La logique. et son automatisation

Université de Fribourg Cours 2001 Méthodes mathématiques de l informatique C. Auderset La logique et son automatisation Première partie: Logique propositionnelle 1. Syntaxe et sémantique de la logique propositionnelle 2. Formes normales, clauses 3. Tests et preuves d insatisfaisabilité Deuxième partie: Quantification 4. Syntaxe et sémantique de la logique prédicative du 1er ordre 5. Formes normales, théorème de Herbrand 6. Unification, réfutations par résolutions

La logique et son automatisation Section 1 1 Première partie: Logique propositionnelle 1. Syntaxe et sémantique de la logique propositionnelle Formules Les formules propositionnelles sont construites à l aide de la négation notée (ou ou ), de la conjonction notée (ou & ou simplement par juxtaposition), de la disjonction noté et de l implication notée (ou ). De façon plus précise, étant donné un ensemble P de chaînes de caractères distincts de ( ) les formules propositionnelles sur P sont définies inductivement par: - Si p P, alors p est une formule propositionnelle sur P, appelée une formule atomique ou un atome. - Si ϕ et ψ sont des formules sur P, il en va de même pour ϕ (non ϕ) (ϕ ψ) (ϕ et ψ) (ϕ ψ) (ϕ ou ψ) (ϕ ψ) (ϕ implique ψ, si ϕ alors ψ) (La concaténation est simplement notée par juxtaposition). Cette définition inductive peut être présentée sous forme de règles de formation, dont la conclusion est écrite au-dessous des prémisses et en est séparée par une barre horizontale: p pour tout p P (p est une règle sans prémisse aussi appelée un axiome) ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) pour toutes chaînes de caractères ϕ, ψ. Par exemple (( p q) (p (p q))) est une formule sur P= {p, q}, comme le montre l arbre de formation p p q p q p (p q) ( p q) (p (p q)) (( p q) (p (p q)) Ces règles sont déterministes: une formule est la conclusion d une seule règle. Il s ensuit le

La logique et son automatisation Section 1 2 Théorème de lecture unique. Une formule a un seul arbre de formation. La validité du théorème repose sur notre usage prudent voire immodéré de parenthèses. En pratique, on n écrit pas les parenthèses extérieures et on admet que a la priorité, suivi de, et enfin de. Par exemple, p q p (p q) est une abréviation de (( p q) (p (p q))). Nous en avons ainsi terminé avec la syntaxe de la logique propositionnelle, qui traite de la correction grammaticale des formules. Passons à la sémantique qui traite de leur signification. Fonctions de vérité Notons 2 = {0, 1} l ensemble constitué des deux valeurs de vérité 0 (faux) et 1 (vrai). Une fonction v : P 2 s appelle une fonction de vérité sur P ou une interprétation du vocabulaire propositionnel P. L idée est qu une interprétation v donne un sens aux éléments de P, considérés comme des propositions de base, vraies ou fausses. Ce sens s étend de façon naturelle aux formules quelconques sur P, considérées comme des phrases composées. De façon précise, étant donnée une interprétation v de P, on définit inductivement la valeur ϕ v de chaque formule ϕ: p v = v(p) pour tout p P ϕ v = 1 si et seulement si ϕ v = 0 (ϕ ψ) v = 1 si et seulement si ϕ v = 1 et ψ v = 1 (ϕ ψ) v = 1 si et seulement si ϕ v = 1 ou ψ v = 1 (ou les deux) (ϕ ψ) v = 1 si et seulement si ϕ v = 0 ou ψ v = 1 (ou les deux) (Cette définition inductive est légitimée par le théorème de lecture unique). Lorsque ϕ v = 1, on dit que la formule ϕ est vraie pour v, ou que v satisfait ϕ ou encore que v est un modèle de ϕ, sinon que ϕ est fausse pour v. Ainsi, pour une interprétation donnée v, ϕ ψ est vraie si et seulement si ϕ est vraie et ψ est vraie, de même ϕ ψ est vraie si et seulement si ϕ est vraie ou ψ est vraie etc. Pour éviter des confusions, il faut soigneusement séparer le langage étudié ou langage objet, ici la logique propositionnelle (avec, etc.), du langage d étude ou méta-langage, ici le français (avec et, ou etc.). Soit maintenant Γ un ensemble de formules. On dit que v satisfait Γ, ou que v est un modèle de Γ, si v satisfait chaque formule de Γ. Il est habituel de se représenter une interprétation v comme un monde possible et un ensemble Γ de formules comme une théorie. Dire que v satisfait Γ signifie donc que la théorie Γ est correcte dans le monde v.

La logique et son automatisation Section 1 3 Les notions sémantiques fondamentales On dit qu une formule ϕ est valide, ou que c est une tautologie, et on écrit = ϕ, si elle est satisfaite par toute interprétation. Par exemple, = ((p q) p) p (loi de Pierce). Pour le vérifier, on peut essayer les 2 2 fonctions de vérité v : {p, q} 2. Cette méthode des tables de vérité permet en principe de tester la validité de n importe quelle formule propositionnelle ϕ. Cependant, si ϕ contient N atomes, il y a 2 N fonctions de vérité à essayer. Dès que N vaut quelques dizaines, il est impossible en pratique d essayer effectivement toutes ces possibilités. On dit qu une formule ϕ est une conséquence logique d un ensemble Γ de formules et on écrit Γ = ϕ, lorsque tout modèle de Γ est un modèle de ϕ. A noter que, lorsque Γ =, cela signifie simplement que ϕ est valide. Dans le cas où Γ = {ϕ 1,..., ϕ n } est fini, on écrit ϕ 1,..., ϕ n = ϕ plutôt que {ϕ 1,..., ϕ n } = ϕ. Exemples: (p q) p = p, p, p q = q. La notion de conséquence logique se ramène à celle de validité, tout au moins dans le cas d un ensemble fini de formules. En effet, ϕ 1,..., ϕ n = ϕ si et seulement si = ϕ 1 ϕ n ϕ. On dit que deux ensembles Γ, de formules sont logiquement équivalents et on écrit Γ s ils ont les mêmes modèles. Il revient au même de demander que Γ et aient les mêmes conséquences, ou encore que toute formule de soit conséquence de Γ et toute formule de Γ conséquence de. Dans le cas où Γ, par exemple, est réduit à une seule formule ϕ, on dira que ϕ est équivalente à et on écrira ϕ plutôt que {ϕ}. Exemples: ϕ 1 ϕ n {ϕ 1,..., ϕ n }, ϕ ψ ϕ ψ. Les règles suivantes de l algèbre de Boole permettent de transformer et de simplifier les formules propositionnelles: α α α α α α (idempotence) α β β α α β β α (commutativité) (α β) γ α (β γ) (α β) γ α (β γ) (associativité) α (α β) α (α (α β) α (absorption) α (β γ) (α β) (α γ) α (β γ) (α β) (α γ) (distributivité) (α β) α β (α β) α β (loi de De Morgan) α 1 α α α α 0 α α 0 0 α 1 1 α α 0 α α 1 (double négation) (Dans ces dernières équivalences, on a étendu la notion de formule propositionnelle en postulant que 0 et 1 sont des formules, dont le sens est donné par 0 v = 0, 1 v = 1).

