Rappel de la notation : Concours blanc épreuve de mathématiques Durée : 4 heures première partie : 13 points ; deuxième partie : 13 points ; troisième partie : 14 points. On rappelle que 5 points au maximum pourront être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la qualité écrite de la production du candidat. Ce sujet contient 11 pages, numérotées de 1 à 11. La page 11 est à rendre avec la copie. Toute réponse doit être justifiée. L usage de la calculatrice électronique de poche à fonctionnement autonome, sans imprimante est autorisé. L usage de tout autre matériel électronique, de tout ouvrage de référence et de tout document est rigoureusement interdit. Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur, signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement. ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 1
Partie 1 Rémy dispose de 96 mètres de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il étudie plusieurs formes qu il pourrait donner à son enclos pour obtenir la plus grande aire possible. Partie 1A Dans un premier temps, son idée est de réaliser, avec tout le grillage à sa disposition, un rectangle de dimensions a et b. 1. Déterminez l aire de l enclos quand une de ses dimensions est 18 m. a b 2. Rémy a utilisé un tableur pour chercher l aire maximale de ce rectangle. Il a construit le tableau ci-dessous 1 A B C D E F G H P Q R S T U V W Dimension a du rectangle 2 4 6 8 10 12 14 30 32 34 36 38 40 42 44 en m 2 Aire du rectangle en m² 92 176 252 Dans la case B2, il a écrit une formule qui, étendue à toute la ligne par recopie vers la droite, donne la mesure de l aire du rectangle à partir de la dimension a. Choisissez la ou les formule(s) qu il a pu écrire parmi les propositions suivantes : =a*(48-a) =48*B1-B1*B1 =2*(48-2) =B1*(48-B1) =B1*(96-B1) 3. À l aide du tableur, Rémy a construit le graphique que vous trouverez en ANNEXE 1 à la fin de ce document. Par lecture graphique, en laissant les traits apparents sur l annexe 1 (à rendre avec la copie), répondez aux questions suivantes : a) Quelles sont les dimensions possibles d un enclos rectangulaire d aire 320 m²? b) Quelle est l autre dimension de l enclos quand a mesure 18 m? (cf. question 1.) c) Pour quelle(s) dimension(s), l aire de l enclos est-elle maximale? Quelles sont alors son aire et sa forme? ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 2
Partie 1B La deuxième idée de Rémy est de réaliser un hexagone régulier de 96 m de périmètre. Sur le schéma ci-contre, il a tracé l hexagone régulier ABCDEF de centre O qui est inscrit dans un cercle de centre O. 1. Quelle est la nature du triangle OAB? Justifiez 2. Quelle est la mesure exacte de la longueur OH en m? 3. Quelle est l aire de l enclos arrondie au m² près? Partie 1C La troisième idée de Rémy est de réaliser un décagone (dix côtés) régulier de 96 m de périmètre. Rémy a tracé un décagone régulier ABCDEFGHIJ de centre O, inscrit dans un cercle de centre O. Puis pour être plus précis, il a redessiné le triangle AOB en choissant une échelle pour réaliser ce dessin. Échelle :? 6,4 cm 1. Estimez l échelle utilisée par Rémy quand il a réalisé le dessin du triangle AOB ci-dessus. 2. Rémy a pris des mesures sur ce dessin puis en a déduit une approximation de l aire réelle de l enclos. En faisant comme lui, déterminez cette aire (vous donnerez une valeur approchée au m² près). ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 3
Partie 1D D après l étude des parties 1A, 1B et 1C, Rémy émet la conjecture suivante : «À périmètre constant (de 96 m), plus le polygone régulier a de côtés, plus l aire de ce polygone est grande». 1. Vérifiez que cette conjecture est vraie sur les trois exemples précédents. 2. Sans chercher à justifier votre réponse, quelle serait, selon vous, la forme géométrique (de périmètre 96 m) pour laquelle l aire de l enclos serait maximale? Quelle serait alors cette aire? (Donnez-en une valeur arrondie au m² près). Partie 2 Les exercices de cette partie sont indépendants Exercice 1 : Lors d un colloque de la COPIRELEM, un groupe de Math-jorettes étudie deux dispositions pour défiler. 1) Première disposition : elles décident de se placer en rangées pour former un rectangle. Elles remarquent que : - Quand elles se placent par rangées de 6 ; il en reste 3 non placées. - Quand elles se placent par rangées de 5 ; il n'en reste pas. Elles souhaitent se placer toutes dans un rectangle. a) Si elles se placent par rangées de 3, en reste-t-il? Justifiez votre réponse. b) Si elles se placent par rangées de 2, en reste-t-il? Justifiez votre réponse. c) Quel peut être le nombre de Math-jorettes sachant qu'il y en a en tout moins de 100? Trouvez tous les cas possibles. 2) Deuxième disposition : elles se placent en formant un carré de x rangées de x Math-jorettes. Elles forment un premier carré, mais il reste 11 Math-jorettes non placées. Elles essayent d en former un second carré en mettant une Math-jorette de plus par rangée, mais cette fois-ci, il manque 6 Maths-jorettes pour le compléter. Quel est le nombre total de Maths-jorettes? ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 4
