2 Modèles de turbulence algébriques à 0 équation : écoulements

2 Modèles de turbulence algébriques à 0 équation : écoulements libres 2.1 Jet plan turbulent On considère un jet plan d air se développant dans de l air au repos (voir figure 1). On note (u, v) les composantes de la vitesse selon (x, y), avec x la direction longitudinale (l origine x = 0 est prise à la sortie de l injecteur) et y la direction transverse. La largeur d de l injecteur étant très petite devant la profondeur z (normale au plan de la figure), on peut considérer, pour des distances x < z en aval, que l écoulement est statistiquement bidimensionnel : toutes les grandeurs statistiques sont indépendantes de z. Figure 1 Développement d un jet plan turbulent et profils de vitesse dans la partie autosimilaire. On rappelle l équation de Reynolds (avec u i la composante i de la vitesse moyenne et u i la fluctuation associée) : ( ) t + u j (u i ) = 1 p + ( ν u ) i u i x j ρ x i x j x u j j Equations générales du jet plan On note L l échelle de longueur caractéristique selon x et l celle selon y, avec l << L. On note U l ordre de grandeur de la vitesse moyenne axiale u et V celle de la vitesse moyenne latérale v. Enfin, on note u rms l ordre de grandeur des fluctuations turbulentes, que nous supposerons isotropes (c est-à-dire telles que u 2 v 2 u v u 2 rms). 1. Exprimer l ordre de grandeur de la vitesse latérale V en fonction de U, L et l. Ecrire les équations de Reynolds en régime statistiquement stationnaire 1

pour les composantes u et v, et évaluer les ordres de grandeur des différents termes (sauf la pression qui se cale toujours sur les termes les plus grands...). Montrer que les termes visqueux sont négligeables devant les termes inertiels et les termes turbulents si où on a posé Re l = Ul/ν. Re l >> (L/l) et Re l >> (U/u rms ) 2 2. Montrer que si la condition l/l << u rms /U est aussi vérifiée, les équations de Reynolds se réduisent à : u u x + v u = 1 p ρ x u v 0 = 1 p ρ v 2 3. Exprimer, à partir de l équation de Reynolds selon y, la pression moyenne p en fonction de la pression à l infini p 0 et des fluctuations de vitesse. Montrer (toujours avec l hypothèse l/l << 1) que l équation de Reynolds selon x se réduit à : ( u 2) x Recherche de solution autosimilaire + (u v) = u v On s intéresse à la région autosimilaire du jet : à suffisamment grande distance en aval, le jet s élargit et sa vitesse moyenne diminue, mais le profil de vitesse garde la même forme. On définit la vitesse centrale moyenne par U 0 (x) = u(x, y = 0) et la largeur δ(x) telle que u (x, y = δ(x)) = 1 2 U 0(x) L autosimilarité permet d écrire le profil moyen sous la forme adimensionnée : u(x, y) = U 0 (x)f(ξ) (1) u v (x, y) = U 0 (x) 2 g(ξ) (2) où on a introduit la coordonnée réduite ξ = y/δ(x), avec, par construction f(1) = 1/2. On définit le flux de quantité de mouvement selon x (par unité de profondeur selon z) Φ comme : Φ = + ρu 2 dy 1. En intégrant l équation (1) par rapport à y entre et +, montrer que Φ est indépendant de x. En écrivant la vitesse axiale u sous la forme autosimilaire (2), en déduire la relation suivante entre déclin de la vitesse axiale et élargissement du jet : δ du 0 U 0 dx = 1 2 dδ dx (3) 2

