Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation graphique de ces ites. 4) Etudier les variations de et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de sur. 5) Soit un réel de l intervalle ;. Montrer que l équation admet une unique solution sur. Sujet 2 : Réunion juin 2007 On considère la fonction définie sur par : 0 si 0 On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal ; ;.. a. Déterminer la ite de en. b. Etablir que, pour tout nombre réel non nul, on a. En déduire la ite de en. 2. Donner, sans démontrer, la ite de 3. quand tend vers 0 et démontrer que est continue en 0. a. Démontrer que, pour tout nombre réel, on a et que l égalité n a lieu que pour 0. b. Calculer la dérivée de la fonction et déterminer la fonction telle que, pour tout nombre réel non nul,. c. Donner le tableau de variations de. 4. Soient un nombre réel non nul et les points ; et ; de la courbe. a. Etablir que puis déterminer le coefficient directeur de la droite. b. On admet que la fonction est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent? Sujet 3 : Amérique du Sud novembre 200 On considère la fonction définie sur par : 2 Et sa courbe représentative dans le repère orthonormal ; ; (unité graphique : 2 cm). Partie A : Etude de la fonction. ) a. Déterminer la ite de en. Que peut-on en déduire pour? b. Déterminer la ite de en. 2) Calculer et étudier le signe de sur. 3) Dresser le tableau de variations de. 4) a. Déterminer les coordonnées du point d intersection de avec l axe des abscisses. b. Etudier le signe de suivant les valeurs de. Partie B : Etude d une tangente ) On rappelle que désigne la dérivée seconde de. a. Montrer que, pour tout réel, 42 b. Résoudre l équation 0.
2) Soit le point d abscisse de la courbe. Déterminer une équation de la tangente à en. 3) On veut étudier la position relative de et. Pour cela, on considère la fonction définie sur par 2 3 a. Déterminer et. b. Etudier le signe de suivant les valeurs de. En déduire le sens de variations de sur. c. En déduire le signe de puis le sens de variations de sur. d. Déterminer alors le signe de suivant les valeurs de. Que peut-on en conclure sur la position relative de et? 4) Dans le repère ; ;, placer les points et puis tracer et la courbe. Sujet 4 : Centres étrangers juin 200 On considère deux courbes et d équations et dans un repère du plan. On va démontrer qu il existe une unique tangente commune aux deux courbes. ) Sur le graphique ci-dessous, tracer approximativement une telle tangente. Lire graphiquement l abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe puis celle du point de contact avec. 2) On note et deux réels quelconques, le point de d abscisse et le point de d abscisse. a. Déterminer une équation de la tangente à au point. b. Déterminer une équation de la tangente à au point. c. En déduire que les droites et sont confondues si et seulement si les réels et sont solutions du système 2 d. Montrer que ce système est équivalent à 2 4 4 4 0 3) Nous allons démontrer que l équation 4 4 4 0 a une unique solution dans. Pour cela, on considère la fonction : 4 4 4 définie sur. a. Montrer que pour 0, 4 0 et que 4 0. b. En déduire que n a pas de solutions dans ; 0. c. Démontrer que est strictement croissante sur 0;. d. Démontrer que a une unique solution dans 0;. On note cette solution. Donner un encadrement d amplitude 0 de. 4) On prend le point d abscisse. Déterminer un encadrement d amplitude 0 du réel pour lequel les droites et sont confondues.
8 7 6 5 4 3 2-3 -2-0 2 3 - -2-3 -4-5 -6
Correction Sujet : Polynésie septembre 2002 ) est définie sur qui est symétrique par rapport à 0 et pour tout réel : Donc la fonction est impaire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l origine du repère. 2) Pour : et comme est strictement positif, nous avons : autrement dit. Par ailleurs, Finalement, pour tout réel, on a 3) 0 et 0 donc. donc par composition Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en d équation. 0 et donc par composition Ceci indique que la courbe de admet une tangente horizontale en d équation. 4) est de la forme avec : dérivable sur et : dérivable sur et qui ne s annule pas donc est dérivable sur et : 2 2 4 0 Donc la fonction est strictement croissante sur. De plus 0 0. On en déduit le tableau de variations et de signe de. 0 Signe de Variations de 0 Signe de 0 5) est dérivable sur donc continue sur. Grâce à l étude précédente ; et comme est strictement croissante, d après le théorème de la bijection, tout élément de ; admet un unique antécédent par. Donc pour tout ;, l équation a une unique solution dans. Sujet 2 : Réunion juin 2007. a. Quand tend vers, on peut supposer que 0 : 0 donc, par quotient 0 b. Pour 0 : donc donc, par multiplication, 2. D après le cours, la ite de quand tend vers 0 est égale à (utilisation de la dérivabilité de la fonction exponentielle en 0) donc :
