Séries numériques, ou séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie Définitions. Dans ce chapitre K représente indifférement le corps des réels R, ou le corps des complexes C. Le symbole E représente un espace vectoriel normé de dimension finie sur K. Se donner une série à valeurs dans E, c est se donner une suite u = (u n ) n à valeurs dans E. On parle alors de la série de terme général u n, ou encore de la série un. Si E = K, on parle de série numérique, réelle, ou complexe, selon que K = R ou K = C. Lorsque E est un espace vectoriel normé de dimension finie, on notera x, la norme du vecteur x de E, et non pas u. Nous réserverons la notation f pour représenter la norme au sens de la convergence uniforme d une fonction f X E (cf. chapitre suivant). Définition. On appelle somme partielle d ordre n de la série de terme général u n le vecteur de E défini par : u k. Définition.2 On dit que la série de terme général u n est convergente si la suite de ses sommes partielles est une suite convergente d éléments de E. La limite de cette suite est appelée la somme de la série, et notée + u n. Autrement dit, par définition, u n = lim S n(u) = lim u k. n n + Attention! Dans le cas d une série à termes réels, dire qu elle est convergente c est dire que la suite de ses sommes partielles est une suite de réels qui admet une limite finie. Dans le cas ou, par exemple, lim n + on écrit aussi + u n = + mais la série n est pas une série convergente. Définition.3 On suppose que la série de terme général u n est convergente de somme S(u) ; on appelle reste d ordre n de la série, la quantité R n (u) = S(u) u k.
Remarques :. En pratique les séries considérées sont souvent des suites définies, non pas sur N tout entier, mais sur un intervalle de N de la forme [n 0 + [. Les modifications à faire dans les énoncés sont évidentes. Il est d ailleurs important de remarquer que l on ne change pas la nature d une série, c est à dire le fait qu elle converge ou non, en enlevant un nombre fini de termes. 2. Soit u n une série convergente. La suite des sommes partielles (S n (u)) et la suite extraite (S n (u)) ont toutes deux pour limite la somme de la série. Il en résulte que lim n u n = lim n + S n (u) S n (u) = S(u) S(u) = 0. Mais cette condition n est pas suffisante pour assurer la convergence de la série (penser par exemple à u n avec u n = /n). Exemple: Soit la série numérique de terme général u n = d ordre n est Si on remarque que k= k(k + ) = k k + ( 2 ) ( + 2 3 u k =.2 + 2.3 +... + n(n + ). ) +... cette somme s écrit. Sa somme partielle n(n + ) ( n ) ( + n n ). n + Ceci est une somme télescopique qui se simplifie en. Quand n tend n + vers l infini, S n (u) tend donc vers, et, par définition de la convergence et de la somme d une série, on a prouvé que n(n + ) =. n= Pour des exemples similaires de séries télescopiques, voir les premiers exercices. Exemple: La série réelle de terme général u n = /n, n, est appelée la série harmonique. Soit k k= sa somme partielle d ordre n. Considérons S 2n S n = 2n de n fractions, dont la plus petite est /2n ; on a donc S 2n S n n 2n = 2. k. C est une somme Si la suite (S n ) convergeait vers une limite S, la suite extraite (S 2n ) convergerait aussi vers S, et la différence S 2n S n convergerait vers 0, ce qui est faux, vue la minoration ci desssus. La série harmonique est donc divergente. Résumé cours d analyse 2 M. Deléglise
