Formulaire BTS Mécanique...2 Translation...2 Rotation...2 Mécanique des fluides...3 Théorème de Bernoulli...3 Pertes de Charges...3 Pertes accidentelles :...3 Électrothermie...4 Température...4 Différents mode de transfert de la chaleur...4 Capacité thermique...4 Chaleur massique...4 Résistance thermique...4 Résistance thermique d une cloison...4 Loi de l'électricité...5 Loi des nœuds...5 Loi des mailles...5 En régime alternatif sinusoïdal...5 Composants élémentaires (dans tous les régimes)...5 En sinusoïdal...5 Valeur moyenne et efficace...6 Valeur moyenne...6 Valeur efficace (RMS Root Mean Square)...6 Puissance...7 Dans tout les cas...7 Cas particuliers...7 Puissance dans les composants élémentaires...7 Puissance déformante (D)...7 Système du premier Ordre...8 Magnétisme...9 Champ magnétique crée par un courant...9 Flux magnétique...9 Force électromotrice induite (e)...9 Loi de Laplace...9 Loi d'hopkinson...9 Théorème d'ampère...9 Machine synchrone...10 Modèle pour une phase couplage étoile (Y)...10 Essais...10 Pertes...10 Hacheur...11 Hacheur série...11 Hacheur parallèle...12 Machine Asynchrone...13 Schéma équivalent et arbre des puissances...13 Différentes pertes...13 Différentes puissances...14 Transformateur monophasé...15 Rapport de transformation...15 Schéma équivalent...15 Détermination de Rs et Ls à partir de essai en court-circuit...15 Détermination de Rfer et Lμ à partir de essai à vide...15 Formule approchée de Kapp...15 Formule de Boucherot...15 1/16 Bernard STRAUDO
Mécanique Puissance Énergie P= dw dt Énergie mécanique E M =E C +E P P = T Ω Poids = mg g = 9,81 m.s -2 Translation a= dv v= dx dt dt Pour une accélération constante x= 1 2 at 2 v 0 t x 0 v=v 0 t x 0 Principe fondamental de la dynamique de translation (PFDT), ou relation fondamentale de la dynamique (RFD) ou deuxième loi de Newton F =m a Dans le cas où a=0, le solide est soit immobile soit est en mouvement rectiligne uniforme (première loi de Newton). Travail Énergie cinétique W = F dl E C =1/2mv² Énergie potentiel pour le champ gravitationnel E P = mgz Puissance P= mv Troisième loi de Newton Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B. Rotation J : Moment d inertie (kg.m²) T : Moment du couple de force (N.m) Ω : vitesse de rotation (rad/s) v = Ω R v : vitesse linéaire (m/s) R rayon (m) a= d R a :accélération linéaire (m.s dt -2 ) Principe fondamental de la dynamique T =J Ω t Énergie cinétique E C =1/2 JΩ² Moment d inertie de quelques solides : Cylindre : plein ½ MR² Barre : 1/12 ML² Sphère : 2/5 MR² 2 Cas d un réducteur J 1 N 1 ²=J 2 N 2 Rapport de réduction : k=n2/n1 2/16 Bernard STRAUDO
Mécanique des fluides L e débit volumique en m 3.s -1 Le débit massique q m en kg.s -1 Masse volumique :kg.m -3 q V = V t q m = m t ρ= m v q V = vs S section en m 2 v vitesse m.s -1 q m = ρ q v Pression p= F S 1 bar =10 5 Pa 1 atm= 101 325 Pa V : volume de fluide (m 3 ) t : temps (s) m : masse de fluide (kg) p : pression en (Pa) F : la force en N S la section en m² Théorème de Bernoulli 1 2 ρ v 2 2 v 2 1 ρg z 2 z 1 p 2 p 1 = P q V Les indices 1 et 2 correspondent à deux lieux choisis. Le fluide s'écoule de 1 vers 2. P> Pompe P<0 Turbine P=0 pas de machine v : vitesse du fluide (m/s) z : altitude (m) p : pression du fluide (Pa) P : puissance échangée q V : débit volumique (m 3.s -1 ) 1 2 v 2 2 v 2 1 g z 2 z 1 p 2 p 1 J = P q v Pertes de Charges ΔJ = λ v 2 l 2d Dues à la longueur des canalisations Pertes accidentelles : dues aux coudes, vannes, Té... 1 λ= 100 Re λ= 64 Re 0, 25 avec en laminaire Turbulent 3