La logique et son automatisation Section 1 4 On dit qu un ensemble Γ de formules est satisfaisable (ou consistant, ou non contradictoire, ou compatible) s il possède un modèle. Dans le cas contraire, Γ est insatisfaisable (ou inconsistant, ou contradictoire, ou incompatible). A noter que Γ est insatisfaisable si et seulement si Γ = ϕ ϕ pour une formule ϕ. Plus important pour nous est que la notion de conséquence logique se ramène à la notion d insatisfaisabilité: Γ = ϕ si et seulement si Γ { ϕ} est insatisfaisable. Nous venons de définir plusieurs notions sémantiques de base qui se ramènent l une à l autre. C est une question de goût ou de mode laquelle on choisit d étudier. Dans la suite, on se concentrera sur la notion d insatisfaisabilité. Compacité Théorème de compacité (ou de finitude) de la logique propositionnelle. Tout ensemble insatisfaisable de formules propositionnelles contient un sous-ensemble insatisfaisable fini. Nous ne démontrons ce théorème que dans le cas habituel où l ensemble P des formules atomiques est dénombrable (ou fini): P = {p 1, p 2,...}. Le cas général nécessite le recours à des moyens puissants de la théorie des ensembles. Pour alléger le langage dans la preuve, disons qu un ensemble Γ de formules est consistant si tous ses sous-ensembles finis sont satisfaisables. Lemme. Si un ensemble Γ de formules est consistant et si ϕ est une formule, alors Γ {ϕ} ou Γ { ϕ} est consistant. En effet, supposons qu il existe des sous-ensembles finis insatisfaisables 1 de Γ {ϕ} et 0 de Γ { ϕ}. Etant donnée une interprétation v : P 2 avec ϕ v = 1 (resp. ϕ v = 0), v ne satisfait pas 1 \ {ϕ} (resp. 0 \ { ϕ}), sinon v satisfairait 1 (resp. 0 ). Donc aucune interprétation v ne satisfait le sous-ensemble fini ( 1 \ {ϕ}) ( 0 { ϕ}) de Γ, en contradiction avec l hypothèse. Démontrons maintenant le théorème de compacité sous la forme: tout ensemble consistant Γ est satisfaisable. Définissons inductivement une suite Γ 0, Γ 1, Γ 2,... d ensembles de formules par Γ 0 = Γ et Γ n = Γ n 1 {p n } si cet ensemble est consistant, sinon Γ n = Γ n 1 { p n }. Supposant Γ consistant, chaque Γ n est consistant d après le lemme. Pour n > 0, on a donc soit p n Γ n, soit p n Γ n, mais pas les deux. Posant v(p n ) = 1 si p n Γ n et v(p n ) = 0 si p n Γ, on définit ainsi une fonction de vérité. Reste à démontrer que v satisfait Γ. Soit ϕ une formule quelconque dans Γ et soit n le plus grand indice pour lequel ϕ contient l atome p n. Comme Γ n est consistant, le sous-ensemble fini {ϕ, q 1, q 2,..., q n }, où q k = p k ou q k = p k, est satisfaisable par une fonction de vérité w. Mais d après la définition de v, on doit avoir w(p k ) = v(p k ) pour k = 1, 2,..., n. Comme ϕ ne contient pas d autre atome que p 1, p 2,..., p n, il s ensuit que v satisfait aussi ϕ. En termes de conséquence logique, on peut encore formuler le théorème de compacité: Si Γ = ϕ, il existe un sous-ensemble fini de Γ tel que = ϕ.

La logique et son automatisation Section 2 5 2. Formes normales, clauses Les règles habituelles de calcul permettent de mettre une expression algébrique sous forme normale, par exemple sous forme de polynôme. Il en va de même en logique propositionnelle. Pour l expliquer, considérons un exemple de formule (p q r) (p r) ( q r). On commence par éliminer les implications grâce à l équivalence α β α β. Dans notre exemple, on arrive à [ (p q) r] [( p r) ( q r)]. Ensuite, on fait rentrer les négations à l aide des lois de De Morgan (α β) α β, (α β) α β et on supprime les négations multiples à l aide de la loi de double négation α α. Dans notre exemple: [(p q) r] [ p r) (q r)]. On arrive ainsi à une formule avec des conjonctions et des disjonctions sur des éléments littéraux, c est-à-dire des atomes ou des négations d atome. Maintenant, on a le choix: soit on emploie la distributivité de la conjonction par rapport à la disjonction α (β γ) (α β) (α γ), ce qui donne (p r) (q r) ( p q) ( p r) (q r) r, soit la distributivité de la disjonction par rapport à la conjonction α (β γ) = (α β) (α γ), ce qui mène à (p q p r) (p q r) ( r p r) ( r q r). Dans le premier cas, on obtient une forme normale disjonctive, c est-à-dire une disjonction de conjonctions d éléments littéraux et dans le second cas une forme normale conjonctive, c est-à-dire une conjonction de disjonctions d éléments littéraux. En fait, on utilise encore l idempotence, l associativité et la commutativité, ainsi que α α 1 α α 0 0 α α 1 α α 1 α 1 0 α 0 La forme normale conjonctive de notre exemple se simplifie donc en p q r. A noter que ces formes normales ne sont pas uniques, par exemple (p q) (p q) p. Dans la suite, on ne considère que des formes normales conjonctives κ 1 κ 2 κ n, où les κ i sont des disjonctions d éléments littéraux, aussi appelées des clauses (disjonctives). Nous savons qu une telle conjonction est équivalente à l ensemble {κ 1,..., κ n } de clauses. Ainsi:

La logique et son automatisation Section 3 6 Toute formule est équivalente à un ensemble fini de clauses. Tout ensemble (fini) de formules est équivalent à un ensemble (fini) de clauses. Une clause p 1 p 2 p r q 1 q 2 q s est équivalente à l implication p 1 p r q 1 q s et est souvent notée p 1... p r q 1... q s ( se lit quad ). Nous l écrirons aussi A B, où A et B sont les ensembles d atomes A = {p 1,..., p r } et B = {q 1,..., q s }. La valeur d une clause dans une interprétation v est donnée par A B v = 1 si, et seulement si, il existe p A avec v(p) = 0 ou q B avec v(q) = 1. Lorsque A = B =, on obtient la clause vide avec v = 0 quelle que soit l interprétation v. Notre problème de base est de déterminer si un ensemble fini Γ de formules est insatisfaisable. En pratique, les formules de Γ ne sont pas compliquées, si bien qu on remplace facilement Γ par un ensemble équivalent de clauses. La section suivante est consacrée au problème de l insatisfaisabilité d un ensemble de clauses. 3. Tests et preuves d insatisfaisabilité La règle de scission Soient p P un atome, v : P 2 une interprétation telle que v(p) = 0 et A Observons que A B v = 1 si p A, A B v = (A B \ {p}) v si p B. B une clause. De façon suggestive, on peut dire qu en faisant p = 0, A B devient 1 si p A et A B \{p} si p B. Pour cette raison, nous noterons Γ[ p = 0] l ensemble obtenu à partir de Γ en - supprimant toutes les clauses ayant p à gauche, - ôtant p à droite de chaque clause (contenant p à droite), - laissant inchangées les clauses ne contenant pas p. De même, lorsque v(p) = 1 A B v = 1 si p B, A B v = A \ {p} B v si p A et on définit Γ[ p = 1] comme Γ[ p = 0] en échangeant gauche et droite. remarques: Il suit de ces Soient p P et v : P 2 avec v(p) = 0 (resp. v(p) = 1). Alors v satisfait Γ si et seulement si v satisfait Γ[ p = 0] (resp. Γ[ p = 1]). Conséquence immédiate:

