Soient les matrices : M =, N =, P = et Q = 1 Calculer le déterminant de la matrice M (1 point) Dét(M) = dét = dét car le déterminant d une matrice ne change pas lorsqu on ajoute à une de ses colonnes une combinaison linéaire de ses autres colonnes (ici C2 a été remplacée par C2 + C1) D où : dét(m)= dét (formule de calcul du déterminant par rapport à la première ligne de la matrice) On a donc : dét(m) = 1(1) 0(1)=1 2 En déduire que les colonnes de M forment une base de IR 3 (que l on notera B par la suite) (1 point) Tout ensemble libre de trois vecteurs de IR 3 est une base de IR 3 Les trois colonnes de M sont des vecteurs de IR 3 En outre, elles sont linéairement indépendantes puisque le déterminant de M est non nul Elles forment donc une base de IR 3 3 Calculer le déterminant de la matrice N La matrice N est-elle inversible? (1 point) Dét(N) = dét dét (C3 remplacée par C3 + C1) D où : dét(n) = 0 La matrice N ayant un déterminant nul, elle n est pas régulière ; elle n est donc pas non plus inversible 4 Qu appelle-t-on rang d une matrice? (1 point) On appelle rang d une matrice le nombre maximum de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes que cette matrice comporte 5 Déterminer le rang de la matrice Q En déduire son déterminant (1 point) RangQ = 2 Cette matrice de rang 3 a en effet une colonne de 0 ; son rang est donc inférieur ou égal à 2 Et ses deux dernières colonnes ne sont pas proportionnelles, de sorte que son rang est supérieur ou égal à 2 La matrice Q n étant pas de plein rang, son déterminant est nul
6 Calculer le produit MP Commenter (1 point) MP = Comme MP = I, la matrice P est l inverse de la matrice M (et réciproquement) 7 Donner les coordonnées du vecteur de IR 3 dans la base B (1 point) La base B de IR 3 est formée par les colonnes de la matrice M Les coordonnées du vecteur dans cette base sont donc données par le vecteur solution du système : La matrice M étant inversible et d inverse P, ce système a pour unique solution :, Ce qui donne : 8 Soit l application linéaire f( ), de IR 3 dans IR 3, définie par : f(x) = NX a Qu appelle-t-on image d une application linéaire? Qu appelle-t-on base d une espace vectoriel? (1 point) On appelle image d une application linéaire f( ) de E dans F l ensemble des image par f( ) des vecteurs de E On appelle base d un espace vectoriel E tout système de vecteurs libre et générateur de E b Donner une base de l ensemble Imf (1 point) Imf est l ensemble des vecteur Y tels que Y = f(x) = NX, où X est un élément de IR 3 On a donc : Imf = {NX, X IR 3 } L ensemble Imf est donc l ensemble des combinaisons linéaires des colonnes de la matrice N : c est le sous-espace vectoriel de IR 3 engendré par les colonnes de N
Comme dimimf = rangn = 2 (N est une matrice singulière d ordre 3, mais dont les deux premières colonnes sont linéairement indépendantes puisque non proportionnelles), tout ensemble libre de deux vecteurs de Imf forme une base de Imf Les deux premières colonnes de N étant deux vecteurs linéairement indépendants de Imf, ils forment une base de Imf c Déterminer la dimension de l ensemble kerf (1 point) D après le théorème des dimensions, on a, pour toute application linéaire f( ) dont l espace de départ est E : DimE = dimkerf + dimimf Comme ici E = IR 3, comme dimir 3 = 3 et comme dimimf = 2, on a : dimkerf = 3 2 = 1 d Effectuer le produit N En déduire l ensemble kerf (1 point) N Kerf est l ensemble des vecteurs X de IR 3 vérifiant NX = Il a donc pour élément le vecteur Comme dimkerf = 1 (réponse à la question précédente), tout vecteur non nul de kerf forme une base de kerf Ceci étant le cas du vecteur, celuici forme une base de kerf L ensemble kerf est donc l ensemble des homothétiques du vecteur e Donner les coordonnées du vecteur dans la base B (1 point) Les coordonnées du vecteur dans la base B sont (voir réponse à la question 7) :,
à savoir : 9 Qu appelle-t-on trace d une matrice carrée? Déterminer la trace des matrices N et Q (1 point) On appelle trace d une matrice carrée A, la somme, notée tr(a), des termes situés sur la diagonale principale de cette matrice On a donc tr(n) = 1 + 1 + 3 = 3 et tr(q) = 0 + 1 + 2 = 3 10 Qu appelle-t-on valeur propre d une matrice carrée? (1 point) On dit que le nombre λ est valeur propre d une matrice A s il existe un vecteur colonne non nul P tel que AP = λp Au passage (cela servira pour la suite), le vecteur P est alors appelé vecteur propre de A associé à λ 11 Effectuer le produit MQP (1 point) MQP = = 12 En déduire : a que la matrice N est diagonalisable, (1 point) Une matrice A est diagonalisable s il existe une matrice P régulière et une matrice D diagonale telles que : A = PDP 1 Comme MQP = N, comme M est régulière, comme P = M 1 et comme Q est diagonale, la matrice N est donc bien diagonalisable b les valeurs propres de N, (2 points) De N = MQP, on déduit, en post-multipliant les deux membres de cette égalité par M : NM = MQ En notant C1, C2 et C3 les trois colonnes de M, ceci donne : N(C1 C2 C3) = (C1 C2 C3) ou encore : (NC1 NC2 NC3) = (0 C2 2C3)
On a donc : NC1 = 0 = 0 C1 : le réel 0 est valeur propre de N et C1 un vecteur propre de N associé à 0 NC2 = 1 C2 : le réel 1 est valeur propre de N et C2 un vecteur propre de N associé à 1 NC3 = 2 C3 : le réel 2 est valeur propre de N et C3 un vecteur propre de N associé à 2 c le sous-espace propre associé à chacune des valeurs propres de N (2 points) Les valeurs propres de N étant distinctes deux à deux, leurs sous-espaces propres associés sont de dimension un Le sous-espace propre de N associé à 0 est donc l ensemble des homothétiques de C1 (remarque : c est kerf), le sous-espace propre de N associé à 1, l ensemble des homothétiques de C2, et le sous-espace propre de N associé à 2, l ensemble des homothétiques de C3