Séries numériques à termes positifs. De nombreux théorèmes simplifient l étude des séries numériques à termes réels positifs. Rappelons ici les principaux. Théorème.4 Pour qu une série numérique à termes positifs soit convergente il faut et il suffit que la suite de ses sommes partielles soit majorée. Preuve : Soit S n la somme partielle d ordre n. Puisque S n+ = S n + u n S n, la suite (S n ) n est croissante, et par le théorème de la limite monotone, la suite croissante (S n ) n converge si, et seulement si, elle est majorée. Théorème.5 (Série géométrique) La série géométrique de premier terme a et de raison r 0 converge si et seulement si r <. Dans ce cas on a ar n = a r. Théorème.6 (La règle de comparaison) Soient (u n ) n et (v n ) n deux suites positives, telles que u n v n pour tout n. Alors. Si la série v n converge, la série u n converge, et + u n + v n. 2. Si la série u n diverge, la série v n diverge aussi. Théorème.7 (Le critère de d Alembert) Soit (u n ) une suite strictement positive telle que lim n u n+ u n = R.. Si R < la série u n est convergente. 2. Si R > alors lim u n = +, et u n diverge grossièrement. Attention! Une faute très courante consiste à se contenter de vérifier que u n+ /u n <. Non, l important ce n est pas que chacun des u n+ /u n soit strictement plus petit que, mais que la limite de (u n+ /u n ) soit strictement plus petite que. Là encore penser à l exemple de la série harmonique u n = /n ; on a u n+ /u n <, mais la série diverge. Théorème.8 (La règle de Cauchy) Soit (u n ) une suite strictement positive telle que lim n u /n n = R.. Si R < la série u n est convergente. 2. Si R > alors lim u n = +, et u n diverge grossièrement. Théorème.9 (La règle des équivalents) Soient (u n ) n et (v n ) n deux suites positives dont les termes généraux sont équivalents, alors les séries u n et v n sont de même nature, c est à dire que l une converge si et seulement si l autre converge. De plus. Si les deux séries sont divergentes on a, pour n tendant vers l infini : u k S n (v) = v k Résumé cours d analyse 3 M. Deléglise
2. Si les deux séries sont convergentes on a, pour n tendant vers l infini : R n (u) = u k R n (v) = v k Attention! Cet énoncé est faux sans l hypothèse u n, v n > 0. Vérifiez le avec u n = ( ) n / n et v n = u n + /n. Les lemmes suivants sont très importants. Il n est pas nécessaire de connaitre par coeur leurs énoncés, mais il faut les retrouver chaque fois qu ils sont utiles. Ils permettent de déterminer la nature d une série, mais aussi d encadrer sa somme et, plus utilement, son reste R n. Ceci est important pour le calcul de la somme avec une bonne précision, même dans le cas d une série très lentement convergente, comme la série de terme général /(n ln 2 n) (cf. exercices). Lemme.0 (Comparaison avec une intégrale) Soit f continue par morceaux, positive décroissante, définie sur [a, + [, avec a entier naturel non nul. Pour tout entier b a, on a : b+ Preuve : Pour tout k on a a k+ k k=b f(t)dt f(k) k=a f(t)dt f(k) k b k a f(t)dt. f(t)dt, car f(t) f(k) sur [k, k + ], et f(t) f(k) sur [k, k]. En additonnant terme à terme ces encadrements pour k variant de a à b on obtient le résultat. Théorème. Si f est une fonction positive décroissante sur R, la série de terme général u n = f(n) est de nême nature que l intégrale impropre a f(t)dt. Lemme.2 Soit f positive et décroissante, telle que l intégrale impropre n f(t)dt soit convergente. Le reste d ordre n de la série de terme général u n = f(n), R n = + f(k) est encadré par f(t)dt R n f(t)dt. n+ Théorème.3 (Les séries de Riemann). Soit α > 0. La série de terme général converge si et seulement si α >. nα n Note : Une autre famille classique de séries est la famille des séries de Bertrand. Ce sont les séries de la forme u n = /(n α log β n). Si α c est lui qui dicte la nature : il y a convergence si α > et divergence si α <. Si α =, il y convergence si et seulement si β >. Ce résultat n est pas au programme du CAPES. Vous devez donc, si vous en avez besoin, le démontrer. Résumé cours d analyse 4 M. Deléglise
