22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul antécédent par f. b. Donner un nombre qui n'a pas d'antécédent par f. c. Donner tous les nombres qui a trois antécédents par f. 4. Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x 2. 5. Donner le tableau de variation de la fonction f. 6. Donner le tableau de signe de f puis résoudre l'inéquation f(x>0 7. Tracer sur le même graphique la droite ( d d'équation y= x+. Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation f ( x< x+ Exercice 2. Les deux parties sont indépendantes. PARTIE. Factoriser (x 5 2. 2. Soit f définie sur R par : f ( x=2 (x 5 2 2 a En utilisant la question précédente, proposer une factorisation de f btracer le tableau de variations de f et donner son extremum en précisant pour quelle valeur de x il est atteint. PARTIE 2 Soit ABCD un rectangle avec AB = 8 cm et BC = 2 cm. On place un point M sur le segment [AB] puis les points E, F, G et H tels que AMEF soit un carré et EGCH un rectangle. On appelle x la longueur AM, et S(x la somme des aires des parties grisées (carré AMEF et rectangle EGCH. Le but de l'exercice est de déterminer pour quelles valeurs de x, l'aire S(x est inférieure ou égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.. Quelles valeurs x peut-il prendre? 2. Exprimer l'aire du rectangle EGHC en fonction de x.. Montrer que S ( x =2 x 2 20 x+96 4. Justifier que le problème revient à résoudre l'inéquation : 2 x 2 20 x+48 0. 5. Écrire en langage libre un algorithme qui a pour entrée x et permet de savoir si x est solution de l'inéquation précédente. 5. On admet que 2 x 2 20 x+48=2 ( x 4 ( x 6. Finir la résolution du problème.
Exercice : On demande à 00 personnes d'indiquer leur loisir préféré parmi les loisirs suivants : Faire du sport ; Utiliser un ordinateur ; Lire un livre Les femmes représentent 40% des personnes interrogées, 5% des personnes interrogées préfèrent un livre 60% des hommes préfèrent faire du sport. 0% des femmes préfèrent utiliser leur ordinateur. Le nombre de femmes préférant lire est égal à la moitié du nombre d'hommes préférant faire du sport. a Justifier qu'il y a 20 femmes interrogées b Justifier qu'il y a 08 hommes qui préfèrent faire du sport c En justifiant vos calculs, compléter le tableau ci dessous qui résume la situation : homme femme Faire du sport Lire un livre Utiliser un ordinateur 00 On choisit au hasard une personne parmi les 00 interrogées. On considère les événements suivants : A : la personne préfère le sport B : la personne est un homme C : la personne préfère la lecture. 2 a Calculer p(a, p(b, puis p(c b Définir par une phrase l événement A B, puis calculer p(a B Définir par une phrase l événement A B, puis calculer p(a B : 4 Définir par une phrase l événement C puis calculer sa probabilité. 5 Définir par une phrase B C puis calculer la probabilité de cet événement. 6 Écrire l événement : «la personne interrogée préfère utiliser son ordinateur» à l'aide de A et C. Exercice 4: géométrie plane repérage vecteurs ABC est un triangle quelconque, M est le milieu de [AB] et I le milieu de [MC]. On considère le point K tel que CK= CB et on veut démontrer que A, I et K sont alignés. les deux parties peuvent être traitées de façon indépendantes Partie : approche analytique On se place dans le repère (A; AB ; AC Faire une figure et donner les coordonnées des points A,B et C dans ce repère. 2 En déduire les coordonnées de M, puis les coordonnées de I. Calculer les coordonnées de K. 4 Justifier de A I et K sont alignés. Partie 2: approche vectorielle aexprimer AM en fonction de AB b Compléter : IM+ IC=. En utilisant Chasles, exprimer AI en fonction de AM et AC 2 Justifier que AI= 4 AB+ 2 AC Exprimer AK en fonction de AB et AC 4 En déduire que A, I et K sont alignés.
