Universités Rennes I Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques 2007 Page n Texte Urnes et particules À la fin du 9 ième siècle et au début du suivant, la tempête fait rage autour de la théorie cinétique de Boltzmann Celle-ci considère les échanges thermiques comme un processus aléatoire, tandis que la thermodynamique les présente comme une progression irréversible vers l équilibre Deux exemples simples illustrent la problématique Considérons deux corps en contact, composés du même matériau, isolés de l extérieur et initialement à des températures différentes Des échanges d énergie ont lieu entre les deux corps L intuition tend à penser que le système évolue de manière monotone vers un équilibre stable où les deux corps sont à la même température Les mesures confirment cette intuition et montrent de plus que la convergence à l équilibre est exponentiellement rapide Le deuxième exemple est celui de deux pieces hermétiquement closes et de même volume On pratique un minuscule trou dans la cloison séparant ces deux pièces et l on mesure l évolution de la pression dans chacune des pièces Il paraît raisonnable de penser que la pression va s équilibrer L équilibre semble caractérisé par le fait que la température des deux corps ou les pressions dans les deux pièces sont égales, ou au moins égales pour notre œil, à notre échelle On dit que le système est en équilibre thermodynamique Le second principe de la thermodynamique affirme que l évolution des grandeurs telles que la pression ou la température est monotone et tend à rapprocher le système d un équilibre La théorie cinétique propose d expliquer ces phénomènes en prenant en compte la dynamique des atomes composant la matière Il s agit donc de décrire le comportement macroscopique (ce qui est observable) à partir du comportement microscopique (ce qui concerne des particules trop petites et trop nombreuses pour être observées) Le paradoxe qui survient est alors le suivant : les lois de la mécanique, qu elle soit classique ou relativiste sont profondément réversibles ; tandis que les phénomènes observés ne semblent pas l être du tout : le corps chaud ne se réchauffera pas au détriment du corps froid et le vide ne va pas apparaître dans une des deux pièces!!! Les physiciens P et T Ehrenfest (mari et femme qui ont travaillé ensemble) ont introduit un modèle simple (qui porte leur nom) pour analyser l échange thermique entre deux corps et tenter d expliquer le paradoxe apparent soulevé par la juxtaposition des théories thermodynamique et cinétique Le modèle microscopique Considérons deux urnes A et B dans lesquelles sont réparties a boules numérotées de à a On associe à une configuration, c est-à-dire à une répartition des a boules un a-uplet x = (x,, x a ) où x i = si la particule i est dans l urne A et x i = 0 sinon Notons F l ensemble F = {x = (x,, x a ), pour tout i =,, a, x i {0, }} On dit que deux éléments x et y de F sont voisins, et on note x y, s ils ne diffèrent que d une coordonnée On considère la chaîne de Markov sur F définie par la dynamique suivante : lorsque la chaîne est en un point x de F, elle choisit au temps suivant en un des voisins de x avec la probabilité uniforme Par exemple, si a est égal à 3 et que l on range les éléments de F dans l ordre suivant : (0, 0, 0) (0, 0, ) (0,, 0) (, 0, 0) (0,, ) (, 0, ) (,, 0) (,, ), Mars 2007 Copyright c F Malrieu GNU FDL Copyleft Page n
Universités Rennes I Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques 2007 Page n 2 la matrice de transition Q est donnée par 0 /3 /3 /3 0 0 0 0 /3 0 0 0 /3 /3 0 0 /3 0 0 0 /3 0 /3 0 Q = /3 0 0 0 0 /3 /3 0 0 /3 /3 0 0 0 0 /3 0 /3 0 /3 0 0 0 /3 0 0 /3 /3 0 0 0 /3 0 0 0 0 /3 /3 /3 0 Lemme La matrice Q est bistochastique La mesure invariante de la chaîne Y est la mesure uniforme sur F La chaîne est récurrente, irréductible et périodique de période 2 Le temps moyen de retour en x F est 2 a Cette chaîne s interprète géométriquement comme la marche aléatoire aux plus proches voisins sur le cube unité de dimension a Définissons la distance d entre deux points x et y de F par le nombre de coordonnées dont ils diffèrent : d(x, y) = a x i y i i= Le temps moyen pour la chaîne d aller de x en y ne dépend que de la distance d(x, y) Fixons a et notons m d = m a d le temps d atteinte moyen de y partant de x lorsque d(x, y) = d La suite (m d) 0 d a+ vérifie les équations suivantes : m d = + d a m d + a d a m d+ pour 0 < d a, et m 0 = m a+ = 0 Ces équations admettent une unique solution, qui s écrit sous la forme suivante Proposition 2 Soit alors i Q a i = C k a C i k=0 a pour i = 0,,, a, d m d = Q a a i pour 0 < d a i= 2 L urne d Ehrenfest Observer l évolution de la chaîne Y demanderait de pouvoir déterminer la position de chaque particule ce qui est bien sûr impossible L idée est de former à partir de Y un processus qui résume le comportement des grandeurs observables Pour simplifier certaines expressions dans la suite, on sera amené à se placer parfois dans le cas où a est pair La lettre b désignera alors toujours dans la suite l entier a/2 À la chaîne de Markov Y on associe le processus (X n ) n à valeurs dans E = {0,,, a} défini par X n est la somme des coordonnées de Y n Mars 2007 Copyright c F Malrieu GNU FDL Copyleft Page n 2
