Les principales techniques d analyse de surface d onde utilisées en optique adaptative

Les principales techniques d analyse de surface d onde utilisées en optique adaptative Jérôme PRIMOT, Directeur de Recherches, Onera

Plan L équation de transfert en intensité Le senseur de courbure La famille Hartmann pause Descriptions géométrique / interférométrique La reconstruction : éléments Les perspectives en ASO

L analyse de surface d onde : Qu est-ce? ICI : analyse de la phase d une onde provenant d un point à l infini (point réellement présent ou non) typiquement : surface amplitudes λ/10 à 100 λ précision λ/100 à λ/4 rms échelles spatiales larges devant les amplitudes (qq mm et plus) souvent, avec une connotation temps réel souvent, dans un but correctif (connaissance du transfert optique)

Principaux domaines d emploi : Contrôle optique : Contrôles systématiques (lentilles portables) Optique active, adaptative : Télescopes astronomiques, embarqués (allègement), Astronomie (turbulence atmosphérique) Faisceaux lasers intenses (mise en forme) Ophtalmologie (contrôle, vision rétine) Restauration d images : Astronomie (turbulence atmosphérique)

Deuxième partie L équation de transfert en intensité Le senseur de courbure La famille Hartmann pause Descriptions géométrique / interférométrique La reconstruction : éléments Les perspectives en ASO

L équation de transfert en intensité L analyse de Surface d onde Domaine de très grande inventivité sur le plan des dispositifs Tous basés sur un même principe: L étude de la propagation de l intensité de l onde analysée L Equation de Transfert en Intensité (M. Teague, J. Opt. Soc.Am. A, Vol2, N 11, Nov 1985 )

L équation de transfert en intensité (1) L onde A(x) se définit par deux quantités l intensité I et la phase Φ A( x, y) = I( x, y). e iφ( x, y) on cherche à mesurer Φ, les capteurs sont sensibles à I Idée : Utiliser la variation de I lors de sa propagation (variation due en particulier à Φ) pour en déduire Φ

L équation de transfert en intensité (2) Propagation dans la cadre de l approximation parabolique, opérateur de Fresnel, = + Φ 2 2 π λ I z I I Φ. z i e y x A e y x A z y x i o ikz z λ λ π ) ( 2 2 * ), ( ), ( + = 0 ), ( 2 2 = + + y x A k k dz d i z λ 2π = k solution de : on en déduit :

L équation de transfert en intensité (3) = d dx d dy 2 = 2 d 2 + dx d dy 2 2 2 2 2π I d Φ d Φ = I z + λ 2 2 dx dy + di dx dφ dx + di dy dφ dy

L Equation de Transfert en Intensité, développement I z λz ( x, y) = I0 ( x, y) 0 0 I0. Φ 2π ( 2 I Φ + ) 0 Φ I 0 I z Φ I 0 I z - effet lentille - - effet prisme -

Le principe général Soit j observe les fluctuations d intensité introduites par les courbures locales de l onde lors de la propagation Effet «lentille» (ombroscopie, senseur de courbure) Soit j introduis un motif d intensité et j en observe la déformation lors de la propagation, du fait des basculements locaux de la surface d onde Effet «prisme» (famille Hartmann,interféromètre à décalage multi-latéral, déflectomètre)

Le théorème de Gouy, sensibilité et compacité La compression de pupille entraîne une augmentation des pentes et des courbures, 1/grandissement pour pentes 1/grandissement 2 pour courbures

L équation de transfert en intensité (5) Propriétés générales pour cette classe : L ACHROMATICITE passage de la phase à la différence de marche Φ, avec Φ = 2π / λ I 2 = I + I. z si I, I modulé et sont indépendants de λ, la variation de I suivant z est indépendante de λ, la mesure peut être effectuée en lumière blanche

L équation de transfert en intensité (6) I 2 = I + I. z Attention pour la famille «prisme» : pour être achromatique, il faut que le dispositif qui crée les variations d intensité soit achromatique La lame de shearing n est pas achromatique

Intérêt de l achromatisme indépendant de λ : - défauts d un miroir - turbulence atmosphérique (au 1er ordre) l achromatisme permet alors de mieux gérer le signal-à-bruit Lasers intenses : les impulsions brèves sont larges spectralement, La mesure ne peut avoir lieu qu à partir d un système achromatique

Le senseur de courbure : l effet lentille un exemple historique, le miroir magique chinois Miroir métallique, légèrement martelé, pour obtenir un motif en relief de l ordre du µm, en transformant les niveaux de gris en «échelle de profondeurs» Phi Miroir

