CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n. x si x Soit f la fonction numérique définie par : f( x) = 5 x si x > f est-elle continue sur son ensemble de définition? x pour x Mêmes questions avec : f ( x) = x pour < x sur x pour x > Exercice n. x si ) Soit f la fonction définie sur par : f ( x) = x si x La fonction f est-elle continue sur? Est-elle dérivable sur? x x ) Soit f la fonction définie sur par : ( ) si x f x = x. Etudier la continuité de f sur si x = ) Quelle valeur de a faut-il choisir pour que la fonction définie par : + x si x ( ) [ ; [ ] ; + [ f x = x soit continue en? a si x= Exercice n. Le tarif ci-contre définit la fonction "tarifs postaux économiques" qui, au poids x exprimé en grammes, associe le tarif d'affranchissement exprimé en euros. Représentez graphiquement cette fonction et indiquez ses points de discontinuité Poids en grammes Tarifs en euros Jusqu'à : Affranchissement,4 5,5,64 5, Exercice n 4. On considère un système d'imposition continu à 4 tranches telles que le contribuable paye : - % d'imposition sur les 8 premiers euros de salaire - % d'imposition sur la tranche 8 - euros de salaire - 5 % d'imposition sur la tranche - 5 euros de salaire - 4 % d'imposition au delà de 5 euros ) Donner l expression de la fonction f qui à tout revenu x associe l impôt f(x) correspondant ) Dans un repère dont les unités seront judicieusement choisies, donner une représentation graphique de la fonction f. ) Un contribuable déclare euros. Donner son impôt arrondi à l euro près 4) Estimer le revenu annuel (arrondi à l euro près) d un contribuable dont l impôt annuel est de 5 euros. Exercice n 5. Soit f une fonction définie et continue sur [-;4] dont le tableau de variations est : ) Dénombrer, sans justifier, les solutions des équations suivantes : a) f( x ) = b) f( x ) = c) f( x ) = Page /8
Exercice n 6. Soit f la fonction numérique définie sur [;4] dont la représentation graphique est : j O i ) Citez deux intervalles sur lesquels on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire en expliquant pourquoi ) Citez un intervalle sur lesquels on ne peut pas appliquer le théorème de la valeur intermédiaire en expliquant pourquoi ) Peut-on trouver un unique nombre α tel que f ( α ) = 6? Si oui, explicitez pourquoi et donner un encadrement de α à l'aide de deux entiers consécutifs. 4) Même questions avec un unique nombre β tel que f ( β ) =? Exercice n 7. Le tableau ci-dessous résume les variations de f définie sur I=[-;] : On précise que f ( ) = ) Peut-on trouver α I tel que f ( α ) =? ) Peut-on trouver β I tel que f ( β ) =,? ) Montrez qu'il existe γ unique, γ [ ; ], tel que f ( γ ) =,5 Exercice n 8. Soit g la fonction définie sur par : ( ) g x = x x ) Etudier le sens de variation de g (+limites) et dresser son tableau de variation. ) Démontrer que l équation g(x) = admet une solution unique α dans l intervalle [ ; 4]. Donner un encadrement de α à près. Exercice n 9. Deux méthodes de résolution f est la fonction définie sur par f ( x) = x x + Il s agit d étudier le signe de f(x) sur. Première partie ) Etudier la limite de f en + et en. f x et étudier son signe. ) Calculer ( ) ) Dresser le tableau de variation de f. 4) Démontrer que l équation f ( x ) = admet trois solutions. 5) Avec la calculatrice, donner l arrondi au dixième ou la valeur exacte de chaque solution. 6) En déduire le signe de f. Page /8
Deuxième partie 7) Calculer f(). 8) Trouver trois réels a, b et c tels que pour tout réel x : f ( x) = ( x )( ax + bx + c) 9) Résoudre l équation f(x) =. Exercice n. Démontrer que l'équation x + x= 5 admet une solution et une seule dans. Donner une valeur approchée à près de cette solution. Page /8