Électrothermie Température T = t +273,5 T en K et t CT en K (Kelvin), t en C (degré Celsius) 0 K est la température la plus basse, correspond à aucune agitation électronique Différents mode de transfert de la chaleur Convection : transport de l énergie par déplacement d un fluide, déplacement de matière. Conduction : transport de l énergie sans déplacement de matière, seulement l agitation de particules. Rayonnement : transport d énergie par les ondes électromagnétiques. C est le seul transfert possible dans le vide. m est la masse en kg c : chaleur massique du matériaux C Th : J/ C capacité thermique E th =C Th ( θ) C th = mc Capacité thermique P=C Th dt dt Chaleur massique Q = m L Q en joule (J) L est la chaleur latente massique de changement d'état en J kg - 1. Résistance thermique P R th = θ Rth : résistance thermique ( C/W) P : puissance fournie (W) θ : écart de température Résistance thermique d une cloison R = e / λ e est l'épaisseur en mètres et λ est la Conductivité thermique (W m -1 K -1 ) Attention ici R est m².k/w h coefficient d'échange et S surface d'échange R THT = 1/ (S 1 h 1 ) + R th + 1/(S 2 h 2 ) 4 Bernard STRAUDO
Loi des nœuds Loi de l'électricité La somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants de ce nœud. Loi des mailles La somme algébrique des tensions dans une maille est égale zéro. La loi des mailles et des nœuds sont valables avec les valeurs instantanées. En régime alternatif sinusoïdal Nous devons utiliser les nombres complexes ou les vecteurs de Fresnel. Composants élémentaires (dans tous les régimes) u=l di dt u = R i i=c du dt Pour une inductance Pour une résistance Pour un condensateur La valeur moyenne de la dérivée d'une grandeur périodique est nulle (u L et i C ) En sinusoïdal - dipôle purement résistif : Z = [R;0] = R - dipôle purement inductif : Z = [Lω ; 90 ] = j Lω 1 - dipôle purement capacitif : Z =[ ; 90 ] C 5 Bernard STRAUDO
Valeur moyenne et efficace Valeur moyenne < u >= 1 T T 0 u t dt ou < u >= surface T Mesurée en position DC Valeur efficace (RMS Root Mean Square) U = 1 surfacede u2 0 T T Mesurée en position AC+DC (multimètre RMS) T u 2 t dt= < u 2 > Ou U = U = <u> 2 U 1 2 U 2 2 U 3 2... U n valeur efficace de l'harmonique de rang n 6 Bernard STRAUDO
Puissance P puissance active en W Q puissance réactive en VAR S puissance apparente en VA u et i valeurs instantanées et U et I valeurs efficaces Dans tout les cas P =<p> =<ui> S =UI Cas particuliers Si une des deux grandeurs est constante : P= <u> <i> En régime sinusoïdal monophasé: P= UI cos φ Q= UI sin φ S =UI En régime sinusoïdal triphasé équilibrée : (U tension composée I courant de phase) P= 3 UI cos φ Q= 3 UI sin φ S = 3 UI Si une des deux grandeurs est sinusoïdale (l'indice 1 représente le fondamental) P =UI 1 cos φ 1 Q = UI 1 sin φ 1 S =UI Puissance dans les composants élémentaires Composant P Q Résistance P = R I² = U²/R >0 0 Inductance 0 Q = X I² = U² / X >0 Condensateur 0 Q = - X I² = - U² / X <0 Puissance déformante (D) S= P 2 Q 2 D 2 Cas où les deux grandeurs possèdent des harmoniques P = U 1 I 1 cos φ 1 + U 2 I 2 cos φ 2 + U 3 I 3 cos φ 3 + φ 1 déphasage entre U 1 et I 1 S = U I 7 Bernard STRAUDO
