Exercice 1. Figures magiques Carrés magiques On écrit les nombres entiers naturels non nuls par ligne de dix. On a ci-dessous les 10 premières lignes d'une grille infinie : 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8 83 84 85 86 87 88 89 90 91 9 93 94 95 96 97 98 99 100 On appelle carré 3 3 toute portion de la grille telle que celle grisée, dans la partie représentée ou plus bas dans la grille infinie. a) Dans le carré grisé, ajouter les nombres en haut à gauche (5) et en bas à droite (47). Faire de même avec les nombres en haut à droite (7) et en bas à gauche (457). Que constatez-vous? 5 + 47 = 7 ; 7 + 45 = 7. Ces deux sommes ont égales. b) Le résultat sera-t-il le même quel que soit le carré 3 3 choisi? Justifier. Appelons a le nombre en haut à gauche du carré. Le nombre en bas à droite vaut alors a + 0 + = a +. La somme de a et de ce nombre est donc a +. Le nombre en haut à droite du carré est a +, et celui en bas à droite est a + 0. La somme de ces deux nombres est donc aussi a +. Ces deux sommes seront donc toujours égales. c) Choisir encore un autre carré 3 3. Cette fois-ci, ajouter le nombre du milieu dans la rangée du haut et le nombre du milieu dans la rangée du bas. Puis ajoutez le nombre du milieu dans la colonne de gauche et le nombre du milieu dans la colonne de droite. Que constatez-vous? On constate que ces sommes sont égales. d) Le résultat sera-t-il le même quel que soit le carré 3 3 choisi? Justifier. a est toujours le nombre en haut à gauche. Le nombre du milieu de la rangée du haut est donc a + 1, et celui de la rangée du bas est donc a + 1 + 0. Leur somme vaut donc a +. Le nombre du milieu de la colonne de gauche est a + 10. Le nombre du milieu de la colonne de droite est a + 10 +. Leur somme vaut donc aussi a +.
Croix magiques Dessiner une croix comme ci-dessous. En haut de chaque branche de la croix, placer un nombre. Au centre de la croix, placer la somme de ces deux nombres. En bas de chaque branche, placer la somme des nombres sur cette branche. Y a-t-il un lien entre la somme des nombres en bas de la croix et en haut de la croix? Cela dépend-il des nombres choisis? Prouvez vos conjectures. a et b sont les deux nombres placés en haut de la croix (a à gauche). Au centre, on aura donc a + b. En bas à gauche, on aura b + a + b = b + a. En bas à droite, on aura a + a + b = a + b. La somme des nombres en bas de la croix sera donc b + a + a + b = 3 a + 3 b = 3(a + b), ce qui correspond au triple de la somme des nombres placés en haut (a + b). Exercice l arachnophobe A l aide de la figure ci-contre, l aire hachurée en dm² est : π 0,5 1 π 0,5 =. 4 4 16 Ainsi le volume en dm 3 entre la gouttière et le coin du mur est : 1 π 5 5 = ( 4 π ) 4 16 16 5 ( 4 π ) Par suite 16 7,06 0,19 Et donc 7 araignées peuvent faire leur nid derrière la gouttière. Exercice 3 Boules au carré Une solution : 18-7, 17-8, 16-9, 15-1, 14-, 13-3, 1-4, 11-5, 10-6. On commence par remarquer que le 16 ne peut se marier qu'avec le 9, le 17 avec 8 et le 18 avec 7. ne peut s'associer qu'avec 7 ou 14, mais 7 est pris d'où -14, 11 ne peut s'associer qu'avec 5 ou 14, mais 14 est pris d'où 11-5, 4 ne peut s'associer qu'avec 5 ou 1, mais 5 est pris d'où 4-1, 13 ne peut s'associer qu'avec 3 ou 1, mais 1é est pris d'où 13-3, 6 ne peut s'associer qu'avec 3 ou 10, mais 3 est pris, d'où 6-10,
On termine avec les deux qui restent, 15-1. Exercice 4 : Les pommes (niveau nde LP) Notons n le nombre de pommes sur la dernière ligne complète. 1 + +. + n 010 < 1+ + + n + (n+1) n( n + 1) Si on connaît la formule 1 + +... + n =, on écrit l encadrement : n( n + 1) ( n + 1)( + ) 010 n n(n+1) 400 < (n + 1)(n + ) n² < n(n+1) 400 < (n + )² (car n est un nombre entier positif) n < < n + n < 400 donc n 63 400 < n + donc n + 64 donc n 6 donc n est soit égal à 6, soit égal à 63. 6 63 63 64 = 1953 et = 016 donc la dernière ligne complète contient 6 pommes. 010 1953 = 57 Donc la dernière ligne ( qui n est alors pas complète) contient 57 pommes. L exercice peut assez facilement se faire avec la calculatrice, en faisant la somme des entiers successifs jusqu à obtenir le premier résultat supérieur à 010. On termine le raisonnement comme dans la méthode précédente. Exercice 5 Le projecteur Le projecteur R R correspond à une augmentation de t% par rapport à, donc = t%. R Ainsi r = R. L aire de la surface éclairée sur l écran, en fonction de R est donc : ( ) R R 4 ( R ) ) π ( R r ) = π R R = π R 1 = π R 4 4 ( R + )( + R ) π = π R = R (4 R) 4 4 Avec la calculatrice, on trouve R=3m, pour la plus grande surface éclairée. Exercice 6 triplets pythagoriciens Un triplet pythagoricien est un triplet de nombres entiers positifs (a ; b ; c) tels que le carré d'un des nombres est égal à la somme des carrés des deux autres nombres. Par exemple, (3 ; 4 ; 5) est un triplet pythagoricien car 5² = 4² + 3². En 1678, E. Mariotte propose un algorithme pour trouver des triplets pythagoriciens :