2. A partir de l équation de continuité pour les vitesses moyennes, montrer que la vitesse moyenne latérale s écrit : v = 1 dδ 2 dx U 0 [ ξ ] 2ξf(ξ) f(s)ds 0 3. En substituant les profils autosimilaires (2) et (4) dans l équation de Reynolds (1), et en utilisant la relation (3), montrer que : (4) 1 dδ ( F 2 ) = g 4 dx (5) où F (ξ) = ξ 0 f(s)ds et les symboles désignent ici les dérivées par rapport à ξ. 4. Déduire de l équation (5) que le jet croît linéairement, c est-à-dire que son taux d élargissement S = dδ/dx est constant. En déduire la loi de variation de la vitesse moyenne axiale U 0 (x) et du débit Q(x) en fonction de la distance x à l injecteur (on négligera la présence d une région non autosimilaire à x petit, c est-à-dire que l on supposera que la largeur du jet est δ(x) = Sx). Proposez un mécanisme permettant d expliquer l augmentation du débit Q avec x. Modèle de turbulence et solution autosimilaire On écrit la contrainte de Reynolds τ xy = ρu v dans le cadre du modèle de viscosité turbulente sous la forme u τ xy = ρν T (6) où ν T est le coefficient de viscosité turbulente (on a négligé ici la contribution v/ x de la déformation moyenne). Cette viscosité turbulente dépend a priori de la position dans l écoulement, mais l hypothèse d autosimilarité permet de supposer qu il ne dépend que de x. Nous supposerons en outre que le nombre de Reynolds turbulent, défini par Re T = U 0 (x)δ(x)/ν T (x) est constant dans tout l écoulement. Il s agit en fait du cas particuliers d une expression non locale de la viscosité turbulente, supposée constante dans les plans transversaux à l écoulement, et exprimée sous la forme ν T (x) = A(U max (x) U min (x))δ(x). Cette modélisation est appelée formule de Prandtl - Reichardt et fonctionne très bien pour les écoulements turbulents «libres»(jets, couches de mélange, etc... ), des mesures expérimentales permettant de caler la constante A. 1. Montrer, à partir de l équation (6) que l autosimilarité de u v (équation (2)) permet d exprimer g(ξ) en fonction d une dérivée de F (ξ) et de Re T. En déduire que l équation de Reynolds adimensionnée (5) peut se mettre sous la forme : F + α 2 (F 2 ) = 0 (7) où α est une constante sans dimension que l on exprimera en fonction de S et Re T. 3

2. En tenant compte de la symétrie du profil de vitesse moyen, quelle est la parité de la fonction F (ξ)? En déduire que l équation (7) peut s intégrer sous la forme : F = 1 (αf ) 2 3. Vérifier que cette équation admet pour solution F (ξ) = tanh(αξ)/α. En déduire la forme du profil de vitesse suivante : f(ξ) = 1 ch 2 (αξ) (8) 4. La figure 2 représente un profil expérimental de vitesse moyenne adimensionnée, comparé à l expression (8). Dans quelle région du jet l approximation d une viscosité turbulente indépendante de y s applique-t-elle? En dehors de cette région, comment faudrait-il que varie cette viscosité turbulente pour reproduire les mesures expérimentales? 5. En réécrivant la définition de l épaisseur du jet δ pour la fonction f(ξ) ou en utilisant la figure 2, trouver ce que vaut α. Figure 2 Profil de vitesse axiale moyenne dans la région autosimilaire d un jet plan. Points : Données de Heskestad (1965) ; : équation (8). D après Pope (2000). 6. Pour un jet plan, les mesures expérimentales montrent que S = 0.10 (voir Pope 2000 «turbulent flows», page 366). En déduire la valeur de Re T et la forme complète du champ de vitesse u(x, y) pour le jet plan turbulent. 7. Pour le jet plan laminaire, on rappelle la forme du champ de vitesse si le flux de quantité de mouvement est Φ : u(x, y) = 1 2 ( 3Φ 2 4νρ 2 x ) 1/3 1 ( (9) ch 2 y/ (24ρν 2 x 2 /Φ) 1/3) 8. Comparer la quantité d air entraînée par le jet laminaire et le jet turbulent 9. En supposant une transition brutale laminaire - turbulent autour de Re δ1 500, calculer la forme complète du jet, depuis la buse jusqu à la partie turbulente. 4

2.2 Couche de mélange turbulente Figure 3 Image par ombroscopie d une couche de cisaillement turbulente (en haut) et définition de l épaisseur de la couche de cisaillement (en bas). Deux régions d un fluide s écoulant à des vitesses différentes U 1 (en y > 0) et U 2 (en y < 0) entrent en contact à l issue d une plaque séparatrice en x = 0 (voir figure 3). Il se forme á l interface entre ces deux régions une couche de mélange (encore appelée couche de cisaillement). A mesure que l on s éloigne en aval, le saut de vitesse U 1 U 2 tend à s étaler dans la direction transverse. On note (u, v) les composantes de la vitesse selon (x, y), avec x la direction longitudinale et y la direction transverse. L extension selon z (normale au plan de la figure) est très grande devant les autres dimensions, de sorte que l écoulement est statistiquement invariant selon z et peut être considéré comme bidimensionnel. On pose : U m = 1 2 (U 1 + U 2 ) vitesse moyenne (10) U = U 1 U 2 saut de vitesse (11) On note L l échelle de longueur caracréristique selon x et δ celle selon y, avec δ << L. On introduit le nombre de Reynolds Re δ = U m δ/ν, que l on suppose très grand (Re δ >> 1). Enfin, on suppose que l ordre de grandeur des fluctuations turbulentes est donné par U (soit u 2 v 2 u v U 2 ). 5