La logique et son automatisation Section 3 7 Règle de scission (Splitting rule). Un ensemble Γ de clauses est insatisfaisable si et seulement si les ensembles Γ[ p = 0] et Γ[ p = 1] sont tous deux insatisfaisables. Cette règle est à la base du test récursif suivant d insatisfaisabilité pour un ensemble fini Γ de clauses: SI Γ SINON Γ est insatisfaisable SI Γ = SINON Γ est satisfaisable choisis un atome p contenu dans Γ SI Γ[ p = 0] et Γ[ p = 1] sont insatisfaisables SINON Γ est insatisfaisable Γ est satisfaisable Exemple. Γ = {pq, p q, q p, pq}. Les appels récursifs donnent un arbre binaire: Γ[ p = 0, q = 0] { } Γ[ p = 0] {q, q} Γ[ p = 0, q = 1] { } Γ {pq, p q, q p, pq} Γ[ p = 1, q = 0] { } Γ[ p = 1] {q, q} Γ[ p = 1, q = 1] { } Dans sa présentation, cet algorithme est non déterministe. En fait, n importe quel choix des atomes p mène au but, mais plus ou moins vite. Notamment, lorsque Γ contient une clause unité de la forme p ou p, il est judicieux de choisir cet atome p. En effet, en faisant p = 0 (resp. p = 1), p (resp. p ) devient la clause vide, évidemment insatisfaisable, si bien qu il suffit de tester Γ[ p = 1] (resp. Γ[ p = 0]): Règle de la clause unité. Soit Γ un ensemble de clauses contenant p (resp. p ). Alors Γ est insatisfaisable si et seulement si Γ[ p = 1] (resp. Γ[ p = 0]) est insatisfaisable. Signalons encore le cas particulier suivant de la règle de scission: Règle de l atome pur. Supposons que l atome p soit à gauche (resp. à droite) dans toutes les clauses de Γ qui le contiennent. Alors Γ est insatisfaisable si et seulement si Γ[ p = 0] (resp. Γ[ p = 1]) est insatisfaisable. En effet, Γ[ p = 0] est alors un sous-ensemble de Γ[ p = 1] (resp. l inverse). Dans notre test récursif, appelé méthode de Davis-Putnam, il est bon de choisir l atome p, lorsque c est possible, de façon à pouvoir appliquer la règle de la clause unité ou la règle de l atome pur: il y a alors un seul appel récursif au lieu de deux.

La logique et son automatisation Section 3 8 Réfutation par résolutions Une résolution est une règle de la forme A B {p} C {p} D A C B D où p est un atome et A, B, C, D des ensembles finis d atomes, B et C ne contenant pas p, par exemple q pr pqs rt qs La conclusion se nomme la résolvante des deux prémisses par rapport à p. La relation de déductibilité par résolutions se définit inductivement: - toute clause d un ensemble Γ de clauses est déductible de Γ, rt - si deux clauses α, β sont déductibles de Γ, alors toute résolvante de α et β est déductible de Γ. Exemple. La clause vide est déductible de { pq, q p, p q, pq }, comme le montre la déduction par résolutions, présenté sous forme d arbre 1 pq 2 q p 3 p q 4 pq 5 p 6 p 7 En étiquetant (p.ex. numérotant) les nœuds de l arbre, cette déduction peut aussi être présentée sous forme linéaire 1. pq 2. q p 3. p q 4. pq 5. p (1 et 2) 6. p (3 et 4) 7. (5 et 6) où chaque clause est une hypothèse ou une résolvante de clauses qui la précèdent. Nous dirons qu un ensemble Γ de clauses est réfutable par résolutions si la clause vide est déductible de Γ par résolutions; une réfutation de Γ par résolutions est une déduction de par résolutions. La réfutation par résolutions est une méthode correcte pour prouver l insatisfaisabilité d un ensemble de clauses:

La logique et son automatisation Section 3 9 Théorème de correction. Si un ensemble Γ de clauses est réfutable par résolutions, alors il est insatisfaisable. En effet, toute résolvante de deux clauses ϕ, ψ est une conséquence logique de {ϕ, ψ}. Ainsi, toute clause déductible de Γ par résolutions est une conséquence de Γ. Si donc Γ est réfutable, la clause vide est une conséquence de Γ, c est-à-dire que Γ est insatisfaisable. La réfutation par résolutions est une méthode complète pour prouver l insatisfaisabilité: Théorème de complétude. Si un ensemble Γ de clauses est insatisfaisable, alors il est réfutable par résolutions. La preuve repose sur le Lemme. Si la clause M N est déductible de Γ[ p = 0] (resp. Γ[ p = 1]) par résolutions, alors l une des clauses M N ou M N {p} (resp. ou M {p} N) est déductible de Γ par résolutions. En effet, dans le cas où M N Γ[ p = 0], on a M N Γ ou M N {p} Γ d après la définition même de Γ[ p = 0]. Sinon, M N = A C B D est la résolvante par rapport à un atome q de deux clauses A B {q} et C {q} D déductibles de Γ[ p = 0]. Par hypothèse d induction, A B {q} ou A B {p} {q} et C {q} D ou C {q} D {p} sont déductibles de Γ par résolutions. Mais alors A C B D ou A C B D {p} est déductible de Γ. Le théorème de complétude se démontre aisément maintenant. Tout d abord, en vertu du théorème de compacité, on peut admettre que l ensemble Γ insatisfaisable est fini et procéder par induction sur le nombre d atomes dans Γ. Si Γ ne contient pas d atome, Γ = { } est évidemment réfutable, sinon choisissons un atome p dans Γ. D après la règle de scission, les deux ensembles Γ[ p = 0] et Γ[ p = 1] sont insatisfaisables. Par hypothèse d induction, les ensembles Γ[ p = 0] et Γ[ p = 1] sont réfutables par résolutions. Selon le lemme, l une des clauses ou p et l une des clauses ou p est déductible de Γ. Si est déductible on a déjà fini, sinon est déductible de p et p. A noter le caractère constructif de cette démonstration. A partir d une application de la méthode de Davis-Putnam à un ensemble insatisfaisable Γ, on peut immédiatement donner une réfutation de Γ par résolutions. L inverse est aussi vrai, si bien qu une réfutation par résolutions est au fond la même chose qu un appel de la procédure récursive de Davis-Putnam (mais à l envers). Réfutations par hyper-résolutions Une méthode pour décider si un ensemble fini Γ de clauses est insatisfaisable consiste à rechercher de façon systématique une réfutation de Γ par résolutions. Cette méthode peut être améliorée en élaguant l arbre de recherche, c est-à-dire en montrant que certaines résolutions peuvent ne pas être prises en considération. Nous terminons cette section en présentant l une parmi de nombreuses autres de ces techniques, celle des hyperrésolutions.

