Thème : Probabilités Fiche d'exposé 1)Plan de la séquence I. Test d'entrée Avant d entamer le travail sur les probabilités, il semble pertinent de proposer aux élèves un test d'entrée pour établir un état des lieux de leurs a priori et de leurs conceptions préalables sur le hasard et sur les probabilités, notamment à partir de situations issues de la vie courante. Le teste d'entrée est un moyen de vérifier l'acquisition des prés-requis à la notion de probabilité Prés-requis: Les fractions Notions d'effectif et de fréquence Qu évoquent pour toi les mots? Hasard : Chance : Aléatoire : Test d'entrée Probabilité : 2. D après toi, lorsqu on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie, qu obtient-on le plus facilement : pile ou face? Explique ta réponse. 3. D après toi, lorsqu on jette un dé, quel nombre (entre un et six) obtient-on le plus souvent? Explique ta réponse. 4. Une femme, dont on ne sait rien, vient de donner naissance à un enfant. Quelle chance a t- elle que ce soit un garçon? Explique ta réponse. Exercice : On a demandé aux élèves de la 3 e A s'ils avaient une console de jeux et si oui laquelle. Voici les réponses obtenues : Wii ; pas de console ; Xbox ; Wii ; Wii ; pas de console ; Xbox ; Wii ; Nintendo DS ; Nintendo DS ; PlayStation ; Wii ; pas de console ; Xbox ; Wii ; Nintendo DS ; Nintendo DS ; Nintendo DS ;Nintendo DS ; Nintendo DS ; pas de console ; pas de console ; pas de console ; Nintendo DS. a) Combien d'élèves ont répondu à ce sondage? b) Donner le nombre des réponses obtenus pour chaque console. c) Calculer les fréquences pour chaque console par rapport à l'ensemble des réponses.
II. Activité d'introduction à la notion de probabilité Lancers de dé But de l'activité est d'aboutir à la notion de probabilité comme fréquence limite sur un grand nombres expériences identiques Première phase : expérimentation à la main Capacités mise en jeu : S'investir dans une démarche expérimentale Utiliser un langage mathématique adapté Travailler en binôme Activité se s'effectue en binôme, les élèves doivent lancer un dé 50 fois et noter à chaque fois le numéro inscrit sur la face supérieure dans l'ordre d'apparition Activité 1. Lancer 50 fois un dé et noté à chaque fois le numéro inscrit sur la face supérieure. Écris les réponses dans leur ordre d'apparition 2. Utilise les 50 lancers réalisés pour compléter le tableau suivant : Numéro de face supérieure Effectifs Fréquences 1 2 3 4 5 6
2 e phase de l'activité : mise en commun des résultats Le professeur mutualise les résultats au tableau les résultats de 4 binômes. La classe relève les résultats dans la fiche ci-dessous et puis réponde aux questions afin d'aboutir à un bilan de l'activité Mise en commun des résultats Numéro de la face supérieure 1 2 3 4 5 6 Binôme 1 Binôme 2 Binôme 3 Binôme 4 1. Quelle était la fréquence d'apparition de la face de numéro 6 pour les 50 lancers d'un seul binôme? 2. Quelle est la fréquence d'apparition de la face de numéro 6 pour les 50 4 lancers? 3. Quelle devrait être la fréquence d'apparition du 6 pour les 50 24 lancers de tous les élèves de la classe? 4. A quoi correspond ce nombre? 3 e phase de l'activité simulation à l'aide d'un tableur Cette simulation un grand nombre de fois (1000 lancers) permet d'observer la stabilisation des fréquences qui vont s'approcher des probabilités Le tableur dispose d un «générateur de nombres aléatoires», c est-à-dire d un dispositif qui fournit un nombre pris au hasard dans un intervalle donné : «= ALEA( )» fournit un nombre décimal de l intervalle [0 ;1[, «= 6*ALEA( )» fournit un nombre décimal de l intervalle [0 ;6[, «= 6*ALEA( )+1» fournit un nombre X décimal de l intervalle [1 ;7[. En prenant la partie entière de «6*ALEA( )+1», notée «ENT», on obtient alors un nombre entier élément de l ensemble {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. La formule «= ENT(6*ALEA( )+1)»permet donc de simuler le jet d un dé. Le professeur projettera cette simulation en classe via un vidéo-projecteur
III. Synthèse Probabilité I. Vocabulaires Expérience aléatoire, éventualités, évènements II. Probabilité Définition : Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d'un événement élémentaire se rapproche d'une valeur particulière : la probabilité de cet événement élémentaire. Propriétés des probabilités III. Événements incompatibles Définition Propriété : p(a ou B)=p(A) -p(b) IV. Évènements contraires Définition Propriété : p(non A)=1 -p(a) V. Moyen de représentation Définition d'un arbre pondéré de probabilités Propriétés