1. Ecrire les équations de Reynolds (R.AN.S.) en régime statistiquement stationnaire pour les composantes u et v, sans oublier l équation de continuité. 2. Evaluer sous les équations les ordres de grandeur des différents termes (Pour la pression, on notera P ref l ordre de grandeur). Remarque : pour les termes impliquant u, il faudra utiliser U m lorsque u apparaît tel quel, ou bien U si il s agit d une dérivée spatiale de u. 3. Exprimer l ordre de grandeur de la vitesse latérale V en fonction de U, L et δ à partir de l équation de continuité. 4. Montrer dans les équations du moment selon x que les termes visqueux sont négligeables devant les termes inertiels et les termes de transport turbulent si Re δ >> L/δ et Re δ >> U m / U. 5. Avec quel(s) terme(s) la pression va-t-elle s équilibrer? En déduire que P ref = ρu m U. 6. Montrer que les équations RANS se simplifient alors en : u x + v u u x + v u = 0 = 1 p ρ x u v 0 = 1 p ρ v 2 7. Exprimer la pression moyenne p en fonction de la pression à l infini p(x, y = ± ) = p 0 = C ste et des fluctuations de vitesse. En déduire que l équation RANS selon x se réduit à : u u x + v u = v u (12) Approche autosimilaire (semblable) A une distance x en aval de la plaque séparatrice, on définit l épaisseur δ(x) de la couche de mélange par la relation : u (x, y = ± 12 ) δ(x) = U m ± 0.4 U (13) Suffisamment loin en aval, les mesures expérimentales montrent que le profil de vitesse u(x, y) est autosimilaire : son épaisseur δ(x) croît, mais le profil garde la même forme lorsqu il est exprimé en fonction de la coordonnée réduite η = y/δ(x). On pose donc : u(x, y) = U m + Uf(η) (14) Les contraintes de Reynolds sont elles aussi autosimilaires, c est-à-dire qu elles s expriment sous la forme : u v (x, y) = U 2 g(η) (15) 6

8. En intégrant l équation de continuité, montrer que la vitesse transverse est donnée par : ( ) [ dδ η ] v(x, y) = U ηf(η) f(ξ)dξ (16) dx 0 9. En substituant les profils autosimilaires de u, v et u v dans l équation (12), montrer que f et g doivent vérifier : ( U m dδ η + U η ) f(ξ)dξ f = g (17) U dx U m On écrit la contrainte de Reynolds τ xy = ρu v dans le cadre du modèle de viscosité turbulente sous la forme u τ xy = ρν T (18) où ν T est la viscosité turbulente cinématique. Cette viscosité turbulente dépend a priori de la position dans l écoulement, mais l hypothèse d autosimilarité permet de supposer qu elle ne dépend que de x. Nous supposerons en outre que le nombre de Reynolds turbulent, défini par Re T = Uδ(x)/ν T (x) est constant dans tout l écoulement. 10. Pour quels autres écoulements turbulents cette modélisation peut être appliquée? 11. Montrer que ce modèle de turbulence permet d obtenir une seconde équation reliant f et g, qui s écrit sous la forme : 0 f = Re T g (19) 12. Montrer qu avec cette modélisation, la fonction f satisfait l équation : ( U m dδ Re T η + U η ) f(ξ)dξ f + f = 0 (20) U dx U m 13. A quelle condition sur δ(x) est-il possible de trouver une solution autosimilaire (semblable) à ce problème? 0 Solution pour la couche de mélange dite «temporelle»( U/U m 0) L équation générale (20) pour la couche de mélange fait apparaître U m / U comme un paramètre du problème. Dans le cas d un très faible saut de vitesse entre deux jets parallèles (i.e. U/U m << 1), cette équation se simplifie alors en : U m dδ Re T U dx ηf + f = 0 (21) Expérimentalement, on observe un taux d élargissement dδ/dx constant, tel que S = (dδ/dx)(u m / U) 0.1 pour ce type de couche de mélange. 7

