CALCUL NUMÉRIQUE FRACTIONS & PRIORITÉS OPÉRATOIRES 1. Fractions EXERCICE 1 : Hachurer la fraction du rectangle indiquée. Exemples : 1
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie (ou quand on divise) ces deux nombres par un même nombre relatif différent de 0. Notation : Soient a, b, k des nombres relatifs avec b 0et k 0 alors on a : ou Simplifier une fraction On cherche le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur. On divise le dénominateur et le numérateur par le nombre trouvé à l étape précédente afin d écrire la fraction de départ sous la forme avec a et b des entiers les plus petits possibles Exemple : Simplifier la fraction :. Comparer deux fractions Ecrire les deux fractions avec le même dénominateur en utilisant la formule. Remarque : le nombre k choisi peut être différent pour les deux fractions. Comparer les numérateurs. Conclure. Exemple : Comparer les fractions et. Un dénominateur commun pour les deux fractions est 12.. et. On sait que 10 > 9 donc. On peut donc conclure que: EXERCICE 2 : Rendre irréductibles les fractions suivantes : EXERCICE 3 : Écrire les nombres suivants sous la forme de fractions irréductibles : 2
EXERCICE 4 : Déterminer la proportion que représente la partie hachurée par rapport au rectangle tout entier. On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. EXERCICE 5 : Sans s aider de la calculatrice, placer sur l axe le nombre indiqué. EXERCICE 6 : Déterminer les nombres indiqués par toutes les graduations en gras. 3
2. Opérations sur les fractions 2.1 Addition et soustraction Additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire On réduit les deux nombres fractionnaires au même dénominateur. On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur. Remarque : Dans le cas de dénominateurs différents, le but est de trouver un multiple commun aux deux. Dans certains cas, nous n avons pas le choix, le plus petit multiple commun n est autre que le produit des deux dénominateurs. Exemples : Calculer : EXERCICE 7 : Calculer en donnant le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 2.2 Multiplication de nombres en écriture fractionnaire Multiplier deux nombres en écriture fractionnaire Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire : on multiplie les deux numérateurs entre eux on multiplie les deux dénominateurs entre eux Remarques : Simplifier la fraction avant d effectuer les calculs. Notation : Soient a, b, c, d quatre nombres relatifs avec b et d non nuls (différents de 0), alors on a :. Exemples : 4
EXERCICE 8 : Calculer en donnant le résultat sous la forme d une fraction irréductible. EXERCICE 9 : Calculer en donnant le résultat en sous la forme d une fraction irréductible 2.3 Division de nombres en écriture fractionnaire Définition : Deux nombres sont dits inverses l un de l autre si leur produit est égal à un. Exemples : 5 et sont inverses l un de l autre car est l inverse de car Remarque : Ne surtout pas confondre avec l opposé Diviser deux nombres en écriture fractionnaire Déterminer l inverse du terme se trouvant au dénominateur Multiplier la première fraction par l inverse de la deuxième Effectuer la multiplication de deux nombres en écriture fractionnaire Notation : Soient a, b, c, d des nombres relatifs avec b, c et d non nuls, alors : 5
Exemples : EXERCICE 10 : Effectuer les calculs suivants sans l aide de la calculatrice (et donner les résultats sous la formes de fractions irréductibles) : 3. Priorités opératoires On rappelle les priorités sur les opérations habituelles, dans leur ordre décroissant : 1. puissances et racines (carrées,...), 2. divisions sous forme fractionnaire, 3. multiplications et divisions en ligne, 4. additions et soustractions. Lorsque plusieurs opérations sont au même niveau de priorité, on commence par l opération la plus à gauche. Si des parenthèses figurent dans le calcul, on commence par effectuer les opérations situées dans les parenthèses, en commençant par les plus intérieures. Lorsqu on écrit une division sous forme fractionnaire, on doit effectuer le calcul comme s il y avait des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur (même si, en pratique, on ne les écrit pas) 6
Pour les «gros» calculs, on peut utiliser une décomposition en opérations élémentaires. Exemple : Pour effectuer le calcul 3 (7+(3 5) 4), on procède de la façon suivante : Les nombres encerclés sont ceux qui sont lus directement dans l énoncé. L «opération principale» est celle que l on lit sur l avant-dernière ligne du diagramme (c est celle qui aboutit au calcul final). Sur notre exemple, l opération principale est une soustraction. EXERCICE 11 : Décomposer de façon analogue les calculs suivants (on ne demande pas les résultats). 7
EXERCICE 12 : Sans faire de diagramme, déterminer la nature de l opération principale dans chacun des calculs suivants : EXERCICE 13 : Écrire les opérations suivantes «en ligne», autrement dit sans trait de fraction, comme vous les entreriez sur votre calculatrice (on ne demande pas les résultats) 8