ est modulaire de niveau N/l. Remarque : cet énoncé est un cas particulier des conjectures de Serre. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 9 / 18

Preuve du théorème de Fermat Revenons à la représentation ρ p associée à la courbe elliptique de Frey-Hellegouarch ρ p : G Q GL 2 (F p ), qui est donc irréductible, non ramifiée en dehors de 2p et finie en p. D après le théorème de Wiles, elle est aussi modulaire. Ainsi d après le théorème de Mazur-Ribet, elle est modulaire de niveau 2. Mais X 0 (2) étant de genre 0, on a S(2) = 0 et donc il n existe pas de représentation modulaire de niveau 2, i.e. un tel ρ p n existe pas. Moralité il n existe pas de triplet (a, b, c) tels que abc 0 et a p + b p + c p = 0, le grand théorème de Fermat est donc prouvé. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 10 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Présentation du sujet de thèse Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 11 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Variétés de Shimura Le demi-plan de Poincaré H s interprète comme un quotient H PSL 2 (R)/SO(2, R), de sorte que la courbe modulaire X 0 (N) s écrit comme un double quotient X 0 (N) := Γ 0 (N)\PSL 2 (R)/SO(2, R). En dimension supérieure, i.e. pour GL n avec n 3, il existe des analogues X Γ appelés variétés de Shimura qui se décrivent sous la forme X Γ := Γ\G(R)/K où G est un groupe de similitudes proche de GL n ; K est un sous-groupe compact de G(R) ; Γ est en quelque sorte un sous-groupe de G(Z) appelé le niveau de X Γ. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 12 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Variétés de Shimura La variété de Shimura X Γ est : une variété algébrique de dimension relative n 1, définie sur un corps de nombre et classifie des variétés abéliennes munies de structures supplémentaires. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 13 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Représentations automorphes En dimension supérieure la notion de forme modulaire est remplacée par celle de représentation automorphe. au delà des formes différentielles, on introduit les groupes de cohomologie H i (X Γ, Λ) à coefficients dans un anneau Λ qui peut être un corps local comme Q l ou son anneau des entiers Z l avec l un nombre premier. L algèbre de Hecke de G agit sur ces groupes de cohomologie lesquelles fournissent des représentations automorphes. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 14 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Correspondance de Langlands D après les travaux de M.Harris et R.Tayor (2000), on a une décomposition lim Γ H n 1 (X Γ, Q l ) = π π L(π). où π décrit l ensemble des classes d équivalence des représentations automorphes de GL n, L(π) est la représentation galoisienne attachée à π par la correspondance de Langlands. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 15 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Représentations modulaires de niveau Γ Comme dans le cas n = 2, à tout idéal maximal M de l algèbre de Heck T de G, est associée une représentation automorphe irréductible π M, puis par le théorème d Harris et Taylor, une représentation galoisienne sur le corps fini κ M := T/M. ρ M : G Q GL n (κ M ) On dit d une telle représentation qu elle est modulaire de niveau Γ si la représentation automorphe π M apparait dans la cohomologie de X Γ. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 16 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Théorème principal (Deng 2013) Théorème Soit M un idéal maximal de T tel que ρ M : G Q GL n (F l ) est une représentation irréductible modulaire de niveau Γ. Sous-certaines hypothèses sur la forme de Γ en un nombre premier p l ; sur l relativement à p ; sur l idéal M, il existe un idéal M tel que ρ M ρ M avec π M de niveau Γ Γ. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 17 / 18

Augmentation du niveau en dimension supérieure Ingrédients de la preuve L hypothèse sur la forme de Γ en p implique que X Γ a une géométrie relativement simple sur F p ; X Γ est dit à réduction semi-stable en p. Une première partie de mon travail consiste à détailler cette géométrie. La cohomologie de X Γ s étudie à l aide de la suite spectrale de Rapoport-Zink. L hypothèse faite sur M me permet de contrôler cette suite spectrale et montrer qu elle dégénère en E 1. L irréductibilité de ρ M me permet enfin de faire de la combinatoire sur les représentations locales de GL n. Deng Taiwang (Univ. Paris 13) Principe de Mazur en dimension supérieure 12/09/2013 18 / 18