ASSERVISSEMENT DES SYSTEMES D ORDRE 2.

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 ASSERVISSEMENT DES SYSTEMES D ORDRE. Asservissement de vitesse et de coule d'une machine à courant continu. Objectif Connaître les rincies de base de la commande en vitesse variable des ensembles électromécaniques. Etre caable de mettre en œuvre et de régler l asservissement d'un système d ordre suérieur à. Savoir choisir les différents éléments d un asservissement de vitesse. Pré-requis Calcul comlexe Equation différentielle du ième ordre Diagramme de bode des systèmes du second ordre

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Introduction Sommaire. Généralités sur la commande en vitesse variable des machines électriques. Etude de l asservissement de coule de la machine à courant continu.. Mise en équation du moteur. Etude de la boucle de courant 3 Modélisation des convertisseurs. 3. Introduction. 3. Modélisation du caractère échantillonné des convertisseurs. 4 Etude de la boucle de vitesse 5 Définition de la marge de hase. 5. Limite de stabilité 5. Marge de hase, marge de gain. 5.3 Réseau de caractéristique coefficient d'amortissement en boucle fermée / marge de hase. 6 Correction roortionnelle intégrale 6. Nécessité d'une action intégrale 6. Influence de l'action intégrale sur la stabilité 6.3 Méthodologie de réglage 7 Les cateurs de vitesse et de osition. 7. Les cateurs de vitesse. 7. Les cateurs de osition 8 Remarque sur l étude de l asservissement des systèmes à retour non unitaire. 9 Exercices autocorrectifs: Etude de l asservissement de vitesse d une motorisation à base de moteur à courant continu. 9. Etude de la motorisation en régime statique. 9. Etude de la commande en courant du moteur. 9.3 Etude de l asservissement de vitesse.

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Correction exercices autocorrectifs. Etude de l asservissement de vitesse d une motorisation à base de moteur à courant continu. 3

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Introduction. Généralité sur la commande en vitesse variable des machines électriques. Comme tous les moteurs électriques, la machine à courant continu doit être considérée comme un générateur de coule. Ce coule est alors transmis à la charge qui eut entrer en rotation. La vitesse de l ensemble moteur + charge n est donc as imosée ar le moteur, mais ar la caractéristique coule/vitesse de l ensemble moteur + charge. Le oint de fonctionnement de l ensemble de la motorisation est situé à l intersection de la caractéristique mécanique de Coule moteur C C Délacement du oint de fonctionnement de l'ensemble moteur lus charge l ensemble moteur + charge et de la caractéristique CmoteurC te. Pour faire varier la vitesse de rotation de l'ensemble, il faut moduler le coule fourni ar le moteur à la charge. Si l'on souhaite augmenter la vitesse de rotation de l'ensemble moteur + charges, il faut augmenter le coule fourni ar le moteur, qui devient alors suérieur au coule de charge. Il aaraît alors un coule dω d accélération J, ce qui entraîne une augmentation de la vitesse de la charge. dt On eut voir sur la figure ci-dessus le délacement du oint de fonctionnement dans le lan coule vitesse de l'ensemble moteur lus charges our une augmentation du coule moteur. L ensemble d une commande à vitesse variable, quelque soit le tye de motorisation utilisée, eut donc se décomoser en deux boucles d asservissement : une boucle de coule et une boucle de vitesse : Ω Caractéristique coule / vitesse de l'ensemble moteur lus charge Ω d Ω J. dt Vitesse de rotation Co nsigne vite sse C orrecteur vitess e. Co nsigne coule C orrecteur co ule. Co nvertisseur sta tique. M C C C oule moteur M oteur C harge Ω C ateur/ estimateur de cou le C a teur vitesse Il aaraît alors que la caractérisation de la charge entraînée est donc une des étaes imortantes dans l étude d un asservissement de vitesse. Il est nécessaire de bien connaître la nature du coule résistant afin de ouvoir calculer la relation existant entre la vitesse de rotation de la charge et le 4

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 coule moteur. Ce calcul est généralement réalisé à artir du rincie fondamental de la dynamique, dω aliqué en rotation : J Cm Cr, où dt - J rerésente le moment d inertie de l ensemble moteur + charge - Cm le coule moteur - Cr le coule résistant d - J Ω : coule d accélération. dt Les caractéristiques coule résistant en fonction de la vitesse les lus couramment rencontrées sont des combinaisons de frottement sec, visqueux et aéraulique. C C C Ω Frottement sec : F cte (frottement) Ω Frottement visqueux : F f V (roulement) Ω Frottement aéraulique : F a V² (frottement fluide) Etude de l asservissement de coule de la machine à courant continu. Dans le cas de la machine à courant continu, réaliser un asservissement de coule revient à réaliser un asservissement de courant. Nous allons donc dans un remier tems étudier l asservissement du courant dans la machine. Cet asservissement a our schéma bloc : Consigne courant Correcteur Convertisseur U I MCC courant. statique. Cateur courant Afin de ouvoir mener à bien la réalisation de cet asservissement, il est nécessaire de mettre en équation le comortement en courant de la motorisation, c est à dire évaluer la fonction de transfert C()I()/U().. Mise en équation du moteur La modélisation de l ensemble moteur + charge est réalisable à artir des équations de base de la machine à courant continu et du rincie fondamental de la dynamique (PFD): Equations électromécaniques : C kφ.i E kφ. Ω 5

