Résistance des Matériaux

Résistance des Matériaux IRAM 1ère Baccalauréat Construction Pierre Randour 2007-2008

Plan du cours 1.Introduction à la RdM 2.Traction et compression (N) 3.Flexion (M) 4. Effort tranchant (V) 5.Torsion (T) 6.Caractéristiques des Sections

Plan du cours 1. Introduction à la RdM 2. Traction et compression (N) 3. Flexion (M) 4. Effort tranchant (V) 5. Torsion (T) 6. Caractéristiques des Sections

Chapitre 2 : Traction et Compression N 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Définition de la traction Etude de la déformation Description de l essai de traction Calcul des contraintes dans le domaine élastique Condition de résistance Coefficient de sécurité Définition de la compression Description de l essai de compression Formules relatives à la compression Contraction et dilatation transversales coefficient de poisson Effet de la température Traction/Comp. de pièces composées de plusieurs matériaux

1. Définition de la traction Une section est soumise à de la traction si elle est sollicitée par un effort normal N appliqué en G et orienté vers l extérieur du tronçon de poutre délimité par la dite section F : forces extérieures (charges) F F Plan de coupe F N N N : Forces intérieures (sollicitations) Equilibre des tronçons : F = N F

2. Etude de la déformation Soit une pièce de longueur initiale L (avant mise en charge). Soit F, une force axiale induisant de la traction N. Déformation observée : Allongement ΔL = λ (mm ou cm) F λ Allongement unitaire : δ = L = dλ (sans unité) dx L+ λ L L F F Réaction λ F Action

2. Etude de la déformation Soit une pièce de longueur initiale L (avant mise en charge). Soit F, une force axiale induisant de la traction N. Déformation observée : Allongement ΔL = λ (mm ou cm) λ Allongement unitaire : δ = L = Exemple dλ (sans unité) dx L = 10 cm L λ = 2 mm (0.2 cm) δ = λ /L = 0.2/10 = 0.02 (-) (δ = 2 %) F Réaction λ F Action

2. Etude de la déformation Autres exemples λ σ = P A δ= λ L λ (contra int e) ( Déformation ) σ = 2.P 2.A δ= λ L = 2λ P A σ = P A δ = 2.λ = λ L 2.L

3. Description de l essai de traction Machine d essais et éprouvette Mise en charge Allongement Rupture F F F F

3. Description de l essai de traction Diagramme d essais A=150mm2 ( = 6.91mm) L=100mm Ordonnée : N 2 σ = ( N / mm ) A λ Abscisse : δ = L N F N= N Contraintes N Fi ( ) F σ Fi

3. Description de l essai de traction Matériaux ductiles (acier doux) E fu Limite ultime fy Limite élastique BC A D F Rupture II III Droite de hoocke I O Domaine élastique Etirage Ecrouissage Striction Domaine plastique (Déformations permanentes)

3. Description de l essai de traction Matériaux ductiles (acier doux) Point de vue contraintes fu Mène à la E fu Limite ultime fy Limite élastique Rupture via striction Domaine élastique II fp (Pt. A) Limite F élastique proportionnelle Rupture(fin de la droite de Hoocke) III élastique théorique f (Pt. B) Limite th de hoocke (fin mesurable du domaine élastique) fét (Pt. C) Limite élastique apparente (début de l étirage) Droite I O D BC A fét fy fetirage th Limite élastique pratique Striction Ecrouissage fy f p (mesure d une déformation de Domaine plastique 0,2 %) δ = 0,2% permanentes) (Déformations

3. Description de l essai de traction Matériaux ductiles (acier doux) σ Acier normal = Acier doux S235 fy = 235 N/mm2 fu = 360 N/mm2 S355 δ fy = 355 N/mm2 fu = 470 N/mm2

3. Description de l essai de traction Matériaux ductiles (acier doux) Principe de la striction La section A diminue Alors que δ augmente Striction L effort appliqué ne peu plus être maintenu et chute fortement Les contraintes diminuent donc σ = N A σ

