Fiche Inversion de matrice MOSE 2 Septembre 24 Table des matières Inversion de matrice x Calcul pratique............................................... Vérification à la console scilab....................................... 2 Justification de la méthode........................................ Inversion de matrice 2x2 4 Mnémotechnique.............................................. 4 Inversion de matrice x Soit la matrice A = 2 2 6 2 4 On se pose ici la question de déterminer si la matrice A est inversible et de donner son inverse. Calcul pratique On commence par former un grand tableau en collant la matrice identité à côté de la matrice A et en gardant une barre verticale pour séparer la partie gauche et la partie droite. 2 2 6 2 4 On effectue ensuite une méthode du pivot, comme s il s agissait de la résolution d un système d équations, en prenant des pivots non nuls dans la partie gauche du tableau. Cela donne pour le choix du premier pivot puis puis 2 2p 2 6 2 4 6p 7 2 2 p 2 8 6 2 p
7 2 7 7 2 Comme d habitude, on pousse l algorithme du pivot jusqu au bout, c est à dire jusqu à ce qu on ne puisse plus choisir de terme pivot 7 7 2 On a ici termes pivot. On dit que la matrice A est de rang. Définition Le rang d une matrice A, noté rg (A) est le nombre de termes pivots non nuls qu on obtient quand on applique l algorithme du pivot aux lignes de la matrice. Ce rang est toujours inférieur ou égal au nombre de lignes, et aussi au nombre de colonnes de la matrice. Il ne dépend pas du choix des termes pivot. On aurait pu trouver le rang de la matrice en travaillant juste sur la partie gauche du calcul précédent, mais on va ici obtenir plus. Théorème (admis) lignes. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à son nombre de Il en résulte que notre matrice A est inversible. Pour obtenir son inverse, on fait deux étapes supplémentaires : Tout d abord, on change l ordre des lignes du tableau précédent de façon à obtenir à gauche une matrice diagonale, ce qui donne 7 2 7 On divise ensuite chaque ligne par le terme pivot de cette ligne, de façon à obtenir la matrice identité à gauche. 7 7 4 La partie droite du tableau est alors la matrice inverse cherchée. A = = 4 Vérification à la console scilab 7 7 On ouvre scilab et on écrit les instructions suivantes dans la console -->A = [2 -; 2; 6-2 4] A = 2.. -... 2. 6. - 2. 4. -->inv(a) 24 2 7 8 26 7 2 2
.7847.7.842.26.726 -.4626 -.22.678.2 --> * inv(a) 24. 2. 7. 8. 26. - 7. - 2... Scilab n imprime pas les fractions, mais seulement des nombres à virgule. On doit donc multiplier ici l inverse de A par pour vérifier. On peut le vérifier autrement, en tapant cette fois ci Figure Inversion de matrice avec Scilab -->A = [2 -; 2; 6-2 4]; -->Z = [24 2 7; 8 26-7; -2 ]; -->A * Z......... Le fait d ajouter un point-virgule en fin de ligne dans scilab permet d éviter que scilab n affiche le résultat (ici les matrices A et Z sont définies mais pas affichées. Justification de la méthode Cette partie constitue un complément qui n est pas au programme du module. Considérons une transformation de matrice par une étape de la méthode du pivot αp X = Y = βp Propriété La matrice Y résultat de cette étape du pivot s obtient en multipliant à gauche X par une certaine matrice, plus précisément : α Y = X β Chaque étape se réduit donc à multiplier à gauche par une matrice. En résumant toutes les étapes faites ci dessus, on a donc
2 7 2 6 En appelant B le produit des matrices qui sont ici à gauche de A, on a donc A = I BA = I autrement dit A est inversible et B est son inverse. Comment calculer B? En faisant toutes les étapes de la méthode, mais en partant de la matrice identité au lieu de partir de A. C est ce que fait la partie droite du tableau, en fait en partant de I, on obtient 7 Inversion de matrice 2x2 Soit la matrice générale et soit la matrice Calculons directement le produit HA : [ d b H = c a [ ] a b A = M c d 2 [ ] d b H = c a 2 [ ] a b = A ] [ c d ] ad bc = HA ad bc On voit que HA est un multiple de la matrice identité, en fait 2 6 I = B Définition Il en résulte le Théorème On peut montrer plus : HA = (ad bc) I 2 On appelle déterminant de la matrice A le nombre det (A) = a b c d = ad bc Si det (A), la matrice A est inversible et son inverse est la matrice [ ] A d b = det (A) c a Théorème Si det (A) =, la matrice A n est pas inversible. En effet, le calcul montre que AH = det (A) I 2, c est à dire que A et H commutent. Si A était inversible, d inverse B, on aurait BA = I = BAH = IH = H = B det (A) I = H = = H, mais si H est la matrice nulle, les nombres a, b, c, d sont nuls tous les quatre, donc la matrice A est nulle, et dans ce cas, on ne peut pas avoir BA = I. 4
Mnémotechnique Pour se souvenir de la formule donnant l inverse, on peut apprendre par coeur la maxime suivante Maxime : Pour inverser une matrice 2 2, on échange les termes diagonaux, on change le signe des autres, et on divise par le déterminant. Par exemple, appliquons la maxime à la matrice A = [ 7 On échange les termes diagonaux et, on change le signe des autres (le et le 7). Il reste à diviser par le déterminant 7 = 8, donc A = [ ] [ ] = 8 8 8 7 ] 7 8 8