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 di Equation électrique : U E + RI + L dt dω PFD : J C fω dt où C rerésente le coule électromagnétique fourni ar le moteur, E la force contre électromotrice générée ar le moteur U la tension d induit R, L la résistance et l inductance d induit J le moment d inertie du moteur F le coefficient de frottement visqueux de l ensemble moteur + charge (on considérera le coule de frottement sec comme étant nul) On eut alors en déduire le schéma bloc suivant, rerésentatif de la fonction de transfert en courant du moteur : U R+L I Moteur E kφ Ω f+j C kφ Il est alors ossible de tracer la réonse indicielle en courant de la machine, ce qui ne résente as d intérêt articulier au niveau de la mise en œuvre du réglage de la boucle de courant, mais qui ermettra une interrétation de la réonse indicielle en boucle fermée : Alication d'une tension constante, croissance du curant Vitesse Augmentation de la vitesse et donc de la force contre électromotrice, diminution du courant (roche de (U-E)/R) Présence d'un courant et donc d'un coule imortant dans la machine, montée en vitesse Courant A artir du schéma bloc de la motorisation définie ultérieurement, il est ossible de calculer la fonction de transfert C()I()/U(), rerésentative du comortement en courant de la machine : 6

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 ( R + L) ( J+ f) C( ) kφ ( R + L)( J+ f) + kφ + ( R + L)( J+ f) J. f f + + C( ). Ko. k + R. f ( f. L + R. J) L. J + +. k R f k R f z Φ Φ +. Φ +. +.. + Sous certaines conditions (z>), le dénominateur est décomosable, et la fonction de transfert devient alors : + C( ) Ko. + + 3 4 Les diagrammes asymtotiques de bode sont alors les suivants : G log Ko 3 4 ϕ 9-9. Etude de la boucle de courant Le schéma bloc de la boucle de courant est donné ci-dessous: Ic e Cor. ec Conv. U C() I I* Cateur On assimilera le convertisseur à un gain de valeur Go, le correcteur à un gain de valeur K et le cateur de courant à un gain unitaire. Il est alors ossible d évaluer la fonction de transfert en boucle fermée H()I() / Ic(). 7

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Méthode : Par le calcul (ce calcul est donné à titre urement indicatif, essentiellement our mettre en valeur la simlicité de la méthode grahique!) Notons KK BO K.Go.Ko, il vient alors : + K. z +.. + K. + K. + H( ) + z. z K +.. + + K. + ( + K) + +. + + K. +. z. + si K>> (ce qui est généralement vérifié, c est un des rincies de base des asservissements),.z K K alors ( + K) K et + et on eut écrire: K. + + H( ) K K +. + +. + K. Cherchons à décomoser le dénominateur: 4 4 4.. K. K. K. Si K est suffisamment grand, alors 4. K. / limité au remier ordre de ε ( ε) ε, d'où: << et il est ossible de réaliser un déveloement.. K. on eut alors calculer les deux racines du dénominateur: x.. K. K. K. et x. +. K. K. d où 8

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 + H( )... + + + K. K. Il aaraît que la fonction de transfert en boucle fermée est de tye remier ordre, dont la constante de tems est τ K. Méthode : Grahiquement Le diagramme de bode de la fonction de transfert en boucle ouverte est donné ci-dessous. Si la valeur du gain K est suffisamment grande, on obtient, notamment aux basses fréquences, des valeurs de gain très imortantes. Il est alors ossible de séarer deux «gammes» de fréquences: - les Basses fréquences où la valeur du gain est très suérieure à. Le module de la fonction de transfert en boucle fermée (notée H BF ) eut s exrimer à artir du module de la fonction de transfert en boucle ouverte (notée H BO ) ar: H BO HBF si H + H BO >> BO Remarque : il est référable d assimiler la fonction de transfert au comortement en régime K BO statique : H BF + K BO - les Hautes fréquences où la valeur du gain est très inférieure à. Le module de la fonction de transfert en boucle fermée vaut alors: H BO HBF H BO si H + H BO << BO Il est alors ossible de tracer le diagramme asymtotique de bode de la fonction de transfert en boucle fermée à artir du diagramme de bode en boucle ouverte : G H BO << log KBO HBO c: ulsation de cassure en boucle fermée H BF K + K BO BO. + c H BO >> 9

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 On montre ainsi que la fonction de transfert en boucle fermée est bien de tye remier ordre. Il est donc ossible, en théorie, d augmenter à l infini la valeur du gain roortionnel, et ainsi d annuler l erreur statique et de faire tendre le tems de réonse vers zéro. Malheureusement, comme nous l avons vu lors de l étude de l alimentation de l inducteur des machines à courant continu, la mise en ratique montrera qu il n est as ossible de réduire à l infini le tems de réonse, essentiellement à cause de la saturation de la tension d alimentation du moteur. Néanmoins, il sera toujours ossible d assimiler la boucle de courant à un système du remier ordre, dont on ourra, dans une certaine mesure, régler le tems de réonse. La valeur de la bande assante, ou de la "Pointe de tension" ermettant la montée raide du courant Vitesse Augmentation de l'erreur ermettant une augmentation de la tension d'alimentation afin de comenser l'aarition de la force contre électromotrice Consigne courant Courant Tension constante de tems, eut alors être directement obtenue ar lecture sur le diagramme de bode. La réonse indicielle obtenue est alors orche de celle d un remier ordre, si le gain est élevé : 3 Modélisation des convertisseurs. 3. Introduction. Lors de l'alimentation de l'inducteur d une machine à courant continu, les convertisseurs généralement utilisés sont de tye hacheur ou ont à thyristors. Ils sont généralement assimilés en remière aroche à un gain constant. On dit alors qu'on utilise un modèle à valeur moyenne instantanée, c'est-à-dire que l'on assimile la tension de sortie sur une ériode de fonctionnement du convertisseur à sa valeur moyenne. Un tel tye de modélisation est satisfaisant si le circuit alimenté ar cette source de tension résente une constante de tems relativement grande devant la ériode de fonctionnement du convertisseur. Dans le cas contraire, il faut rechercher une modélisation rendant comte du fonctionnement échantillonné du convertisseur, ainsi que des retards ouvant être introduit ar le mode de commande. 3. Modélisation du caractère échantillonné des convertisseurs. Qu'il s'agisse d'un hacheur ou d'un ont à thyristors, il est imossible de modifier la valeur de la grandeur de commande au cours d'une ériode de fonctionnement. En effet on ne eut agir sur la valeur moyenne de la tension de sortie que lors de la commutation d'un interruteur. Dans le cas d un ont à thyristor, dont l amorçage des interruteurs est synchronisé sur les assages ar zéro de la