14. Vérifier que la fonction suivante est solution de l équation (21) : f(η) = 1 2 η 0 1 2πσ exp ( ξ2 /(2σ 2 )) dξ (22) Vous exprimerez le paramètre σ en fonction de Re T et S pour que cela soit le cas. 15. Sachant que la forme de la solution donnée dans l équation (22) correspond à la fonction «erreur», i.e. f(η) = 1 2 erf ( η 2σ ), vérifier que cette solution satisfait bien les conditions limites en y ±. 16. Montrer que les valeurs imposées plus haut dans le définition de f en η = ±0.4 imposent que : 1 σ = 2 2erf 1 (4/5) où erf 1 est la fonction inverse de erf. 17. Etant donné que erf(0.906) 0.8, en déduire que σ = 0.39. 18. De la connaissance expérimentale du taux d élargissement S (S 0.1), déduire que la valeur dere T pour le modèle doit prendre la valeur Re T 66. Comparaison à des données expérimentales et numériques 19. Commenter la figure 4. 8

Figure 4 Profil de vitesse adimensionné pour la couche de mélange plane autosimilaire. Les symboles sont les mesures expérimentales de Bell et Metha (1990) pour une couche de mélange avec U/U m = 0.6. La ligne noire représentent des résultats de simulation directe numérique (DNS) par Rogers et Moser (1994). La ligne en tirets représente une fonction «erreur»erf calée pour approximer au mieux les données expérimentales vers le centre de la couche de mélange. La figure est tirée de Pope (2000), page 143. 9

3 Modèles de turbulence algébriques à 0 équation : couches limites turbulentes On considère dans cette section des écoulements turbulents sur paroi, pour lesquels une structure «universelle»émerge, explicable au moyen d un simple modèle algébrique à zéro équation (premier exercice). La connaissance de la forme du profil complet, et son approximation en loi de puissance (profil «classique»en y + 1/7 ), permettent alors d utiliser les équations intégrales de la couche limite pour en prédire le développement (deuxième exercice). On retrouve également cette structure universelle de la couche limite turbulente dans les écoulements en conduite (troisième exercice), pour lesquels l application de ce modèle permet de prédire le comportement hydrauliquement lisse du diagramme de Moody (utilisé pour calculer le coefficient de perte de charge linéaire). 3.1 Profil universel de la couche limite turbulente pour y < 0.2δ On considère un écoulement uniforme de vitesse U au-dessus d une plaque plane horizontale semi-infinie, dont le bord d attaque est en x = 0 (figure 5). On introduit le nombre de Reynolds par rapport au bord d attaque, Re x = Ux/ν. Figure 5 Visualisation par lignes de colorant d une couche limite turbulente, et schéma du profil de vitesse moyen et de l épaisseur δ(x). 10

1. En raisonnant sur les temps caractéristiques d advection horizontale et de diffusion verticale, donner la variation de l épaisseur δ(x) de la couche limite dans le cas laminaire. Même question dans le cas turbulent, en considérant que la diffusion verticale de quantité de mouvement est assuré par les fluctuations turbulentes (on prendra u U/10). 2. A partir des résultats précédents, en déduire l ordre de grandeur de la contrainte pariétale (contrainte à la paroi) dans les cas laminaire et turbulent. Estimer la variation du coefficient de frottement C f = τ xy /(1/2)ρU 2 en fonction du nombre de Reynolds dans chaque cas. Tracer l allure de C f (Re x ) en coordonnées logarithmiques, sachant que la transition laminaire-turbulent a lieu pour Re x 10 5. Dans toute la suite, on se place dans le cas turbulent. On considère une petite région de largeur x de la couche limite, suffisamment loin de l origine (x >> x). On suppose que dans cette région l écoulement est statistiquement stationnaire, et que les statistiques des fluctuations de vitesse sont indépendantes de x. 3. Montrer qu il est possible de négliger v dans cette région, et écrire les équations de Reynolds (R.A.N.S.) selon x et y. 4. Calculer p(x, y), et montrer que p/ x est constant dans tout l écoulement. En déduire que la contrainte totale s exprime sous la forme τ tot (y) = τ 0 + p x y où τ 0 est la valeur de la contrainte à la paroi. 5. Dessiner l allure du profil de contrainte totale τ tot en fonction de y dans le cas d un gradient de pression p/ x < 0 (gradient favorable). Dessiner intuitivement l allure des contributions visqueuse et turbulente à la contrainte totale. 6. Très près de la paroi, la contrainte totale est essentiellement de nature visqueuse. Si l on néglige la variation de τ tot avec y, en déduire la forme du profil de vitesse u(y) dans cette région. 7. Pour calculer l épaisseur δ ν de cette sous-couche visqueuse, on suppose que la vitesse moyenne u(y = δ ν ) doit être de l ordre de la vitesse de frottement u, une échelle de vitesse définie à partir de la contrainte pariétale par τ 0 = ρu 2. En déduire l épaisseur de la sous-couche visqueuse. Que vaut le nombre de Reynolds local associé u δ ν /ν? Loin de la paroi, on suppose au contraire que le transport de quantité de mouvement est essentiellement convectif (viscosité négligeable). Nous allons déterminer la forme du profil de vitesse dans la sous-couche inertielle, telle que δ ν << y << δ. On se place dans la situation d un gradient de pression p/ x négligeable. On modélise la contrainte de Reynolds en introduisant un coefficient de viscosité turbulente : ( τij R ui = ν T + u ) j x j x i avec ν T (y) = l(y)u (y) où l(y) est l échelle caractéristique des structures turbulentes (assimilée donc à la longueur de mélange) et u (y) est la vitesse caractéristique de ces structures. 11