CONTINUITE - CORRECTION Exercice n ; ; +, (c est-à-dire en dehors du point ), f est continue puisqu elle est définie à l aide d une fonction ) Sur ] [ ] [ polynôme et d une fonction affine Pour examiner la continuité en, on détermine lim f ( x) = lim x = et ( ) ( ) ( ) ( ) x x x> x x lim f x = lim f x = f, on conclut que la fonction f est continue en lim f x = lim 5 x=. Comme x x x> ) Sur ] ; [ ] ;[ ] ; + [, (c est-à-dire en dehors des points et ), f est continue puisqu elle est définie à l aide de fontions affines. Pour examiner la continuité en -, on détermine lim f ( x) = lim x = et ( ) lim ( ) lim ( ) x x x> x x f x = f x, on conclut que la fonction f est continue en - Pour examiner la continuité en, on détermine lim f ( x) = lim x= et ( ) ( ) lim ( ) x x x> x x lim f x f x, on conclut que la fonction f n est pas continue en Exercice n ) f est continue sur ] ;[ en tant que fonction polynôme et sur [ [ la continuité en zéro. On examine lim f ( x) = lim x = et ( ) x x lim f x = lim x=. Comme x x x> lim f x = lim x=. Comme x x x> ;+ en tant que fonction affine. Reste à examiner lim f x = lim x =. Ces deux limites étant égales x x x> x> et égales à f ( ) = =, la fonction est continue en, donc sur f est dérivable sur ] ;[ en tant que fonction polynôme et sur [ [ dérivabilité en zéro. Pour tout x ] ;[, ( ) ( ) f ( ) =. De plus, pour tout ] ; [ g f x f x ( ) = = x donc x x x +, ( ) ( ) à droite en et f d ( ) =. Mais comme fg ( ) fd ( ) ) f est continue sur ] ;[ et sur ] [ x ;+ en tant que fonction affine. Reste à examiner la ( ) ( ) f x f lim = donc f est dérivable à gauche en et x x x > ( ) ( ) f x f x ( ) f x f = = donc lim = donc f est dérivable x x x, on conclut que f n est pas dérivable en ;+ en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas. Il reste à examiner la continuité en. Pour tout x, x lim x = lim x + = = f ( ). La fonction est continue en, donc sur x x x ) f sera continue en si et seulement si lim ( ) ( ) x f x = f = a. Il faut donc déterminer ( ) g( ) + x g x g( x) = + x, on reconnaît un taux d accroissement : = x x g ( ) = =. f sera continue en si et seulement si a = + ( x )( x+ ) x x = = x +, donc x x lim x + x x En posant, dont la limite en est donc égale à Page 4/8
Exercice n La fonction f qui, au poids x exprimé en grammes, associe le tarif d'affranchissement exprimé en euros, est définie par :, 4si x [ ;],5si x ] : 5] f ( x) =.,64si x ] 5 :],si x ] : 5] Il s agit d une fonction en escalier dont la représentation graphique est donnée ci-dessous : La fonction présente des points de discontinuité en,5 et lim f x lim f x 5 En effet, puisque, puisque ( ) = et ( ) =, on aura lim f ( x) lim f ( x) > x x x x x x> Exercice n 4 ) La fonction f qui, à tout revenu x associe l impôt f(x) exprimé en euros correspondant, est définie par : [ [ si x ;8,( x 8) =,x 8 si x [ 8; [, 5( x ) +, =, 5x 8 si x [ ;5[ f ( x) = première tranche complète, 4( x 5) +, +, 5 =, 4 x si x [ 5; + [ première tranche première tranche complète complète ) Il s agit d une fonction affine par morceaux dont la représentation graphique est donnée ci-dessous : ) Si le contribuable déclare euros, son impôt sera égal à f ( ) =,5 8 = 7 4) Si le contribuable paye 5 d impôts, son revenu se trouve dans la tranche [ ;5 [. En résolvant 5 + 8 l équation, 5x 8 = 5 x= = 5, on déduit que le revenu du contribuable est environ, 5 égal à 5 annuel. Page 5/8
Exercice n 5 L équation f( x ) = admet solutions, l une dans l intervalle [- ;], l autre dans l intervalle [ ;] L équation f( x ) = admet solutions, l une dans l intervalle [ ;], l autre dans l intervalle [ ;4] L équation f( x ) = admet solutions, l une dans l intervalle [ ;], l autre dans l intervalle [ ;4] Exercice n 6 ) On peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire par exemple sur l intervalle [ ;4] car la fonction y est continue et strictement croissante. De même on peut appliquer ce théorème sur l intervalle [4 ;] ) On ne peut pas appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l intervalle [ ;] car la fonction n y est pas strictement monotone. f 4 = 7. Comme ) Sur l intervalle [ ;4], f est continue et strictement croissante. De plus f ( ) = et ( ) 6 f ( ); f ( 4), il existe un unique nombre α tel que f ( α ) = 6. Puisque f ( ) < 6 et ( ) f 4 > 6, on en conclut que < α < 4 4) Il n existe par de nombre unique β tel que f ( β ) = sur l intervalle [,4], car f n y est pas monotone. En revanche, c est le cas sur l intervalle [ ;4] (on lit exactement β = ) Exercice n 7 f présente une discontinuité en ) On ne peut pas trouver