Chap-3 : Réseaux électriques en régime continu A- RESOLUTION PAR LA METHODE DE KIRCHOFF 1- Définition d'un réseau électrique On appelle réseau électrique, tout circuit électrique complexe constitué d'éléments passifs (résistances) et d'éléments actifs (f.é.m et f.c.é.m). Exemple du réseau électrique : 2- Résolution d'un réseau électrique Résoudre un réseau électrique Consiste à déterminer les intensités de courant dans les différentes branches lorsque toutes les f.e.m, f.c.e.m et résistances sont connues, 3- Lois de Kirchoff a) La loi des Nœuds : La somme des courants qui rentrent à un nœud est égale à la somme des courants qui sortent. b) Loi des mailles : Dans une maille, la somme des différences de potentiels doit être nulle, soit Σ U i = 0. c) Application des lois de Kirchoff Soit le circuit de la figure ci-contre, On se propose de déterminer les intensités de courants dans les trois branches. Sachant que : R1 = 2 Ω ; R2 = 5 Ω ; R3 = 10 Ω ; E1 = 20 V ; E2 = 70 V Le sens des courants étant inconnues, choisissons-les arbitrairement, On a 3 inconnues (I 1, I 2, I 3 ), il faut donc 3 équations indépendantes, La loi des nœuds : Au nœud A : I 1 + I 2 = I 3 La loi des mailles : 1ière maille - ADBCA : R 1 I 1 - E 1 + E 2 - R 2 I 2 = 0 E 2 - E 1 = R 2 I 2 - R 1 I 1 5 I 2-2 I 1 = 50 2ème maille - ABDA : R 3 I 3 + R 2 I 2 - E 2 = 0 E 2 = R 2 I 2 + R 3 I 3 5 I 2 + 10 I 3 = 70 Le système à résoudre : I 1 + I 2 =I 3 5 I 2-2 I 1 = 50 5 I 2 + 10 I 3 = 70 24
Après résolution : I 1 = -5a, I 2 = 8A, I 3 =3A Remarque : Les courants I 3 et I 2 sont positifs, leur calcul est correct et leur sens choisi est bon, Le courant I 1 est négatif, le calcul est correct, le sens réel est le sens inverse. B- RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION 1) Méthode de superposition a) Principe de superposition Soit le circuit électrique ci-contre, le courant I calculé par la relation de Pouillet est : Qu on peut écrire = On peut alors imaginer deux circuits indépendants tel que : I 1 correspond au courant qui circule dans un circuit (1), I 2 correspond au courant qui circule dans un circuit (2), Avec b) Théorème de superposition Dans un circuit électrique linéaire comprenant plusieurs sources indépendantes, l'intensité de courant électrique dans une branche est égale à la somme algébrique des intensités produites dans cette branche par chacune des sources considérées isolement, les autres sources étant court-circuités. c) Application Soit le circuit suivant, on se propose de déterminer les intensités des courants dans les trois branches par la méthode de superposition. Avec : R 1 = 2 Ω ; R 2 = 5 Ω ; R 3 = 10 Ω E 1 = 20 V ; E 2 = 70 V D après le théorème de superposition, l'état initial est équivalent à la 25
superposition des états distincts : Système S système S système S Les courants réels I 1 ; I 2 et I 3 sont données par : I 1 = I 1 I 1 I 2 =I 2 I 2 I 3 = I 3 + I 3 Il faut donc calculer I 1, I 2, I 3, I 1, I 2, I 3 Dans le système S I 1 = 3,75A I 2 = 2,5A I 3 = 1,25A Dans le système S I 1 = 10,5A I 2 = 8,75A I 3 = 1,75A D après le théorème de superposition : dan le système S (état réel) I 1 = I 1 I 1 = -5A I 2 =I 2 I 2 = 8A I 3 = I 3 + I 3 = 3A Remarque : I 1 est négatif, donc son vrai sens est l'inverse du sens choisi. C- RESOLUTION PAR LA METHODE de THEVENIN 26
1) Introduction Les deux méthodes précédentes permettent de calculer tous les courants dans le réseau alors que ceci n'est pas toujours indispensable, Souvent on est appelé à connaître le courant dans une seule branche, pour cette raison on se propose de chercher une méthode pratique. Considérons un circuit complexe qui comporte des générateurs ou des récepteurs réels. Le problème consiste à remplacer ce circuit complexe (dipôle actif), vues de ces deux bornes A et B par un générateur équivalent dit générateur de Thévenin, Ce générateur possède une source de Thévenin (E Th ) en série avec une résistance (R Th ), Pouillet : 2) Principe Le théorème de Thévenin permet de transformer un circuit complexe en un générateur de Thvenin dont : La valeur de la source de Thévenin E Th (U AB0 = U AB circuit ouvert) est donnée par la mesure ou le calcul de la tension de sortie à vide (la charge étant débranchée), La valeur de la résistance interne R Th est mesurée ou calculée vues des bornes de sorties A et B, avec les conditions suivantes ; - La résistance de la charge est débranchée, - Court-circuiter les générateurs de tension, en gardant les résistances internes, - Débrancher les sources de courants. 