Pour 0 : : donc, par multiplication, 0 donc est continue en 0 3. a. On considère la fonction définie sur par. Par somme de fonctions dérivables sur, est dérivable sur et. 0 0 0 Donc est décroissante sur ; 0 et croissante sur 0;. admet donc un minimum en 0 qui est égal à 0 0 0. Donc, pour tout réel, 0 et 0 n a lieu que pour 0. Donc, pour tout réel, et l égalité a lieu uniquement pour 0. b. est de la forme avec : dérivable sur et et : dérivable sur et s annule en 0 donc est dérivable sur et : avec : c. Sur, 0, 0 donc est du signe de. Or d après la question précédente, 0. 0 Signe de Variations de 0 4. a. Pour 0 : Coefficient directeur de : 2 2 2 2 b. On suppose que est dérivable en 0, donc la courbe de admet une tangente au point d abscisse 0 de coefficient directeur 0. Or la droite est une sécante à la courbe de. Quand tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à la courbe de au point d abscisse 0. Les coefficients directeurs sont donc égaux. Finalement, 0 Sujet 3 : Amérique du Sud novembre 200 Partie A ) a. En : 2 : en posant 2, on a 0 et donc par somme et composition 0 0 On en déduit que l axe des abscisses est une asymptote horizontale à en. b. En : 2 2 par composition par produit 2) est de la forme avec : 2 dérivable sur et : 2 dérivable sur donc est une fonction dérivable sur et
2 2 2 2 4 2 4 L exponentielle est strictement positive donc est du signe de 4, autrement dit positif sur et négatif sur. 3) 0 Signe de 0 Variations de 0 4) a. L axe des abscisses a pour équation 0. Pour déterminer l abscisse de, on doit résoudre l équation 0. Pour, 0 2 0 2 0 car 0 2 Le point a donc pour coordonnées ; 0 intervalle. b. Sur ;, est strictement croissante et admet 0 comme maximum donc est négative sur cet Sur ;, a pour maximum et pour minimum 0 donc est positive sur cet intervalle. Partie B ) a. est le produit d une fonction polynôme et de la composée de la fonction exponentielle et d une fonction affine donc elle est dérivable sur et 4 4 2 4 8 42 b. Pour 0 42 0 2 0 car 0 2 donc 2 2) L équation de la tangente à la courbe de au point d abscisse est or 2 4 2 2 2 et 2 2 2 2 d'où 2 2 2 2 2 et donc l'équation est 2 3 3) a. est la différence entre une fonction dérivable sur et une fonction affine dérivable sur donc est dérivable sur et g est dérivable également sur et 42 b. La fonction exponentielle est strictement positive sur donc est du signe de 2. 2 Signe de 0 Variations de 2 2 2 2 0 c. a donc comme minimum 0 ce qui indique que est positive sur. Signe de Variations de 0
d. En, s annule car c est l abscisse du point d intersection de et de sa tangente. Donc est négative sur ; et positive sur ;. On en déduit que sur ;, est en dessous de et sur ;, est au dessus de. 4) B - A 0 2 3 - Sujet 4 : Centres étrangers juin 200 ) Graphiquement, on lit et 2) a. a pour équation. C est la courbe de la fonction : dérivable sur. Une équation de la tangente à au point d abscisse est soit ou encore b. a pour équation. C est la courbe de la fonction : dérivable sur avec 2. Une équation de la tangente à au point d abscisse est soit -3-2 - 5 4 3 2 0 2 ou encore 2 - c. Les droites et sont confondues si et seulement si elles sont les mêmes coefficients directeurs et les mêmes ordonnées à l origine -2 autrement dit si 2-3 d. -4 2 2-5 2 2 4 2 4 4 4 0 3) a. Pour 0, on a 2 0 et donc car la fonction exponentielle est croissante et donc 2 3 ce qui signifie que 4 0. Par ailleurs, 4 est positif car l exponentielle est toujours positive et comme 0, on a bien 4 0 b. Pour 0, 4 4 4 4 4 est donc la somme de deux termes strictement négatifs donc est strictement négatif et l équation 0 n a pas de solutions dans ; 0. c. Sur 0;, est une fonction dérivable et 2 4 4 4 2 4. Tout est strictement positif donc est positive et la fonction est strictement croissante sur 0;. d. Sur 0;, la fonction est continue car dérivable, strictement croissante et 0; 7; car 0 7 et 4 ; 4 4 4 donc par somme
Donc d après le théorème de la bijection, l équation 0 a une unique solution dans 0;. Grâce à la calculatrice, on obtient, 0,84 0,85 4) et sont confondues donc la seule valeur possible pour est la valeur définie à la question précédente et on a 0,84 0,85. De plus, on a alors 2 ou encore. 0,84 0,85,, car la fonction exponentielle est strictement croissante.,, car la fonction est décroissante sur Par application numérique, on trouve :,7,5 soit,2,