8. En raisonnant sur les structures turbulentes les plus efficaces pour transférer la quantité de mouvement, justifiez le choix l(y) = κy où κ est une constante sans dimension (appelée constante de Kolmogorov). En supposant en outre que les fluctuations u sont indépendantes de y et données par u, montrer que le profil de vitesse moyen peut s écrire sous la forme : u u = 1 ( y κ ln δ ν ) + C (23) Déterminer la valeur de C pour que ce profil se raccorde avec le profil déterminé dans la sous-couche visqueuse en y = 10δ ν (question 6). Dessiner l allure de ce profil pour des distances à la paroi y < δ ν et y > δ ν. 9. La figure 6 représente des profils de couche limite turbulente pour différents nombres de Reynolds. On voit que le raccord entre les sous-couches visqueuse et inertielle a lieu près de y 10δ ν. Déduire de cette courbe expérimentale les valeurs de κ et C (Sur la base de toutes les données disponibles dans la littérature, on adopte généralement κ 0.41 et C = 5.5). Figure 6 Vitesse normalisée u + = u/u en fonction de la distance normalisée y + = yu /ν (Document B.D. DeGraaf, 1999). 12

3.2 Développement de couche limite turbulente sur une plaque plane en incidence nulle On cherche ici à déterminer la loi de croissance et le frottement induit pour une couche limite turbulente se développant le long d une plaque plane soumis à un écoulement incident de vitesse U ext. On adopte pour cela une méthode intégrale dans laquelle le profil de vitesse adopté est une approximation en loi de puissance du profil universel introduit dans la section précédente. Pour décrire le profil sur la totalité de la couche limite, il faut introduire une loi de vitesse déficitaire au-delà de y > 0.2δ. loi de vitesse déficitaire et approximation en loi de puissance Dans la partie précédente, on a démontré que le profil de vitesse dans la loi log était constitué d une sous-couche visqueuse (y + < 10), d une sous-couche de transition, puis d une sous-couche inertielle (y + > 30) dans laquelle la vitesse moyenne adopte un profil en loi log tiré de l équation (23), sous la forme : u + = 1 κ ln ( y +) + 5.0 (24) où u + = u/u, y + = yu /ν et u est la vitesse de frottement définie à partir du frottement pariétal comme τ 0 = ρu 2. Cette loi log résulte d un profil de longueur de mélange de la forme l m (y) = κy. Au-delà de y > 0.2δ, où δ est l épaisseur de la couche limite, cette croissance cesse et on trouve généralement une valeur à peu près constante, donnée par l m = 0.085δ. Ce profil de longueur de mélange permet d obtenir le profil complet de vitesse dans la région 0.2δ < y < δ, qui se met sous la forme : u + = 1 κ ln ( y +) + 5.0 + 1.34 (1 cos (π(y/δ)) (25) où le terme supplémentaire à droite porte le nom de vitesse déficitaire. 1. En introduisant le nombre de Reynolds basé sur l épaisseur de la couche limite, Re δ = U ext δ/ν et en raccordant le champ de vitesse à l écoulement externe U ext en y = δ, trouver l équation permettant de déterminer u /U ext en fonction de Re δ. 2. Tracer les profils u/u ext en fonction de y/δ pour Re δ = 100, 1000, 10000. 3. On propose d approximer les profils précédents au moyen d une loi de puissance pour la vitesse sous la forme u + = 8, 75y + 1/7. Trouver l équation permettant de calculer u /U ext en fonction de Re δ. 4. Tracer les profils approximés u/u ext en fonction de y/δ pour Re δ = 100, 1000, 10000. 5. Conclure sur la capacité de la «loi en y + 1/7»à représenter correctement le profil exacte pour les valeurs de Re δ explorées. 13