3) Applications On considère le circuit électrique donné par la figure suivante : - On donne : E = 8 V ; R 1 = 4 Ω ; R 2 = 12 Ω ; R 3 = 9 Ω - Calculer le courant I qui traverse la résistance R3 en appliquant le théorème de Thévenin, a) Calcul de E Th On débranche la résistance R 3, la configuration sera donc : 27
En utilisant la formule du diviseur de tension : b) Calcul de R Th R 3 étant toujours débranchée, on court-circuite E, : c) Calcul de I 28
D- RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON 1) Introduction Le théorème de Norton va nous permettre de réduire un circuit complexe en générateur de courant réel. Ce générateur possède une source de courant (I N ) en parallèle avec une résistance (R N ). Diviseur de courant : 2) Principe Le courant de Norton I N est obtenu par calcul ou par une mesure après avoir court-circuité les bornes A et B, La résistance interne R N s'obtient de la même façon que celle du théorème de Thévenin (R N = R Th ), 3) Applications - Exemple 1 On considère le circuit électrique donné par la figure suivante : On donne : E = 8 V ; R 1 = 4 Ω ; R 2 = 12 Ω ; R 3 = 9 Ω Calculer le courant I qui traverse la résistance R 3 en appliquant le théorème de Norton, a) Calcul de I N On débranche la résistance R 3 et on court-circuite les bornes A et B, la configuration sera donc : La résistance R 2 est court-circuitée (elle n est pas traversée par aucun courant), b) Calcul de R N R 3 étant toujours débranchée, on court-circuite E, la configuration sera donc : 29
c) Calcul de I Diviseur de courant : - Exemple 2 On considère le circuit électrique donné par la figure ci-contre : On donne : E 1 = 10 V ; E 2 = 5 V ; R 1 = R 3 = R 4 = 100 Ω ; R 2 = 50 Ω Calculer le courant I en appliquant le théorème de Norton, a) Calcul de I N On débranche la résistance R 4 et on court-circuite les bornes A et B, la configuration sera donc : La résistance R 4 est court-circuitée b) Calcul de R Th c) Modèle de Norton vu de A et B d) Calcul de I et Diviseur de courant : 30
E- RESOLUTION PAR LA METHODE DE MILLMAN ET KENNELY 1) Introduction Ce théorème très pratique permet de déterminer la différence de potentiel aux bornes de plusieurs branches en parallèle (U AB ), 2) Principe = i : numéro de la branche y : admittance de la branche Remarque importante : Si dans une branche, il n'y a pas de générateur, on considère que la f.e.m correspondante est nulle. 3) Applications - Exemple 1 On considère le circuit électrique donné par la figure ci-contre: On donne : E 1 = 5 V; E 2 = 20 V ; R 1 = 5 Ω ; R 2 = R 3 = 10 Ω Calculer U AB Calcul de U AB : - Exemple 2 On considère le circuit électrique donné par la figure ci-contre : On donne : E 1 = E 3 = 4 V ; E 2 = 5 V; R 1 = R 3 = 2 Ω ; R 2 = 1 Ω Calculer U AB. 31
F- TRANSFORMATION DE KENNELY 1) Introduction C'est une transformation sur un réseau passif de résistances qui est souvent utile pour simplifier un réseau, Elle permet de transformer une étoile en triangle et réciproquement, 2) Démonstration On démontre cette identité en utilisant le théorème de superposition, - En superposant ces trois régimes permanents, on obtient le régime permanent le plus général, - Pour avoir les mêmes intensités et les mêmes d.d.p dans les deux montages, il faut que les résistances entre les nœuds soient les mêmes dans les deux montages, (1) (2) (3) (2) (1) et (2) (1) + (3) 32
Réciproquement : Exercice d application : Déterminer la résistance équivalente R AD du dipôle AD du réseau suivant en utilisant les règles de conversion de réseaux. On donne : R 1 = 2Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 6Ω, R 4 = 5Ω, R 5 = 4Ω 33