T-PL OSCILLATEUR HARMONIQUE I- Oscillateur haronique libre (sans frotteent) (OHL) a) Point de vue de la dynaique Pari les nobreux dispositifs présentant des oscillations, le plus siple est constitué par une asse, solidaire d'un ressort de raideur et pouvant se déplacer sur un support horizontal. Le contact support/asse est supposé sans frotteent. L'équation caractérisant cette situation s'obtient sipleent en écrivant la relation fondaentale de la dynaique appliquée à ce systèe :.x = x && Les forces R et P se copensent et n'interviennent pas ici. La fore générale de l'équation différentielle qui caractérise un OHL est donnée par l'expression suivante : && x + ω. x = L'équation du ouveent est toujours de la fore : L'expression de la vitesse est x & = - ω.a.sin(ωt + ϕ) x = A.cos(ω t + ϕ) L'expression de l'accélération est && x = - ω. A.cos( ω t + ϕ) = - ω. x L'aplitude A (ou X) est constante. π La pulsation ω (et la périodet = ) s'exprie différeent selon le dispositif étudié : ω * Ressort horizontal (ou vertical) de raideur solidaire d'une asse : x est l'élongation, abscisse sur l'axe Ox * Pendule de torsion, avec C la constante de torsion du fil et J le oent d'inertie du solide en rotation : x représente α, la position angulaire * Pendule siple pour des oscillations de faible aplitude, avec l la longueur du pendule et g l'accélération de la pesanteur x représente α, la position angulaire ω = ω = ω = C J g l
Rearque : Bien d'autres situations peuvent encore être traitées par le êe type d'équation : par exeple le pendule liquide (colonne de liquide dans un tube en U, oscillant autour de sa position d'équilibre. a) Point de vue énergétique Le systèe étudié étant pseudo-isolé, l'énergie écanique totale E = Ep + Ec est conservée. Dans le cas de l'oscillateur haronique linéaire, l'énergie potentielle élastique est donnée par : E p = x pour une élongation x. La valeur axiu de est E =.X = E pax L'énergie cinétique est donnée par E = C x& En replaçant x e t x& par leur expression, on vérifie facileent que E = Ep + Ec est constant Evolution des énergies potentielle et cinétique au cours du ouveent pendulaire : Lors du ouveent pendulaire, on assiste à un échange incessant entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du systèe, la soe des deux étant toujours constante : Au début, l'énergie potentielle Ep est axiu (= E) et l'énergie cinétique Ec est nulle. Puis, Ep diinue au fur et à esure que l'objet se rapproche de la position d'équilibre, ais en êe teps Ec augente. Lorsque l'objet passe par la position d'équilibre, Ep = ais Ec est axiu (=E). L'objet ne peut pas s'arrêter et dépasse la position d'équilibre en ralentissant : Ep augente ais Ec diinue. La position extrêe est atteinte lorsque Ec =, alors Ep est de nouveau axial (= E) et reprend sa valeur initiale (puisque l'on suppose qu'il n'y a pas de frotteent, donc aucune perte d'énergie. On peut donc dire que E c ax = E p ax = E Cette évolution peut être facileent visualisée sur le graphe ci-dessous : Ep E Ec Ep Rearque : ces considérations sont valables quel que soit le type d'oscillateur haronique (ressort horizontal, pendule de torsion, pendule siple ou autre...)
