Les concepts normatifs : surplus et optimalité de Pareto

THEME 6 Les concepts normatifs : surplus et optimalité de Pareto Concepts et définitions essentiels Boite d Edgeworth Economie d échange Frontière des utilités possibles Courbe de contrat Optimum de Pareto. Economie de production. Frontière des production possible Courbe de conflit. Exercice n 16 : L optimalité au sens de Pareto Une économie est composée de 2 biens,j = 1, 2 et de 2 consommateurs i = 1, 2 dont les fonctions d utilités sont définies par : U i = U i (x i1, x i2 ) Les fonctions d utilités sont définies strictement croissantes, deux fois continument différentiables et strictement quasi-concaves. Les dotations initiales globales sont : w 1 = (1; 2) et w 2 = (2; 1). 1. Tracez dans une boite d Edgeworth les courbes d indifférences passant par le point de distribution initiale des ressources. 2. Quel est l ensemble des allocations préférées aux allocations initiales? 3. Comparer le TMS des 2 individus au point où l échange n est plus profitable. 4. En rappelant la définition du critère d optimalité au sens de Pareto, montrez qu un tel optimum peut ne pas vérifier la condition portant sur les TMS. 1

Correction Une économie est composée de 2 biens,j = 1, 2 et de 2 consommateurs i = 1, 2 dont les fonctions d utilités sont définies par : U i = U i (x i1, x i2 ) Les fonctions d utilités sont définies strictement croissantes, deux fois continument différentiables et strictement quasi-concaves. Les dotations initiales globales sont : w 1 = (1; 2) et w 2 = (2; 1). 1 - Tracez dans une boite d Edgeworth les courbes d indifférences passant par le point de distribution initiale des ressources. Voir graphique. 2- Quel est l ensemble des allocations préférées aux allocations initiales? L aire délimitée par les courbes d indifférences du consommateur 1 (I 1 ) et du consommateur 2 (I 2 ) représente l ensemble des allocations préférées à la distribution initiale des ressources (w), et strictement préférées pour au moins un agent. A partir de w il existe des possibilités d échange mutuellement avantageuses, qui cessent dès lors que cet ensemble est vide (point E). 3- Comparer le TMS des 2 individus au point où l échange n est plus profitable. Le point E est un point de tangence entre les courbes d indifférence des 2 consommateurs. En ce point, les pentes des courbes d indifférences sont égales. Or les pentes sont égales en valeur absolue aux rapports des utilités marginales au point considéré : Ou encore : U 1x 11 (x E 11, x E 12) U 1x 12 (x E 11, x E 12) = U 2x 21 (x E 21, x E 22) U 2x 22 (x E 21, x E 22) T MS 1 = T MS 2 4- En rappelant la définition du critère d optimalité au sens de Pareto, montrez qu un tel optimum peut ne pas vérifier la condition portant sur les TMS. Un optimum de Pareto est une allocation réalisable, telle qu il n existe aucune autre allocation réalisable pour laquelle l utilité d un consommateur serait strictement supérieur à l utilité que le procure la première allocation, sans que l utilité 2

de l autre consommateur ne soit strictement inférieure. Le point E est par exemple une allocation pareto optimale. Les possibilités d échange mutuellement avantageuses sont épuisées. Remarque : L égalité des TMS garantit la pareto optimalité pour les allocations intérieures à la boite d Edgeworth (ie : pour des quantités non nulles de chaque bien pour les deux consommateurs). 3

Exercice n 17 : d échange Optimum de Pareto dans une économie Une économie est composée de 2 biens,j = 1, 2 et de 2 consommateurs i = 1, 2 dont les fonctions d utilités sont définies par : U 1 = x11 0.3 x 0.7 12 U 2 = x21 0.6 x 0.4 22 Les dotations initiales sont données par w 1 = (3; 5) et w 1 = (8; 3) 1. Déterminez l équation de l ensemble de Pareto. Les dotations initiales appartiennentelles à cet ensemble? 2. Etudier l équilibre général (déterminer le prix relatif d équilibre et les consommations d équilibre). 3. Démontrer que l allocation d équilibre est donnée par l intersection de l ensemble de Pareto et la droite de pente égale au rapport des prix d équilibre, et passant par les dotations initiales. Cette allocation d équilibre est elle équitable? 4. Calculez les optima de Pareto individuellement rationnels. 5. Représentez l ensemble de ces questions dans la boite d Edgeworth. 4

