Cours de Terminale S /Probabilités : conditionnement et indépendance E. Dostal aout 2013
Table des matières 6 Probabilités : conditionnement et indépendance 2 6.1 Généralités............................................ 2 6.1.1 Vocabulaire des événements............................... 2 6.1.2 Intersection et réunion d événements.......................... 3 6.1.3 Loi de probabilité.................................... 3 6.1.4 Variables aléatoires.................................... 4 6.2 Probabilité conditionnelles.................................... 9 6.3 Indépendance........................................... 14 6.3.1 évènements indépendants................................ 14 6.3.2 indépendances et évènements contraires........................ 16 6.3.3 Modélisation d experiences indépendantes....................... 16 1
Chapitre 6 Probabilités : conditionnement et indépendance 6.1 Généralités 6.1.1 Vocabulaire des événements Définition 1 Chaque résultat possible et prévisible d une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à l expérience aléatoire Exemple 1 Lancer un dé à six faces : obtenir un 2 est une éventualité de cette expérience aléatoire Définition 2 L ensemble formé par les éventualités est appelé univers, il est très souvent noté Ω Exemple 2 Lancer d une pièce de monnaie : Ω = {pile ;face} Lancer un dé à six faces : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Définition 3 Un événement de l expérience aléatoire est une partie quelconque de l univers Un événement ne comprenant qu une seule éventualité est un événement élémentaire Exemple 3 Lancer d un dé à six faces : A = obtenir un 5 est un événement élémentaire que l on peut noter A = {5} B = obtenir un numéro pair est un événement que l on peut noter B = {2; 4; 6} Définition 4 L événement qui ne contient aucune éventualité est l événement impossible, noté L événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain Exemple 4 Lancer d un dé à six faces : Lancer d un dé à six faces : obtenir un nombre négatif est un évènement impossible. Lancer d un dé à six faces : obtenir un nombre positif est un événement certain 2
Définition 5 Pour tout événement A il existe un événement noté A et appelé événement contraire de A, qui est composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A On a en particulier A A = Ω Exemple 5 Lancer d une pièce de monnaie : si A = {pile} alors son événement contraire est A = {face} Lancer d un dé à six faces : si A est l événement obtenir un nombre inférieur ou égal à 4, alors son événement contraire A est l événement obtenir 5 ou 6 6.1.2 Intersection et réunion d événements Définition 6 Soit A et B deux événements de Ω Intersection d événements : L événement constitué des éventualités appartenant à A et à B est noté A B (se lit A inter B ou A et B ) Réunion d événements : L événement constitué des éventualités appartenant à A ou à B est noté A B (se lit A et de B ou A union B ou A ou B ) Remarque 1 Si A B =, on dit que les événements sont disjoints ou incompatibles Exemple 6 On considère un jeu de 32 cartes. On note A l événement obtenir une carte paire et B l événement obtenir une carte de valeur inférieure strictement à six 1. A B = obtenir une carte paire et inférieures strictement à six : A B = {2; 4} 2. A B = obtenir une carte paire ou inférieure strictement à six : A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} 6.1.3 Loi de probabilité Définition 7 Une probabilité sur un univers fini Ω est une applicaion qui, à chaque évènement élémentaire associe un nombre compris entre 0 et 1 tel que La probabilité d un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent et La probabilité de Ω est égale à 1. Définition 8 On dit que l on choisit une probabilité P équirépartie lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité Dans ce cas, on a : P (A) = nombre d éléments de A nombre d éléments de Ω = Card(A) Card(Ω) Remarque 2 Dans un exercice, pour signifier qu on est dans une situation d équiprobabilité on a généralement dans l énoncé un expression du type : on lance un dé non pipé dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher on rencontre au hasard une personne parmi une population. 3