Calcul du développement de la couche limite turbulente On rappelle que l équation intégrale de Von Karman-Polhausen s écrit : 0 τ 0 ρ = δ du ext 1U ext dx + d ( δ2 U 2 dx ext) où δ 1 et δ 2 sont respectivement les épaisseurs de déplacement et de quantité de mouvement, définies comme : δ u δ ( u δ 1 = dy et δ 2 = 1 u ) dy (27) U ext U ext U ext 0 (26) 6. Retrouver les résultats classique pour la couche limite laminaire, obtenus avec un profil polynomial de la forme u(y) = ay+by 2 +cy 3 (polynome de polhausen). Montrer que la loi de développement satisfait : où Re x = U ext x/ν. δ(x) x = 4, 64Re 0,5 x 7. Utiliser l approximation en loi de puissance pour le cas turbulent, et montrer que la loi de développement vérifie : δ(x) x = 0, 3703Re 0,2 x 8. Calculer les lois de frottement C f pour une plaque plane de longueur L dans les cas laminaire et turbulent. Tracer l évolution du C f en fonction de Re L où Re L = U ext L/ν. 3.3 Ecoulement turbulent «hydrauliquement lisse»dans une conduite cylindrique On s intéresse ici à la modélisation d une couche limite turbulente pour une conduite en charge de forme cylindrique de rayon R. On choisit une représentation cylindrique (x, r, θ) où x est la coordonnée axiale coïncidant avec la direction de l écoulement, r la coordonnée radiale et θ la coordonnée angulaire (voir figure 7). longueur d établissement On s intéresse à la croissance de la couche limite à partir d une entrée avec un profil de vitesse uniforme de vitesse U 0. 1. Comment va croître la couche limite pariétale en régime laminaire? 2. A quelle distance se produira la transition vers la turbulence? 3. Comment se poursuivra la croissance de la couche limite? 4. En négligeant la courbure (approximation cartésienne) et en supposant que la croissance de la couche limite cesse lorsque son épaisseur atteint R, donnez les équations permettant d estimer la longueur L nécessaire au développement de cette couche et permettant d atteindre le régime stationnaire établi. 14

Figure 7 Ecoulement et repérage cylindrique pour l écoulement en conduite. La coordonnée y est la coordonnée normale à la paroi introduite dans l énoncé du problème 5. Donner les formules permettant de calculer L dans le cas où la couche limite reste totalement laminaire ou dans le cas où elle est turbulente très rapidement et se développe essentiellement dans ce régime Rappels : Loi de croissance d une couche limite laminaire, théorie de Blasius : δ(x)/x = 5Re 1/2 x. Loi de croissance d une couche limite turbulente, méthode intégrale : δ(x)/x = 0.37Re 1/5 x. Transition laminaire - turbulence : Re x = 100000. structure de la couche limite dans la partie établie On s intéresse maintenant à la partie établie stationnaire, loin de l entrée. On note u x la composante de la vitesse dans la direction longitudinale, u r la composante dans la direction radiale et u θ celle dans la direction azimutale. 1. En simplifiant les équations RANS en cylindrique données en annexe pour le problème considéré ici, montrer que la composante u x satisfait l équation : [ ( 1 d r ν du )] x r dr dr u xu r = K (28) où ν est la viscosité cinématique et K est une constante reliée au gradient de pression le long du cylindre, K = (1/ρ)(dp/dx). Quel est le signe de K pour un écoulement vers la droite (u x > 0)? 2. Retrouver ce résultat en considérant un petit cylindre de contrôle de rayon r et d axe (0x), de face avant localisée en x et de face arrière localisée en x+dx : en faisant le bilan des forces s exerçant sur les surfaces, montrer que l écoulement satisfait l équation : ν du x dr u xu r = r 2 K (29) et vérifier que cette équation est bien celle obtenue en intégrant l équation (28). 15