Correction Une économie est composée de 2 biens,j = 1, 2 et de 2 consommateurs i = 1, 2 dont les fonctions d utilités sont définies par : U 1 = x11 0.3 x 0.7 12 U 2 = x21 0.6 x 0.4 22 Les dotations initiales sont données par w 1 = (3; 5) et w 1 = (8; 3) 1- Déterminez l équation de l ensemble de Pareto. Les dotations initiales appartiennent-elles à cet ensemble? Maximisons l utilité du premier consommateur en maintenant l utilité du second consommateur inchangé. max U 1 (x 11, x 12 ) =x 0.3 x 11 x 11 x12 0.7 12 U 2 (x 21, x 22 ) = U 2 En tenant compte des contraintes de rareté : La fonction de Lagrange est alors : les CPO : x 11 + x 21 =11 x 21 = 11 x 11 x 12 + x 22 =8 x 21 = 8 x 21 L = x 0.3 11 x 0.7 12 λ[(11 x 11 ) 0,6 (8 x 12 ) 0,4 U 2 ] λ = λ = 0, 3x 0,7 11 x 0,7 12 0.6(11 x 11 ) 0.4 (8 x 12 ) 0,4 0, 7x 0,3 11 x 0,3 12 0.4(11 x 11 ) 0.6 (8 x 12 ) 0,6 En simplifiant il vient : 3x 12 7x 11 = 3(8 x 12) 2(11 x 11 ) 5

L équation de l ensemble de pareto s écrit alors : x 12 = 168x 11 66 + 15x 11 Les dotations initiales n appartiennent pas à cet ensemble car elles ne vérifient pas l équation de l ensemble de Pareto : x 12 = 168.(3) 66 + 15.(3) = 4, 54 5 2- Etudier l équilibre général (déterminer le prix relatif d équilibre et les consommations d équilibre). Premier consommateur A l équilibre le TMS : U 1 x 11 U 1 x 12 = 0, 3x 0,7 11 x 0,7 12 0, 7x 0,3 11 x 0,3 12 = 3x 12 7x 11 = p 1 p 2 La contrainte budgétaire du consommateur 1 peut aussi s écrire : p 1 x 11 + p 2 x 12 = 3p 1 + 5p 2 En combinant ces deux fonctions, on obtient les fonctions de demande : Second consommateur A l équilibre le TMS : x 11 (p 1, p 2 ) = 3 10 (3 + 5p 2 p 1 ) x 12 (p 1, p 2 ) = 7 10 (5 + 3p 1 p 2 ) U 2 x 21 U 2 x 22 = 0, 6x 0,4 21 x 0,7 22 0, 4x 0,6 21 x 0,6 22 = 3x 22 2x 21 = p 1 p 2 6

La contrainte budgétaire du consommateur 2 peut aussi s écrire : p 1 x 21 + p 2 x 22 = 8p 1 + 5p 2 En combinant ces deux fonctions, on obtient les fonctions de demande : x 21 (p 1, p 2 ) = 3 5 (8 + 3p 2 p 1 ) x 22 (p 1, p 2 ) = 2 5 (3 + 8p 1 p 2 ) La condition d équilibre sur le marché du bien 1 est alors : 3 10 (3 + 5p 2 p 1 ) + 3 5 (8 + 3p 2 p 1 ) ce qui nous donne le rapport des prix d équilibre : ( p 2 p 1 ) 1, 6 ( p 1 p 2 ) 0, 62 Compte tenu du corrolaire de la loi de Walras, ( p 2 p 1 ) 1, 6 est aussi le prix d équilibre sur le marché du bien 2. (Vous pouvez le vérifier). Pour le consommateur 1 les consommations à l équilibre sont alors : x 11 = 3 2 (3 + 1, 6) 3, 3 5 x 12 = 7 (5 + 3(0, 62)) 4, 808 10 Pour le consommateur 2 les consommations à l équilibre sont alors : x 21 = 3 (8 + 3(1, 6)) 7, 69 5 x 22 = 2 (3 + 8(0, 62)) 3, 19 5 Les consommations d équilibre x 11 et x 12 vérifient l équation de l ensemble de Pareto: 168(3, 3) 4, 808 66 + 15(3, 3) 7