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 tension réseau, il faut attendre our que les modifications de commande soit effectivement rise en comte, un assage ar zéro de la tension secteur, uis l amorçage du thyristor suivant : 4 Modification effective de l'angle de retard à l'amorçage 3 Modification de la commande -...3.4.5.6 - Prise en comte de la modification du signal de commande ar l'électronique du ont Il en résulte des retards imortants entre les modifications de la grandeur de commande et la modification effective de la valeur moyenne de la tension de sortie. De lus, il aaraît nettement que la valeur moyenne de la tension de sortie ne eut as être modifiée entre les instants de commutation des interruteurs. Si l on trace l évolution de la valeur moyenne sur une ériode de la tension de sortie en fonction du tems, our une évolution en rame de la grandeur de commande, on obtient les grahes suivants : Grandeur de commande Valeur moyenne instantanée Période du convertisseur (Tc) On eut constater que le retard entre la modification de la commande et sa rise en comte au niveau de la valeur moyenne instantanée varie entre zéro et la ériode de fonctionnement du convertisseur (notée Tc). On eut considérer que statistiquement, ce retard sera alors égal à la moitié de la ériode de fonctionnement du convertisseur. On arle alors de retard statistique égal à Tc/. Nous allons alors modéliser notre étage de uissance ar un gain et un retard ur de valeur égal à la moitié de la ériode de fonctionnement, d où la fonction de transfert du convertisseur (notée

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 G()) : oser Tc G() G.e. Si l on souhaite tracer le diagramme de bode du convertisseur, il suffit de Tc j. Tc Tc j.. On obtient G(j. ) G.e G. cos. j.sin.,d où G(j. ) G Tc sin. ( ) Tc arg G(j. ) ArcTan. Tc cos. On obtient alors le diagramme de bode suivant (G, Tc.ms): 3-3 -57-6 -9 - -5-8 - -4-7 w Tc La rise en comte de ce déhasage sulémentaire dans le réglage de la boucle de courant sera abordé lors des exercices autocorrectifs.

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 4 Etude de la boucle de vitesse Le schéma bloc de la boucle de vitesse est donnée ci-dessous : Ωc + - Correcteur vitesse Consigne coule/courant Boucle de courant Ensemble mécanique Ω Cateur vitesse En rerenant l alication du rincie fondamental de la dynamique, et en suosant le correcteur de tye roortionnel, on obtient le schéma bloc suivant : Ωc + - K + τ' e f+j Ω Il est alors ossible de calculer la fonction de transfert en boucle fermée Ω/Ωc: K BO.. Ω + τ' e + τ m K BO K. Ω c + K K BO ( ' e m ) ( ' e. m ) BO.. + + τ +τ + τ τ +.z. + τ' e + τm + avec K K + K BO BO + K BO τ'. τ e τ' e+ τ. z + K m BO m + K τ'. τ e BO m τ' e+ τ z + K m τ'. τ BO e m Il aaraît alors un dilemme entre stabilité et récision. En effet, une augmentation de K BO, ayant our objectif de réduire l erreur statique entraîne une diminution de z, et donc déstabilise le système (voir courbe de réonse indicielle tyique des systèmes du deuxième ordre ci dessous). Il va donc être nécessaire d introduire un élément sulémentaire dans le correcteur ayant our rôle d annuler l erreur statique, sans our autant déstabiliser le système. 3

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5.6 z..4 z.4 z.6..8 z..6 z..4 z.8. 4 6 8 4 6 5 DEFINITION DE LA NOTION DE MARGE DE PHASE. 5. Limite de stabilité Soit le système bouclé suivant : Consigne Erreur Chaine d'action Sortie Chaine de contre réaction Un tel système eut devenir instable, et donc entretenir une oscillation, si en l'absence de consigne (consigne), un signal de sorite eut être entretenu. Un tel état eut être obtenu si le signal d erreur ayant donnée naissance au signal de sortie, arès observation et inversion ar le comarateur, «revient» en hase avec lui-même. Cela revient à dire que le déhasage obtenu en boucle ouverte est égal à 8. Dans ce cas, deux ossibilités sont alors à étudier : - le gain our un déhasage de 8 est inférieur à l unité : le signal d erreur ayant donnée naissance à la sortie «revient» en hase avec lui-même, mais de lus en lus etit, le système est stable : 4