3. Pour la modélisation du tenseur de Reynolds, on utilise un modèle de longueur de mélange avec le profil suivant (issu de mesures expérimentales) : l m (r) = κr ( ( ) r 3 1 3 R) où κ = 0.41 est la constante de Karman. Comment s exprime alors le tenseur de Reynolds u xu r? 4. En introduisant la coordonnée pariétale y telle que r = R y (cf figure 7) et en procédant à un développement limité en y/r, déterminer ce que vaut l m au voisinage de y = 0 (càd r = R). Que pouvez-vous dire de la structure de la couche limite turbulente proche de y = 0? Comment doit alors s écrire le profil de u x en fonction de y, au voisinage de y 0? 5. En définissant et introduisant la coordonnée réduite pour la couche limite turbulente (notée y + en cours), quelle est la contribution du tenseur visqueux et du tenseur de Reynolds dans la contrainte totale en fonction des valeurs de y +? 6. En supposant que dans l essentiel de la conduite, seul le tenseur de Reynolds importe, et en négligeant donc le tenseur visqueux, montrer que le profil de vitesse longitudinale moyenne u x satisfait l équation : du x dr = 3 κ K 2R r/r 1 (r/r) 3 (30) 7. Montrer que le profil de vitesse s écrit alors : KR 1 1 + (r/r)3/2 u x (r) = U max ln 2 κ 1 (r/r) 3/2 (31) où U max est la vitesse au centre de la conduite (en r = 0). formule : on donne la primitive x 1 x 3 dx = 2 3 th 1 (x 3/2 ) = 2 3 ( ) 1 1 + x3/2 ln 2 1 x 3/2 8. En retrouvant la relation liant u*, la vitesse de frottement, à K et en procédant au développement limité pour r/r 0, comparer le comportement de ce profil de vitesse dans la zone centrale avec la formule empirique proposée par Darcy en 1855 : U max u x u ( r ) 3/2 = 5.08 (32) R 9. Au voisinage de r/r 1, que prédit l équation (31)? Quelle hypothèse n est plus valable? Comment raccorder avec la condition de vitesse nulle en r/r = 1? 10. Au moyen de la formule approchée (32), et en assurant le raccordement avec la loi universelle proche de la paroi lisse (cf question 4) de l expression complète du profil, calculer la vitesse moyenne U moy dans la conduite, et déterminer alors l équation donnant le coefficient de frottement de Darcy-Weisbach f = 8(u 2 /U 2 moy). 16

Figure 8 Diagramme de Moody pour les calculs de perte de charge en conduite circulaire 11. Comparer cette formule à la formule de Colebrook pour le régime hydrauliquement lisse, qui s écrit : ( ) 1 2.51 = 2 log f 10 Re f et qui permet de tracer le comportement hydrauliquement lisse dans le diagramme de Moody de la figure (8). 17

4 ANNEXE Equations RANS en coordonnées cylindriques 1 (ru r ) + 1 u θ r r r θ + u x x u r t + u u r r r + u θ u r r θ + u u r x x u 2 θ r u θ t + u u θ r r + u θ u θ r θ + u u θ x x + u θ u r r u x t + u u x r r + u θ u x r θ + u u x x x = 0 = 1 p ρ r [ 2 u r +ν u r r u r r 2 + 1 2 u r r 2 θ 2 + 2 u r x 2 2 u θ r 2 θ ) ] r 2 + 1 r [ u 2 r r + 1 u θ u r + u xu r r θ x + 1 r = 1 p ρr θ [ 2 u θ +ν r 2 + 1 r [ u θ u r + 1 r r = 1 p ρ x [ 2 u x +ν r 2 u θ r u θ r 2 + 1 2 u θ r 2 θ 2 u 2 θ θ + u xu θ x + 2 r u ru θ ( u 2 r u 2 θ + 2 u θ x ] 2 ] u x r ] + 1 2 u x r 2 θ 2 + 2 u x x 2 + 1 r [ u xu r + 1 r r u xu r + 1 u xu θ + u 2 x r θ x ] + 2 ] u r r 2 θ 18