Suites géométriques I) Définition Soit est un nombre entier naturel. Soit une suite. On dit qu elle est géométrique si, partant du TERME INITIAL, pour passer d un terme au suivant, on MULTIPLIE toujours par le même nombre appelé RAISON Exemple: Une voiture, achetée neuve coûtait 20 000 (en 2008), perd chaque année 20% de sa valeur. Au bout d un an : la voiture coûtait 20% moins cher : 20 000 (1 - ) 20 000 0,8 16 000. En 2009 la voiture coûtera 16 000. Au bout de deux ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : 16 000 (1 - ) 16 000 0,8 12 800. En 2010 la voiture coûtait 12 800. Au bout de trois ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : 12 800 (1 - ) 12 800 0,8 10 240. En 2011 la voiture coûtait 10 240.. Et ainsi de suite on multiplie la valeur de la voiture de l année précédente par 0,8 pour obtenir celle de l année suivante. Soit la valeur de la voiture en 2008. 20 000 est la valeur de la voiture au bout d un an c'est-à-dire 0,8 16 000 est la valeur de la voiture au bout de deux ans c'est-à-dire 0,8 12 800 Soit la valeur de la voiture au bout de années, 0,8 Cette suite est géométrique : On passe d un terme au suivant en multipliant toujours pas le même nombre (dans notre cas 0,8)
II) Les deux formules de calculs de termes. est une suite géométrique de premier terme et de raison q Soit, une suite, et un entier naturel supérieur ou égal à,. On passe d un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur appelée raison: On peut obtenir directement la valeur de à partir de celle de en appliquant la formule suivante : Cas particulier où le 1er rang est 0 : Remarques : La première formule s appelle formule de récurrence. Elle traduit exactement la définition de suite géométrique. En revanche, elle est incommode dans le cas où il s agit de calculer un terme de rang élevé. Par exemple, pour calculer à partir de, il faut effectuer 28 multiplications par le nombre. C est inefficace! Il convient dans ce cas d employer la seconde formule, appelée formule directe. Les deux formules sont équivalentes : toute suite qui, pour tout entier, vérifie l une des formules vérifie l autre. Exemples : Exemple 1 : Soit la suite ( ) définie par: 3 et 2 1) Justifier que cette suite est géométrique 2) Calculer ; ; puis 3) Calculer en fonction de n 1) Pour tout n appartenant à, 3. On passe d un terme au suivant en multipliant toujours par 3, la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1 er terme 2
2) 3 2 3 6 6 3 6 3 18 18 3 18 3 54 54 On applique la 2 ème formule : 3 15 2 3 15 43 046 721 3) 3 n 2 3 n Exemple 2 : Soit la suite ( ) définie par: et 3 1) Justifier que cette suite est géométrique 2) Calculer ; ; puis 3) Calculer en fonction de n 1) Pour tout n appartenant à,. On passe d un terme au suivant en multipliant toujours par.la suite est donc géométrique de raison et de 1er terme 3. 2) 1,5 1,5, 0,75 0,75, 0,75 0,375 On applique la 2 ème formule : le 1 er terme de la suite est au lieu de La suite a donc un terme de moins donc la formule est 3 3) 1 1 3
Exemple 3 : Soit ( ) la suite géométrique définie sur par 4 et 32. Déterminer la raison et le 1 er terme de est une suite géométrique de raison q. Pour tous entiers m et n : 32 4 donc 8. Donc 2 Son 1 er terme est : on obtient : 4 2 Donc. La suite géométrique a pour raison 2 et a pour 1 er terme Exemple 4 : Soit la suite ( ) définie par: 1.Montrer que pour tout entier n, 5 2.Montrer que est une suite géométrique. Préciser sa raison et son 1 er terme U 0 1. Pour tout n appartenant à, 5 5 2.Pour tout n appartenant à, 5 5 5 4 La suite est donc géométrique de raison. Son 1 er terme est 5 III) Sens de variation d une suite géométrique Propriété: Soit une suite géométrique de raison ( > 0) et de 1 er terme : 0 < < 1 > 1 1 > 0 ( ) est strictement décroissante. ( ) est strictement croissante. ( ) est constante. < 0 ( ) est strictement croissante. ( ) est strictement décroissante. ( ) est constante. 0 ( ) est une suite nulle
Exemples: Exemple 1: Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : 3 et 2 Pour tout n appartenant à, 3 la suite ( ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 La suite ( ) est donc croissante. Exemple 2: Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : 3 et -2 Pour tout n appartenant à, 3 la suite ( ) est une suite géométrique de raison 3 > 1 mais -2 < 0 La suite ( ) est donc décroissante. Exemple 3 : Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie par : et 2 Pour tout n appartenant à, la suite ( ) est une suite géométrique de raison < 1 La suite ( ) est donc décroissante.
IV) Somme des puissances successives d un nombre réel 1) Propriété: Pour tout entier naturel non nul et : 1 + + ². + Exemple: Calculer S 1 +10 + 10² + + S 1 +10 + 10² + + 111 111 S 111 111 V) Exemple de graphique Exemples : Si 1 ou si 0, alors les points du graphiques sont alignés, sur la droite d équation (voir points rouges ci-dessous pour 0 et les points bleus pour 1 et 3). Les points verts ci-dessous sont les premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique de raison 1,2 et de terme initial 0,5.