Miroir magique (projection en fonction de la distance) Visu Visu Visu Visu 2 2 2 2 Support n, N 2 Iz n, N 2 Support n, N 2 Iz n, N 2 Support n, N 2 Iz n, N 2 Support n, N 2 Iz n, N 2 0 0 n 180 0 0 n 180 0 0 n 180 0 0 n 180 VisuMona VisuMona VisuMona VisuMona

Le senseur de courbure : quels enseignements? - Sensibilité directement proportionnelle à la distance d observation - Résolution spatiale inversement proportionnelle à la distance d observation Compromis à établir : - Les fluctuations d intensité doivent être grandes devant le bruit de la chaîne ou les défauts d éclairement initiaux > Z grand - La résolution spatiale doit être bonne > Z petit Vrai de toutes les techniques évoquées ici

Comment gérer les défauts d éclairement, la scintillation Le principe de base : effectuer une mesure de part et d autre du plan du défaut Les courbures «positives» sur-éclairements deviennent «négatives» sous-éclairements La figure de scintillation quant à elle reste la même Visu Visu VisuDiff Visum VisuMona

Senseur de courbure et astigmatismes Astigmatismes : défaut de la forme x 2 y 2 (et le même, mais tourné de 45 ) Dérivée seconde en x = 2, dérivée seconde en y = -2 donc courbure nulle (idem tilt, plan) Le senseur de courbure ne mesure pas les astigmatismes, les tilts, Asti Ajout de détecteurs de bord qui mesurent la déformation du support > renseignent sur l astigmatisme

La famille Hartmann : l effet «prisme» Principe : introduire une modulation (souvent périodique, porteuse) de l intensité par la mise en place d un masque à trous dans le plan d analyse Hartmann, 1900 Zelentchouk (Zverev, 1976) onde analysée plan d analyse Masque en carton percé de trous plan de mesure Plaque photo

Pourquoi «prisme» plutôt que «lentille»? Démarche similaire à AM / FM / PM en télécom Le senseur de courbure est basé sur une mesure locale de l intensité Sa simplicité conceptuelle est contrebalancée par les problèmes de scintillation Nécessité d une analyse en deux plans Les techniques basées sur l effet «prisme» cherchent les déformations d un maillage (porteuse), La complexité induite par l introduction du motif est contrebalancée par l insensibilité globale aux fluctuations d intensité

Variations d intensité et «prisme» intensité phase analysée plan d analyse plan de mesure

Les membres de la famille Hartmann (1) Masque de Hartmann 1880 Hartmann-Shack 1974 Interféromètre à Décalage Tri-Latéral 1991 Masque de Hartmann Modifié 1998 Déflectomètre 1988 Un arbre généalogique un peu compliqué qui peut être tracé différemment suivant la façon d en décrire les membres Fondamentalement : Tous sont basés sur un même principe «Introduire une porteuse en intensité pour mesurer les gradients»

Les membres de la famille Hartmann Il n y a pas de système idéal ; les variations entre dispositifs sont essentiellement liées à des contraintes d emploi - Application faible flux / fort flux - Implantation dans la chaîne optique (compacité, relais optique, ) - Environnement (vibrations, ) - Achromaticité (impulsions brèves, ) - Bande passante (optique adaptative, ) - Métrologie, contrôle, contrôle / commande, Et des contraintes industrielles Le choix du bon analyseur n est donc pas seulement lié à une performance intrinsèque en qualité de surface d onde reconstruite

Les membres de la famille Hartmann (3) Attention! Chaque membre de la famille a été développé pour un domaine d emploi privilégié ; il est donc optimisé pour ce domaine Faire attention à une comparaison entre analyseurs qui se base non pas sur le dispositif mais sur sa réalisation Exemple trivial : un analyseur utilisant un détecteur «bas niveau de lumière» sera tjrs meilleur qu un analyseur basé sur une techno classique pour les applications «faible flux» d où l intérêt d une recension générique des analyseurs, à distinguer d une recherche sur «data sheet» ou plutôt sur comparaison expérimentale

Les cousins Hartmann Hartmann Hartmann déflectomètre Shack-Hartmann Hartmann Modifié

L analyseur de Hartmann-Shack (1) Une naissance discrète (entrefilet J. Opt. Soc. Am. A, conférence) racontée tardivement (Platt and Shack, Journal of Refractive Surgery, 2001) Travail pour l USAF, pour l aspect mesure en temps réel de la turbulence atmosphérique, correction des images de satellites observés depuis la Terre Shack : opticien très créatif (pentaprisme, ) a l idée de rénover le test de Hartmann (plaque photo) des astronomes Deux soucis : - Perte importante d énergie (masque de trous a une efficacité << 50%) - Technologie de l époque pour mesure temps réel peu sensible