Le premier théorème du bien être est ainsi vérifié : dans une économie de CPP, toute allocation d équilibre est pareto-optimale. 3- Démontrer que l allocation d équilibre est donnée par l intersection de l ensemble de Pareto et la droite de pente égale au rapport des prix d équilibre, et passant par les dotations initiales. Cette allocation d équilibre est elle équitable? L équation de la droite passant par les dotations initiales de pente ( p 1 /p 2 ) est : x 12 5 = 0, 62(x 11 3) Les quantités d équilibres du consommateur 1, x 11 = 3, 3 et x 12 = 4, 808, appartiennent à cette droite. Les quantités d équilibres du consommateur 2 sont : x 21 = 7, 690 et x 22 = 3, 194. Ainsi on a : U 1 (x 11, x 12) = 4, 299 et U 2 (x 21, x 22) = 5, 411 U 1 (x 21, x 22) = 4, 299 et U 2 (x 11, x 12) = 3, 842 Les allocations d équilibre (x 11, x 12, x 21, x 22) sont donc équitables. 4- Calculez les optima de Pareto individuellement rationnels. Les utilités des 2 consommateurs procurés par les dotations initiales sont : U 1 (w 11, w 12 =3 0,3 5 0,7 = 4, 288 U 21 (w 1, w 22 =8 0,6 3 0,4 = 5, 404 Les 2 conditions pour que les optima soient individuellement rationnels sont donc : Il faut alors : On obtient : x 0,3 11 ( x 0,3 11 x 0,7 12 4, 888 x 0,6 21 x 0,4 22 5, 404 168x 11 4, 288 66 + 15x 11 ) 0,7 3, 15 < x 11 <3, 32 4, 673 < x 12 <5 5- Représentez l ensemble de ces questions dans la boite d Edgeworth. 8

Exercice n 18 : Equilibre concurrentiel, loi de Walras et optimum de Pareto Deux consommateurs notés i et j se répartissent les ressources en biens X et Y d une économie d échange de la manière suivante: (x i, y i ) = (9, 0) et (x j, y j ) = (0, 9). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions d utilité : U i = x i y 2 i et U j = x 2 jy j. 1. Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie. 2. Montrez que la loi de Walras est respectée. Quelles en sont les conséquences Expliquez. 3. Déterminez l ensemble des allocations optimales au sens de Pareto. 9

Correction Deux consommateurs notés i et j se répartissent les ressources en biens X et Y d une économie d échange de la manière suivante: (x i, y i ) = (9, 0) et (x j, y j ) = (0, 9). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions dutilité : U i = x i y 2 i et U j = x 2 jy j. 1. Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie. Cherchons d abord les équilibres individuels : Consommateur i max x i,y i U i (x i, y i ) sc p x x i + y i 9p x On utilise la méthode de Lagrange : max x i,y i,λ L x iy 2 i + λ(9p x p x x i y i ) Les conditions du premier ordre sont : Soit, L x i = 0 L y i = 0 L λ = 0 yi 2 λp x = 0 (1) 2x i y i λ = 0 (2) p x x i + y i = 9p x (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix : T MS y/x = y2 i 2x i y i = y i = p x 2p xx i (4) 10

On intègre 4 dans 3 : p x x i + 2p x x i =9p x 3p x x i =9p x x 1 =3 On transfère ce résultat dans 4 : y i = 6p x Consommateur 2 On utilise la méthode de Lagrange : max U j (x j, y j ) x j,y j sc p x x j + y j 9 max x j,y j,λ L x2 jy j + λ(9 p x x j y j ) Les conditions du premier ordre sont : Soit, L x j = 0 L y j = 0 L λ = 0 2x j y j λp x = 0 (1) x 2 j λ = 0 (2) p x x j + y j = 9 (3) 11

Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix : On intègre 4 dans 3 : T MS y/x = 2x jy j x 2 j = p x x j = 2y j p x p x 2 y j p x + y j = 9 3 y j = 9 y j = 3 On transfère ce résultat dans 4 : x j = 6 p x Après avoir trouver les demandes individuelles, nous cherchons l équilibre général (offre = demande en tenant compte de la contrainte de rareté). { x i + x j = 9 yi + yj = 9 { 3 + 6 p x = 9 6p x + 3 = 9 { py p x = 1 p x = 1 Les quantités consommées sont : x i = 3, x j = 6 et y1 = 6, y2 = 3. Les demandes nettes de chaque consommateur sont : Consommateur i : x i x i = 6 < 0. Il est offreur de bien x. y i y i = 6 > 0. Il est demandeur de bien y. Consommateur j : x j x j = 6 > 0. Il est demandeur de bien x. y j y j = 6 < 0. Il est offreur de bien y. 12

2. Montrez que la loi de Walras est respectée. Quelles en sont les conséquences? Expliquez. A l équilibre général, la somme des demandes nettes pondérées par les prix sur tous les marchés est nulle : p x [(x i x i ) + (x j x j )] + [(y i y i ) + (y j y j )] =0 La loi de Walras est vérifiée. p x [(3 9) + (6 0)] + [(6 0) + (3 9)] =0 0p x + 0 =0 En conséquences, si il y a équilibre sur (n 1) marchés, le n ème marché est en équilibre. 3. Déterminez l ensemble des allocations optimales au sens de Pareto. Ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisables au sens de Pareto, c est à dire qu il n existe pas d allocation qui permette d augmenter l utilité d un consommateur sans baisser celle d un autre. Nous devons chercher à égaliser les TMS des deux consommateurs. T MS = Nous obtenons pour le consommateur i : T MS i = U x U y y2 i 2x i y i = y i 2x i Et nous obtenons pour le consommateur j : T MS j = 2x jy j x 2 j = 2y j x j Donc : T MS i =T MS j y i = 2y j 2x i x j y i x j =4x i y j 13

Prenons en compte les contraintes de rareté dans l économie (allocations réalisables): nous pouvons réécrire : x i + x j =9 y i + y j =9 x i = 9 x j y i = 9 y j Remplaçons cela dans l équation y i x j = 4x i y j trouvée précédemment (9 y j )x j =4(9 x j )y j 9x j x j y j =36y j 4x j y j 36y j 3x j y j 9x j =0 y j (36 3x j ) =9x j y j = 9x j 36 3x j y j = 3x j 12 x j qui est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0 j ; x j ; y j ). 9 y i = 3(9 x i) 12 (9 x i ) = 27 3x i 3 + x i y i =9 27 3x i 3 + x i = 27 + 9x i 27 + 3x i 3 + x i = 12x i 3 + x i Qui est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0 i ; x i ; y i ) 14

Voir la figure 1. Figure 1: Exercice 18 : La courbe des contrats A partir des résultats précédents : 1. Donnez un exemple d optimum de Pareto "individuellement rationnel". 2. Peut-on définir un optimum de Pareto non-individuellement rationnel? 3. Construire la boite d Edgewoth en représentant le coeur de l économie d échange et l équilibre concurrentiel. 15

