1 PGCD - PPCM 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers 1.1 Dé nition - Exemples Dé nition 1 Soient a et b deux élément de Z. az + bz est un sous-groupe de Z donc il existe 2 N tel que az + bz = Z. On appelle le plus grand diviseur commun de a et b et on note = pgcd(a; b) ou = a ^ b. Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2; 3) = 1 et pgcd(10; 25) = 5. Remarque 3 Pour tout a et b dans Z, pgcd(a; b) = pgcd(b; a) = pgcd(jaj ; jbj). Soient a; b 2 N alors ajb () pgcd (a; b) = a Démonstration. Le premier point découle du fait que jaj = az. Montrons le second on a ajb () bz az () az + bz = az () pgcd (a; b) = a Proposition 4 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = pgcd(a; b) si et seulement si l entier divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour. Démonstration. Notons = pgcd(a; b). On a az Z donc ja, de même bz Z donc jb. Donc est un diviseur commun à a et b. Soit d un diviseur de a et b, alors az dz et bz dz donc az [ bz dz donc (par dé nition de la somme de deux sous-groupes) az + bz dz donc Z dz et donc dj. Réciproquement soit un entier positif véri ant : l entier divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise Il faut montrer que = pgcd(a; b). On a az Z et bz Z donc az + bz Z et az + bz = pgcd(a; b) Z donc jpgcd(a; b). D autre part pgcd(a; b) est un diviseur de a et de b donc par dé nition de on a pgcd(a; b) j. Exemple 5 On a pgcd(4; 6) = 2 ; pgcd(4; 7) = 1 pgcd(5 7; 7 11) = 7 pgcd(3 12 ; 3 19 ) = 3 12 pgcd(2 15 3 8 5 2 ; 2 9 3 20 7) = 2 9 3 8
2 1.2 Méthode de calcul : Algorithme d Euclide Lemme 6 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors pgcd(a; b) = pgcd(b; r). Démonstration. On va montrer que l ensemble des diviseurs de a et b : Div (a) \ Div (b) et l ensemble des diviseurs de b et r : Div (b) \ Div (r) sont égaux, ce qui donnera le résultat. Écrivons la division euclidienne de a par b, donc a = bq + r avec 0 r < b. Comme r = a bq si un nombre d divise a et b alors d divise r. Donc Div (a) \ Div (b) Div (b) \ Div (r). Réciproquement, si d divise b et r alors d divise a = bq + r donc Div (b) \ Div (r) Div (a) \ Div (b). Remarque 7 Si l on a une expression du type A = B + C ou A + B + C = 0 entre trois entiers A; B et C. Alors tout nombre divisant deux de ces entiers divise automatiquement le troisième. Proposition 8 Algorithme d Euclide. Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On construit par récurrence une suite d entiers naturels (r n ) n2n de la façon suivante : r 0 = a, r 1 = b, r 2 est le reste de la division euclidienne de r 0 par r 1, et de proche en proche, tant que r n 6= 0, r n+1 est égal au reste de la division euclidienne de r n 1 par r n. Alors il existe un entier N tel que r N 6= 0 et r N+1 = 0. Alors pgcd(a; b) est égal au dernier reste non nul r N. Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on dé nit une suite telle que 0 r n < r n 1 < < r 2 < r 1. Il s agit donc d une suite d entiers naturels strictement décroissante. Au bout d un nombre ni d étapes on obtient alors un reste nul (on a N b). En utilisant le lemme précédent, on obtient pgcd(a; b) = pgcd(b; r 2 ) = pgcd(r 2 ; r 3 ) = = pgcd(r N 1 ; r N ) = pgcd(r N ; 0) = r N Exemple 9 Soient a = 144 et b = 84. On calcule On a donc pgcd(144; 84) = 12. 1.3 Relation de Bézout 144 = 1 84 + 60 r 2 = 60 84 = 1 60 + 24 r 3 = 24 60 = 2 24 + 12 r 4 = 12 24 = 2 12 + 0 r 5 = 0 Théorème 10 Relation de Bézout. Soient a et b deux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que pgcd(a; b) = au + bv Démonstration. Notons = pgcd(a; b) on a 2 Z = az + bz donc = x + y où x 2 az et y 2 bz, donc il existe u et v tels que = au + bv.