3. Description de l essai de traction Matériaux ductiles autres que l acier BRONZE LAITON ALUMINIUM Observations : Pas de zone d étirage Même cassure que l acier (à 45 ) ACIER

3. Description de l essai de traction Matériaux raides (bois, fonte, pierre, béton NA) fu fy fp O Observations: C B Rupture A 0,2% Pas d étirage Pas de striction Cassure nette (à 90 )

3. Description de l essai de traction L écrouissage But : aumenter la limite élastique fy d un acier Principe : Etirer l acier le plus loin possible dans le domaine plastique sans dépasser la limite fu et relacher ensuite. On obtient un acier écroui avec une nouvelle courbe. La droite de Hoocke est plus longue et donc fy plus grand. La striction est conservée mais il n y a plus d étirage. Acier de départ (non écroui) fu fyne fu fy e Acier écroui fye > fyne

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique Loi de Hoocke et module d élasticité E La contrainte σ et la déformation δ varient proportionnellement σ = E.δ σ Droite de Hoocke σ Equation du 1er degré (y = a.x+b) Avec : y σ, la contrainte x δ, la déformation a E, le module d élasticité longitudinal b = 0 (passage par l origine) E est calculé par le relation α δ δ σ E= δ E correspond au coefficient angulaire de la droite E correspond à la tangente de l angle α E s exprime en N/mm2

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique Loi de Hoocke et module d élasticité E Sous une même charge axiale (traction), chaque matériau s allonge d une valeur différente. Chaque matériau possède donc un module d élasticité différent. Exemples (valeurs moyennes) Acier Etungstène = 420.000 N/mm2 Alu Eacier = 210.000 N/mm2 Béton 2 Efonte = 100.000 N/mm bois Ealu = 70.000 N/mm2 Everre = 70.000 N/mm2 Ebéton = 30.000 N/mm2 δ 2 Ebois = 10.000 N/mm 21 7 1 3 2 Eélastomère = 30donnée, N/mm l alu se déforme 3x plus que l acier Pour une force (contrainte) σ le béton, 7 x plus que l acier le bois, 21 x plus que l acier

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique Loi de Hoocke et module d élasticité E E Module d élasticité longitudinal E Module de Young Thomas Young (1773 1829) Physicien, médecin et égyptologue anglais. Découverte en optique : expliqua la nature ondulatoire de la lumière. Découverte en médecine : trouva une explication physiologique à la vision colorée. Contribua au déchiffrage des hiéroglyphes au moyen de la pierre de Rosette. Traité d élasticité relatif à la déformation des corps solides.

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique La contrainte σ fonction de N et de A Soit un solide soumis à une charge axiale F Après coupure, chaque tronçon est équilibré par les Fi FiII-I F FiI-II F II I La somme des Fi équivaut l effort de traction N F N I N F II

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique La contrainte σ fonction de N et de A Dans le chapitre 1, on a définit la contrainte en un point X. En traction, t se limite à la A ΔF F lim = a 0 a X Δa df = t= σ da contrainte normale σ. car τ = 0 df = σ.da A df = A σ.da F i = σ.a Force agissant sur da Force agissant sur A or F i = N N = σ.a σ N = A

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique La contrainte σ fonction de N et de A σ N = A Avec : N effort normal de traction (N) A aire de la section (mm2) σ contrainte de traction (N/mm2) N et A étant constants, σ est également constant en tout point de la section Le diagramme des σ est un rectangle F N σ

4. Calcul des contraintes dans le domaine élastique Lien entre les contraintes σ et l allongement λ 3 relations sont déjà connues : N σ = A σ = E.δ Après remplacement, on obtient : N = E. λ L A Et donc : λ δ= L N. L λ = E.A Avec : N effort normal de traction (N) A aire de la section (mm2) L longueur de la pièce (mm) E module de young (N/mm2) λ Allongement de la pièce (mm)

5. Condition de résistance Calcul à la rupture N σ = fu A Contrainte de traction <= Limite ultime Remarques : On accepte de faire travailler le matériau dans le domaine plastique (domaine des déformations permanentes) DANGEREUX car on est proche de la rupture. Utilisations : Jamais pour dimensionner un élément de structure. Calcul d un effort de rupture (découpage de tôle)