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 5 4 3 disarition de la consigne Consigne La sortie est déhasée de 8 ar raort à l'erreur, mais est légèrement inférieure en amlitude. Une fois inversé, on constate que le signal d'erreur revient "en hase avec lui-même", mais son amlitude diminue, le système est stable. -.5..5..5.3.35.4 - -3-4 -5 Sortie Erreur - le gain our un déhasage de 8 est suérieur à l unité : le signal d erreur ayant donnée naissance à la sortie «revient» en hase avec lui-même, mais de lus en lus grand, le système est instable : 5 5 5 disarition de la consigne Consigne La sortie est déhasée de 8 ar raort à l'erreur, mais est légèrement suérieure en amlitude. Une fois inversé, on constate que le signal d'erreur revient "en hase avec lui-même", mais son amlitude augmente, le système est instable. -5 - -5.5..5..5.3.35.4 Sortie Erreur - -5 On en déduit alors la forme des diagrammes de bode our un système stable et un système instable : 5

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 db db -8-8 Système stable, G< our j 8 Système instable, G> our j 8 5. Marge de hase, marge de gain. On définit, à artir de la fonction de transfert en boucle ouverte et our un système stable, la marge de hase comme étant l'écart entre le déhase obtenu our un gain unitaire et 8 (à la fréquence dite de couure). On définit la marge de gain comme étant l'écart en décibel entre le gain obtenu our un déhasage de 8 et le gain unitaire. db Marge de gain -8 Marge de hase 5.3 Réseau de caractéristique coefficient d'amortissement en boucle fermée / marge de hase. Le critère le lus couramment utilisé our juger de la stabilité d une système est la marge de hase. S il est vrai que lus la marge de hase est imortante, lus le système est stable, il est imossible de juger du niveau de stabilité (ouvant être assimilé au déassement en % de la réonse 6

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 indicielle) uniquement à artir de la valeur de la marge de hase. L idée largement réandue qu une marge de hase de 45 corresond à un déassement de % est totalement erronée. Par contre, il est ossible de tracer our un système du deuxième ordre, les courbes rerésentant le coefficient d'amortissement obtenu en boucle fermée en fonction de la marge de hase our différentes valeurs du coefficient d'amortissement en boucle ouverte. Nous obtenons alors le réseau de caractéristiques suivant :.9 ZBF.8.7.6.5.4.3 zbo.9 zbo.6 zbo.3 zbo zbo.7 zbo.4.. 4 6 8 Marge de hase Nous constatons que l'amortissement en boucle fermée déend de la marge de hase et de l'amortissement en boucle ouverte. Néanmoins, une technique de réglage couramment utilisé, est la recherche d'une marge de hase comrise en 45 et 6. Dans le cas de système ou tout déassement est destructif, il est imératif de valider le réglage ar le calcul ou ar la simulation. 6 CORRECTION PROPORTIONNELLE INTEGRALE 6. Nécessité d'une action intégrale Dans de nombreux cas de figure (système d'ordre suérieur à ), il est imossible, à l'aide d'une correction roortionnelle, d'obtenir un bon comromis erreur statique / stabilité. Il est alors indisensable de trouver un tye de correcteur ermettant de limiter, voire d'annuler l'erreur statique. Ce correcteur, s'il fonctionne correctement, doit fournir en sortie, au bout d'un certain tems, une tension de commande telle que le système résente une grandeur de sortie égale à la consigne. Le système résentera alors une erreur statique nulle. Une fonction mathématique articulièrement simle, dont le résultat est non nul alors que la grandeur d entrée est nulle est l'intégration. Cette fonction intégrera l'erreur statique jusqu'à ce que la grandeur de commande soit telle que l'erreur statique soit nulle : ε > ε cons tan te ε < 7

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Consigne Erreur Grandeur de commande Modulateur d'énergie Energie Système Grandeur observée Cateur Grandeur de sortie On obtient le fonctionnement suivant: erreur > sortie erreur erreur cte sortie t cte erreur Le fonctionnement en régime "quasi statique" corresondant donc à celui que nous attendions. 6. Influence de l'action intégrale sur la stabilité G Soit le système du second ordre suivant: M( ) +.. + Son diagramme de bode en boucle ouverte, avec un correcteur intégral, est alors le suivant: db M() -8 Boucle ouverte avec intégration Marge de hase nulle avec intégration Marge de hase sans intégration On eut constater, sur un tel exemle, que l'introduction de l'action intégrale dégrade de façon notable la marge de hase. Il est donc imossible de se contenter d'introduire une action intégrale sans réfléchir à ses conséquences. 6.3 Méthodologie de réglage Nous avons vu qu'il était ossible de régler la forme de la réonse d'un système asservi en jouant sur la valeur de la correction roortionnelle. (relation déassement / marge de hase). Nous allons donc rechercher, armi les nombreuses techniques de réglage, celle qui ermet de fixer la 8