L analyseur de Hartmann-Shack, Wyant (2) Seul Shack-Hartmann décrit historiquement («nutating Hartmann») Principe du quatre quadrants : 0.95 1 11.3 10.8 10.95 Le quatre quadrants permet donc la mesure de la position en x et y de la tache image par l analyse comparative des signaux de sortie (très utilisé pour la poursuite d une cible)

L analyseur de Hartmann-Shack, Wyant (2bis) Création d une matrice de quatre quadrants : Beaucoup de lacunes dans le plan d analyse > Nécessite de focaliser l énergie au centre des détecteurs

L analyseur de Hartmann-Shack (3) onde analysée plan d analyse plan de mesure

L analyseur de Hartmann-Shack, la rupture (4) Rupture avec le test de Hartmann : La modulation d intensité n est pas directement introduite dans le plan d analyse, mais «codée» par une matrice de micro-lentilles pour apparaître dans le plan d analyse Cette différence fondamentale aurait pu justifier la création d une nouvelle famille Or, dès l origine, Shack rattache ce dispositif au Hartmann et ne lui reconnaît que peu d originalité (ne publie pas) En fait, le HS possède au moins une propriété spécifique (peu utilisée) qu on ne retrouve pas dans le test de Hartmann : caractère imageant et en perd une : la sensibilité n est plus continûment réglable

L analyseur de Hartmann-Shack, le succès (5) Ce qui fait le succès, c est la rencontre au bon moment entre un besoin et une idée, La matrice de quatre quadrants est un dispositif encombrant, peu compacifiable (théorème de Gouy), à faible nombre de points de mesure, ce qui limite rapidement la sensibilité et la résolution spatiale En 1969, apparaissent les premières matrices CCD de détecteurs (Bell Lab),

L analyseur de hartmann-shack : la mesure par barycentre (1) Le calcul des coordonnées en x et y de chacune des taches dans sa boîte donne accès à deux dérivées croisées

L analyseur de hartmann-shack : la mesure par barycentre (2) Limitation de la dynamique : la tache image ne doit pas approcher de la case suivante

L analyseur de Hartmann-Shack : un modèle géométrique (trop?) simple La description faite suppose - l indépendance des sous-pupilles - une surface d onde plane basculée dans chaque ss-pupille En fait, tache de diffraction au foyer de chaque micro-lentille épaulements importants, couplage entre taches 0.996 1 Foyer n 0.5 2.678. 10 4 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 n 80 J. Primot, Opt. Com., 2003

L analyseur de Hartmann-Shack : Les points remarquables Créé par Shack pour une application astronomique (faible flux) Idée force : les micro-lentilles - introduire la porteuse dans le plan de mesure - récupérer toute l énergie et la concentrer (sensibilité capteurs) Une propriété spécifique : - caractère imageant au foyer des micro-lentilles Une propriété perdue : - la sensibilité n est plus continûment réglable Un modèle géométrique très didactique : - attention à la précision du modèle pour application à la métrologie Assez gourmand en pixels : - typiquement 8 par 8 pixels par point de mesure

Un deuxième cousin : le Masque de Hartmann Modifié Par rapport au Shack-Hartmann : - retrouver la sensibilité réglable - optimiser le nombre de points de mesure / détecteur Le dispositif est cette fois basé sur un principe nouveau : les tableaux non-diffractants non-diffracting arrays

Masque de Hartmann et diffraction (1) 0 0 éclairage monochromatique Diminution de la longueur d onde

Masque de Hartmann et diffraction (2) 0 0

Effet Talbot (1836) Explication (réseau sinusoïdal en intensité) π 2π λ << d d +1-1 0 θ 1 λ d z z = 2 d λ z = 2 2d λ

Effet Talbot (1836) Explication (réseau sinusoïdal en amplitude) λ << d d +1 0 θ 1 λ d -1 Invariance par propagation

Le tableau non-diffractant Construction a d λ a Tableau non-diffractant achromatique

Le plus simple des tableaux non-diffractants : le Masque de Hartmann Modifié d /2 x Sans damier -d /2 0 d /2 x Avec damier D T z -d /2 0 D T z Ajout d un damier de phase de période double et de hauteur λ/2 Très bonne approximation du TND d ordre 4