La logique et son automatisation Section 3 10 Une hyper-résolution (positive) est une règle de la forme A 1 {p 1 }... A n {p n } {p 1,..., p n } B A 1... A n B où les A k et B sont des ensembles finis d atomes, A k ne contenant pas l atome p k. La conclusion s appelle une hyper-résolvante des prémisses et on définit une déduction et une réfutation par hyper-résolutions de façon évidente. A noter qu une hyper-résolution est en somme une cascade de résolutions d un type particulier, donc la méthode de réfutation par hyper-résolutions est évidemment correcte. Exemple: pq pr qr p p qs s q q pq est une réfutation de Γ = { pq, pr, qr p, qs, s q, pq } par hyper-résolutions. Donc Γ est insatisfaisable. Cette méthode est aussi complète, ce qui est moins évident: Théorème de complétude. Tout ensemble insatisfaisable de clauses est réfutable par hyper-résolutions. On peut supposer par le théorème de compacité que l ensemble insatisfaisable Γ de clauses est fini et l on procède par induction sur le nombre d atomes de Γ. D après la règle de scission, lorsque Γ contient un atome p, Γ[ p = 0] et Γ[ p = 1] sont insatisfaisables donc, par hypothèse d induction, réfutables par hyper-résolutions. Tout découle alors du cas particulier B = des deux énoncés suivants: Si B est déductible de Γ[ p = 0] par hyper-résolutions, alors B ou B {p} est déductible de Γ par hyper-résolutions. Si B est déductible de Γ[ p = 1] par hyper-résolutions, alors B est déductible de Γ { p} par hyper-résolutions. Le premier énoncé se démontre exactement comme dans le théorème de complétude pour les résolutions quelconques. Le deuxième énoncé se démontre par induction. Si B est un élément de Γ[ p = 1], c est soit un élément de Γ et on a fini, soit p B est dans Γ et B est l hyper-résolvante de p et p B. Sinon, B est l hyper-résolvante de certaines clauses déductibles de Γ[ p = 1] par hyper-résolutions. Par hypothèse d induction, ces clauses sont déductibles de Γ { p} par hyper-résolutions, donc aussi B. Introduisons maintenant, de façon quelconque, une relation d ordre total sur les atomes. On dit alors qu une hyper-résolution A 1 {p 1 }... A n {p n } {p 1,..., p n } B A 1... A n B est ordonnée si, pour chaque k = 1,..., n, l atome p k est plus petit que les atomes de A k. Le théorème de complétude pour les hyper-résolutions peut être raffiné de la façon suivante, en prenant pour p dans la preuve le plus grand atome contenu dans Γ:

La logique et son automatisation Section 3 11 Tout ensemble insatisfaisable de clauses est réfutable par hyper-résolutions ordonnées. Ceci élague encore plus l arbre de recherche de réfutations. On trouve dans la littérature toutes sortes d autres améliorations de ce genre. Voici pour terminer un algorithme, basé sur les réfutations par hyper-résolutions, permettant de décider si un ensemble Γ de clauses est satisfaisable ou non. Soit Π l ensemble des clauses positives de Γ, de la forme B, et soit N l ensemble des autres clauses de Γ, de la forme A B avec A non vide. := Π TANT QUE SI SINON et := { Hyper-résolvantes (ordonnées) de Π N} \ Π Π := Π Γ est insatisfaisable Γ est satisfaisable. Lors de la mise en œuvre de cet algorithme, l ensemble N des clauses non positives de Γ reste fixe. Seul change l ensemble Π des clauses positives, par adjonction des nouvelles hyper-résolvantes, rassemblées dans l ensemble. Exemple. Γ = { qrs, prs, pq s, qr p, rs q, ps r, s pr, r qs, q pr, r ps}. Ordonnons les atomes par ordre alphabétique. Au départ, il n y a qu une clause positive qrs. L unique hyper-résolvante ordonnée est prs. Par hyper-résolution avec pq s, on trouve rs. En ce moment, Π = { qrs, prs, rs}, mais comme qrs et prs sont évidemment des conséquences de rs, on peut aussi bien prendre Π = { rs}. Voici les hyper-résolvantes ordonnées que l on obtient successivement dans la suite: qs ps s (on peut dès lors oublier rs, qs et ps) pr r (oublions pr) q p L ensemble Γ est donc insatisfaisable.

La logique et son automatisation Section 4 12 Deuxième partie: Quantification 4. Syntaxe et sémantique de la logique prédicative de 1er ordre Syntaxe Un vocabulaire prédicatif du 1er ordre V est donné par - Un ensemble de chaînes de caractères appelées des symboles de relation (ou de prédicat). - Un ensemble de chaînes de caractères appelées des symboles d opération (ou de fonction). - Pour chaque symbole de relation ou d opération, un entier naturel n appelé son poids. On dit alors que ce symbole de relation ou d opération est n-aire (nullaire, unaire, binaire, ternaire etc.). On se donne encore un ensemble de chaînes de caractères appelées des variables. Ces ensembles de symboles de relation, de symboles d opération et de variables doivent être disjoints et ne contenir aucun des caractères réservés ( ) [ ],. Les termes de V sont définis inductivement par - Toute variable est un terme. - Si f est un symbole d opération n-aire de V et si t 1,..., t n sont des termes de V, alors f(t 1,..., t n ) est un terme de V. En particulier, tout symbole d opération 0-aire, aussi appelé une constante de V, est un terme. Les formules de V sont définies inductivement par - Si r est un symbole de relation n aire de V et si t 1,..., t n sont des termes de V, alors r(t 1,..., t n ) est une formule de V, dite atomique. - Si ϕ et ψ sont des formules de V, il en va de même pour ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) et (ϕ ψ). - Si ϕ est une formule de V et x une variable, alors x[ϕ] (pour tout x ϕ) et x[ϕ] (il existe x tel que ϕ) sont des formules de V. On dit que x et x sont des quantificateurs universel et existentiel et que ϕ est le champ du quantificateur. Comme en logique propositionnelle, ces règles de formation des termes et des formules sont déterministes, d où un théorème de lecture unique. En pratique, on omet certaines parenthèses et les symboles de relation ou d opération ne sont pas toujours notés de façon préfixe, mais aussi infixe ou postfixe, ou d autres façons encore, suivant l usage. D autre part, on peut évidemment se dispenser de notre usage systématique des parenthèses carrées après les quantificateurs.