Proposition 1 Soit A et B deux événements, on a les propriétés suivantes : P ( ) = 0 P (Ω) = 1 0 P (A) 1 P (A) = 1 P (A) Si A B alors P (A) P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Exemple 7 On considère l ensemble E des entiers de 1 à 20. On choisit l un de ces nombres au hasard A est l événement : le nombre est multiple de 3 B est l événement : le nombre est multiple de 2 P (A) = 6 20 = 3 10 = 0, 3 P (A) = 1 P (A) = 1 3 10 = 7 10 = 0, 7 P (B) = 10 20 = 1 2 = 0, 5 P (A B) = 3 = 0, 15 20 P (A B) = p(a) + p(b) p(a B) = 6 20 + 10 20 3 20 = 13 = 0, 65 20 6.1.4 Variables aléatoires Dans ce paragraphe, on ne considère que des univers Ω finis ou infinis dénombrables. Définition 9 On appelle Variable Aléatoire une fonction qui, à tout évenement d un univers fini, associe un nombre réel. On note cette Variable aléatoire X Remarque : on n a pas besoin de probabilité pour définir une variable aléatoire. 4
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Définition 10 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2,..., xn définie sur un univers Ω muni d une probabilité P. La loi de probabilité de X est la fonction qui, à chacune des valeurs prises par X fait correspondre la probabilité de l évènement X = xi En pratique, on présente la loi de probabilité de X sous forme d un tableau. Définition 11 Espérance, variance et Ecart type d une variable aléatoire. Soit Ω l univers correspondant à une expérience aléatoire Soit P une probabilité de Ω Soit X une variable aléatoire définie sur Ω telle que X(Ω) soit fini de cardinal n Notons x 1 ; x 2 ;...; x n l ensemble X(Ω) c est à dire l ensemble des valeurs prises par X l espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre noté E(X), défini par : E(X) = n p i x i i=1 La variance de la variable aléatoire X est le nombre noté V (X) défini par : V (X) = E((X E(X)) 2 ) = n p i (x i E(X)) 2 i=1 L ecart type de la variable aléatoire X, notée σ(x), défini par : σ(x) = V (X) Théorème 2 Linéarité de l esperance Soient X et Y deux variables aléatoires sur le même univers Ω de cardinale fini ; Soit P une probabilité sur Ω On a : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) et en particulier pour tout réel b E(X + b) = E(X) + b E(kX) = ke(x) pour tout réel k 6
Théorème 3 Calcul pratique de la variance : Formule de Koenig-Huyghens La variance d une variable aléatoire X peut se calculer avec la relation suivante : V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Corollaire 4 Soit X une variable aléatoire, soient a et b deux réels : On a : V (ax + b) = a 2 V (X) et σ(ax + b) = a σ(x) Définition 12 Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire. La fonction de répartition F associée à X est la fonction définie sur R par : F (x) = P (X x) 7
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6.2 Probabilité conditionnelles Définition 13 Soient A et B deux évènements ; B étant de probabilité non nulle. P (A B) Le nombre noté P B (A), défini par P B (A) = est une probabilité (Admis) que l on P (B) appelle Probabilité de A sachant que B est réalisé (ou Probabilité de A sachant B) On utilise parfois la notation P (A B) 9
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Théorème 5 Formule des probabilités totales Soit Ω un univers muni d une probabilité P. Si des parties B 1, B 2,... B n de probabilités non nulles constituent une partition(*) de Ω, alors pour tout évènement A : P (A) = n P (A B k ) = k=1 n P Bk (A)P (B k ) (*) : Une partition de Ω est un ensemble de parties non vides de Ω telles quelconque ces parties sont toutes disjointes deux à deux et leur union recouvre Ω k=1 11
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6.3 Indépendance 6.3.1 évènements indépendants Définition 14 Indépendance d évènements Soit P une probabilité sur un univers Ω On dit que deux évènements A et B (de probabilité non nulle) sont P -indépendants lorsque la réalisation (ou non) de l un n a pas d influence sur la probabilité de la réalisation de l autre. P B (A) = P (A) et P A (B) = P (B) On convient qu un évènement A tel que P (A) = 0 est P -indépendant de tout autre. Ce qui fournit un bon critère pour savoir si deux évènements sont indépendants. Théorème 6 Deux évènements A et B sont P -indépendants ssi P (A B) = P (A)P (B) 14
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6.3.2 indépendances et évènements contraires Théorème 7 Soient A et B deux évènements P -indépendants, alors A et B le sont aussi. démonstrtation : L évènement A B et l évènement A B sont des évènements incompatibles. La réunion de ces deux évènements est l évènement B. On a donc P (B) = P (A B) + P (A B) Comme A et B sont deux évènements P -indépendants Donc les évènements, B et A sont P -indépendants. P (B) = P (A)P (B) + P (A B) P (A B) = P (B) P (A)P (B) P (A B) = P (B)(1 P (A)) P (A B) = P (B)P (A) 16