- prendre deux entiers (par exemple et 3) - calculer la somme de leurs carrés (13), la différence de leurs carrés (5), et leur double produit (1) - ces trois nombres, 13, 5 et 1 forment un triplet pythagoricien. a) Prouver que les trois nombres ci-dessus ( 5, 1 et 13) forment un triplet pythagoricien. On a 13² = 169, et 1² + 5² = 144 + 5 = 169, donc 13² = 1² + 5². (5 ; 1 ; 13) forme donc bien un tripler pythagoricien. b) Tester la méthode de E. Mariotte en partant de deux autres nombres entiers. Par exemple : on prend 3 et 5. 3² + 5² = 34. 5² - 3² = 16. 3 5 = 30. On obtient le triplet (16 ; 30 ; 34). 16² + 30 ² = 56 + 900 = 1156. 34² = 1156, donc 34² = 16² + 30². Ce ci prouve que (16 ; 30 ; 34) est un triplet pythagoricien. c) Prouver que la méthode donne toujours un triplet pythagoricien quels que soient les nombres non égaux choisis au départ. Soient a et b les nombres entiers choisis au départ, et supposons a > b. a² + b² = A a² - b² = B ab = C On a alors : A² = a 4 + a²b² + b 4. B² = a 4 - a²b² + b 4. C² = 4a²b². B² + C² = a 4 - a²b² + b 4 + 4a²b² = a4 + a²b² + b 4 = A² (A ; B ; C) forme donc toujours un triplet pythagoricien. Exercice 7 la calculatrice a) D abord, on allume, et obtient dans cet ordre : 0-1 3 7 15 31 63. Le nombre obtenu est alors 63. b) Nous commençons par la fin. Remarquons d abord que la touche A ne donne que des nombres impairs. 1 er cas : La dernière touche utilisée est A. Dans ce cas, l avant dernier nombre affiché est, qui lui-même ne peut être obtenu que par la touche B. Or le plus petit nombre possible obtenu par B est 3. Par conséquent, la dernière touche utilisée ne peut pas être A. ème cas : La dernière touche utilisée est B. Dans ce cas, l avant dernier nombre obtenu est 5, qui ne peut pas être obtenu par A (d après le premier cas). C est encore impossible.
Conclusion : Je ne peux pas obtenir 5. c) La séquence la plus rapide utilise 13 touches : A-A-B-A-A-A-B-A-A-B-A-A-B. Ce qui donne la suite des nombres suivante : 0 1-3 - 4-9 - 19-39 - - 45-91 - 48-97 - 195-100 Pour la trouver, il suffit de commencer par la fin. Exercice 8 produits Le premier nombre s écrit : et le deuxième nombre s écrit :, où sont des nombres entiers compris entre 1 et 9. Nous avons : Ce qui donne après développement et simplification: En formant avec les chiffres compris entre 1 et 9 toutes les paires possibles de nombres à produits égaux, on aboutit à 14 solutions qui vérifient : 34 36 4 46 4 48 Sans oublier les 36 produits, obtenus par commutativité, du type en excluant le cas ( c'est-à-dire les 9 multiples de 11 à deux chiffres) 1 x 1 = 1 x 1 3 x 3 = 3 x 3 13 x 31 = 31 x 13 4 x 4 = 4 x 4 14 x 41 = 41 x 14 5 x 5 = 5 x 5 15 x 51 = 51 x 15 6 x 6 = 6 x 6 16 x 61 = 61 x 16 7 x 7 = 7 x 7 17 x 71 = 71 x 17 8 x 8 = 8 x 8 18 x 81 = 81 x 18 9 x 9 = 9 x 9 19 x 91 = 91 x 19 34 x 43 = 43 x 34 45 x 54 = 54 x 45 35 x 53 = 53 x 35 46 x 64 = 64 x 46 36 x 63 = 63 x 36 47 x 74 = 74 x 47 37 x 73 = 73 x 37 48 x 84 = 84 x 48 38 x 83 = 83 x 38 49 x 94 = 94 x 49 39 x 93 = 93 x 39 Nous avons donc 50 solutions 56 x 65 = 65 x 56 67 x 76 = 76 x 67 57 x 75 = 75 x 57 68 x 86 = 86 x 68 58 x 85 = 85 x 58 69 x 96 = 96 x 69 59 x 95 = 95 x 59 78 x 87 = 87 x 78 89 x 98 = 98 x 89 79 x 97 = 97 x 79
Exercice 9 Nouvelles plaques d immatriculation 1) (6 6) 999 (6 6) = 456 519 04 Le nombre potentiel de plaques autorisées par ce nouveau système est de : n potentiel = 456 519 04 plaques. ) ((3 3) - ) 999 ((3 3) - 1) = 77 977 744 Le nombre de plaques autorisées en tenant compte des exclusions est de : n avec exclusions = 77 977 744 plaques. 77977744 3) 9,66 3000 000 La durée de vie prévisible de ce nouveau système est de 93 ans. Exercice 10 De quoi j ai l aire? Aire du grand disque = 4 Aire d un petit disque + Aire grisée aire hachurée. Si on note R le rayon du grand disque, son aire est πr², et celle des 4 petits disques est Donc, l aire grisée est égale à l aire hachurée. 4 R π = π R