5. Condition de résistance Calcul à la limite élastique N σ = fy A <= Contrainte de traction Limite élastique Remarques : On reste dans le domaine élastique (Déformations non permanentes). En cas de surcharge inattendue, on rentre dans le domaine plastique. Utilisation : Rarement pour dimensionner un élément de structure. Calcul d un effort permettant de conserver une déformation (pliage de tôle) MAIS : fy étant déterminé expérimentalement, il n est jamais connu très précisément. Donc

6. Coefficient de sécurité sur le matériau But : tenir compte d une certaine incertitude f N y avec : fd Contrainte admissible en σ = f = traction d A γ fy limite élastique γ > 1 (sans unité) γ coefficient de sécurité γ dépend de la nature du matériau (γ acier = 1,10 - γ béton = 1,50 - γ bois = 2,00) Remarque : D autres coefficient de sécurité sont liés : Aux types de charges : statiques, mobiles, exceptionnelles (séisme, tsunami, explosion, collision, ); Aux types de sections : simples ou assemblées; Aux contrôles lors de la fabrication et de la mise en œuvre.

6. Coefficient de sécurité sur le matériau Exemple : Acier doux S235 fy fu 235 f = = = 213.6 d γ 1,10 fy fd limite ultime fu= 360 N/mm2 limite élastique fy = 235 N/mm2 coefficient de sécurité γ = 1.10 N / mm 2

7. Définition de la compression Une section est soumise à de la compression si elle est sollicitée par un effort normal N appliqué en G et orienté vers l intérieur du tronçon de poutre délimité par la dite section F : forces extérieures (charges) F F Plan de coupe F N N N : Forces intérieures (sollicitations) Equilibre des tronçons : F = N F

7. Définition de la compression Soit une pièce de longueur initiale L (avant mise en charge). Soit F, une force axiale induisant de la Compression N. Déformation observée : Raccourcissement ΔL = λ (mm ou cm) λ' Racourcissement unitaire : δ ' = (sans unité) L Réaction F F L λ Action

8. Description de l essai de compression Eprouvette cylindrique F h d De façon à éviter le flambage (instabilité), l aire de la section doit être égale au carré de la hauteur. π.d 2 = h 4 2 F d = 1,13h Résultats d essais Acier isorésistant : fy = fy = 235 N/mm2 (Acier S235) Béton Compression : fy = 30 N/mm2 Traction : fy = 3 N/mm2 (10 % de la compression) Bois Traction : fy = 20 N/mm2 Compression : fy = 10 N/mm2 (50 % de la traction)

9. Formules relatives à la compression Formules identiques à celles de la traction mais avec l indice pour certains paramètres. Point de vue contrainte : N ' ' σ '= f d A ' σ ' = E.δ ' f d Point de vue déformation : N '. L λ '= E.A λ ' δ '= L Les paramètres A, L et E sont non indicés car indépendants du type d effort

10. Contraction et dilatation transversales Mise en traction d un cylindre : Allongement longitudinal et contraction transversale L L et d d F F L L Soient δx Allongement longitudinal unitaire δy Contraction transversale unitaire On a que De plus δy = - η.δx avec η coefficient σ x de poisson σ x = E.δ x δ x = E σx δy= η. E Donc

10. Contraction et dilatation transversales Siméon Denis Poisson (1781 1840) Mathématicien, géomètre et physicien français. Nombreuses contributions dans les domaines de l électricité et du magnétisme. Traité de mécanique (1811-1833). Elasticité : découverte du coefficient qui porte son nom. Mathématiques : Intégrales, séries de Fourrier, statistiques (loi de Poisson). Variation unitaire de volume soit V le volume initial (avant mise en charge) Soit V le volume final (après déformation) V' V V = δ X.(1 2.η )