Etude expérimentale du masque de Hartmann modifié, en lumière polychromatique MHM Halogen lamp camera 0 z > 0 Le caractère polychromatique rend les franges plus sinusoïdales

L invariance par propagation, l outil de l opticien géomètre Des franges similaires au «spot diagram» L interféromètre à décalage quadrilatéral

Le masque de Hartmann modifié : les points remarquables Déduit du masque de Hartmann, pour la métrologie Idée force : l invariance par propagation - introduire une porteuse invariante quelque soit le plan de mesure Des propriétés spécifiques supplémentaires : - les franges sont sinusoïdales dans les directions privilégiées (blanc) - la sensibilité est continûment réglable, au-delà du Hartmann classique Un modèle géométrique très didactique : - rappelle le modèle du calcul optique, tracé de rayons Un modèle interférométrique simple : - interférence de 4 ondes, modélisation aisée Moins gourmand en pixels que SH, plus que Courbure : - typiquement 4 par 4 pixels par point de mesure (voire 3 par 3 pixels)

Le Masque de Hartmann Modifié : un chaînon manquant? Description en pinceaux de rayons, proche de la description du Shack-Hartmann modèle géométrique Pour expliquer l invariance par propagation, description en réseau, effet Talbot modèle interférométrique En fait, il y a tjrs deux descriptions possibles pour chacun de ces systèmes : Géométrique et Interférométrique

L analyseur de Hartmann-Shack, interféromètre à réseau (1) grille de µ-lentilles réseau bi-périodique de phase F. Roddier, «variations on a Hartmann theme», Opt. Eng.

Du Hartmann-Shack à l Interféromètre à Décalage Tri-Latéral (1) Par conception : Hartmann-Shack adapté à l analyse faible flux (astronomie) En contre-partie : sensibilité, dynamique fixées profil de tache complexe >>> échantillonnage «gourmand» en nombre de pixels par tache Si le problème change : par exemple, analyse des faisceaux laser intenses >> modification du Hartmann-Shack _

Du Hartmann-Shack à l Interféromètre à Décalage Tri-Latéral (2) H-S : N par N répliques de mêmes amplitudes de l onde analysée N grand >> profil de tache complexe >> Nb pixels / tache grand Si on change d objectif : (par exemple, analyse faisceaux laser) abandon hypothèse faible flux au profit de maximisation du nb de points de mesure pour un CCD >> rechercher N min, conserver l aspect analyse bi-directionnelle passage de N par N (cartésien) à 3 ondes (hexagonal)

L IDTL : Interféromètre à Décalage Tri-Latéral, principe (1) 3 répliques de l onde Plan d analyse Système de réplique (basé sur un réseau hexagonal) Plan de mesure

L IDTL, principe (2)

L IDTL, dispositif (1) plan du réseau sélection de 3 ordres dans le plan de Fourier plan conjugué du réseau, sensibilité nulle

L IDTL, dispositif (2) Maximum de l énergie dans les 3 ordres utiles >> le réseau «à tommettes», 0, λ/3, 2λ/3 70% de rendement pour λ centrale

L IDTL, principe (3) profil sinusoïdal haute-résolution spatiale

L IDTL, propriétés (1) 3 dérivées de la phase à 120 2 dérivées orthogonales (reconstruction robuste) + 1 évaluation de l erreur Achromatique intérêt pour laser ultra-intense (impulsion courte) Sensibilité et dynamique continûment réglables par simple translation du plan de mesure Profil de frange sinusoïdal suivant les trois axes à 120 utilisation optimale du détecteur matriciel

IDTL et IDQL Le masque de Hartmann modifié peut être vu comme un interféromètre à décalage quadri-latéral Différences entre 3 et 4 ondes : IDTL mesure trois gradients à 120, avec relation de clôture IDQL mesure deux (ou quatre) gradients IDTL nécessite un système de filtrage intermédiaire IDQL plus simple d emploi, pas de réglage

Traiter les «Hartmanngrammes» Au-delà des dispositifs, traitement d un Hartmanngramme par démodulation pour extraire les gradients dans au moins deux directions, Le traitement est indépendant au 1er ordre du dispositif, même s il doit tenir compte de ses spécificités Déjà un premier traitement : recherche des coordonnées des barycentres des taches (cf. H-S), étude locale par pré-localisation (définition de zones de recherche) Proposition d un deuxième type de traitement (global) par démodulation TF (prolongation de l analogie FM)