La logique et son automatisation Section 4 13 Exemple. Le vocabulaire de l arithmétique de Peano comprend - un symbole de relation binaire: l égalité notée = infixe, - deux symboles d opération binaire: l addition notée + infixe et la multiplication notée par juxtaposition, - un symbole d opération unaire: la succession notée postfixe; - une constante: le zéro noté 0. Par exemple, si x, y, z sont des variables, alors est une formule. x y[x = y + z z z[x = xz x = 0 ]] Une occurrence dans une formule d une variable x est dit liée si elle est dans le champ du quantificateur x ou x; sinon elle est dite libre. Les variables libres d une formule sont celles ayant au moins une occurrence libre. Une formule sans variable libre est dite fermée ou appelée un énoncé. Si ϕ est une formule avex x 1,..., x n comme variables libres, alors la formule fermée x 1... x n [ϕ] s appelle la clôture universelle de ϕ. En logique prédicative, une substitution est une fonction σ qui, à chaque variable x, associe un terme σ(x). Etant données des variables x 1,..., x n et des termes t 1,..., t n, la substitution σ définie par σ(x k ) = t k pour k = 1,..., n et σ(x) = x pour toute variable x distincte de x 1,..., x n sera notée (x 1 := t 1,..., x n := t n ). Pour une substitution σ et une formule ϕ, on notera ϕ σ la formule obtenue en remplaçant dans ϕ chaque occurrence libre d une variable x par σ(x) et on dira que cette substitution dans ϕ est propre si toute occurrence d une variable d un terme substitué σ(x) est libre dans ϕ σ. Par exemple, la substitution ( x[x = y]) y:=x donne x[x = x] et n est donc pas propre. Sémantique Une interprétation I d un vocabulaire prédicatif V est donnée par - Un ensemble non vide X, appelé l univers de discours ou le domaine de I. - Pour chaque symbole de relation n-aire r de V, une relation n-aire r I sur X, c est-à-dire une application r I : X n 2. - Pour chaque symbole d opération n-aire f de V, une opération n-aire f I sur X, c està-dire une application f I : X n X. Exemple. Dans l interprétation dite standard du vocabulaire de l arithmétique de Peano, l univers de discours est l ensemble N = {0, 1, 2,...} des entiers naturels et l égalité, l addition, la multiplication, la succession et le zéro ont leur sens usuel.

La logique et son automatisation Section 4 14 Un assignement pour l interprétation I du vocabulaire V est une fonction α qui, à chaque variable x, associe un élément α(x) de l univers de discours X de I. On définit inductivement la valeur t I,α X d un terme t de V par - Si x est une variable, alors x I,α = α(x). - Si f est un symbole d opération n-aire et t 1,..., t n sont des termes de V, alors f(t 1,..., t n ) I,α = f I (t I,α 1,..., t I,α n ). On définit inductivement la valeur de vérité ϕ I,α 2 d une formule ϕ de V par - Si r est un symbole de relation n-aire et t 1,..., t n sont des termes de V, alors - Si ϕ, ψ sont des formules, alors r(t 1,..., t n ) I,α = r I (t I,α 1,..., t I,α n ). ϕ I,α = 1 si et seulement si ϕ I,α = 0 (ϕ ψ) I,α = 1 si et seulement si ϕ I,α = 1 et ψ I,α = 1 (ϕ ψ) I,α = 1 si et seulement si ϕ I,α = 1 ou ψ I,α = 1 (ϕ ψ) I,α = 1 si et seulement si ϕ I,α = 0 ou ψ I,α = 1. - Si ϕ est une formule et x une variable, alors ( x[ϕ]) I,α = 1 ( x[ϕ]) I,α = 1 si et seulement si ϕ I,β = 1 pour tout assignement β avec β(y) = α(y) pour y x, si, et seulement si, il existe un assignement β avec β(y) = α(y) pour y x tel que ϕ I,β = 1. Exemple. Pour l interprétation standard de l arithmétique de Peano avec l assignement x := 2 y := 3 z := 0, la valeur du terme (x + 0 )y + z est 12 et la valeur de vérité de chacune des formules x = y z[x = y] y[x = y ] x[ x = 0 y[x = y ]] est 1. La valeur de vérité ϕ I,α variables libres de ϕ. d une formule ne dépend que des valeurs assignées par α aux Cela signifie: si α et β sont deux assignements tels que α(x) = β(x) pour toute variable libre x de ϕ, alors ϕ I,α = ϕ I,β. En particulier:

La logique et son automatisation Section 4 15 La valeur de vérité ϕ I,α d une formule fermée ϕ ne dépend que de l interprétation I et non de l assignement α. On notera cette valeur ϕ I. Lorsque ϕ I = 1, on dit que la formule fermé ϕ est vraie dans l interprétation I ou que I satisfait ϕ, ou encore que I est un modèle de ϕ. Les notions sémantiques de base déjà introduites en logique propositionnelle peuvent être reprises telles quelles pour les formules fermées de la logique prédicative: validité ( tautologie est réservé à la logique propositionnelle), conséquence logique, équivalence, satisfaisabilité. Une théorie élémentaire ou théorie du 1er ordre est donnée par un vocabulaire du 1er ordre V et un ensemble Γ de formules fermées de V, appelées les axiomes de la théorie. Les formules fermées de V qui sont des conséquences logiques de Γ s appellent les théorèmes de Γ. Exemples 1) Arithmétique élémentaire de Peano. Voici les axiomes de cette théorie, dont nous connaissons déjà le vocabulaire: x[x = x] x y[x = y y = x] x y z[x = y y = z x = z] x y[x = y x = y ] x y z[x = y x + z = y + z] x y z[x = y xz = yz] x[x = 0] x y[x = y x = y] x[x + 0 = x] x y[x + y = (x + y) ] x[x0 = 0] x y[xy = xy + x]. L arithmétique élémentaire de Peano contient en plus une infinité d axiomes d induction: pour chaque formule ϕ et chaque variable x, la clôture universelle de la formule ϕ x:=0 x[ϕ ϕ x:=x ] x[ϕ]. Nous connaissons fort bien un modèle de cette théorie: le modèle standard, dont l univers de discours est l ensemble N des entiers naturels. Les théorèmes de l arithmétique élémentaire de Peano sont donc vrais dans l interprétation standard. Mais nous verrons plus tard qu il existe des formules fermées ϕ vraies dans l interprétation standard, mais qui ne sont pas des théorèmes de l arithmétique de Peano: l arithmétique élémentaire de Peano n est pas une axiomatisation complète de l arithmétique. Nous verrons aussi bientôt qu il existe des modèles non standard de cette théorie, contenant d autres éléments que 0, 1, 2 etc.