correction: Exercice : D f =]-8;4] 2 L'image de 4 par f est 2 car le point d'abscisse 4 a pour ordonnée 2. a et 4 sont les deux seuls nombres qui n'ont qu'un antécédent par f. b Tous les nombres de l'ensemble ]- ;-[ ]4:+ [ n'ont pas d'antécédent par f. c Tous les nombres de l'intervalle ]-2;2] ont trois antécédents par f. 4 On trace le droite horizontale qui passe par l'ordonnée 2 puis on sélectionne les parties de C f qui sont en dessous ou sur cette droite et enfin on lit les abscisses des points situés sur ces parties: f ( x 2 a pour solution S=]-8;-5] [0;4] 5 Tableau de variations : on regarde pour quelles valeurs de x la courbe de f monte ou descend. x -8-2,5 4 4 2 f - 6 Tableau de signes de f : on regarde pour quelles valeurs de x la courbe de f est au dessus ou en dessous de l'axe des abscisses: x -8-7,5 4 f ( x 0 + 0 0 + f ( x >0 a pour solutions : S= ]-7;[ ],5;4] 7 Pour tracer (d on détermine les coordonnées de deux points : si x=0 alors y= donc (d passe par A(0; si x=2 alors y= donc (d passe par le point B(2;- f ( x < x+ quand la courbe de f est en dessous de la droite (d: S= ]-8;-[ ];[. Exercice 2: Partie : ( x 5 2 =(( x 5 ( ( x 5+=( x 6 ( x 4 2 f ( x =2 ( x 5 2 2=2 [( x 5 2 ]=2 ( x 6 ( x 4 b f est une fonction du second degré. Pour les variations, on utilise la forme canonique de f : f ( x =2 ( x 5 2 2 alors a=2 α =5 et β =-2. a>0 donc la parabole associée à f est à "l'endroit", la fonction est décroissante sur ]- ;5] et croissante sur [5;+ [ f admet donc un minimum qui vaut -2 atteint pour x=5 x 5 + f -2 Partie 2: M [AB] donc x =AM [0;8] 2 Aire de EGHC: HE EG=(2 x (8 x S ( x =aire ( AMEF+aire (EGHC=x 2 +(2 x (8 x=x 2 +96 8 x 2 x+x 2 =2 x 2 20 x+96 4 Le problème se traduit par : S ( x 2 aire (ABCD soit 2 x2 20 x+96 2 8 2 2 x2 20 x+96 48 On passe tout au premier membre et on obtient 2 x 2 20 x+96 48 0 soit 2 x 2 20 x+48 0
5 variables x, S lire x S prend la valeur 2 x 2 20 x+48 si S 0 alors afficher " x est solution " sinon afficher " x n'est pas solution" fin si. 6 Il suffit de construire le tableau de signe du produit 2 ( x 4 ( x 6 mais uniquement sur l'intervalle [0;8]: et de regarder pour quelles valeurs de x le produit est négatif : x 0 4 6 8 2 ( x 4 0 + + x 6 0 + 2 ( x 4 ( x 6 + 0 0 + donc les solutions sont : x [4;6] (on peut remarquer que 2 ( x 4 ( x 6 =2 x 2 20 x+48= f ( x Exercice : a 40% de 00 : 00 40 =20 donc il y a bien 20 femmes interrogées. 00 b 00-20=80 donc il y a 80 hommes. 60% de 80 : 60 80 =08 donc il y a bien 08 hommes qui préfèrent faire du sport. 00 Faire du sport Lire un livre Utiliser un ordinateur total homme 08 5 2 80 femme 54 54 ( 08 2 2 ( 20 0 00 20 5 total 62 05 ( 00 00 00 2 a Nous somme en situation d'équiprobabilité donc toutes les probabilités seront calculées en utilisant la nombre de cas favorables formule : nombre de cas possibles P (A = 62 00 = 27 P (B= 80 00 = 5 et P (C= 05 00 = 7 20 b A B est l événement :la personne est un homme et elle préfère le sport. P (A B= 08 00 = 9 25 A B : " la personnes est un homme ou elle préfère le sport: P (A B=P ( A+P (B P (A B= 62 00 + 80 00 08 00 = 9 4 C : la personne préfère une activité autre que la lecture: P (C= P (C= 7 20 = 20 5 B C : la personne n'est pas un homme et elle préfère une activité autre que la lecture: il s'agit donc d'une femme qui préfère le sport ou l'ordinateur: P (B C = 54+2 00 = 66 00 = 6 "la personne préfère l'ordinateur" est le contraire de l événement : " la personne préfère lire un livre ou faire du sport " donc c'est A C Remarque : On peut aussi considérer que c'est l événement : la personne ne préfère pas le sport et elle ne préfère pas la lecture" donc c'est aussi A B
Exercice 4: Partie : Dans le repère ((A; AB ; AC : A(0;0 B(;0 et C(0; 2 M est le milieu de [AB] donc il a pour coordonnées : x M = x +x A B = y 2 2 M = y + y A B =0 soit M 2 ( 2 ;0 I est le milieu de [MC] donc il a pour coordonnées : x I = x M+x C 2 = 2 2 = y 4 I = y + y M C = 2 2 CB ( x B x C y B y C = ( CK= CB équivaut à : (x K 0 y K =( soit I ( 4 ; 2 donc si K ( x K ; y K alors donc x K = et y = K = 2 K a donc pour coordonnées K ( ; 2 4 A étant l'origine du repère, les coordonnées de I et K sont aussi les coordonnées des vecteurs AI et AK : AI ( 4 AK 2 bien alignés. Partie 2: ( 2 a M est le milieu de [AB] donc AM= 2 AB 4 2 2 = 6 6 =0 donc AI et AK sont colinéaires, et A,I et K sont b I est le milieu de [MC] donc IM+ IC= 0 en partant de cette relation et en utilisant Chasles : IA+ AM+ IA+ AC= 0 d'où 2 IA+ AM+ AC= 0 2 IA= AM+ AC et enfin AI= 2 ( AM+ AC = 2 AM+ 2 AC 2 D'après a AM= 2 AB donc AI= 2 2 AB+ 2 AC= 4 AB+ 2 AC En utilisant Chasles : AK= AC+ CK= AC+ CB= AC+ ( CA+ AB= AC AC+ AB= AB+ 2 AC 4 On remarque alors que AK=2 AI donc AK= 2 AI. AK et AI sont colinéaires, donc A, I et K sont bien alignés.