Système du premier Ordre Système régie par des équations différentielles de la forme : dg dt t g =G g =G 1 e G p = G 1 p Démonstration Sans second membre : dg dt g=0 g=k e Solution particulière avec second membre : Solution générale avec second membre : g=g K e t t ax ' bx=0 x=k e b a t dg dg g=g pour =0 g=g dt dt Si le condition initiale sont tel que g(0)=0 alors g=g 1 e t/ Courbe pour t=τ pour t=3τ pour t=5τ g = 0,63 G g = 0,95 G g = 0,999 G 0,63 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Calcul d'un temps t= ln 1 g G Utilisation Mécanique : J d dt = T avec T =k Electrothermie : mc dt +(T-Ta) dt =P Electricité Circuit RL série U=L di dt Ri 8 Bernard STRAUDO
Magnétisme B champ magnétique en Tesla (T) Φ flux magnétique en Weber (Wb) S surface en m² Champ magnétique crée par un courant I Le passage d un courant dans un circuit crée un champ magnétique proportionnel à la valeur de l intensité de ce courant. Flux magnétique φ =B S cos α = B. S α angle entre B et la normale à S Force électromotrice induite (e) e= d E en Volt (V) dt Loi de Laplace B α B I F Règle de la main droite : F = B I l sin α F force en Newton (N) I intensité en Ampère (A) B champ magnétique en Tesla (T) α angle entre le champ et le conducteur traversé par le courant B I F F pousse -> Pouce I intensité -> Index B Magnétique -> Majeur. Loi d'hopkinson avec R= l S = R 0 R Φ = NI Théorème d'ampère H induction magnétique en A/m H. dl= I i µ perméabilité magnétique (H/m) B = µ H µ 0 = 4 π 10-7 H/m B champ magnétique (T) 9 Bernard STRAUDO
Machine synchrone n S = F p F fréquence (Hz) p nombre de paire de pôle n S vitesse de synchronisme E =KNφΩ Ν nombre de conducteur actif par phase. φ flux (Wb) Ω vitesse (rad/s) K coefficient de Kapp (entre 2,2 et 2,6) Modèle pour une phase couplage étoile (Y) r est souvent petit devant X S Alternateur ou Génératrice Synchrone (GS) E J U X U R V d où V = E S (r + jx S ) I V = E s U R U X P ABSORBEE = 2 π n T M + u EX i EX P UTILE = 3 UI cos φ Moteur Synchrone (MS) E J U X U R V V = E S + (r + jx S ) I V = E s U R U X P ABSORBEE = 3 UI cos φ + u EX i EX P UTILE = 2 n T M Essais Alternateur non saturé Détermination de r La méthode Volt-ampéremétrique en continu sera utilisée : r= U C I C Détermination de X S L inducteur de l alternateur sera court-circuité d où : de plus I cc = k I e E S aura été déterminée par l essai à vide. Z S = E S I cc X S = Z S 2 r 2 Alternateur saturé X S devra être calculé pour chaque point de fonctionnement. Pertes Pertes Joule dans l inducteur P JR = u EX i EX = r EX i EX ² Pertes Joule dans l induit P JS = 3 2 R a I 2 où R a est la résistance mesurée entre deux bornes de l induit celui-ci couplé. Pertes constantes Pc Les pertes constantes sont les pertes magnétiques et mécaniques. 10/16 Bernard STRAUDO