Universités Rennes I Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques 2007 Page n 3 Proposition 2 Le processus (X n ) n est une chaîne de Markov sur E de matrice de transition P = 0 0 0 0 0 0 /a 0 (a )/a 0 0 0 0 0 2/a 0 (a 2)/a 0 0 0 0 0 0 0 (a )/a 0 /a 0 0 0 0 0 0 La chaîne est récurrente irréductible et périodique de période 2 Sa mesure invariante est la loi binomiale B(a, /2) Puisque l on s intéresse à des grandeurs macroscopiques, le comportement moyen est la première grandeur à étudier Proposition 22 Pour n N, avec la convention a = 2b, ( E(X n ) b = (E(X 0 ) b) ) n b Remarque 23 Ceci n est pas très étonnant puisque le vecteur transposé de ( b b + b b) est vecteur propre de P associé à la valeur propre /b Remarque 24 Notons τ la fréquence de transitions par secondes Il y a donc eu τt transitions au temps t En notant ν = τ log( /b), la proposition 22 établit la loi de refroidissement de Newton (Newton s law of cooling) : E(X n ) b = (E(X 0 ) b)e νt 3 Réconciliation des théories ennemies Il est temps de confronter, ou plutôt d unifier, les points de vue thermodynamique et cinétique Pour cela, plusieurs estimations peuvent être proposées, des plus naïves aux plus fines 3 Fluctuations autour de la moyenne sous la mesure invariante Supposons que le temps auquel on observe la chaîne soit assez grand Au problème de périodicité près, la loi de X ressemble à la loi binomiale B(a, /2) On peut donc en déduire, via le théorème limite central ou des inégalités de concentration de la mesure pour la loi B(a, /2) autour de sa moyenne, des contrôles de la quantité P( X n b r) Pour fixer les idées, on pourra choisir a = 0 6 Le théorème limite central montre que l on est pratiquement sûr de trouver environ la moitié des particules dans l urne A Même si pour les physiciens, a = 0 6 est un petit nombre, la probabilité de trouver plus de 505000 particules dans une urne (c est-à-dire une fluctuation d au moins %) est inférieure à 0 23 Pour m = 0 8, une fluctuation d un pour mille est aussi négligeable 32 Temps de retour On souhaite raffiner ce résultat en obtenant des estimations en fonction du point de départ de la chaîne, par exemple 0 et b On définit le temps T ii de premier retour en i de la manière suivante : T ii = inf {n, X n = i X 0 = i} Mars 2007 Copyright c F Malrieu GNU FDL Copyleft Page n 3
Universités Rennes I Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques 2007 Page n 4 Proposition 3 Si b = 0000 alors E(T 00 ) = 2 20000 et E(T bb ) 00 π Cette proposition assure qu il faudra attendre un temps immense avant qu une pièce, initialement vide, ne le redevienne!!! 33 Estimation du temps de regonflage de la roue On souhaite enfin être plus précis et obtenir des estimations des temps d atteinte de 0 et b partant de 0 ou b Soit m ij le temps moyen d atteinte de j par X partant de i Partant de i +, la chaîne doit passer par i pour aller en 0, donc Par symétrie, m i+,0 = m i+,i + m i,0 pour 0 i < a () m i,i+ = m a i,a i = m a i,0 m a i,0 pour 0 0 i < a Il suffit donc de connaître les réels (m i0 ) i pour déterminer les réels (m ij ) ij Remarquons à présent que X n = 0 si et seulement si Y n = (0,, 0) Donc le temps moyen que met X à se rendre de i à 0 est le temps moyen que met Y d aller de n importe quel élément de F situé à une distance i de (0,, 0) à (0,, 0), autrement dit m a i La proposition 2 assure alors que a i a i m i,i+ = m a i,0 m a i,0 = Q a a k Q a a k = Q a i pour 0 0 i < a Corollaire 32 On a k= k= 2 a /Ca i si i = j, j Q a k si i < j, m ij = k= a j Q a k si i > j k=a i On suppose à présent que a est pair et on note b = a/2 Proposition 33 Pour tout a, et a(2 log 2 /2) 2 m 0,b a(/4 + (/2) log a), (2) Démonstration Montrons l estimation (??) Pour tout i, ( i m i,i+ + m i+,i = Ca i Ca k + k=0 ( 2 a + ) ( m 0,a 2 a + 2 ) (3) a a a k=i+ C k a ) = 2a Ca i Donc b m 0,b + m b,0 = 2 a Mars 2007 Copyright c F Malrieu GNU FDL Copyleft Page n 4
Universités Rennes I Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques 2007 Page n 5 De plus, puisque m b,0 = m b,a, on a b m 0,a = m 0,b + m b,a = 2 a Remarquons à présent, en séparant les deux premiers termes de la somme des autres, que + b a + a + b C 2 a La proposition?? assure que le temps mis par le système pour passer d un état de total déséquilibre à celui d équilibre parfait est totalement négligeable devant le temps mis pour l évolution inverse Pour un nombre de particules égal à 00, m 0,50 est majoré par 256 tandis que m 50,0 est de l ordre de 0 30 soit quelques mille milliards de milliards de milliards 4 Suggestions Justifier le lien entre le problème d échanges thermiques abordé dans l introduction et le modèle de l urne d Ehrenfest 2 Commenter et illustrer la proposition 2 On pourra mettre en évidence par la simulation la vitesse de croissance de a m a a et le fait qu à a fixé, d m a d croît mais lentement 3 Démontrer la proposition 2 4 Démontrer la proposition 22 et expliquer le sens de la remarque 23 5 Expliquer le sens de la section 3 6 Démontrer la proposition 3 et réconcilier les théories cinétique et thermodynamique 7 Illustrer par la simulation les différents comportements du modèle qui ont été mis en évidence dans le texte Références [FF] D Foata, A Fuchs Processus stochastiques, Dunod [KS] J G Kemeny, J L Snell Finite Markov chains, Springer-Verlag Mars 2007 Copyright c F Malrieu GNU FDL Copyleft Page n 5