Séries à termes quelconques. Quand les u n ne sont pas des réels 0, un bon moyen de prouver que la série u n est convergente est d utiliser la notion de convergence absolue : Définition.4 Soit u n une série à valeurs dans E. Si la série de terme général un est une série convergente, on dit que la série u n est absolument convergente. Théorème.5 Soit u n une série à valeurs dans un espace vectoriel normé E de dimension finie, absolument convergente. Alors cette série est convergente, et u n u n. Si la série n est pas absolument convergente, ou si on ne sait pas répondre à cette question, on peut regarder du coté du théorème des séries alternées, ou de sa généralisation qui est le critère d Abel. Définition.6 Soit u n une série réelle. On dit que u n est une série alternée si ( ) n u n est de signe constant. Théorème.7 (Théorème des séries alternées) Soit u n une série alternée, avec ( u n ) n décroissante de limite 0, Alors la série est convergente, et, de plus. sa somme est du signe du premier terme, et elle est majorée en valeur absolue par celui ci, c est à dire u k u 0. 2. Pour tout n, le reste R n (u) est du signe de u n+ et R n (u) u n+. Remarque : La décroissance de u n est essentielle. Lorsque u n n est pas décroissante, la série n est en général pas convergente, et quand elle converge, l assertion 2 est en général fausse. La méthode de sommation d Abel Dans le cas d une série réelle non alternée dont le signe oscille suffisamment rapidement, ou bien dans le cas d une série à valeurs dans E, non absolument convergente, on peut essayer le critère d Abel, qui est la généralisation du théorème des séries alternées. Mais ce critère n est pas au programme du CAPES. Ce qui est au programme c est la méthode de sommation d Abel qui est le calcul aboutissant au lemme suivant, lemme, qu il faudra redémontrer chaque fois qu on en aura besoin. Lemme.8 (Lemme d Abel) Soit (a n ) n une suite de réels positifs, décroissante, et (u n ) n une suite à valeurs dans E telle que n u k M. Alors a k u k a 0 M. Résumé cours d analyse 5 M. Deléglise
Remarque : Cet énoncé est simple à retenir si on remarque que le théorème des séries alternées est le cas particulier que l on obtient en prenant dans l énoncé ci dessus u n = ( ) n, et M =. Preuve : Notons S n = n a ku k, et U n = n u k. On écrit, et c est ce calcul qui est la méthode de sommation d Abel, S n = a 0 u 0 + a u +... a n u n = a 0 U 0 + a (U U 0 ) + a 2 (U 2 U ) +... + a n (U n U n ) = U 0 (a 0 a ) + U (a a 2 ) +... U n (a n a n ) + U n a n S n M(a 0 a + a a 2 +... a n a n + a n ) = Ma 0, en majorant chaque U k par M, et remarquant que, vue la décroissance de a n, a k a k = a k a k. Application de la méthode de sommation d Abel à la convergence des séries Soit donc a n une suite de réels qui tendent vers 0 en décroissant, et u n une suite à valeurs dans E telle qu il existe un nombre M qui majore toutes les quantités q n=p u n. On prouve la convergence de la série a n u n en procédant ainsi : Notons S n la somme partielle d ordre n, S n = n a ku k. La méthode de sommation d Abel appliquée à la série de terme général a n u n et de premier terme a p+ u p+ donne la majoration k=q S q S p = a k u k Ma p+. (.) k=p+ Soit ε > 0 arbitraire. Vu lim n a n = 0 l équation (.) montre que S q S p < ε pour p et q suffisamment grands. Autrement dit, (S n ) n est une suite de Cauchy, c est dire que la série a n u n est une série convergente. Mieux, en faisant tendre q vers l infini dans la majoration (.), on obtient la majoration du reste R p = S S q Ma p+, (.2) qui est l analogue de la majoration du reste dans le théorème (.7) du théorème des séries alternée, la constante étant remplacée par la constante M. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Théorème.9 Soient u n et v n deux séries numériques réelles ou complexes, absolument convergentes. Pour tout entier naturel n on définit w n = u k v n k. Alors la série w n est absolument convergente et sa somme est ( ) ( ) w n = u n v n. Résumé cours d analyse 6 M. Deléglise