Correction 1. Donnez un exemple d optimum de Pareto "individuellement rationnel". Une allocation est individuellement rationnelle si elle procure un niveau d utilité égal ou supérieur à l allocation initiale pour chaque individu et strictement supérieure pour un individu.c est l ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisable. L allocation réalisable est une allocation efficace ou optimale au sens de Pareto si à partir de cette situation on ne peut plus améliorer la satisfaction d un individu sans détériorer celle d un autre. Un optimum de Pareto est individuellement rationnel si il appartient à la courbe des contrats et à l ensemble des allocations individuellement rationnelles. Prenons tout d abord l exemple de l exercice 18. Dans notre exemple, chaque agent détient uniquement l un des deux biens. La satisfaction initiale est donc : U i =x i y 2 i = 9 0 2 = 0 pour le consommateur i. U j =x 2 jy j = 0 2 9 = 0 pour le consommateur j. Une allocation est individuellement rationnelle si elle procure une utilité positive à au moins un des deux consommateurs. Cherchons un exemple d optimum de Pareto individuellement rationnel avec (x i = 1; y i = 3) et (x j = 8; y j = 6) : U i (1; 3) =1 3 2 = 9 > 0 U j (8; 6) =8 2 6 = 384 > 0 L allocation (x i = 1; y j = 3) et (x j = 8; y j = 6) appartient à l ensemble des allocations individuellement rationnelles car U i > U i et U j > U j. De plus (x i = 1; y j = 3) et (x j = 8; y j = 6) appartiennent bien à la courbe des contrats : 3x j = 3 8 12 x j 12 8 = 6 = y j 12x i = 12 1 3 + x i 3 + 1 = 3 = y i. 16

Prenons un autre exemple d optimum de Pareto individuellement rationnel avec (x i = 5; y i = 15 2 ) et (x j = 4; y j = 3 2 ). Comment le trouver? Posons x i = 5. La courbe des contrats nous donne : 12x i = 12 5 3 + x i 3 + 5 = 15 2 = y i De plus x i + x j = 9 donc x j = 9 5 = 4 et y i + y j = 9, donc y j = 9 15 2 = 3 2. Il faut maintenant vérifier que cette allocation appartient à l ensemble des allocations individuellement rationnelles U i (5; 15 2 2 15 ) =5 281.25 > 0 2 U j (4; 3 2 ) =42 3 2 = 24 > 0 C est bien un optimum de pareto individuellement rationnel. 2. Peut-on définir un optimum de Pareto non individuellement rationnel? Les optima de pareto appartiennent tous à la courbe des contrats. Détaillons tous les points de la courbe des contrats : sur la courbe des contrats : si x i > 0 et y i > 0 alors U i > 0 d où U i > U i et si x j > 0 et y j > 0 alors U j > 0 d où U j > U j. Donc les allocations sont individuellement rationnelles. Dans cet exemple il n existe pas d optimum de Pareto non individuellement rationnel. 3. Construire le diagramme d Edgeworth en représentant le coeur de l économie d échange et l équilibre concurrentiel. Voir le graphique 2. 17

Figure 2: Exercice 19 : le coeur de l économie 18

Exercice n 19 : Equilibre général, loi de Walras et optimun de Pareto Dans une économie d échange les biens sont notés h = 1,..., l et les consommateurs sont notés i = 1,..., m. x h i est la dotation en bien h du consommateur i, et x h i est une allocation en bien h du consommateur i, p h est le prix du bien h. 1. Ecrivez l expression de la contrainte budgétaire du consommateur représentatif i. 2. Ecrivez l expression de la loi de Walras à partir du résultat obtenu en 1. 3. Présentez et expliquez les conséquences de la loi de Walras. 4. Application : Les dotations initiales en biens x 1 et x 2 de l économie sont réparties de la manière suivante entre les deux consommateurs i = I, II : (x 1 I, x 2 I) = (5, 0) et (x 1 II, x 2 II) = (0, 5). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions d utilité suivantes : u I (x I, y I ) = xi 0.5 yi 0.5 u II (x II, y II ) = xii 0.5 yii 0.5 Ecrivez les contraintes de budget des deux consommateurs Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie 19

