Géométrisation du critère de simultanéité d Einstein Mesure des temps et des distances Eric Gourgoulhon Laboratoire Univers et Théories (LUTH) CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot F-92195 Meudon, France eric.gourgoulhon@obspm.fr http://www.luth.obspm.fr/ luthier/gourgoulhon/ Journée sur la mesure en physique LUTH, Meudon, 23 novembre 2007 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 1 / 16
Avertissement Je ne suis pas historien Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 2 / 16
Avertissement Je ne suis pas historien Il n y a rien d original dans ce qui suit Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 2 / 16
Avertissement Je ne suis pas historien Il n y a rien d original dans ce qui suit On continue quand même? Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 2 / 16
Notion d espace-temps et de ligne d univers L ensemble E des événements est un continuum à 4 dimensions: théorie newtonienne: E = espace affine sur R relativité restreinte: E = espace affine sur R relativité générale: E = variété différentiable Un point matériel (particule) décrit une ligne d univers dans E Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 3 / 16
Mesure du temps le long d une ligne d univers Temps propre le long d une ligne d univers: dτ = 1 c g(d x, d x) g = tenseur métrique : forme bilinéaire non-dégénérée de signature (, +, +, +) Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16
Mesure du temps le long d une ligne d univers Temps propre le long d une ligne d univers: dτ = 1 c g(d x, d x) g = tenseur métrique : forme bilinéaire non-dégénérée de signature (, +, +, +) Géométrisation du principe de constance de la vitesse de la lumière: les lignes d univers des photons sont les lignes isotropes de g (vecteur tangent v / g( v, v) = 0) Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16
Mesure du temps le long d une ligne d univers Temps propre le long d une ligne d univers: dτ = 1 c g(d x, d x) g = tenseur métrique : forme bilinéaire non-dégénérée de signature (, +, +, +) Géométrisation du principe de constance de la vitesse de la lumière: les lignes d univers des photons sont les lignes isotropes de g (vecteur tangent v / g( v, v) = 0) Espace-temps relativiste: (E, g) Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16
Mesure du temps le long d une ligne d univers Temps propre le long d une ligne d univers: dτ = 1 c g(d x, d x) g = tenseur métrique : forme bilinéaire non-dégénérée de signature (, +, +, +) Géométrisation du principe de constance de la vitesse de la lumière: les lignes d univers des photons sont les lignes isotropes de g (vecteur tangent v / g( v, v) = 0) Espace-temps relativiste: (E, g) 4-vitesse u = vecteur tangent unitaire à la ligne d univers: u := 1 c d x dτ, g( u, u) = 1 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16
Datation des événements distants: le problème Espace-temps newtonien Espace-temps relativiste temps absolu newtonien A t A M A M t M = t A t A t M =? 0 0 a problème de la définition de la simultanéité b Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 5 / 16
Datation des événements distants: la solution Poincaré (1898): nous n avons pas d intuition directe de la simultanéité de deux événements distants, ni même de leur ordre d occurrence. Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 6 / 16
Datation des événements distants: la solution Poincaré (1898): nous n avons pas d intuition directe de la simultanéité de deux événements distants, ni même de leur ordre d occurrence. Poincaré (1900): méthode de synchronisation des horloges par échange de signaux lumineux temps local de Lorentz (au premier ordre en v/c) Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 6 / 16
Datation des événements distants: la solution Poincaré (1898): nous n avons pas d intuition directe de la simultanéité de deux événements distants, ni même de leur ordre d occurrence. Poincaré (1900): méthode de synchronisation des horloges par échange de signaux lumineux temps local de Lorentz (au premier ordre en v/c) Einstein (1905): t 2 A 2 M est simultané à A pour l observateur O ssi t 1 t A A 1 M t = 1 2 (t 1 + t 2 ) où t 1 est le temps propre (vis-à-vis de O) d émission par O d un photon qui atteint l événement M et est réfléchi (sans délai) en M pour atteindre de nouveau l observateur O au temps propre t 2. 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 6 / 16
