2 Quadrilatères Ce deuxième chapitre 4 de géométrie plane sera consacré à l étude des quadrilatères d un point de vue théorique et d un point de vue didactique, par l intermédiaire d extraits de manuels, manuels approuvés par le Ministère ou disponibles en librairie. Dans ce chapitre, à nouveau, les propriétés étudiées ne relèvent pas toutes de l école primaire; certaines sont au programme du premier cycle du secondaire. C est dans une perspective d arrimage entre les différents ordres d enseignement que nous les présentons. 2.1 Rappels théoriques 2.1.1 Polygones Étymologiquement, le mot «polygone» vient du grec «polus» qui signifie «nombreux», et «gônia» qui signifie «angle». Un polygone est une figure géométrique fermée, formée par une ligne brisée fermée, c est à dire une suite de segments ayant des extrémités communes. T A U S G V Les segments s appellent les côtés du polygone. Les extrémités des segments sont les sommets du polygone. Dans la figure ci dessus, le polygone s appelle, ou ou (L important est de donner le nom des sommets dans l ordre où on les rencontre quand on suit le contour du polygone.) Les points et sont les extrémités d un côté du polygone. Ce sont aussi deux sommets consécutifs. Les sommets et ne sont pas consécutifs; ce sont des sommets opposés et le segment est une diagonale du polygone. 4 À partir de ce chapitre, pour ne plus surcharger les figures, seuls les points qui ne sont pas des sommets de figures seront repérés par des croix. 33
2 La géométrie à l école primaire Polygones convexes et non convexes Un polygone est convexe quand tous ses angles sont des angles saillants. Toutes les diagonales sont alors à l intérieur du polygone. Un polygone n est pas convexe quand au moins l un des angles intérieurs de ce polygone est un angle rentrant. Dans ce cas, il y a au moins une diagonale à l extérieur du polygone. Polygone convexe Polygone non convexe G B 24 105 A 114 F 269 J 304 77 H 81 C 17 101 139 K E D 28 I Tous les angles sont des angles saillants : ils mesurent tous moins de 180. Les angles et sont des angles rentrants : ils mesurent plus de 180. Les diagonales,,, et sont à l intérieur du polygone. Les diagonales et sont à l extérieur du polygone. Nom des polygones Le nom des différents polygones dépend exclusivement du nombre de leurs côtés, peu importe qu ils soient convexes ou non. Très souvent, dans les manuels, les polygones représentés sont des polygones réguliers, en position prototypique (les côtés sont parallèles aux bords de la page). Par définition, un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont isométriques (ont la même longueur), et tous les angles intérieurs sont isométriques (ont la même mesure). 34
Quadrilatères Nom du polygone Nombre de côtés Triangle 3 Quadrilatère 4 Pentagone 5 Hexagone 6 Heptagone 7 Octogone 8 Ennéagone 9 Décagone 10 Dodécagone 12 Exemples de polygones 2 Exemples de polygones réguliers 35
2 La géométrie à l école primaire 2.1.2 Quadrilatères Vocabulaire Dans un quadrilatère, les sommets et sont deux sommets consécutifs : ils sont aussi les extrémités d un côté du quadrilatère. Les sommets et sont deux sommets opposés : ils ne sont pas les extrémités d un même côté du quadrilatère (voir «diagonale»). Quadrilatère convexe F T G P T Quadrilatère non convexe F G Les côtés et sont deux côtés consécutifs (ou adjacents) : le sommet est une extrémité commune aux deux côtés. Les côtés et sont des côtés opposés : ils n ont pas d extrémité commune. Les segments et sont les deux diagonales du quadrilatère : leurs extrémités sont deux sommets opposés du quadrilatère. On remarquera que, dans le cas du quadrilatère non convexe, l une des diagonales (ici ) est à l extérieur du quadrilatère. Les angles et sont des angles consécutifs : leurs sommets sont les extrémités d un même côté du quadrilatère. Les angles et sont des angles opposés : leurs sommets sont les extrémités d une diagonale du quadrilatère. Somme des angles d un quadrilatère P La somme des angles d un triangle est égale à 180. Or, tout quadrilatère peut être découpé en deux triangles adjacents. Donc, la somme des angles d un quadrilatère est de 360. 36
Quadrilatères 2 Cette propriété est vraie pour tous les quadrilatères, qu ils soient convexes ou non. m m m 65 69 46 180 m 36 84 60 180 m m m 69 46 60 84 36 65 180 180 360 A 65 36 84 D B 69 46 60 C Classification des quadrilatères Comme les triangles, les quadrilatères sont des figures très importantes en géométrie. Ils portent des noms différents selon qu ils possèdent (ou non) les caractéristiques suivantes : Les côtés opposés sont parallèles; Les côtés sont isométriques; Les angles opposés sont isométriques; Certains angles sont des angles droits; Il existe un ou des axes de symétrie (ou aucun); Les diagonales sont isométriques; Les diagonales ont le même milieu; Les diagonales sont perpendiculaires. On peut alors obtenir une classification des quadrilatères selon qu ils possèdent (ou non) l une ou l autre ou plusieurs des caractéristiques ci dessus. Au secondaire, les élèves démontrent que certaines de ces caractéristiques sont liées les unes aux autres. Par exemple, si dans un quadrilatère les diagonales ont le même milieu, alors les côtés opposés sont parallèles et sont isométriques deux à deux, les angles opposés sont isométriques : c est un parallélogramme! Dans ce manuel, nous nous limiterons à un rappel de ces caractéristiques et des quadrilatères qui les possèdent. Dans les classifications qui suivent, nous donnons les noms des quadrilatères qui ont au moins la caractéristique envisagée (condition minimale d existence). Quand le quadrilatère n a pas de nom particulier, la case reste vide. 37