Correction Dans une économie déchange les biens sont notés h = 1,..., l et les consommateurs sont notés i = 1,..., m. x h i est la dotation en bien h du consommateur i, et x h i est une allocation en bien h du consommateur i, p h est le prix du bien h. 1. Ecrivez l expression de la contrainte budgétaire du consommateur représentatif i. l l p h x h i p h x h i h=1 h=1 2. Ecrivez lexpression de la loi de Walras à partir du résultat obtenu en 1. A l équilibre général, la somme des demandes nettes pondérées par les prix sur tous les marchés est nulle : p x [(x i x i ) + (x j x j )] + [(y i y i ) + (y j y j )] = 0 ceci peut se réécrire comme la somme des demandes nettes en valeur sur tous les marchés est nulle. La somme des demandes nettes est valeur sur le marché du bien h s écrit: m p h (x h i x h i ) i=1 On peut donc réécrire la loi de Walras : l m p h (x h i x h i ) = 0 h=1 i=1 3. Présentez et expliquez les conséquences de la loi de Walras. Si (l 1) marchés sont à l équilibre, alors le l ème marché est en équilibre. En effet, la loi de Walras se réécrit : m p l i=1 (x h i x h i ) + l 1 m p h h=1 i=1 Si (l 1) marchés sont en équilibre alors : l 1 m p h h=1 i=1 20 (x h i x h i ) = 0 (x h i x h i ) = 0

et si p l > 0 (il existe un marché pour le bien l), alors : m (x h i x h i ) = 0 i=1 4. Application : Les dotations initiales en biens x 1 et x 2 de léconomie sont réparties de la manière suivante entre les deux consommateurs i = I, II : (x 1 I, x 2 I) = (5, 0) et (x 1 II, x 2 II) = (0, 5). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions dutilité suivantes : u I (x I, y I ) = x 0.5 I y 0.5 x 0.5 II y 0.5 II. I et u II (x II, y II ) = Ecrivez les contraintes de budget des deux consommateurs La contrainte budgétaire du consommateur I s écrit : p x x I + y I = 5p x. La contrainte budgétaire du consommateur II s écrit : p x x II + y II = 5. Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie Cherchons d abord les équilibres individuels : Soit un Consommateur i avec i = I ou II max x I,y I U I (x I, y I )sc p x x I + y I = m i avec m i le revenu du consommateur i. On utilise la méthode de Lagrange : max L x i,y i,λ x0.5 i yi 0.5 + λ(m i p x x i y i ) Les conditions du premier ordre sont : 21

L x i =0 L y i =0 L λ =0 Soit, 0.5xi 0.5 yi 0.5 λp x =0 (1) 0.5x 0.5 i yi 0.5 λ =0 (2) p x x i + y i =m i (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix : On intègre 4 dans 3 : T MS y/x = y i x i = p x y i = p xx i (4) p x x i + p x x i =m i 2p x x i =m i x i = m i 2p x On transfère ce résultat dans 4 : On obtient : y i = p x m i 2p x = m i 2 m I = 5p x d oùx I = 5 et y 2 I = 5 p x 2. m II = 5 d où x II = 5 2 p x et y II = 5. 2 22

Après avoir trouver les demandes individuelles, nous cherchons l équilibre général (offre = demande en tenant compte de la contrainte de rareté). { x I + x II = 5 yi + yii = 5 5 2 + 5 2 p x = 5 5 p x + 5 2 2 = 5 p x = 1 p x = 1 Les quantités consommées sont : x I = 5 2, x II = 5 2 et y I = 5 2, y II = 5 2. Les demandes nettes de chaque consommateur sont : Consommateur I : x I x I = 5 < 0. Il est offreur de bien x. 2 yi y I = 5 > 0. Il est demandeur de bien y. 2 Consommateur II : x II x II = 5 > 0. Il est demandeur de bien x. 2 yii y II = 5 < 0. Il est offreur de bien y. 2 Déterminez l expression de la courbe des contrats Pareto efficients. L ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisables au sens de Pareto, c est à dire qu il n existe pas d allocation qui permette d augmenter l utilité d un consommateur sans diminuer celle d un autre. Nous devons chercher à égaliser les TMS des deux consommateurs : T MS = U x U y 23