VI. Expérience à deux épreuves Utilisation d'un arbre pondéré de probabilité dans le cas d'une expérience à deux épreuves. 2) Exercices Exercice 1 La concentration C cl de chlore actif d'une eau de piscine doit être comprise entre 0,4 mg\l et 1,4 mg\l pour que l'on puisse s'y baigner. À la piscine municipale, on effectue une mesure par jour. Le tableau ci-dessous regroupe le résultat de 1460 dernières mesures C cl C cl 0,4 0,4 C cl 1,4 1,4 C cl Nombre de mesure 146 1241 73 Soit A l'évènement «demain, la concentration C cl autorisera la baignade» et B l'évènement «non- A». On admet que les probabilités de A et B coïncident avec les fréquences constatées à l'issue des 1460 relevés 1. Calculer p(a) et p(b) 2. Utiliser un arbre pondéré pour représenter la situation. Connaissances utilisées : Définition de la fréquence Lien entre les fréquences et les probabilités Propriété de la probabilité d'un événement contraire Représentation par un arbre pondéré. Capacités évaluées: Calculer des fréquences Exprimer des probabilités à partir des fréquences Exercice 2 Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l'orange et 5 au citron. On tire, au hasard, un bonbon du sachet et on définit les évènements : A: «Le bonbon est à la menthe» B: «Le bonbon est à l'orange» C: «le bonbon est au citron» 1. Déterminer les probabilités p(a), p(b) et p(c). 2. Représenter l'expérience par un arbre pondéré Connaissances utilisées : Formule de calcul de probabilités dans le cas d'équiprobabilité Les règles de constructions d'un arbre pondéré Capacités évaluées : Calculer une probabilités par symétrie ou comparaison Utilisation d'un arbre pondéré pour représenter une situation de probabilité
Exercice 3 Un écran LCD de forme rectangulaire a pour dimensions 60cm 45 cm. La parte principale de l'écran est représenté en bleu sur la figure ci-contre, est elle-même un rectangle de dimension 48cm 13cm Sachant qu'un pixel de l'écran est défectueux, déterminer la probabilité de l'évènement A défini par : «le pixel défectueux se trouve sur la partie principale de l'écran» Connaissances : La formule de l'aire d'un rectangle aire de la zone A P A = aire totale Capacités évaluées : Modélisation de la situation Calculer une probabilité dans le cadre de la géométrie Exercices 4 : Un sac contient des jetons numérotés comme : 1, 1, 1, 3, 3,4,4,4, 5, 5 1. Calculer les probabilités des évènements suivants ; «1», «2», «3», «4» et «5». 2. a. Pourquoi les évènements «1» et «4» sont-ils incompatibles? b. En déduire p(1ou4) 3. Déterminer la probabilité de l'évènement «non 1» Connaissances utilisées : nombre de cas favorables Calcul de probabilité dans le cas d'équiprobabilité : p A = nombre de cas possibles Définition de deux évènements incompatibles Propriété : Si A et B sont deux évènements sont incompatibles, alors p(a ou B )=p(a)+p(b) Définition de deux évènements contraintes Propriété : p(non A)=1-p(A). Capacités évaluées : Modélisation du problème Appliquer les propriétés des probabilités
Exercice 5 : Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux noires «N» et trois blanches «B». On dispose également de deux sacs contenant des jetons : l'un est noir et contient un jeton et trois jetons blancs, l'autre est blanc et contient deux jetons noirs et deux jetons blancs. On extrait une boule de l'urne, puis on tire un jeton dans le sac qui est la même couleur que la boule tirée. 1. Combien y a-t-il d'issues possibles? Les explicités. 2. A l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la probabilité de chacune de ces issues. 3. Déterminer la probabilité de l'évènement A «la boule et le jeton extraits sont de la même couleur» Connaissances utilisés : La probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées sur les branches. La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le composent. Capacités évaluées: Étudier une expérience à deux épreuves : Déterminer les issues d'une expérience aléatoire à deux épreuves. Construire un arbre de probabilité d'une expérience aléatoire à deux épreuves.