TD4: Dipôles linéaires en régime sinusoïdal Exercice 1: Détermination des valeurs efficaces et des déphasages Exercice 2: Dipôles R, L série et:/ou parallèle 1. Soit le dipôle AB constitué d'une résistance R en parallèle avec une bobine d'inductance L. Soit le dipôle A'B' constitué d'une résistance R' en série avec une bobine d'inductance L'. Ces deux dipôles sont soumis à une tension sinusoïdale de pulsation ω. a) Déterminer R' et L' en fonction de R et L pour que ces deux dipôles soient équivalents b) Quelle est la pulsation ω o pour laquelle R'/R=L'/L. Calculer ω o pour R=10 2 Ω et L=10-2 H. 2. Soit le montage de la figure 2 où les dipôles précédents sont en série. On applique une tension sinusoïdale U(t) entre A et C telle que U(t)=U m cos(ωt). Les dipôles AB et BC sont équivalents et ω o telle que R'/R=L'/L. a) Déterminer l'impédance complexe Z AC, donner son expression polaire. b) Déterminer les amplitudes complexes des courants i 1 (t), i 2 (t) et i 1 (t). Déterminer les valeurs efficaces et les déphasages de ces grandeurs. c) Déterminer les amplitudes complexes des courants u 1 (t), u 2 (t) et u 1 (t). Déterminer les valeurs efficaces et les déphasages de ces grandeurs. 3. Donner l'expression de la capacité C qu'il faut mettre en série avec le dipôle AC pour que le courant i(t) soit en phase avec la tension u(t) à la pulsation ω o. Exercice 3: Réprésentation de Norton ; Condition de résonance
Soit le circuit ci-contre. Déterminer la condition sur R pour observer la résonance aux bornes du condensateur. Donner la pulsation de résonance ω c. Exercice 4: Modèle de Thévenin et Norton, Théorème de Millman Soit le circuit alimenté par une source de tension sinusoïdale e(t)=ecos(ωt) et les éléments du circuit sont tels que: LCω 2 =1 et RCω=1. Déterminer la tension Uc(t) aux bornes du condensateur. Exercice 5: Superposition de sources de courant continue et sinusoïdale i 0 (t)=i A +i B cos(ωt) avec i A et i B des constantes 1. Déterminer l'équation différentielle en i(t) (courant circulant dans R 1 ). 2. Résoudre avec les C.I. à t=o i(o)=i 1. Exercice 6: Déphaseur (R, C) Dans le circuit ci-contre, les résistances R sont couplées de façon à rester toujours égales. La tension d'entrée u 1 (t) étant sinusoïdale, déterminer la tension de sortie u 2 (t) lorsque la sortie est ouverte (i 2 (t)=0). Exercice 7:Dipôle inconnu Dans le montage suivant, le GBF délivre une tension e(t) sinusoïdale de pulsation w, R est une résistance et D un dipôle inconnu. On note u(t) = U max cos(ωt) et v (t) =V max cos(ωt + ϕ) les tensions aux bornes respectivement de R et D.
R e(t) U(t) D V(t) i(t) On visualise à l oscilloscope v(t) et u(t) et on obtient le graphe suivant. L unité de l axe des temps est 10-2 s et celle de l axe des tensions est de 1V. On utilise ces résultats graphiques pour déterminer les caractéristiques de D sachant que R=100Ω. 1. Déterminer Um et Vm ainsi que la période et la pulsation. 2. La tension v(t) est elle en retard ou en avance sur u(t)? déterminer le déphasage ϕ. 3. On note Z = X + j Y l impédance du dipôle D. Déterminer les valeurs de X et Y. 4. Par quel dipôle (condensateur, bobine ) peut on modéliser D? Donner ses caractéristiques. Exercice 8: Réponse d un circuit soumis à deux excitations sinusoïdales Déterminer la réponse u(t) du circuit représenté ci-contre lorsqu'il est soumis aux deux excitations sinusoïdales: e1(t)=emcos(ωt) et e2(t)=emsin(2ωt)
Exercice 9 : Puissance en régime sinusoïdal L U L R C Le circuit ci-contre est alimenté par une tension sinusoïdal de valeur efficace U=240V et de fréquence f = 50Hz. La valeur de l inductance est L = 1H. On sait que : Pour R=R 0 =12Ω, la puissance P est maximale et vaut P M ; Pour une autre valeur de la résistance R 1 < R 0, cos ( ϕ )=1 et P 1 =1000W Calculer L, P M, R 1 et C. Exercice 10 Amélioration du facteur de puissance Un moteur fonctionne sous une tension efficace U=200V de fréquence f =50Hz. Il est modélisé par une résistance R en série avec une inductance propre L. La puissance consommée est P = 1000 W, alors que l intensité efficace I= 10A. 1. Déterminer L et R. Que vaut le cos( ϕ )? 2. Quelle est la capacité C du condensateur à placer en parallèle à ses bornes pour que le facteur de puissance soit égal à 1. 3. On utilise un condensateur de capacité C < C. le facteur de puissance vaut 0.95. Déterminer C. Exercice 11: Adaptateur d impédances 1) Soit un dipôle d impédance Z u branché aux bornes d un générateur de f.e.m. e g et d une impédance Z g. Déterminer les conditions (sur les parties réelle et imaginaire de Zu) pour que la puissance reçue par l impédance Z u soit maximale. On dit qu il y a adaptation d impédance. 2) On dispose d'une source de tension sinusoïdale, de pulsation ω et de résistance interne R 0 et l'on désire transférer le maximum de puissance dans la charge de résistance R. a) Lorsque R> R 0, on réalise le montage de la figure 3. Déterminer L et C en fonction de R, R 0 et ω. b) Lorsque R< R 0, on réalise le montage de la figure 4. Déterminer L et C en fonction de R, R 0 et ω. Eléments de réponse.:
Ex 1 : Ex 2 : Ex 3 : Ex 4 : Ex 5 : Ex 6 : Ex.7 : Ex8 : V m = 3, 5V U m = 5V ω = 100rads 1 ϕ = 2π τ = 0, 75rad = 42, 8 T X = 1 1 + tan 2 (ϕ) V max U mqx R = 51, 2Ω 51Ω, Y = tan(ϕ) X = 47, 7Ω 48Ω Im(Z ) = Y 0 : on peut donc modéliser le dipôle par une résistance r = X en série avec une bobine d inductance L telle que Lω = Y, soit L = Y = 0, 48H ω Ex.9 : Ex.10 : Ex.11 :Adaptation d impédance : Zu=R u +jx u,, Zg=R g +jx g ; R u =R g ; X u =-X g