II- Oscillateur haronique avec aortisseent "fluide". Le frotteent fluide (liquide ou gaz) est caractérisé par le fait que la force de frotteent est proportionnelle à la vitesse, donc f = -b.x& En écrivant la relation fondaentale de la dynaique, il apparaît iédiateent que la fore générale de l'équation différentielle dont x(t) est la solution est donc de la fore : b && x + x & + x = est la asse du systèe oscillant la raideur du ressort b le coefficient du frotteent fluide La solution de cette équation est oins siple que dans le cas de l'ohl, il y a trois situations possibles, selon le signe du discriinant de cette équation Δ = b - 4 < = b - 4 a) Régie pseudo-périodique si Δ on a une oscillation "pseudo-périodique", Le graphe de x(t) a une allure coe sur les graphiques ci-dessous : * Un passage par la valeur x = à intervalles de teps réguliers ais la période a une valeur différente de celle qu'aurait le êe oscillateur s'il n'y avait pas de frotteent fluide. Cette pseudo-période T ' correspond à une pseudo-pulsation donnée par : b b ω' = - = ω - donc T ' > T ( ω' = T' π ) * L'aplitude des oscillations diinue de façon exponentielle L'équation de x(t) s'écrit : Le graphe de x(t) a une fore générale coe l'indique le schéa ci-contre. A chaque "période", l'aplitude diinue à cause du frotteent, ais les valeurs extrêes atteintes sont sur une courbe appelée "enveloppe" du graphe de x(t) Dans le cas de l'aortisseent fluide, cette enveloppe est de fore exponentielle L'aortisseent des oscillations dépend de la valeur de b/ b -. t x(t) = X. e. cos(ω'.t + ϕ ) Exeples de représentations graphiques pour des valeurs croissantes de b/ : Aortisseent faible Aortisseent oyen Aortisseent fort 3
= b - 4 = b) Régie critique si Δ donc le coefficient de frotteent fluide est tel que b =. alors on dit qu'il y a "aortisseent critique" ou bien que il y a "régie critique": il n'y a plus d'oscillation, le systèe revient assez rapideent directeent à sa position d'équilibre. L'expression de x(t) est de la fore : - ω.(. t x = X + ω t).e = b - 4 > c) Régie apériodique si Δ l'aortisseent est très fort, il n'y a plus du tout d'oscillations Le systèe tend lenteent vers sa position d'équilibre L'expression de x(t) est plus coplexe, elle est la soe de deux teres exponentiels III- Oscillateur haronique avec aortisseent "solide". Le frotteent solide est caractérisé par le fait qu'il correspond en preière approxiation à une force constante qui s'oppose au déplaceent du systèe. (ici, le frotteent ne dépend plus de la vitesse) L'équation différentielle décrivant cette situation pour un systèe foré par un ressort (raideur ) et une asse () est obtenue en écrivant la relation fondaentale de la dynaique : && ± f est la force de frotteent.x = -.x f La solution de cette équation n'est pas très siple, il faut traiter le problèe par intervalles : pour t [ +X ; X ] on écrit +f et on écrira f pour la dei période suivante. Pour chaque intervalle, la solution est de la êe fore que pour l'oscillateur haronique libre, donc x = A.cos(ωt + ϕ) On constate que : * la pulsation est la êe = ω * ais l'aplitude diinue progressiveent. En fait, pour évaluer la diinution de l'aplitude, on peut appliquer le théorèe de l'énergie cinétique et dire que le travail de la force de frotteent entre deux positions extrêes successives X et X est égal au travail fourni par le ressort entre ces deux positions (le teps correspondant est une dei période) :. X -. X = f.(x + X ) coe (X X = (X - X ).(X + X ) ) 4
f X = (X - X ) = nous pouvons écrire que Δ donc à chaque dei-période, l'aplitude diinue de la êe quantité. En conséquence, à chaque période, lorsque le systèe repasse par sa position extrêe d'un êe côté, l'aplitude aura diinué d'une valeur constante égale à 4f/ on peut donc dire que ces points extrêes sont sur une droite dont l'équation est : 4.f 4.f x = X -. t ou x = -X +. t C'est ce qui caractérise l'aortisseent par frotteent solide : les oscillations sont aorties, ais l'enveloppe du graphe de x(t) est forée par deux droites. Rearque : dans le cas de l'aortisseent solide le systèe ne s'arrête pas forcéent à la position centrale correspondant à x =. Le systèe s'arrêtera dans une position pour laquelle la force de rappel du ressort (.x) sera inférieure à la valeur de la force de frotteent (f = f S.g). (f S est le coefficient de frotteent) L'enregistreent d'un ouveent d'oscillation avec frotteent solide est reproduit ci-contre et illustre bien la différence avec l'aortisseent fluide dont l'enveloppe est de fore exponentielle. enveloppe linéaire 5
Tableau récapitulatif : pulsation Oscillateur haronique libre ω = Oscillateur haronique aortisseent fluide Trois régies selon l'iportance du frotteent Si le frotteent fluide est faible : régie pseudo-périodique pseudo-pulsation ω' < ω Oscillateur haronique aortisseent solide un seul type de régie êe pulsation que OHL ω = ω T = T période T pseudo-période T ' > T aplitude Constante L'aplitude diinue L'aplitude diinue enveloppe exponentielle point d'arrêt pas d'arrêt arrêt dans la position centrale d'équilibre Si le frotteent fluide est plus iportant : régie critique Si le frotteent fluide est encore plus iportant : régie apériodique enveloppe linéaire arrêt dans une position quelconque dès que x< f S g 6
Le docuent ci-dessous peret l'étude coparative des valeurs prises par l'élongation, la vitesse et l'accélération d'un OHL à différents oents du cycle : 7