La logique et son automatisation Section 4 16 2) Théorie élémentaire des groupes. Le vocabulaire contient un symbole de relation binaire noté = infixe et un symbole d opération binaire noté par juxtaposition. Axiomes: x[x = x] x y[x = y y = x] x y z[x = y y = z x = z] x y z[x = y zx = zy] x y z[x = y xz = yz] x y z[x(yz) = (xy)z] x y z[zx = y] x y z[xz = y]. Les groupes sont les modèles de cette théorie pour lesquels le symbole = est interprété par l égalité. 3) Théorie des ensembles. Le vocabulaire de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) ne contient que le symbole de relation binaire d appartenance. Ce n est pas le lieu ici de donner les axiomes de cette théorie, mais seulement de souligner l importance de cet exemple: d après le fondement des mathématiques le plus généralement adopté à l heure actuelle, les théorèmes de mathématiques seraient exactement les théorèmes de la théorie élémentaire ZF. Terminons cette section par quelques observations techniques sur les substitutions. Pour toute formule ϕ, toute substitution propre σ, toute interprétation I et tout assignement α, (ϕ σ ) I,α = ϕ I,σα, où σα est l assignement donné par (σα)(x) = σ(x) I,α. Que faire lorsqu une substitution n est pas propre? On aimerait quand même effectuer proprement la substitution. C est possible en renommant les variables de quantification: étant donnée une formule ϕ contenant une sous-formule de la forme x[ψ] ou x[ψ] et étant donnée une variable y n apparaissant pas dans ϕ, on remplace la sous-formule x[ψ] par y[ψ x:=y ] ou x[ψ] par y[ψ x:=y ]. On obtient ainsi une formule équivalente dans le sens suivant: On dit que deux formules (non nécessairement fermées) ϕ 1, ϕ 2 sont équivalentes et on écrit ϕ 1 ϕ 2 si ϕ I,α 1 = ϕ I,α 2 quels que soient l interprétation I et l assignement α. Exemple. On veut substituer x := x + y dans la formule y[x + y = x], ce qui donne y[(x+y)+y = x+y], mais cette substitution est impropre. Pour arriver à une substitution propre, il faut renommer z, par exemple, la variable de quantification y et on arrive à z[(x + y) + z = x + y].

La logique et son automatisation Section 5 17 5. Formes normales, théorème de Herbrand Formules prénexes Une formule Q 1 x 1... Q n x n [ψ] où Q i = ou Q i =, où les x i sont des variables et ψ (souvent appelée la matrice) est une formule sans quantificateur, est dite prénexe ou sous forme prénexe. Les équivalences suivantes permettent, quitte à renommer les variables de quantification, de tirer vers l extérieur les quantificateurs, de façon à arriver finalement à une forme prénexe. Pour toute formule ϕ x[ϕ] x[ ϕ] x[ϕ] x[ ϕ]. Pour toutes formule ϕ, ψ, où ψ ne contient pas x comme variable libre, x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] x[ϕ] ψ x[ϕ ψ] ψ x[ϕ] x[ψ ϕ] ψ x[ϕ] x[ψ ϕ]. Ceci démontre par induction sur le nombre de quantificateurs: Toute formule est équivalente à une formule prénexe. Par exemple: r(0) x[(r(x) r(x )] x[r(x)] x[r(0) (r(x) r(x ))] x[r(x)] x[r(0) (r(x) r(x ) x[r(x)]] x y[r(0) (r(x) r(x )) r(y)]. Les formes prénexes ne sont pas uniques: en travaillant autrement, on aurait pu arriver à r(0) x[r(x) r(x )] x[r(x)] y x[r(0) (r(x) r(x )) r(y)]. Pour des raisons qui vont bientôt être claires, il est préférable, lorsqu on a le choix, d avoir les quantificateurs existentiels en premier.

La logique et son automatisation Section 5 18 Skolemisation Considérons une formule fermée ϕ d un vocabulaire V, du type x 1... x n y[ψ]. Désignons par Ṽ le vocabulaire obtenu en adjoignant à V un nouveau symbole f d opération n-aire. La formule fermé ϕ de Ṽ donnée par x 1... x n [ψ y:=f(x1,...,xn) ] s appelle la skolemisation (partielle) de ϕ (on suppose que la substitution est propre). Exemple. Prenons un vocabulaire avec un symbole = de relation binaire et un symbole d opération binaire noté additivement. La skolemisation de la formule x y z[x = y + z] est x y[x = y + (x y)] avec le nouveau symbole d opération binaire. De même la skolemisation de la formule y x[x + y = x] est x[x + 0 = x] avec la nouvelle constante 0. Lemme. Une interprétation I de V satisfait ϕ si, et seulement si, il existe une interprétation Ĩ de Ṽ prolongeant I qui satisfait ϕ. Désignons par α l assignement x 1 := ξ 1,..., x n = ξ n, y := η pour une interprétation quelconque I de V et posons ψ(ξ 1,..., ξ n, η) = ψ I,α. Etant donné un prolongement Ĩ de I à Ṽ, on a (ψ y:=f(x1,...,xn) )Ĩ,α = ψ(ξ 1,..., ξ n, f Ĩ(ξ 1,..., ξ n )). Supposons maintenant que Ĩ satisfasse ϕ. Cela signifie que ψ(ξ 1,..., ξ n, f Ĩ(ξ 1,..., ξ n )) = 1 quels que soient ξ 1,..., ξ n dans le domaine X de I. Donc, pour tous ξ 1,..., ξ n dans X, il existe η = f Ĩ(ξ 1,..., ξ n ) dans X avec ψ(ξ 1,..., ξ n, η) = 1. Mais cela signifie que I satisfait ϕ.

La logique et son automatisation Section 5 19 Inversement, supposons que I satisfasse ϕ. En d autres termes, pour tous ξ 1,..., ξ n X il existe η X tel que ψ(ξ 1,..., ξ n, η) = 1. Définissons un prolongement Ĩ de I par f Ĩ(ξ 1,..., ξ n ) = n importe quel η X tel que ψ(ξ 1,..., ξ n, η) = 1 pour ξ 1,..., ξ n X. Alors Ĩ satisfait ϕ. La skolemisation partielle que nous venons d étudier s applique inductivement à toute formule prénexe ϕ, jusqu à ce qu on arrive à la skolemisation totale ϕ de ϕ, qui est une formule universelle, c est-à-dire de la forme x 1... x n [ψ] où ψ ne contient pas de quantificateur. Partant d un ensemble Γ de formules prénexes, on peut skolemiser chaque formule de Γ, arrivant ainsi à un ensemble Γ de formules universelles, appelé la skolemisation de Γ. D après ce qui précède: Lemme de Skolem. Un ensemble de formules prénexes est satisfaisable si, et seulement si, sa skolemisation est satisfaisable. Ainsi, nous avons ramené l étude de l insatisfaisabilité d un ensemble quelconque de formules fermées au cas de formules universelles. Formules universelles, formules sans quantificateur Nous désignons désormais par ϕ la clôture universelle d une formule ϕ et par Γ la clôture universelle d un ensemble Γ de formules, c est-à-dire l ensemble des clôtures universelles ϕ des formules ϕ de Γ. La signification de la clôture universelle est donnée par: Une interprétation I satisfait ϕ si et seulement si ϕ I,α = 1 pour tout assignement α. A noter qu une formule universelle s écrit de façon unique comme clôture universelle ϕ d une formule sans quantificateur ϕ. D autre part, une formule sans quantificateur d un vocabulaire prédicatif V n est rien d autre qu une formule au sens de la logique propositionnelle, avec les formules atomiques de V comme atomes propositionnels. Dans toute la suite, les notions sémantiques fondamentales (conséquence, équivalence, insatisfaisabilité) sont celles de la logique propositionnelle lorsqu elles se réfèrent à des formules ϕ sans quantificateur. Mais ce sont évidemment celles de la logique prédicative lorsqu elles se réfèrent à leur clôture universelle ϕ, c est-à-dire à des formules universelles. Voici un lien important entre ces deux sémantiques: Lemme d universalisation. Si Γ = ϕ, alors Γ = ϕ, où Γ et ϕ ne contiennent pas de quantificateur. Pour le vérifier, associons à chaque interprétation I et à chaque assignement α une fonction de vérité donnée par v I,α (ψ) = ψ I,α pour toute formule atomique ψ. Les définitions des valeurs de vérité utilisent les mêmes tables de vérité en logique propositionnelle et en logique prédicative, si bien que γ v I,α = γ I,α pour toute formule γ sans quantificateur. Soit maintenant I un modèle de Γ : γ v I,α = γ I,α = 1 pour tout γ Γ et tout assignement α. Par hypothèse Γ = ϕ, donc ϕ v I,α = ϕ I,α = 1 pour tout assignement α, c est-à-dire que I satisfait ϕ. Traduit en termes d équivalence logique, ce lemme devient:

La logique et son automatisation Section 5 20 Pour Γ, sans quantificateur, si Γ, alors Γ. Rappelons de la section 2 qu un ensemble de formules propositionnelles est équivalent à un ensemble de clauses. On arrive donc à la forme normale suivante: Tout ensemble de formules universelles est équivalent à la clôture universelle d un ensemble de clauses (de formules atomiques). Cette forme normale sera exploitée de façon systématique dans la section 6. Etant données une formule ϕ sans quantificateur et une substitution σ, rappelons que ϕ σ dénote la formule obtenue en remplaçant dans ϕ chaque occurrence de variable x par σ(x) (une telle substitution est forcément propre). Nous dirons (en franglais) que ϕ σ est une instance de ϕ. Lemme d instantiation. Pour toute formule ϕ sans quantificateur et toute substitution σ, ϕ = (ϕ σ ). Soit I un modèle de ϕ, c est-à-dire que ϕ I,α = 1 pour tout assignement α. Alors (ϕ σ ) I,β = ϕ I,σβ = 1 pour tout assignement β, en d autres termes I satisfait (ϕ σ ). On peut montrer que le lemme d universalisation et le lemme d instantiation constituent des moyens complets pour démontrer qu une formule universelle est conséquence logique d un ensemble de formules universelles mais, comme d habitude, nous allons plutôt nous concentrer sur la notion d insatisfaisabilité. Le théorème de Herbrand Une substitution de base est une substitution σ telle que, pour chaque variable x, le terme σ(x) soit constant, c est-à-dire ne contienne pas de variable. Une instance ϕ σ d une formule ϕ sans quantificateur sera appelée une instance de base de ϕ si σ est une substitution de base. Lorsque le vocabulaire V ne contient pas de constante, ces notions sont sans intérêt car il n y a pas de terme constant de V. Dans ce cas, on ajoute à V une constante a; il revient au même de considérer a comme une variable particulière et de prendre tous les termes ne contenant que la variable a au lieu des termes constants. Théorème de Herbrand. Soit Γ un ensemble de formules sans quantificateur. La clôture universelle Γ de Γ est insatisfaisable si, et seulement si, il existe un ensemble fini insatisfaisable d instances de base de formules de Γ. Désignons par Γ l ensemble des instances de base des formules de Γ. Nous démontrons le théorème sous la forme suivante, qui lui est équivalente d après le théorème de compacité de la logique propositionnelle: Γ est satisfaisable si et seulement si Γ est satisfaisable. Supposons d abord Γ satisfaisable. D après le lemme d instantiation, (Γ ) est encore satisfaisable. D après le lemme d universalisation, Γ doit être satisfaisable.

La logique et son automatisation Section 5 21 Inversement, soit v une fonction de vérité satisfaisant Γ. Nous allons construire un modèle I de Γ, appelé un modèle de Herbrand. L univers de discours de I, appelé l univers de Herbrand de V, est constitué de tous les termes constants de V. Etant donnés un symbole d opération n-aire f et un symbole de relation n-aire r, on définit f I (t 1,..., t n ) = f(t 1,..., t n ), r I (t 1,..., t n ) = v(r(t 1,..., t n )), quels que soient les termes constants t 1,..., t n. Maintenant, soit α un assignement c est-àdire, dans ce cas, une substitution de base. On vérifie par induction que t I,α = t α pour tout terme t. De même, ϕ I,α = (ϕ α ) v pour toute formule ϕ sans quantificateur. Comme v est un modèle de Γ, ϕ I,α = (ϕ α ) v = 1 pour toute formule ϕ Γ et pour toute substitution de base α. Mais cela signifie justement que I satisfait chaque formule ϕ avec ϕ Γ. Exemples 1) Prenons un vocabulaire V avec deux symboles de relation unaire H, M, préfixes et une constante s. On veut montrer que x[hx Mx], Hs = Ms (cf. le fameux syllogisme: tout homme est mortel etc.). Il s agit de vérifier que l ensemble Γ = { x[hx Mx], Hs, Ms} de formules universelles de V est insatisfaisable. L univers de Herbrand de V ne contient que la constante s. D après le théorème de Herbrand, l insatisfaisabilité de Γ équivaut à l insatisfaisabilité de l ensemble de ses instances de base {Hs Ms, Hs, Ms} au sens de la logique propositionnelle. Sous forme de clauses, l ensemble est évidemment insatisfaisable. {Hs Ms, Hs, Ms } 2) Le vocabulaire V ne contient que les symboles de relation unaire H, M préfixe. On veut montrer que x[hx Mx] = xhx xmx, ce qui revient à montrer l insatisfaisabilité de l ensemble { x[hx Mx], ( xhx xmx)}, équivalent à { x[hx Mx], xhx, xmx}

La logique et son automatisation Section 5 22 ou encore à l ensemble de formules prénexes { x[hx Mx], xhx, x Mx}. On ajoute à V une constante s et on remplace la formule existentielle x Mx par sa skolemisation M s. L univers de Herbrand est alors le même que dans l exemple précédent et on retombe sur le même ensemble insatisfaisable d instances de base. {Hs Ms, Hs, Ms} 3) Le vocabulaire est réduit à un symbole de relation binaire noté = infixe. On veut montrer que la réflexivité x[x = x] est une conséquence des formules x y[x = y y = x] x y z[x = y y = z x = z] x y[x = y]. Il s agit donc de vérifier l incompatibilité de ces formules avec la négation x[ x = x] de la réflexivité. La skolemisation s obtient en introduisant une constante a et un symbole f d opération unaire: x y[x = y y = x] x y z[x = y y = z x = z] x[x = fx] a = a. Cette fois, l univers de Herbrand {a, fa, ffa,...} est infini. On voit facilement que l ensemble fini suivant d instances de base a = fa fa = a a = fa fa = a a = a a = fa a = a est insatisfaisable. données. Par conséquent, la réflexivité est bien une conséquence des formules La fin de cette section est un peu à part: elle n a pas d application à l automatisation de la logique, mais elle donne une ouverture sur l un des domaines les plus importants de la logique mathématique.