α I tel que ) Sur l intervalle [- ;[, f est continue et strictement croissante. Puisque ( ) nombre β I tel que f ( β ) =, f ( α ) = car n est pas une valeur prise par f, f ( );lim f x, il existe un unique x ) Sur l intervalle [ ;], f est continue et strictement croissante. Puisque,5 f ( ); f ( ) nombre γ [ ; ], tel que f ( γ ) =,5 Exercice n 8 Soit g la fonction définie sur par : ( ) g x = x x, il existe un unique = = = +. ) g est définie, continue et dérivable sur, et pour tout x réel g ( x) x ( x 4) ( x )( x ) On en déduit successivement le signe de g ( x) et le sens de variation de g : lim g x ( ) = lim x =, lim g( x) lim x g ( ) = 59, ( ) g = 6 = =+, ) Sur l intervalle [ ; 4], g est continue et strictement croissante. De plus g ( ) = 6 < et ( ) Puisque g( ); g( 4) α [ ;4] telle que g ( α ) =. Grâce à la calculatrice, on dresse des tableaux de valeurs de plus en plus précis : g 4 = 59 >, Le théorème de la valeur intermédiaire affirme l existence d une unique valeur PUIS nous permettant d affirmer que 4,6< α < 4,7 Page 6/8
Exercice n 9 Première partie lim f x lim x ) ( ) = = et lim f ( x) lim x = =+, ) f est définie, continue et dérivable sur, et pour tout réel x, f ( x) = x 6x= x( x ). On en déduit que f s annule en et en, est strictement positive sur ] ;[ ] ; + [ et strictement positive sur ] ;[. ) Ainsi f est strictement croissante sur ] ;], strictement décroissante et [ ;] et strictement croissante sur [ ;+ [. Puisque f ( ) = et ( ) f = + = 888, son tableau de variations est donc : 4) Sur l intervalle ] ;], f est continue et strictement croissante. Comme lim f ( x) f() admet donc une unique solution x ] ;]. On procède de même sur les intervalles [ ;] et [ ;+ [ : Sur l intervalle [ ;], f est continue et strictement croissante. Comme f () f () donc une unique solution x [ ; ]. Sur l intervalle [ [ < <, l équation f ( x ) = < <, l équation ( ) ;+, f est continue et strictement croissante. Comme f () lim f( x) x ; +. 5) Grâce à la calculatrice, on dresse des tableaux de valeurs de plus en plus précis ceci permet d établir que, 9 < x <,8, puis x = et enfin 9,8 < x < 9,9 admet donc une unique solution [ [ 6) Le signe de f est donné par : f x = admet < <, l équation f ( x ) =, c est-à- f étant strictement croissante sur ] ;], elle l est sur ] ; x ], et pour tout x ] ; x ], f ( x) f ( x ) dire f ( x). De plus pour tout x [ x ; ], f ( x ) ( ) f x, c est-à-dire f ( x) f étant strictement décroissante sur [ ;], elle l est sur [ ; x = ], et pour tout x [ ; x ], f ( x) f ( x ) dire f ( x). De plus pour tout x [ x ; ], f ( x ) f ( x ), c est-à-dire f ( x) f étant strictement croissante sur [ ;+ [, elle l est sur [ ; x ], et pour tout x [ ; x ], f ( x) f ( x ) dire f ( x). De plus pour tout x [ x ; + [, f ( x ) f ( x ), c est-à-dire f ( x) En résumé :, c est-à-, c est-à- Deuxième partie 7) On calcule f ( ) = + = x ax + bx+ c = ax + bx + cx ax bx c = ax + b a x + c b x c 8) Pour tout réel x, ( )( ) ( ) ( ) Page 7/8
On aura alors ( )( ) x ax + bx+ c = f ( x) si et seulement si pour tout réel x, a = a = b a = ax + ( b a) x + ( c b) x c = x x +, c est-à-dire si et seulement si b = 8 c b= c = 56 c = f( x) = x x 8x 56 Ainsi, pour tout réel x, ( )( ) 9) On résout f( x) ( x )( x 8x 56) = = si et seulement si x = x = ou x cette dernière équation du second degré, on calcule le discriminant ( ) ( ) ( 7 ) 8x 56 =. Pour = 8 4 56 = 8. Comme 8 + 7 =, l équation admet deux solutions réelles distinctes x = = 4 + 6 7 9,87 à 8 + 7 x = = 4 6 7,87 à près Exercice n L équation x + x= 5 étant équivalente à x x 5 + =, on note ( ) dérivable sur. On dérive : pour tout réel x, f ( x) x ( x ) près et f x = x + x 5, qui est définie, continue et = + = +. Puisque pour tout x, x + > déduit f ( x) >. f est donc strictement croissante sur. Puisque lim f ( x) = et lim f ( x) f ( x) f ( x), donc le théorème des valeurs intermédiaires affirme que l équation ( ) lim ; lim unique solution α. En utilisant la calculatrice, on peut dresser un tableau de valeurs de f ( ),5 < α <,6.Une valeur approchée de α à près est donc,5, on en = +, f x = admet une x qui nous permet d affirmer que Page 8/8