Exercice 2 : Soit un carré ABCD de centre O et de côté 5 cm. E est le milieu de [DC] et F le milieu de [AB]. La diagonale [BD] coupe le segment [EA] en H et le segment [CF] en G (voir la figure ci-contre). 1) Démontrez que les droites (EA) et (CF) sont parallèles. 2) Démontrez que la diagonale est partagée en 3 segments de même longueur. (on pourra utiliser les triangles DCG et ABH). 3) Quelle est l aire du quadrilatère ECGH? Exercice 3 : Les trois questions suivantes sont indépendantes. Une machine fermée contient 8 jetons rouges et 10 jetons blancs. En actionnant une manette, l'appareil distribue au hasard un jeton à la fois dont on ne connaît pas la couleur à l'avance. Le jeton distribué n est pas remis en jeu. Ainsi, en actionnant plusieurs fois la manette on obtient une collection de jetons. 1. a) Combien de fois au maximum doit-on actionner la manette pour être certain que la collection obtenue contienne deux jetons rouges? 2. a) Quelle est la probabilité pour que, à la première manipulation de la manette, on ait un jeton rouge? b) En actionnant deux fois de suite la manette, quelle est la probabilité d obtenir deux jetons rouges? 3. L'obtention d'un jeton rouge permet de gagner 2 euros mais l obtention d un jeton blanc fait perdre 1,20 euros. Amélie a joué 15 fois et a gagné 4,40 euros. Combien de jetons rouges a-t-elle obtenus? ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 5
Partie 3 Cette partie est constituée de deux parties indépendantes portant sur un même thème. Partie 3A En Grande Section de maternelle, la situation ci-dessous a été proposée aux élèves avec du matériel mis à leur disposition. Pour garder une trace de l activité, les paniers et la tirelire sont dessinés sur une feuille et des petits disques sont découpés dans du papier pour représenter les pièces. Les pièces d or Consigne donnée aux élèves : «Vous devez répartir toutes les pièces dans chaque panier de façon à ce qu il y ait autant de pièces dans chaque panier. Il existe une tirelire pour y mettre les pièces en trop s il y en a.» Matériel et remarques : mettre à disposition les outils habituels de la classe (boulier, jetons..) ; pièces, paniers, tirelire. QUESTIONS : 1) Quelle est la notion mathématique sous-jacente à cette situation? 2) Cette activité est proposée en Grande Section de maternelle, en groupes. a) Explicitez deux procédures possibles que les élèves peuvent mettre en œuvre pour résoudre correctement ce problème. b) Vous trouverez, ci-dessous, les travaux de deux groupes d élèves. Analysez les productions des deux groupes. c) Comment les élèves peuvent-ils valider leur réponse? Les écrits sont de l enseignant et correspondent à ce que les élèves du groupe ont dit. (les nombres 4 écrits dans les paniers, le nombre 2 à côté de la tirelire et «ON PEUT LE GARDER C EST LA MÊME QUANTITE») Solution du groupe 1 : 4 dans chaque panier et 2 dans la tirelire. Solution du groupe 2 : 5 ; 5 et 4. ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 6
Partie 3B Vous trouverez les extraits de deux manuels de CE2 : «Pour comprendre les maths CE2» chez Hachette en ANNEXE 2 (page 8) et «J apprends les maths CE2» chez Retz en ANNEXE 3 (pages 9 & 10). QUESTIONS : 1) Dans le manuel «Pour comprendre les maths CE2» a) Quel sens de la division illustre chacun des énoncés? b) Quelles sont les ressemblances et les différences entre les deux problèmes de référence du manuel? Vous comparerez les énoncés et les méthodes de résolution proposées. 2) Dans le manuel «J apprends les maths CE2» p. 106 a) Quelles sont les connaissances nécessaires pour comprendre la technique introduite par le matériel représenté? Pour argumenter votre réponse, vous vous appuierez sur l exemple choisi par les auteurs du manuel p. 106. b) Donnez deux difficultés que peuvent rencontrer les élèves dans la résolution des deux exercices p. 107 avec la méthode exposée p. 106 (Calcule ces divisions 503 : 4 et 770 : 3 comme Picbille). c) À la suite de deux exercices de la page 107, un texte d institutionnalisation est donné aux élèves : En vous appuyant sur une description de l algorithme de la division euclidienne, explicitez les différentes étapes de ce texte et en particulier, interprétez précisément les expressions «les dizaines qu on ne voit pas» et «les dizaines qu on voyait». ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 7
ANNEXES L ANNEXE 1 qui est à rendre avec la copie se trouve en fin de sujet p11 ANNEXE 2 (pages 8) «Pour comprendre les maths CE2» Hachette ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 8
ANNEXE 3 (pages 9 & 10) «J apprends les Maths CE2» chez RETZ p. 106-107 - Page 106 ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 9
ANNEXE 3 (pages 9 & 10) Page 107 ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 10
ANNEXE 1 NOM : Graphique à rendre avec la copie Aire du rectangle Aire de l'enclos en m² 620 600 580 560 540 520 500 480 460 440 420 400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Mesure de a en m ESPE de Lyon Concours Blanc Master MEEF M1 17 février 2016 Page 11