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 forme de la réonse au moyen d'une correction roortionnelle (déassement our un deuxième ordre, tems de réonse our un remier ordre), uis d'annuler l'erreur statique. Le réglage se fera alors en deux tems: ❶ réglage de la forme de la réonse à l'aide d'un correcteur P ❷ annulation de l'erreur à l'aide d'une action intégrale Afin de ne as modifier la marge de hase, il est nécessaire d'annuler l'action de l'intégrale au niveau de la fréquence de couure. Il faut donc rechercher un correcteur ermettant d'intégrer l'erreur statique, mais ne modifiant as le diagramme de bode du système autour de la fréquence de couure, une fois le réglage roortionnel réalisé. Un tel correcteur à our équation: C( ) + τ. Si alors C( ) et on retrouve τ τ l'action intégrale au niveau de l'erreur statique. Si >> / τ alors C( ), le correcteur n'a alors lus aucune action. Action intégrale Disarition de l'action intégrale db /τ /τ -9 B ande de ulsation ou la hase en b oucle ouverte va etre modifiée ar le correcteur. Bande de ulsation ou la hase en boucle ouverte ne va as etre modifiée ar le correcteur. à τ. Un tel correcteur n'introduit donc lus ni gain, ni déhasage, our des ulsations suérieures 9

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Le rincie du réglage est donc le suivant: ❶ Introduction d'un correcteur roortionnel. C( ) K ❷ Réglage de K (tems de réonse, déassement, marge de hase...) ❸ Introduction d'un correcteur Proortionnel intégrale. C( ) + τ τ ❹ Réglage de τ a la valeur c où c rerésente la ulsation de couure en boucle ouverte du système avec la correction roortionnelle. il est ossible de rendre une valeur de τ inférieur, mais la vitesse d'intégration est alors lus lente, et on obtient une réonse du tye: Réonse roortionnelle Intégration lente de l'erreur Exemle : Soit un système hysique dont la fonction de transfert en boucle ouverte est la suivante : 5 M() P P + +. On se roose de réaliser la synthèse du correcteur PI de façon à rendre le système aussi raide que ossible, tout en annulant l erreur statique. Le diagramme en boucle ouverte de M() est le suivant :

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 3... -3-6 -9 - -5-8 - -4-7 -3 Nous allons fixer arbitrairement la marge de hase à 6. Il est alors ossible d évaluer grahiquement la valeur du gain roortionnel à installer : 3-3 Gain 4 db... -6-9 - -5 Marge de hase 6-8 - La valeur du gain roortionnel à installer est de 4 db, soit un gain K6. La ulsation de couure est alors de 6 rad/s. Si l on souhaite venir rajouter un correcteur roortionnel intégral qui ne modifie as la marge hase, il faut rendre. 6. On obtient alors les diagrammes suivants : τ

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 9 6 Boucle ouverte avec PI (Gain) Boucle ouverte sans PI (Gain) 3 Correcteur PI (Gain)... -3-6 Correcteur PI (Phase) -9 - Modification de la marge de hase négligeable -5-8 Boucle ouverte avec PI (Phase) Boucle ouverte sans PI (Phase) - Le correcteur à installer à donc our fonction de transfert : +.6 C() 6..6 Si l on trace en simulation la réonse indicielle, on obtient la forme d onde suivante : 4 8 6 4.5.5.5 3 3.5 4 On constate que l erreur statique est nulle, et que le déassement est accetable. 7 Les cateurs de vitesse et de osition. Parmi les nombreuses technologies de cateurs de vitesse et de ositions disonibles sur le marché, nous allons restreindre notre étude aux cateurs les lus souvent utilisés, à savoir : our les cateurs de vitesse : les génératrices tachymétriques les codeurs otiques our les cateurs de osition les codeurs otiques les résolveurs

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 7. Les cateurs de vitesse. 7.. Les génératrices tachymétriques Les génératrices tachymétriques sont en fait de etites machine à courant continu, dont le circuit d excitation est comosé d aimant ermanent, et dont la force électromotrice est alors d roortionnelle à la vitesse. La relation entre E et Ω est donnée ar E k. Φ. Ω k. Φ. θ, où Φ dt rerésente le flux d inducteur, suosé constant. Si l on note Rcr la somme de la résistance de l induit et de celle des balais, et Rch la résistance de la charge, il est ossible d exrimer la tension U aux bornes de l induit si l on néglige la chute de tension aux balais : U E k. Φ U E Rcr. Ir E Rcr U. Ω Rch Rcr Rcr + + Rch Rch On eut donc constater que moyennant certaines hyothèses, la tension aux bornes de la génératrice tachymétrique est bien roortionnelle à la vitesse de rotation. Remarque : / Lorsque la génératrice travaille en charge, il ne faudrait as considérer au niveau des balais une résistance constante, mais une chute de tension suosée constante Ub. La caractéristique de sortie de la génératrice eut alors s exrimer de la façon suivante : U U E Rcr. Ir Ub E Rcr. Ub U Rch La rise en comte de la chute de tension aux balais ne remet as en cause la linéarité de la génératrice, mais fait aaraître une bande morte dans la caractéristique. ( E Ub) k. Φ. Ω Ub Rcr Rcr + + Rch Rch U génératrice Ω / Lors de l inversion du sens de rotation du cateur, on eut constater une légère dissymétrie de la tension de sortie, due à un mauvais calage des balais. 3 / La tension de sortie d une génératrice tachymétrique résente toujours une certaine ondulation, qui eut avoir lusieurs origines : Les variatione de réluctance du circuit magnétique dues ar exemle à l excentricité de l induit, alors la fréquence de l ondulation est : f Ω π. Une mauvaise réartition du flux sous les ôles inducteurs du fait de la résence des Z encoches, la fréquence de l ondulation est alors: f. Ω où Z rerésente le nombre de. π dents du rotor. 3