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d univers B proche de L 0 (L 0 droite) : A 1 A = c(t t 1 ) u et A 2 A = c(t t 2 ) u t 2 A 2 B t A t 1 A 1 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d univers t 2 A 2 B proche de L 0 (L 0 droite) : A 1 A = c(t t 1 ) u et A 2 A = c(t t 2 ) u A 1 B genre lumière g( A 1 B, A 1 B) = 0 g( A 1 A + AB, A 1 B + AB) = 0 g( A 1 A, A 1 A) + 2g( A 1 A, AB) + g( AB, AB) = 0 c 2 (t t 1 ) 2 + 2c(t t 1 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (1) B t A t 1 A 1 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d univers B proche de L 0 (L 0 droite) : A 1 A = c(t t 1 ) u et A 2 A = c(t t 2 ) u t 2 A 2 A 1 B genre lumière g( A 1 B, A 1 B) = 0 g( A 1 A + AB, A 1 B + AB) = 0 g( A 1 A, A 1 A) + 2g( A 1 A, AB) + g( AB, AB) = 0 c 2 (t t 1 ) 2 + 2c(t t 1 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (1) t A B De même, A 2 B genre lumière c 2 (t t 2 ) 2 + 2c(t t 2 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (2) t 1 A 1 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d univers t 2 A 2 t A t 1 A 1 0 B B proche de L 0 (L 0 droite) : A 1 A = c(t t 1 ) u et A 2 A = c(t t 2 ) u A 1 B genre lumière g( A 1 B, A 1 B) = 0 g( A 1 A + AB, A 1 B + AB) = 0 g( A 1 A, A 1 A) + 2g( A 1 A, AB) + g( AB, AB) = 0 c 2 (t t 1 ) 2 + 2c(t t 1 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (1) De même, A 2 B genre lumière c 2 (t t 2 ) 2 + 2c(t t 2 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (2) Solution du système (1)+(2) pour t, t 1 et t 2 fixés: g( u, [ AB) = c t 1 ] 2 (t 1 + t 2 ) (3) g( AB, AB) = c 2 (t t 1 )(t 2 t) (4) Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d univers t 2 A 2 t A t 1 A 1 0 B B proche de L 0 (L 0 droite) : A 1 A = c(t t 1 ) u et A 2 A = c(t t 2 ) u A 1 B genre lumière g( A 1 B, A 1 B) = 0 g( A 1 A + AB, A 1 B + AB) = 0 g( A 1 A, A 1 A) + 2g( A 1 A, AB) + g( AB, AB) = 0 c 2 (t t 1 ) 2 + 2c(t t 1 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (1) De même, A 2 B genre lumière c 2 (t t 2 ) 2 + 2c(t t 2 ) g( u, AB) + g( AB, AB) = 0 (2) Solution du système (1)+(2) pour t, t 1 et t 2 fixés: g( u, [ AB) = c t 1 ] 2 (t 1 + t 2 ) (3) g( AB, AB) = c 2 (t t 1 )(t 2 t) (4) Ainsi le critère de simultanéité d Einstein devient t = 1 2 (t 1 + t 2 ) g( u, AB) = 0 AB orthogonal à L 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16
Espace local de simultanéité t 2 t 2 A Σ (A) (A) t 1 t 1 0 Ensemble des événements simultanés avec A pour l obs. O : hypersurface Σ u (A) Espace tangent à Σ u (A) en A: hyperplan E u (A) = espace local de simultanéité Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 8 / 16
Relativité de la simultanéité t A = t B t A t B A B Les événements A et B sont simultanés pour l observateur O, mais pas pour l observateur O. Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 9 / 16
Horizon de Rindler a c t 4 3 2 1 0-1 A τ=1.5(ca) -1 (ξ=-a 1 ) L R τ τ=(ca) -1 ξ=-0.5a -1 ξ=0.5a -1 ξ=a -1 ξ=1.5a -1 (ξ=0) τ=0.5(ca) -1 τ=0-2 -2-1 0 1 2 3 4 a x Observateur accéléré a = 1 d u c dτ (4-accélér.) t < 0 : a = 0 (mvmt. inertiel) t 0 : a a = a 2 = const accélération / obs. inertiel: γ = ac 2 [ 1 + (act) 2] 3/2 Les espaces locaux de simultanéité se recoupent pour des distances a 1 Pour γ = 10 m s 2, a 1 9 10 15 m 1 année-lumière! Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 10 / 16
Mesure chronométrique des distances La distance entre deux événements A et B séparés spatialement est donnée par le tenseur métrique: d AB = g( AB, AB) D après le résultat (4) : t 2 A 2 d AB = c (t t 1 )(t 2 t) Robb (1936), Synge (1956) B t A t 1 A 1 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 11 / 16
Mesure chronométrique des distances La distance entre deux événements A et B séparés spatialement est donnée par le tenseur métrique: d AB = g( AB, AB) D après le résultat (4) : t 2 A 2 d AB = c (t t 1 )(t 2 t) Robb (1936), Synge (1956) t A B Si AB est orthogonal à la ligne d univers, alors t = (t 1 + t 2 )/2 et la formule ci-dessus se simplifie en t 1 A 1 d AB = 1 2 c(t 2 t 1 ) 0 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 11 / 16