3 Remarque 11 Soit 2 N. Nous venons de montrer que si = pgcd(a; b) alors il existe un couple d entiers (u; v) tel que = au + bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour a = 4, b = 2 et = 6, on a 6 = 4 1 + 2 1 et 6 6= pgcd(4; 2) = 2. Plus généralement, s il existe un couple d entiers (u; v) tel que d = au + bv alors pgcd(a; b) divise d. Exemple 12 Soient a = 63 et b = 37. On calcule 63 = 37 1 + 26 r 2 = 26 37 = 26 1 + 11 r 3 = 11 26 = 11 2 + 4 r 4 = 4 11 = 4 2 + 3 r 5 = 3 4 = 3 1 + 1 r 6 = 1 On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de la façon suivante : 1 = 4 3 1 Départ 1= 4 (11 4 2) = 11 + 4 3 On a remplacé r 5 1 = 11 + (26 11 2) 3 = 7 11 + 26 3 On a remplacé r 4 1 = 7 (37 26 1) + 26 3 = 7 37 + 26 10 On a remplacé r 3 1 = 7 37 + (63 37 1) 10 = 17 37 + 10 63 On a remplacé r 2 Finalement la relation de Bézout est : 10 63 17 37 = 1 = pgcd(63; 37) Proposition 13 Soient a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k 2 N, pgcd(ka; kb) = kpgcd(a; b). Démonstration. Si k = 0 l égalité est véri ée. Supposons k 6= 0. Soit D = pgcd(ka; kb) et = pgcd(a; b). Comme divise a et b, k divise ka et kb donc k divise D. Par ailleurs, k divise ka et kb donc k divise D. Il existe q 2 Z tel que D = kq. Comme kq divise ka et kb, q divise a et b donc q divise. On en déduit que D divise k. Finalement on a donc k = D. Exemple 14 pgcd(42; 56) = 7 pgcd(6; 8) = 7 2 = 14. 2 Éléments premiers entre eux Dé nition 15 On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (noté aussi a ^ b = 1). Proposition 16 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit un diviseur positif de a et de b. Il existe a 0 2 Z tel que a = a 0 et il existe b 0 2 Z tel que b = b 0. Alors est le pgcd de a et b si et seulement si a 0 et b 0 sont premiers entre eux. Démonstration. Le diviseur est nécessairement non nul. Comme a = a 0 et b = b 0, pgcd(a; b) = pgcd(a 0 ; b 0 ) = pgcd(a 0 ; b 0 ) Par conséquent, pgcd(a; b) = () pgcd(a 0 ; b 0 ) = 1. Théorème 17 Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1 = au + bv.
4 Démonstration. Si pgcd(a; b) = 1 alors il existe un couple d entiers (u; v) tel que 1 = au + bv (relation de Bézout). Réciproquement, supposons qu il existe deux entiers u et v tels que 1 = au+bv. Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise 1 donc jdj = 1. D où pgcd(a; b) = 1. Proposition 18 Soit n 2 N, n 2. Soit a 1 ; : : : ; a n des entiers relatifs. Si a est premier avec chacun des a i (i = 1 : : : n) alors a est premier avec leur produit. Démonstration. Comme pgcd(a; a 1 ) = 1, il existe des entiers u 1 et v 1 tels que 1 = au 1 + a 1 v 1. De même, il existe u 2 et v 2 tels que 1 = au 2 + a 2 v 2. En multipliant ces deux termes, on obtient 1 = a (au 1 u 2 + u 1 a 2 v 2 + a 1 v 1 u 2 ) + a 1 a 2 (v 1 v 2 ). D où pgcd(a; a 1 a 2 ) = 1. La propriété est donc vraie pour n = 2. Supposons la propriété vraie à l ordre n. Soit a 1 ; : : : ; a n+1 n + 1 entiers premiers séparément avec a. En utilisant l hypothèse de récurrence avec a 1 ; : : : ; a n, on obtient que a est premier avec le produit a 1 a n. On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a 1 a n et a n+1. Exemple 19 Comme pgcd(3; 5) = 1 et pgcd(3; 8) = 1, on a pgcd(3; 40) = 1. Corollaire 20 Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b sont premiers entre eux alors pour tout n 2 N et p 2 N, a n et b p sont premiers entre eux. Théorème 21 Théorème de Gauss. Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. Démonstration. Comme pgcd(a; b) = 1, il existe un couple d entiers (u; v) tels que 1 = au + bv. En multipliant cette égalité par c, on obtient c = a(cu) + (bc)v. Comme a divise bc, a divise c. Proposition 22 Soit n 2 N, n 2. Soit a 1 ; : : : ; a n des entiers relatifs premiers entre eux deux à deux. Si a est divisible par chacun des a i (i = 1 : : : n) alors a est divisible par leur produit. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n = 2, il existe deux entiers q 1 et q 2 tels que a = a 1 q 1 = a 2 q 2. Donc a 2 divise a 1 q 1. Mais comme pgcd(a 2 ; a 1 ) = 1, on obtient que a 2 divise q 1. Il existe donc q 3 2 Z tel que q 1 = a 2 q 3. Par conséquent, a = a 1 a 2 q 3 et a 1 a 2 divise a. La n de la démonstration se fait sans di culté. Exemple 23 L entier 90 est divisible par 3 et par 5 qui sont premiers entre eux donc est divisible par 15. Mais bien que 20 soit divisible par 4 et par 10 il n est pas divisible par 40 (car 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux). Proposition 24 Soit _x 2 Z=nZ on a _x inversible () x ^ n = 1 Démonstration. _x est inversible ssi 9 _y tel que _x y = _1 ssi 9y; k tels que x y = 1 + kn ssi 9y; k tels que xy kn = 1 ssi x ^ n = 1: Proposition 25 Soit la fonction indicatrice d Euler, (n) est égal au nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n. En particulier si p est un nombre premier (p) = p 1.