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 La résence du collecteur qui induit une ondulation lors des comutations d une lame Kc vers une autre lame du collecteur. la fréquence de l ondulation est alors: f. Ω où Kc. π rerésente le nombre de lames du collecteur. 4 / Exemle de caractéristique d une génératrice tachymétrique : (TG-7A de Kollmorgen Artus) Constante de FEM,6 V/Rad/s Ondulation de tension 6% Ondulation de fréquence (fondamental) 3 Cycles ar tour Coule de friction,8 Nm Moment d inertie,. -6 Kg.m Tension de sortie maximale.8v Vitesse de rotation maximale 363 Rad/s Résistance d induit 5Ω Inductance mh Résistance de charge recommandée 5Ω 7.. Les codeurs otiques (D arès documentation Télémécanique) Un codeur otique est un cateur de osition angulaire, lié mécaniquement à un arbre qui l'entraîne, son axe faisant tourner un disque qui lui est solidaire. Le disque comorte une succession de arties oaques et transarentes. Une lumière émise ar des Diodes Electro. Luminescentes, (DEL), traverse les fentes de ce disque créant sur les hotos diodes récetrices un signal analogique. Ce signal est amlifié uis converti en signal carré, qui est alors transmis à un système de traitement : Les codeurs utilisés en tant que cateurs de vitesse sont des codeurs dits de tye incrémental. Le disque comorte au maximum deux tyes de istes : La iste extérieure (A ou A et B) est divisée en "n" intervalles d'angles égaux alternativement oaques et transarents, n s'aelant la résolution ou nombre de ériodes. Pour un tour comlet de l'axe du codeur le faisceau lumineu est interromu "n" fois et délivre "n" signaux consécutifs. Derrière la iste extérieure sont installées deux diodes hotosensibles décalées délivrant des signaux carrés, (A et B), en quadrature : 4

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Le déhasage (9 électrique), des signaux A et B ermet de déterminer le sens de rotation : - dans un sens endant le front montant du signal A, le signal B est à, - dans l'autre sens endant le front montant du signal A, le signal B est à Il est alors facile de déterminer simlement le sens de rotation du moteur à l aide d une simle bascule D. B A D H Q Q A B D H Q Q La iste intérieure (Z : to zéro) comorte une seule fenêtre transarente. La ista intérieure. n'ayant qu'une seule fenêtre délivre un seul signal ar tour. Ce signal Z, aelé "to zéro", (durée 9 électrique). est synchrone des signaux A et B. Ce "to zéro" détermine une osition de référence et ermet la réinitialisation à chaque tour. Ces codeurs fournissent donc un signal de référence ar tour et un signal dont la fréquence est roortionnelle à la vitesse de rotation. Remarque : / Il est ossible d augmenter la résolution aarente du codeur en utilisant une orte de tye ou exclusif : A B A B / Il est nécessaire de convertir cette information fréquence en information vitesse afin de la rendre directement utilisable. Si l on souhaite obtenir une information analogique, il est ossible ar exemle d utiliser un montage mettant en œuvre un monostable et un filtre asse bas : 5

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 A Monostable sur fronts montant et descendant Sortie filtre Changement de vitesse A Sor tie m onostable Sor tie filtr e Si l on souhaite une information numérique, il suffit de comter le nombre de fronts issus du codeur endant une ériode fixe. 7. Les cateurs de osition 7.. Les codeurs otiques Il est ossible d obtenir un cateur de osition à artir d un codeur incrémental. A chaque incrément du codeur corresond un délacement élémentaire, il est alors ossible de comter ou décomter ces incréments selon le sens de rotation afin d obtenir une information de osition. L initialisation du comteur (chargement à une valeur corresondant au nombre de oint du codeur lors du décomtage) sera réalisée en utilisant le «to zéro» du codeur. Nous obtenons alors un montage dont le schéma synotique est le suivant : XOR Comteur / Décomteur à chargement arrallèle A B Bascule D CLK UP/DOWN O U T P U T Position D Q CLK Z Load INPUT Nombre de oints du codeur 6

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Les codeurs absolus Ce concet a été déveloé our allier aux contraintes suivantes générées ar le codeur incrémental lorsqu'il n'est as associé à une commande numérique. - Sensibilité aux couures du réseau : tous les segments étant d'égale longueur, chaque couure du courant eut faire erdre la osition réelle du mobile. Il faut alors rocéder à la réinitialisation. Ce tems de réinitialisation eut être énalisant our certaines alications. - Sensibilité aux arasites en ligne. Un arasite reçu sur la ligne eut être comtabilisé ar le système de traitement comme un signal d'incrément, sauf en cas de traitement du signal comlémentaire. - Les fréquences des signaux A et B étant généralement élevées, le non-comtage d'une ériode induit une erreur de ositionnement qui ne eut être corrigée que ar la lecture du "to zéro". - Imossibilité de recalage ar le "to zéro" dans le cas de mouvement de tye oscillant, ne décrivant jamais un tour comlet. Princie théorique de fonctionnement : Dans ce concet le disque comorte un nombre "n" de istes. Chaque iste a son rore système de lecture, (diode émettrice et diode récetrice). La iste intérieure est comosée d'une moitié oaque et d'une moitié transarente. La lecture de cette iste, ("bit de oids le lus fort"), MSB Most Significant Bit, ermet de déterminer dans quel demi tour on se situe. La iste suivante est divisée en quatre quarts alternativement oaques et transarents. La lecture de cette iste combinée avec la lecture de la iste récédente ermet alors de déterminer dans quel quart de tour on se situe. Les istes suivantes ermettent successivement de déterminer dans quel huitième de tour, seizième de tour,... etc... on se situe. La iste extérieure donne la récision finale et est aelée, LSB Least Significant Bit (bit de oids le lus faible). Cette iste comorte n oints corresondant à la résolution du codeur. Le nombre de sorties arallèles est le même que le nombre de bits ou de istes sur le disque. 7.. Les résolveurs Le syncro-résolveur est un cateur de osition angulaire inductif, utilisant les variations de mutuelle inductance entre un rotor et un stator, mutuelle inductance dont la valeur déend de la osition : 7