2 La géométrie à l école primaire 2.1.3 Classification des quadrilatères selon les côtés Paires de côtés isométriques Si un quadrilatère a... une paire de côtés isométriques au moins deux paires de côtés isométriques consécutifs opposés Parallélogramme Rectangle et le quadrilatère est convexe Cerf-volant et le quadrilatère n est pas convexe Deltoïde quatre côtés isométriques Losange Carré 38
Quadrilatères 2 Côtés parallèles Si un quadrilatère a... au moins deux côtés parallèles Trapèze deux paires de côtés parallèles Parallélogramme Rectangle Losange Carré 2.1.4 Classification des quadrilatères selon les angles Angles isométriques Si le quadrilatère a... deux paires d angles isométriques consécutifs Trapèze isocèle opposés Parallélogramme 39
2 La géométrie à l école primaire Angles droits Si le quadrilatère a au moins... deux angles droits consécutifs deux angles droits opposés trois angles droits Trapèze rectangle Quadrilatère inscriptible dans un cercle 5 Rectangle Carré 5 2.1.5 Classification selon les diagonales Si les diagonales d un quadrilatère sont... perpendiculaires de même milieu de même longueur Parallélogramme 5 5 perpendiculaire et de même milieu Losange de même milieu et de même longueur Rectangle de même milieu, de même longueur et perpendiculaire Carré 5 La propriété sera démontrée au secondaire. 40
Quadrilatères 2 2.1.6 Classification selon les axes de symétrie Le quadrilatère a comme axe(s) de symétrie... au moins une diagonale Cerf-volant au moins la médiatrice de deux côtés parallèles Trapèze isocèle Deltoïde les deux diagonales Losange les médiatrices des côtés Rectangle les deux diagonales et les médiatrices des côtés Carré 41
2 La géométrie à l école primaire 2.1.7 En résumé Dans un parallélogramme : A 102,8 5,6 D 77,2 5,8 4,7 116,6 8,9 O 5,8 8,9 77,2 B 4,7 5,6 102,8 Les côtés opposés sont parallèles et isométriques deux à deux; Les angles opposés sont isométriques deux à deux; Les diagonales ont le même milieu. Dans un rectangle, on retrouve toutes les propriétés du parallélogramme et Les quatre angles sont droits (mais il suffit d en construire trois pour que le quadrilatère soit un rectangle); Les diagonales ont la même longueur (donc les sommets d un rectangle sont sur un cercle qui a pour centre le centre du rectangle); Les médiatrices des côtés opposés sont les axes de symétrie. Dans un losange, on retrouve toutes les propriétés du parallélogramme et Les quatre côtés sont isométriques; Les diagonales sont perpendiculaires; Les diagonales sont aussi les axes de symétrie. Dans un carré, on retrouve toutes les propriétés du losange et du rectangle. Le carré est donc le quadrilatère qui a le plus de propriétés : c est un rectangle particulier, un losange particulier, un parallélogramme particulier. Remarque didactique Le carré est le quadrilatère que les élèves connaissent le mieux, ou celui avec lequel ils se sont le plus familiarisés, donc ils ont tendance à croire que c est celui qui a le moins de particularités. La classification que l on vient d établir (classification inclusive des quadrilatères) est donc contrintuitive pour les élèves, et source de difficultés dans les classes. C 42
Quadrilatères 2 2.1.8 Dans les manuels Toutes les propriétés des quadrilatères ne sont pas au programme du primaire, en particulier les propriétés relatives aux diagonales (le mot «diagonale» n apparaît pas dans le programme). Les définitions des quadrilatères les plus utilisées par les auteurs de manuels sont les suivantes : un trapèze est un quadrilatère qui a une paire de côtés parallèles; un parallélogramme est un quadrilatère qui a deux paires de côtés parallèles; un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés isométriques (ou de la même longueur); un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits; un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et quatre angles droits. Diverses activités à propos du parallélogramme, du rectangle, du losange et du carré permettront aux élèves de constater un certain nombre de propriétés comme les égalités d angles opposés, l isométrie des côtés opposés ou la présence d axes de symétrie. Les démonstrations de ces propriétés relèvent du secondaire. Mais certaines propriétés seront plus rarement rencontrées comme le parallélisme des côtés opposés du losange. C est pourquoi la classification inclusive des quadrilatères, telle que proposée à la section 2.1.7 de la page précédente, est difficile à établir dans les classes au primaire. 2.2 Activités personnelles 2.2.1 Construction d un quadrilatère Vous devez reproduire exactement le quadrilatère suivant. Quel est le nombre minimal d informations (mesures) que vous devez prendre sur le modèle pour être certain que le quadrilatère que vous construirez sera superposable au modèle? A D B C 43
2 La géométrie à l école primaire 2.2.2 Constructions particulières Parallélogramme Construisez un parallélogramme dont les diagonales mesurent 5 cm pour l une et 8 cm pour l autre. a) Combien de parallélogrammes non superposables pouvez vous construire qui auront cette propriété? Si vous pouvez en construire plusieurs, construisez en trois. b) Quelle est l'information manquante ou quelles sont les informations manquantes pour que le parallélogramme construit soit unique? 44