Nous obtenons pour le consommateur I : T MS I = y I x I Et nous obtenons pour le consommateur II : Alors : T MS II = y II x II T MS I =T MS II y I = y II x I x II Prenons en compte les contraintes de rareté dans l économie (allocations réalisables): Nous pouvons réécrire : x I + x II =5 y I + y II =5 x II =5 x I y II =5 y I Remplaçons cela dans l équation y I x I = y II x II trouvée précédemment : y I x I = 5 y I 5 x I 5x I x I y I =5y I x I y I y I =x I Ceci est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0 I ; x I ; y I ) 5 x II =5 y II y II =x II Ceci est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0 II ; x II ; y II ) 24

Exercice n 20 : Deux consommateurs notés i et j se répartissent les ressources en biens X et Y d une économie d échange de la manière suivante: (x i, y i ) = (9, 0) et (x j, y j ) = (0, 9). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions d utilité : U i = x i y 2 i et U j = x 2 jy j. 1. Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie. 2. Montrez que la loi de Walras est respectée. Quelles en sont les conséquences? Expliquez. 3. Déterminez l ensemble des allocations optimales au sens de Pareto. 25

Exercice n 21 : On considère une économie d échange à deux biens et deux consommateurs. Le consommateur 1 a pour fonction d utilité : et le consommateur 2 : U 1 = 1 3 log x1 1 + 2 3 log x1 2 U 2 = 1 2 log x2 1 + 1 2 log x2 2 Où x i h désigne la consommation de bien h de l individu i, avec h = 1, 2 et i = 1, 2. Une unité de chacun des biens est disponible dans l économie. 1. Déterminez l équation de la courbe des contrats (c est à dire le lieu des optima de Pareto). On écrira cette équation sous la forme x 1 2 = f(x 1 1). Représentez cette courbe dans la boite d Edgeworth. 2. On suppose que les ressources en biens 1 et 2 sont également partagées entre les consommateurs. Déterminez le rapport q du prix du bien 2 au prix du bien 1 ainsi que les quantités consommées par chaque individu au point d équilibre des marché. Vérifiez que cet équilibre est un optimum de Pareto et représentez le graphiquement. 26

Correction Dans une économie déchange, les ressources en biens X et Y sont réparties de la manière suivante initialement entre deux consommateurs notés i et j : (x i, y i ) = (4, 0) et (x j, y j ) = (0, 4). Les préférences des consommateurs sont représentées par les fonctions dutilité suivantes : u i (x i, y i ) = x 1 3 i y 2 3 i et u j (x j, y j ) = x 2 3 j y 1 3 j. 1. Présentez les contraintes de budget des deux consommateurs La contrainte de budget du consommateur i s écrit : p x x i + y i = 4p x. La contrainte de budget du consommateur j s écrit : p x x j + y j = 4. 2. Déterminez léquilibre concurrentiel de cette économie Cherchons d abord les équilibres individuels : Consommateur i max x i,y i U i (x i, y i ) sc p x x i + y i 4p x On utilise la méthode de Lagrange : max xi,y i,λ L x 1 3 i y 2 3 i +λ(4p x p x x i y i ). Les conditions du premier ordre sont : Soit, L x i = 0 L y i = 0 L λ = 0 1 3 x 2 3 i y 2 3 i λp x = 0 (1) 2 3 x 1 3 i y 1 3 i λ = 0 (2) p x x i + y i = 4p x (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix : T MS y/x = y i 2x i = y i = p x 2p xx i (4) 27

On intègre 4 dans 3 : p x x i + 2p x x i =4p x 3p x x i =4p x x 1 = 4 3 On transfère ce résultat dans 4 : y i = 8 p x 3 Consommateur 2 max xj,y j U j (x j, y j ) sc p x x j + y j 4 On utilise la méthode de Lagrange : max xj,y j,λ L x 2 3 j y 1 3 j +λ(4 p x x j y j ). Les conditions du premier ordre sont : Soit, L x j = 0 L y j = 0 L λ = 0 2 3 x 1 3 j y 1 3 j λp x = 0 (1) 1 3 x 2 2 3 j y j 3 λ = 0 (2) p x x j + y j = 4 (3) Les équation 1 et 2 donnent TMS=rapport des prix : T MS y/x = 2y j x j 28 = p x y j = p xx j 2 (4)