Mesure chronométrique des distances La distance entre deux événements A et B séparés spatialement est donnée par le tenseur métrique: d AB = g( AB, AB) D après le résultat (4) : t 2 A 2 d AB = c (t t 1 )(t 2 t) Robb (1936), Synge (1956) t A B Si AB est orthogonal à la ligne d univers, alors t = (t 1 + t 2 )/2 et la formule ci-dessus se simplifie en t 1 A 1 d AB = 1 2 c(t 2 t 1 ) 0 pas besoin de règle! les photons suffisent Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 11 / 16
Pas besoin d horloges atomiques non plus! Des photons et des particules libres suffisent pour mesurer des temps propres, et définir ainsi une horloge géodésique Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 12 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 6 Par essai... Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 6 Par essai... 7... et erreur Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 6 Par essai... 7... et erreur 8 P 1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi en C par P 3, retourne vers P 1 en A 2 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 6 Par essai... 7... et erreur 8 P 1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi en C par P 3, retourne vers P 1 en A 2 9 D 1 = rencontre de P 3 et du rayon réfléchi en B; D 2 = rencontre de P 2 et du rayon qui part vers C Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 6 Par essai... 7... et erreur 8 P 1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi en C par P 3, retourne vers P 1 en A 2 9 D 1 = rencontre de P 3 et du rayon réfléchi en B; D 2 = rencontre de P 2 et du rayon qui part vers C 10 La ligne d univers D 1 D 2 est parallèle à A 1 A 2 Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Horloge géodésique de Marzke-Wheeler Construction de Marzke & Wheeler (1964) 1 Ligne d univers de la particule P 1 (base de l horloge) 2 Particule P 2, rencontre P 1 en l événement A 2 3 Émission par P 1 d un rayon lumineux en A 1 4 Réflexion par P 2 en B 5 Particule P 3, qui a rencontré P 1 en A 1 6 Par essai... 7... et erreur 8 P 1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi en C par P 3, retourne vers P 1 en A 2 9 D 1 = rencontre de P 3 et du rayon réfléchi en B; D 2 = rencontre de P 2 et du rayon qui part vers C 10 La ligne d univers D 1 D 2 est parallèle à A 1 A 2 11 Horloge de lumière entre ces deux lignes d univers Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16
Notion d observateur Définition géométrique Ligne d univers L 0, munie en chaque point O(t) d une tétrade orthonormale ( e 0, e 1, e 2, e 3 ) telle que e 0 = u ( e 1, e 2, e 3 ) est alors une base orthonormale de l espace local de simultanéité E u (t) d l i = dl i e i d l ij = d l j d l i Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 14 / 16
Notion d observateur Définition géométrique Ligne d univers L 0, munie en chaque point O(t) d une tétrade orthonormale ( e 0, e 1, e 2, e 3 ) telle que e 0 = u ( e 1, e 2, e 3 ) est alors une base orthonormale de l espace local de simultanéité E u (t) d l i = dl i e i d l ij = d l j d l i Réalisation physique 4 lignes d univers L 0, L 1, L 2, L 3, munis d horloges standard, ainsi que d un système d émission et de réception de photons Triade ( e i ) définie par Pythagore: g(d l ij, d l ij ) = g(d l i, d l i ) + g(d l j, d l j ) chaque longueur étant évaluée par la formule de Robb-Synge Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 14 / 16
Espace (tridimensionnel) de référence d un observateur Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 15 / 16
Références Einstein A., 1905, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17, 891-921. Poincaré H., 1898, La mesure du temps, Revue de Métaphysique et de Morale 6, 1. Poincaré H., 1900, La théorie de Lorentz et le principe de la réaction, dans Recueil de travaux offerts par les auteurs à H.A. Lorentz à l occasion du 25ème anniversaire de son doctorat le 11 décembre 1900, Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 5, 252. Marzke R.F. & Wheeler J.A., 1964, Gravitation as geometry, I, dans Gravitation and Relativity, H.Y. Chiu & W.F. Hoffmann (eds.), Benjamin (New York). Robb A.A., 1936, Geometry of Space and Time, Cambridge University Press (Cambridge). Synge J.L., 1956, Relativity: the Special Theory, North-Holland (Amsterdam). Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 16 / 16