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Enroulement rotorique Enroulement statorique Mutuelle inductance maximale (osition rise comme origine angulaire) Mutuelle inductance minimale On eut admettre que l exression de la mutuelle inductance en fonction de la osition angulaire du rotor a our exression : M( θ) M.cos( θ) Le rotor est alimenté ar un courant sinusoïdal haute fréquence (de quelques kilo-hertz), et il est alors ossible de calculer le flux induit dans le stator ( φs ) ar le courant rotorique ( I r I.sin(.t) ) : φ s M.cos( θ).i.sin(.t ). Il en découle l exression de la tension induite dφs d dθ dans le stator : es ( M.cos( θ).i.sin(.t) ) M.sin( θ)..i.sin(.t) M.cos( θ).i..cos(.t ). dt dt dt dθ La valeur de étant très suérieure à, dt l exression de e s eut être aroché ar M.cos( θ ).I..cos(.t). Si l on disose un deuxième enroulement statorique en quadrature avec le remier, on disose alors d un système de deux tensions telles es K.cos( θ).cos(.t) que : es K.sin( θ).cos(.t) Il est ossible en utilisant des techniques de démodulation d amlitude (détection synchrone ar exemle), de faire disaraître les termes en cos(t). On obtient alors deux es K.cos( θ) tensions. Connaissant le sinus et le cosinus de l angle, il est alors ossible de es K.sin( θ) déduire la valeur de θ (il existe des circuits intégrés réalisant cette fonction). 8 Remarque sur l étude de l asservissement des systèmes à retour non unitaire. S il eut arriver dans l étude de certain asservissement, notamment les asservissements de courant en etite uissance, que la valeur de gain du cateur soit également à, le gain de la boucle de contre réaction est généralement non unitaire. Si l on tient comte du fait que la grandeur effectivement asservie est la grandeur observée, on transforme généralement le schéma bloc de l asservissement de la façon suivante : 8

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 C onsigne ε A () Sortie Sortie observée B() C o nsigne (C ) ε A() Sortie (S) B () Sortie observé e(s*) /B( ) Sortie A artir de l analyse du schéma bloc initial, nous savons que S() C() A(). + A().B() Si nous travaillons sur le schéma bloc modifié, nous traitons la boucle d asservissement comme S*() A()B(P) une boucle à retour unitaire, et nous obtenons :. Nous en déduisons alors C() + A().B() S() A()B(P) A()., résultat identique à celui trouvé récédemment. Il est C() B() + A().B() + A().B() alors lus simle de traiter l asservissement comme un système à retour unitaire, uis de rendre en comte dans un deuxième tems le gain du cateur. 9 Exercices autocorrectifs: Etude de l asservissement de vitesse d une motorisation à base de moteur à courant continu. On considère un servo moteur à flux constant, où la constante de coule k c est égale à la constante de force contre électromotrice k e. L'inductance de la machine eut être négligée devant l inductance de lissage. On désigne ar Um: la tension d'alimentation de la machine, Em: la force contre électromotrice de la machine, Ωm: la vitesse de rotation de la machine, Γm: le coule fourni ar la machine, R : la résistance de la machine, L: l'inductance de lissage, I: le courant d'induit de la machine, 4 Jm: le moment d'inertie du rotor. m² kg, fm: le coefficient de frottement visqueux du moteur, Γr: le coule résistant aliqué au moteur, Deux essais ont été ratiqués sur le moteur : 9

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Essai à vide: Um V, Ωm rad/s, IA, Essai en régime nominal: Um V, Ωm 98 rad/s, I4A. 9. Etude de la motorisation en régime statique : / Ecrire le système d'équation reliant Um, I, ke, kc, Ωm, Γr, f et R. (En régime statique) / Déterminer à artir des essais récédants les valeurs de ke, kc, R, fm et Γr en régime nominal. 3/ Comléter le schéma bloc ci-dessous rerésentatif du fonctionnement en courant de la motorisation. (Remlir les blocs en utilisant les exressions littérales en régime statique) Um I Em Ω m Γm 9. Etude de la commande en courant du moteur: Le moteur est alimenté ar un hacheur de gain Go4, et on lace en série avec le hacheur une inductance de lissage de valeur L mh. Dans cette étude, nous allons considérer le coule résistant extérieur comme étant une erturbation du système. Nous allons donc retenir le schéma bloc suivant our la motorisation : Γr Um R+L Im ke Jm.+fm kc I() / Déterminer l exression de la fonction de transfert M i (). Mettre Mi() sous la forme U() + M i() Ko.. Donner les exressions littérales de Ko, et. Réaliser les +.z. + alications numériques. 3