Hacheur série Hacheur V Interrupteur commandé M Uch u ch Conduction interrompue Le rapport cyclique est temps où l' int errupteur α = la période est passant i imax imin Pour une conduction ininterrompue < u = V et U = V iˆ + i Dans la charge <i ch > = 2 Dans la diode <i D > = α <i CH > Dans l interrupteur <i H > = (1-α) <i CH > Ondulation en courant Δi= i i 2 Δi= V 1 α α et 2 Lf Δi MAX = V 8 Lf pour = 1 2 i H i D ich Pour un conduction interrompue α fixé par la commande et β-α par la charge. <u CH >= (VTα+(T-Tβ)E)/T= Vα+(1-β)E α ( β α ) V i ch = 2Lf v ch E αt βt T 11/16 Bernard STRAUDO
Hacheur parallèle i V E u ch Conduction ininterrompue u = V = ( 1 α ) U C H U C V = 1 α u Ch i αt u Ch Conduction interrompue V E αt βt u β = V = ( β α ) UC + (1 β V U C = V β α H ) 12/16 Bernard STRAUDO
Machine Asynchrone Vitesse de synchronisme (tr/s) n S = f p f : fréquence en Hz et p : nombre de paire de pôle Glissement (sans unité): g= n n S n vitesse de rotation (même unité que n S ) n S g = 0 moteur à la vitesse de synchronisme li n y a pas de couple. g = 1 ou 100% moteur à l arrêt ou en début de démarrage Fonctionnement freinage arrêt moteur asynchrone synchronisme génératrice asynchrone n 0 n S g 1 0 Schéma équivalent et arbre des puissances I R S I R P JS P JR P m V R FER Xµ X' P ABS P tr P A P UTILE R /g P FS Différentes pertes P FS : Pertes fer au Stator (Déduites de la mesure à vide) P JS : Pertes Joule au Stator P JS = 3 2 R A I 2 =3 R J 2 R A : résistance entre deux bornes du moteur couplé et R résistance d'un enroulement P JR : Pertes Joule au rotor P JR = g P tr P M : Pertes mécaniques (Dues aux frottements) P C : Pertes constantes 13/16 Bernard STRAUDO
P C = P m + P FS Différentes puissances P tr : Puissance transmise au rotor P tr = P abs - ( P FS + P JS ) P tr = Tem Ω S P ta : Puissance transmise à l arbre P ta = P tr - P JR P ta = Tem Ω P 0 : Puissance à vide La puissance à vide est la puissance qu absorbe le moteur quand il n entraîne aucune charge. P 0 = P JS + P FS + P M P U : Puissance utile P U = T U Ω 14/16 Bernard STRAUDO
Rapport de transformation m= u 20 u 1 = U 20 U 1 = i 1 i 2 = I 1 I 2 = N 2 N 2 Transformateur monophasé Schéma équivalent Ls Rs R Fer 2 2 R = r + r m et L = m l + l S 2 1 S 1 2 Détermination de Rs et Ls à partir de essai en court-circuit Détermination de Rs Détermination de Xs R S = P 1CC 2 I 2 A partir de Zs nous obtenons Xs : Z S mu = I 1CC X S = ZS RS 2 Détermination de R fer et Lμ à partir de essai à vide Ils sont déterminés à partir de l essai à vide mesure de P 10, I 10 et U 1. 2 R FER = U 1 X P = U 10 10 2 Q 10 Formule approchée de Kapp ΔU 2 = (R S cos φ + X S sin φ ) I 2 U 2 = U 20 ΔU 2 φ déphasage de la charge Formule de Boucherot U 1 = 4,44 N 1 S f B max B max valeur maximum du champ magnétique en Tesla (T) s : section du cadre magnétique en m² f : la fréquence en (Hz) 15/16 Bernard STRAUDO
Redressement monophasé < u CH >= 2 U MAX U =U CH = U MAX 2 Pour un courant parfaitement lissé dans la charge I CH = <i CH > = I <i>=0 k = P S =0,9 Facteur de forme : F= U < u > Taux d'ondulation : = U <u > =U U MAX MIN <u > 16/16 Bernard STRAUDO