La logique et son automatisation Section 5 23 Deux résultats fondamentaux de la théorie des modèles Il suit immédiatement du théorème de Herbrand: Théorème de compacité de la logique du 1er ordre. Tout ensemble insatisfaisable de formules fermées contient un sous-ensemble fini insatisfaisable. En voici une application typique: Soit I un modèle d une théorie du 1er ordre Γ, ayant N = {0, 1, 2,...} comme univers de discours. On suppose que le vocabulaire V de Γ contient la constante 0, le symbole d opération unaire et le symbole de relation binaire < (sinon on les ajoute à V) interprétés de façon standard par I. Désignons par V le vocabulaire obtenu en adjoignant à V une nouvelle constante et par Γ la théorie, de vocabulaire V, obtenue en ajoutant à Γ l ensemble infini d axiomes Θ = {0 <, 0 <, 0 <,...}. La théorie Γ est satisfaisable. D après le théorème de compacité, il suffit de vérifier que tous sous-ensemble fini de Γ est satisfaisable. Mais ne contient qu une partie finie de Θ et en prolongeant l interprétation I de V en une interprétation I( ) de V par on obtient un modèle de. (Delta) = un entier assez grand, Un modèle I de Γ est en particulier un modèle de Γ. On l appelle un modèle non standard de la théorie arithmétique Γ parce que son univers de discours N contient d autres éléments que les entiers standard 0, 1, 2 etc. L ensemble N contient notamment l entier non standard I infiniment grand, c est-à-dire plus grand que tout entier standard. Le même genre de technique peut être appliqué dans d autres situations, par exemple à l ensemble des nombres réels, ce qui montre l existence de modèles non standard de l analyse, permettant un traitement rigoureux des infiniment grands et des infiniment petits en calcul différentiel et intégral. Dans le théorème suivant, une théorie du 1er ordre est dite au plus dénombrable si son vocabulaire V et son ensemble Γ d axiomes sont dénombrables ou finis. De même, une interprétation est dite au plus dénombrable si son univers de discours est dénombrable ou fini. Théorème de Skolem-Löwenheim. Si une théorie du 1er ordre au plus dénombrable est satisfaisable, elle possède un modèle au plus dénombrable. En effet, le vocabulaire V de la skolemisation de Γ (dont on a mis les formules sous forme prénexe) est encore au plus dénombrable, donc aussi l univers de Herbrand de V. Ce théorème a des conséquences quelque peu étonnantes. Par exemple, si la théorie des ensembles ZF est satisfaisable, elle possède un modèle dénombrable ( paradoxe de Skolem ).

La logique et son automatisation Section 6 24 6. Réfutations par résolutions, unification Partant d un ensemble de formules fermées d un vocabulaire prédicatif V, nous avons appris dans la section précédente comment construire un ensemble Γ de clauses (de formules atomiques) de V avec la propriété: est insatisfaisable si et seulement si Γ est insatisfaisable. Cette section développe des méthodes pour prouver ou pour rechercher si la clôture universelle d un ensemble de clauses est insatisfaisable. Réfutations par instantiations et résolutions Sur l ensemble des clauses de V, nous considérons en plus des règles de résolution ou d hyperrésolution de la section 3 les règles d instantiation suivantes: ϕ ϕ σ, pour toute clause ϕ et toute substitution σ. On peut dès lors parler de déductibilité et de réfutabilité par instantiations et (hyper-)résolutions. Par exemple, R(f(x), y) R(f(x), f(y)) R(x, f(y)) R(f(x), f(y)) est une réfutation par instantiations et résolutions de l ensemble { R(f(x), y), R(x, f(y)) }, où R est un symbole de relation binaire et f un symbole d opération unaire. Théorème de correction. Si un ensemble Γ de clauses est réfutable par instantiations et (hyper-)résolutions, alors Γ est insatisfaisable. En effet, les lemmes d instantiation et d universalisation de la section précédente prouvent plus généralement: si une clause ϕ est déductible de Γ par instantiations et (hyper-) résolutions, alors ϕ est une conséquence de Γ. Théorème de complétude. Soit Γ un ensemble de clauses. Si Γ est insatisfaisable, alors Γ est réfutable par instantiations et (hyper-)résolutions. Comme Γ est insatisfaisable, il existe d après le théorème de Herbrand un ensemble insatisfaisable d instances (de base) de clauses de Γ. D autre part, d après les théorèmes de complétude de la section 3, est réfutable par (hyper-)résolutions. Ainsi, la clause vide est déductible de par (instantiations et) (hyper-)résolutions et chaque clause de est déductible de Γ par instantiations (et (hyper-)résolutions). Donc est déductible de Γ par instantiations et (hyper-)résolutions. Lorsqu on applique cette méthode, on recherche des instances ϕ σ, ϕ τ de clauses ϕ, ψ de façon à pouvoir résoudre ϕ σ et ψ τ par rapport à une certaine formule atomique. Autrement dit, il faut rechercher des instances communes de deux (ou plusieurs) formules atomiques. La fin de cette section est consacrée à ce problème, mais nous avons besoin pour cela d étudier d abord de plus près les substitutions:

La logique et son automatisation Section 6 25 Composition de substitutions La composition στ de deux substitutions σ,τ est la substitution définie par (στ)(x) = σ(x) τ pour toute variable x. La composition est caractérisée par la propriété suivante: Pour tout terme t, t στ = (t σ ) τ. Il s ensuit que la composition de substitutions est une opération associative. A noter que la substitution identique ι, définie par ι(x) = x pour toute variable x, est un élément neutre: σι = ισ = σ quelle que soit la substitution σ. Rappelons que nous notons sous forme d instruction d affectations simultanées (x 1 := t 1,..., x n := t n ) la substitution σ définie par σ(x k ) = t k pour k = 1,..., n et σ(y) = y pour toute variable y distincte des x k. De ce point de vue, on peut remarquer que la composition στ de deux substitutions s interprète comme étant l exécution séquentielle d abord de τ puis de σ. Si l on veut, στ est une autre notation pour begin τ; σ end. Exemple. Dans un vocabulaire avec deux symboles d opération unaire sin et exp, considérons les deux substitutions σ, τ données par x := sin(x) et x := exp(x) respectivement. Alors στ est la substitution x := sin(exp(x)) et τσ est la substitution x := exp(sin(x)). Unification Pour simplifier le langage dans ce paragraphe, nous appelons expression soit un terme, soit une formule atomique. On dit qu une substitution σ unifie deux expressions s, t ou que c est un unificateur de s et t lorsque s σ = t σ. S il existe un unificateur de s et t, on dit encore que s et t sont unifiables. Deux expressions unifiables s, t possèdent une infinité d unificateurs: si σ unifie s et t, il en va de même pour στ quelle que soit la substitution τ. Ce que l on aimerait, c est un unificateur qui permette aisément de trouver tous les unificateurs. On dit qu un unificateur σ de deux expressions s, t est général s il vérifie la propriété suivante: pour tout unificateur θ de s et t, on a la relation σθ = θ. Lorsque σ est un unificateur général de s et t, les unificateurs quelconques de s et t sont exactement les substitutions de la forme στ, où τ est n importe quelle substitution. Théorème d unification. Deux expressions unifiables possèdent un unificateur général. Démontrons d abord: Etant données deux expressions unifiables distinctes s et t, il existe une variable x et un terme u ne contenant pas x avec la propriété: tout unificateur de s et t unifie x et u. Si l on note σ la substitution x := u, cette propriété s énonce encore: pour tout unificateur θ de s et t, σθ = θ.