Commençons par le 4 ondes

Procédure générale : 1- TF des franges Une harmonique correspond à l amplitude complexe observée au foyer pour la dérivée de la phase (aberration sphérique > coma) 2- Sélection d une harmonique, fenêtrage, recentrage 3- TF -1 >> Obtention d une amplitude complexe Intensité >>> Cartographie de la scintillation Phase >>> Cartographie de la dérivée de la phase dans la direction de l harmonique 5- On obtient donc N dérivées, par la sélection de N harmoniques,

Application au Hartmann-Shack

Première approche de la reconstruction (1) Pourquoi au moins deux dérivées? Mathématiquement, le besoin juste suffisant est de connaître une dérivée et une condition aux limites, par exemple la dérivée en y pour une coupe O On cherche F(x,y) en connaissant df/dx(x,y)

Première approche de la reconstruction (2) Marche aléatoire, processus sans mémoire : L erreur sur la mesure de la dérivée en x se propage Après le premier pas, la position la plus probable est le point d arrivée qui est entaché d une erreur Caractère accumulatif de l erreur

Première approche de la reconstruction (3) L utilisation des deux dérivées, en utilisant un moindre carré, permet d empêcher la propagation de l erreur, «Rigidification» de la surface O O O

Première approche de la reconstruction (4) L utilisation de trois dérivées, en utilisant un moindre carré, augmente la précision de la reconstruction O O O

Première approche de la reconstruction (4) L utilisation de quatre dérivées, en utilisant un moindre carré, augmente la précision de la reconstruction, Bruit réduit de 20% environ O O O

La reconstruction (1) Si beaucoup de méthodes existent, elles se ramènent essentiellement à la procédure suivante : 1- je connais la courbure ou je la déduis des gradients connus 2- j intègre l équation de Poisson Pblm : connaître une condition aux limites Les techniques diffèrent pour tenir compte de particularités des dispositifs - peu de points de mesure (donc beaucoup de points aux bords) - pas d évaluation des conditions aux limites - support compliqué, variable, - résultat recherché en décomposition modale pour une interprétation plus simple du résultat (Zernike, aberrations, )

La reconstruction (2) Φ? connaissan t 2 Φ 2 = 2 d 2 + dx d dy 2 2 Une technique efficace : Passer par la TF Petit rappel : F df ~ ~, f ( x, y), F( u, v) f 2iπ u F( u, v) dx ( x y) 2 ~ 2 2 F f F( x, y), F( u, v) f 4π ( u + ( x, y) v 2 ) ~ F( u, v)

Reconstruction à partir de la courbure 1- TF de la courbure 2- Diviser par : 4 π 2 (u 2 + v 2 ) 3- TF -1 Remarque : manque la condition aux limites (pblm ) Visu VisuMona

Reconstruction à partir de deux gradients croisés 1- TF des deux gradients 2- Multiplication de chaque TF de gradient par 2i π u (ou 2i π v) (revient à dériver le gradient suivant la même direction, dérivée seconde) 3- Faire la somme >> on obtient alors la TF de la courbure 4- Diviser par : 4 π 2 (u 2 + v 2 ) 5- TF -1 Remarque : L étape 3 est une application des moindres carrés > gestion des erreurs de gradient

Reconstruction à partir de N gradients 1- TF des N gradients 2- Multiplication de chaque TF de gradient par 2i π u n 3- Faire la somme >> TF d une courbure généralisée 4- Diviser par : 4 π 2 Σ n u n 2 5- TF -1 Remarque : L étape 3 est une application des moindres carrés à N mesures

L avenir de l analyse de surface d onde Une demande en forte croissance, de plus en plus diversifiée Années 80 : astronomie Années 2000 : astronomie (+ miroirs segmentés), lasers intenses, co-phasage de lasers fibrés, opthalmologie contrôle systématique en sortie de chaîne, Quelques exemples pour le MHM

Les surfaces morcelées (1) Contrôle des miroirs segmentés, le télescope Keck

Les surfaces morcelées (2) Contrôle des miroirs segmentés, Mesure des pistons, en présence de turbulence atmosphérique (simulation) S. Velghe, mémoire de thèse, 15 janvier 2007, Paris XI

Imagerie de phase, biologie P. Bon et al.

Synthèse : la bonne hiérarchie Un même principe : l équation de transfert en intensité Utiliser la propagation de l onde pour en dévoiler la phase Des dispositifs différents : S adapter à des besoins spécifiques, bas flux, temps réel, métrologie, résolution spatiale, Des réalisations optimisées : Utilisation des technologies optimales Calculateur rapide, détecteur bas flux, grande dynamique,