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 / Donner le schéma bloc de l'asservissement de courant avec correcteur roortionnel. I() 3/ Tracer les diagrammes asymtotiques de bode en boucle ouverte de I BO () si le Ic() correcteur roortionnel est unitaire. 4/ Le hacheur alimentant la machine fonctionne à 6 Khz. Nous allons modéliser son caractère échantillonné ar son retard statistique. Tracer le nouveau diagramme de bode en boucle ouverte, en intégrant dans le diagramme de hase le retard introduit ar le hacheur. 5/ Déterminer grahiquement la valeur du gain ermettant d obtenir une marge de hase de 9. 6/ Calculer alors l erreur statique de cet asservissement de courant, ainsi que le raort I/Ic en régime statique. 7/ Déterminer grahiquement l exression de la fonction de transfert en boucle fermée I() I BF () Ic() 9.3 Etude de l asservissement de vitesse. / Rerésenter le schéma bloc de l'asservissement de vitesse en renant comme grandeur de sortie l observation de la vitesse. / Déterminer l exression de la fonction de transfert en boucle ouverte (Correcteur unitaire). Réaliser l alication numérique en faisant aaraître la ulsation de cassure et le coefficient d amortissement. Tracer alors le diagramme de bode corresondant, sachant que le gain du cateur de courant (noté K DT ) est égal à,3. 3/ Arès avoir calculer la fonction de transfert en boucle fermée avec correcteur roortionnel (valeur K), déterminer la valeur de K ermettant de fixer la valeur du coefficient d amortissement en boucle fermée à,7. 4/ Afin d assurer en toutes circonstances une erreur statique rigoureusement nulle, nous allons insérer un correcteur PI en série avec le correcteur roortionnel. Déterminer alors la constante de tems τ du correcteur (voir méthodologie 6.3) Correction exercices autocorrectifs: Etude de l asservissement de vitesse d une motorisation à base de moteur à courant continu.. Etude de la motorisation en régime statique : / Γm kc.i Equations électromécaniques : Em ke. Ωm Equation électrique en régime statique : Um Em + R. I dωm PFD en régime statique: Jm. Γm Γr fm. Ωm Γm Γr + fm. Ωm dt kc.i fm. Ωm + Γr On en déduit alors : Um ke. Ωm + R.I / Les deux essais nous ermettent d obtenir les deux systèmes d équations suivant : 3

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 kc. fm. kc.4 fm.98 + Γr ke. + R. ke.98 + R.4 soit un système de quatre équations à quatre inconnues. On obtient arès résolution : ke kc k,57. R.5Ω 5 fm,3. Γr,5 3/ Um R Im Em ke Ω m fm Γm kc Γr. Etude de la commande en courant du moteur : / () M i i (R + L) ke.kc + (R + L)(Jm. + fm) Jm. + f M i(). fm ke.kc + R.fm (fm.l + R.Jm) L.Jm + +. ke.kc + R.fm ke.kc + R.fm M (),5. +.,6. + 5,3. 3.6 + 3.6 + Ko. +.z. + / 3

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 Ic K Go Ko. +.z. + + I 3/ 9 6 3 Gain -3-6 -9 - Phase -5 4/ -8... 33

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 9 6 3-3 -6-9 - -5 5/ -8... 9 6 3 LOG K -3-6 -9 - -5-8... On relève sur le diagramme de bode une valeur de K eu diférrente de 3dB d où 3 / K 3. 6/ Le calcul de l erreur statique est alors donné ar la formule : ε % 3%. On en déduit alors le raort en régime + K + K.G K + 6.4 BO I K BO statique :. 86 Ic + K BO 7/ Le diagramme de bode en boucle fermée eut alors être obtenu comme indiqué au $. : 34

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 9 6 Boucle ouverte 3-3 Boucle fermée -6-9 - -5-8... On constate que la bande assante en boucle fermée est de l ordre de rad/s, d où une I().86 K IBF fonction de transfert IBF () Ic() + + i.3 Etude de l asservissement de vitesse. / Le schéma bloc de l asservissement est le même que celui vu dans le cours : Ωc + - K I BF () f+j Ω Arès modification our obtenir un retour unitaire en considérant comme grandeur de sortie la vitesse observée : KDT Ωc + - K IBF() f+j KDT ΩOBS 35

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 / En osant K, l exression de la fonction de transfert en boucle ouverte est alors la Ω OBS () K IBF K BO K BO suivante :..K DT Ω () J f C + J J + + + + + i f + f f i i i. J Ω OBS () 35 Ω C() + * 6* + 8. 8. Il est alors ossible de tracer le diagramme de bode en boucle ouverte : 9 6 3 Gain -3-6 -9 - Phase -5-8... 3/ A artir de l exression de la fonction de transfert en boucle ouverte, il est alors ossible de calculer la fonction de transfert en boucle fermée Ω/Ωc: K BO.K. +.z. + Ω o o K BO.K Ω c + K BO.K. K BO.K + +.z. + +.z. + o o o o d où Ω K BO.K K BO.K Ω c + K BO.K.z + KBO.K +. + ( K ) +.z ( ) BF. + BO.K. KBO.K + + obf obf 36

Lycée Louis ARMAND : 45 4 8 8 73 Bd de Strasbourg : 48 73 63 5 obf + K z BF. BO z + K BO.K.K Si on souhaite un réglage ou Z BF.7, il faut retenir K BO.K P 76 soit K P 3.73. La ulsation de cassure en boucle fermée est alors de 75 rad/s. 4/ Le lacement du correcteur PI se fait alors à artir du diagramme de bode en boucle ouverte avec correcteur roortionnel, où il est ossible de relever la ulsation de couure où est définie la marge de hase : 9 6 3 Gain -3-6 -9 - Phase -5-8... On retient alors comme valeur our τ la valeur c, soit environ 5 rad/s. 37