10. Contraction et dilatation transversales Valeurs limites de η On constate que V > V (vrai pour tous les matériaux) donc δx.(1-2.η) >= 0 De plus δx > 0 étant donné l allongement en traction donc (1-2.η) >= 0 η <= ½ Le coefficient de poisson de la plupart des matériaux est compris entre 0 et 0,5 Valeurs du coefficient de poisson η Caoutchouc 0,50 Acier 0,30 Pierre 0,20 Bois (pin) 0,20 Aluminium 0,35 Fonte 0,25 Béton 0,15 Verre 0,25

10. Contraction et dilatation transversales Valeurs du coefficient de poisson η à 20 C V -V =0 η Caoutchouc Aluminium Acier V > V Fonte Verre Bois Pierre Béton

10. Contraction et dilatation transversales En compression Raccourcissement longitudinal Dilatation transversale Phénomène semblable à celui de la traction η = η Exercice : soit le cylindre ci-dessous en acier S235 soumis à un effort axial. Calculer : σ F d = 2cm λx et λy L = 1m δx et δy V, V et V -V F = 5T

11. Effet de la température Aspect déformation Une variation de température induit un changement de longueur et donc des déformations thermiques. Si le solide est libre de se déformer, alors aucune contrainte n est induite par cette déformation. Equation du Principe physique T Or T donc δ T = α. T λ T = δ T.L λ δ = L λ T = α.l. T avec 1er degré (y = a.x+b) Avec b =0 λt Variation de longueur (mm) δt Variation de longueur unitaire (-) ΔT Variation de température ( C) α coefficient de dilatation ( C-1)

11. Effet de la température Aspect déformation λ T = α.l. T Valeur du coefficient de dilatation α : Acier 0,000012 C-1 = 12.10-6 C-1 Cuivre 16.10-6 C-1 Aluminium 24.10-6 C-1 Verre 0,7.10-6 C-1 Idem Bois 0,5.10-6 C-1 (béton armé) -6-1 Béton 12.10 C Exercice 1 : De combien s allonge un rail d acier de 12 m de long suite à une variation de température de 30 C? Exercice 2 : Idem avec un rail en aluminium

11. Effet de la température Aspect contrainte Des contraintes σ apparaissent dans un solide soumis à une variation de température et empêché de se déformer (bloqué à ses deux extrémités). σ = E.δ δ T = α. T On sait que Or donc λt λp σ = α.e. T avec σ contrainte induite (N/mm2) E Module d élasticité du matériau (N/mm2) ΔT Variation de température ( C) α coefficient de dilatation ( C-1)

12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux Modélisation d une colonne en béton armé F Matériau A (acier) N ' N = F Matériau B (béton) N'B N ' NA + ' NB ' NB ' NA + ' NA

12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux Aspect Déformation Les 2 matériaux sont solidaires ils se déforment de la même façon. λ 'A = λ 'B et δ 'A = δ 'B σ' σ 'A σ 'B or σ ' = E.δ ' δ ' = = E E A EB EA EB donc σ 'A = σ 'B. et σ 'B = σ 'A. EB EA avec σ A contrainte dans le matériau A (N/mm2) σ B contrainte dans le matériau B (N/mm2) EA Module d élasticité du matériau A (N/mm2) EB Module d élasticité du matériau B (N/mm2)

12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux Aspect efforts et contraintes L effort de compression N se sépare en 2 efforts : N Acomprimant l acier et N B comprimant le béton N' σ '= A N'A = σ 'A.A A N'B = σ 'B.A B Or N' = N'A + N'B = σ 'A.A A N' = σ '. A EB ' ' NB = σ A..A B EA EB ' + σ A..AB EA E.A EB E. A AA +.A B = σ 'A. A A + B B E EA E A A

12. Traction/Compression de pièces composées de plusieurs matériaux Aspect efforts et contraintes On obtient ainsi : et avec N'. E A σ 'A = E A.A A + E B.A B N'. EB σ 'B = E A.A A + E B.A B σ A contrainte dans le matériau A (N/mm2) σ B contrainte dans le matériau B (N/mm2) EA Module d élasticité du matériau A(N/mm2) EB Module d élasticité du matériau B (N/mm2) AA Aire de la section du matériau A (mm2) AB Aire de la section du matériau B (mm2) N l effort de compression appliqué à toute la section (N)

The End