5 3 Plus petit multiple commun de deux entiers Dé nition 26 Soient a et b 2 Z, il existe 2 N tel que az \ bz = Z. est appelé le plus petit multiple commun de a; b, noté ppcm(a; b) (ou a _ b). Exemple 27 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2; 3) = 6 et ppcm(10; 25) = 50. Remarque 28 ppcm(0; 0) = 0. Pour tout a 2 Z, on a ppcm(a; 0) = 0 Pour tout a et b dans Z, ppcm(a; b) = ppcm(b; a) = ppcm(jaj ; jbj). Soient a; b 2 N alors a j b () ppcm (a; b) = b Démonstration. On montre le dernier point. On a a j b () bz az () az \ bz = bz () ppcm (a; b) = b Proposition 29 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = ppcm(a; b) si et seulement si l entier est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors divise m Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour. Démonstration. Notons = ppcm(a; b). On a Z az donc aj, de même Z bz donc bj. Donc est un multiple de a et b. Soit m un multiple de a et b, alors mz az et mz bz donc mz az \ bz donc mz Z donc jm. Réciproquement soit un entier positif véri ant : l entier est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors divise m Il faut montrer que = ppcm(a; b). On a Z az et Z bz donc Z az \ bz = ppcm(a; b) Z donc ppcm(a; b) j. D autre part ppcm(a; b) est un multiple de a et de b donc par dé nition de on a j ppcm(a; b). Exemple 30 On a ppcm(4; 6) = 12 ; ppcm(4; 7) = 28 ppcm(5 7; 7 11) = 5 7 11 pgcd(3 12 ; 3 19 ) = 3 19 pgcd(2 15 3 8 5 2 ; 2 9 3 20 7) = 2 15 3 20 5 2 7 Proposition 31 Soient a et b deux entiers naturels, on a la relation : pgcd(a; b) ppcm(a; b) = ab
6 Démonstration. Notons = ppcm(a; b) et = pgcd(a; b). Il existe a 0 et b 0 tel que a = a 0 et b = b 0 On va montrer que = a 0 b 0 le résultat en découle immédiatement en multipliant par : a 0 b 0 est un multiple de a et de b donc par dé nition divise a 0 b 0. Réciproquement notons u et v les entiers tels que = au = bv donc et donc = a 0 u = b 0 v a 0 u = b 0 v donc b 0 divise a 0 u or a 0 et b 0 sont premiers entre eux donc d après le théorème de Gauss b 0 divise u donc il existe q tel que u = b 0 q et donc en remplaçant ci dessus et donc divise a 0 b 0. = a 0 b 0 q Exemple 32 Pour a = 4 et b = 6 ppcm(4; 6) = 12. Par ailleurs, pgcd(4; 6) = 2. On a bien pgcd(4; 6)ppcm(4; 6) = 24. Corollaire 33 Soit a et b deux entiers relatifs. ppcm(a; b). Alors pour tout k 2 N, ppcm(ka; kb) = k Démonstration. la formule précédente donne comme pgcd(ka; kb) = k pgcd(a; b) on obtient pgcd(ka; kb) ppcm(ka; kb) = ka:kb ppcm(ka; kb) = kab pgcd(a; b) = k ppcm(a; b) 4 Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun de n entiers Dé nition 34 Soit n 2 N, n 3. On dé nit le plus grand diviseur commun de a 1 ; : : : ; a n par récurrence sur n grâce à la formule suivante : pgcd (a 1 ; : : : ; a n ) = pgcd (pgcd (a 1 ; : : : ; a n 1 ) ; a n )) Dé nition 35 Soit n 2 N, n 3. On dé nit le plus petit multiple commun de a 1 ; : : : ; a n par récurrence sur n grâce à la formule suivante : ppcm (a 1 ; : : : ; a n ) = ppcm (ppcm (a 1 ; : : : ; a n 1 ) ; a n )) Exemple 36 pgcd(30; 15; 12) = 3; pgcd(300; 10; 60; 3) = 1 ppcm(30; 15; 12) = 60; ppcm(300; 10; 60; 3) = 300 Remarque 37 pour calculer le pgcd ou le ppcm de plusieurs nombres, on peut les prendre dans l ordre que l on veut.