On intègre 4 dans 3 : p x x j p x x j + =4 2 3 2 p xx j =4 x j = 8 3 p x On transfère ce résultat dans 4 : y j = 4 3 Après avoir trouver les demandes individuelles, nous cherchons l équilibre général (offre = demande en tenant compte de la contrainte de rareté). { x i + x j = 4 yi + yj = 4 { 4 + 8 3 3 p x = 4 8 p x 3 { 8 3 8 p x + 4 3 = 4 p x = 8 3 3 = 8 3 { py p x = 1 p x = 1 Les quantités consommées sont : x i = 4 3, x j = 8 3 et y 1 = 8 3, y 2 = 4 3. Les demandes nettes de chaque consommateur sont : Consommateur i : x i x i = 8 < 0. Il est offreur de bien x. 3 yi y i = 8 > 0. Il est demandeur de bien y. 3 Consommateur j : x j x j = 8 > 0. Il est demandeur de bien x. 3 yj y j = 8 < 0. Il est offreur de bien y. 3 29

3. Déterminez lexpression de la courbe des contrats Pareto efficients. Ensemble des allocations qui ne sont dominées par aucune autre allocation réalisables au sens de Pareto, c est à dire qu il n existe pas d allocation qui permette d augmenter l utilité d un consommateur sans baisser celle d un autre. Nous devons chercher à égaliser les TMS des deux consommateurs. T MS = Nous obtenons pour le consommateur i : U x U y T MS i = y i 2x i Et nous obtenons pour le consommateur j : T MS j = 2y j x j Donc : T MS i =T MS j y i = 2y j 2x i x j y i x j =4x i y j Prenons en compte les contraintes de rareté dans l économie (allocations réalisables): nous pouvons réécrire : x i + x j = 4 y i + y j = 4 x j = 4 x i y j = 4 y i 30

Remplaçons cela dans l équation y i x j = 4x i y j trouvée précédemment y i (4 x i ) =4x i (4 y i ) 4y i x i y i =16x i 4x i y i 4y i + 3x i y i =16x i y i (4 + 3x i ) =16x i y i = 16x i 4 + 3x i Ceci est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0 i ; x i ; y i ) 4 y j = 16(4 x j) 4 + 3(4 x j ) = 64 16x j 16 3x j (4 y j )(16 3x j ) =64 16x j 64 12x j 16y j + 3x j y j =64 16x j 16y j + 3x j y j + 4x j =0 y j ( 16 + 3x j ) = 4x j y j = 4x j 16 3x j Ceci est la courbe des contrats pareto-efficients dans le repère (0 j ; x j ; y j ) 31

Exercice n 22 : Deux consommateurs, i = 1, 2, présentent des fonctions d utilité suivantes : U 1 = (x 11 + 5)x 12 U 2 = (x 21 ) 1/2 x 1/2 12 La production globale de cette économie d échange est supposée fixée en bien 1 et en bien 2. Les dotations initiales des deux consommateurs sont alors évaluées de la façon suivante : w 11 = 5 et w 12 = 10 w 21 = 10 et w 22 = 20 1. Déterminez l équation de la courbe d indifférence U 1 = 50 pour le 1er consommateur. Calculez la pente de la tangente en un point A, coupant l axe des ordonnées. 2. Calculez les demandes walrasiennes de ces deux consommateurs en fonction des prix et des revenus. Vérifiez qu elles sont homogènes de degré zéro. Expliquez la portée économique de cette propriété et la conséquence que l on peut en tirer du point de vue de la modélisation économique. 3. Etablissez l expression analytique du lieu des points optimaux au sens de Pareto. Donnez-en une représentation graphique dans une boite d Edgeworth. 4. Représentez le noyau (ou coeur) de cette économie d échange et calculezen les points remarquables. Calculez l équilibre de marché, consommations et prix d équilibre en prenant le bien 2 comme numéraire. Représentez cet équilibre sur le graphique précédent. Que devez-vous vérifier? 32