CHAPITRE Sstèmes d équations et d inéquations linéaires I. Sstèmes d équations linéaires.. Définition. Un sstème de deu équations à deu inconnues et a pour forme a+ b = c a, a, b, b, c, c sont des réels connus. a' + b' = c' Une solution du sstème est un couple de réels qui vérifie chacune des deu équations. On peut généraliser la définition à des sstèmes ou n n avec n un entier supérieur ou égal à.. Résolution d un sstème Résoudre un sstème, c est trouver tous les couples solutions des équations constituant le sstème. a. Résolution graphique Méthode : ) Ecrire les équations sous la forme =.. +.. ) Tracer dans un repère les droites définies par les équations précédentes ; ) Lire les coordonnées du point d intersection des droites. Le couple de coordonnées du point constitue le couple solution du sstème. Eemple : Résoudre le sstème + = = + = donne = + et = donne = Pour tracer d on complète le tableau : Pour tracer d on complète : 0 0 Y 0 7 8 9 0 La solution du sstème d après le graphique est ( ; ). - - -7
b. Résolution par substitution Méthode : on eprime une des inconnues en fonction des autres puis on remplace l inconnue par cette epression dans les autres équations. On se ramène ainsi à la résolution de sstème ou encore à la résolution d un équation à une inconnue. = 0 7z = 0 Eemple : Résoudre le sstème z = l l l ) on utilise la ligne l pour eprimer en fonction et z. =+0 ) on remplace par +0 dans l et l (+ 0) + 7z = 0 (+ 0) z = ) on obtient le sstème (S ) + z = 0 7 0z = 7 On résoud ce sstème en posant z = D où -70() = 7 7 = 7 =. Et donc z =. ) on remplace par et z par dans l : = 0 = 0 = ) on vérifie que le triplet ( ; ;) et bien solution des trois équations. c. Résolution par combinaison linéaire Cette méthode consiste à faire disparaître des inconnues en additionnant membres à membres des équations après avoir multiplié certaines d entre elles par un réel convenablement choisie. Etude d un eemple : + z = () Résoudre le sstème (S) z = () + z = 0 () re étape : nous remarquons qu en additionnant () et (), nous obtenons une équation où ne figure plus que deu inconnues et z : 8 + = () ème étape : nous cherchons à obtenir une nouvelle équation où ne figure plus que et z. Pour cela, nous pouvons multiplier () par et ajouter cette nouvelle équation à l équation (). Nous obtenons alors + = ().
8+ = On résoud le sstème : + = Il admet pour solution = et z = ème étape : nous reportons les valeurs de et dans une des équations du départ, par eemple dans () =0. ème étape : il suffit de vérifier que le triplet ( ; 0 ; ) est bien solution du sstème (S). Eercice : résoudre le sstème d. Pivot de gauss. + z = 9 7z =. + = La méthode de Gauss consiste à transformer un sstème en un sstème équivalent (c està-dire en un sstème admettant les mêmes solutions ) par utilisation des seuls opérations élémentaires suivantes sur les lignes : échange de deu lignes ; multiplication d une ligne par un nombre non nul addition d une ligne avec une autre ligne pouvant avoir été multipliée. Le but est d obtenir un sstème triangulaire. Résolvons le sstème suivant +0z= (s) -= -+z= ère étape : Eliminons dans l équation () e () en utilisant l équation (). multiplions l équation () par ; ajoutons membre à membre la nouvelle équation ainsi obtenue et l équation () ; nous obtenons l équation : + 8z = -8 ( ). ajoutons membre à membre les équations () et () ; nous obtenons l équation : - = ( ) Ecrivons alors le sstème (S ) suivant, dans lequel : - l équation () du sstème initial (S) est conservée ; - l équation () est remplacée par ( ) ; - l équation () est remplacée par ( ) ; + 0 = (S ) 8z = 8 = ème étape : Eliminons dans l équation ( ) en utilisant l équation ( ). Multiplions l équation ( ) par et ajoutons membre à membre la nouvelle équation ainsi obtenue et l équation ( ) ; nous obtenons l équation :
z = ( ). Nous pouvons donc écrire le sstème (S ) suivant, dans lequel les équations () et ( ) du sstème (S ) sont conservées et l équation ( ) est remplacée par ( ) : + 0 = (S ) 8z = 8 z = ème étape : résolution (S) a même ensemble de solutions que le sstème triangulaire (S ) que l on sait résoudre facilement. Le triplet solution du sstème est ( ; 0 ; ) II. Sstèmes d inéquations linéaires. Inéquation linéaire à deu inconnues ; Soient a,b et c trois réels tels que (a ;b) (0 ;0). Dans un repère, d est la droite d équation a + b + c =0. Dans ce repère, l ensemble des points M ( ; ) tels que a + b +c > 0 est un demi-plan de frontière d, qui ne contient pas d. L autre demi-plan, la frontière d étant eclue, est l ensemble des points M ( ; ) tels que a + b +c <0. Eemple : résolution graphique de + - < 0 ; Dans un repère d origine O, on trace la droite d d équation + - = 0. L ensemble des points M ( ; ) tels que + - < 0 est un demiplan de frontière d. Les coordonnées de O ( 0 ; 0) vérifient l inéquation donc les solutions de l inéquation sont représentées par le demi-plan contenant O. -8-7 - - A 0 - - 7 8. Sstème d inéquations linéaires à deu inconnues. Résoudre graphiquement un sstème d inéquations linéaires à deu inconnues, c est représenter dans un repère l ensemble des points M dont les coordonnées ( ; ) vérifient simultanément toutes les inéquations du sstème.
Eemple : Résolution graphique du sstème 9< 0. < 7 D est la droite d équation 9 = 0. D est la droite d équation + = 7. Les coordonnées de O (0 ; 0) vérifient la première inéquation car l inégalité 0 0 9< 0 est vraie. Les coordonnées de O (0 ; 0) vérifient la deuième inéquation car l inégalité 0+ 0< 7 est vraie. Donc les demi-plans qui représentent les solutions des deu inéquations du sstème sont respectivement les demi-plans de frontières D et D, contenant le point O. Les solutions du sstème sont représentées par le domaine non hachuré. 7 0 7 8 9 0