CHAPITRE 4 : Etudes de fonctions 1 Sens de variation d une fonction... 2 2 Fonctions de référence... 3 2.1 Fonctions affines... 3 2.2 Fonction carré... 4 2.3 Fonction inverse... 5 2.4 Fonction valeur absolue... 6 3 Fonction racine carrée... 8 4 Positions relatives des réels et... 9 5 Opérations sur les fonctions et sens de variation... 12 5.1 Fonction... 12 5.2 Fonction... 13 5.3 Fonction... 14 5.4 Fonction... 15 5.5 Somme de deux fonctions... 16 5.6 Produit de deux fonctions... 18 1
CHAPITRE 4 : Etudes de fonctions 1 Sens de variation d une fonction Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle de. est strictement croissante sur l intervalle si, pour tous réels et de l intervalle tels que on a. est strictement décroissante sur l intervalle si, pour tous réels et de l intervalle tels que on a. est monotone sur l intervalle si elle est croissante ou bien décroissante sur. 2
2 Fonctions de référence 2.1 Fonctions affines Une fonction où et est une fonction dite «affine». Sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur et d ordonnée à l origine. Si alors est croissante sur. Si alors est décroissante sur. Si alors est constante sur. 3
2.2 Fonction carré La fonction carré est une fonction décroissante sur Quel que soit, et. De plus. Donc car la fonction carré est décroissante sur. La fonction carré est une fonction croissante sur Quel que soit, et. De plus Donc car la fonction carré est croissante sur. 4
2.3 Fonction inverse La fonction inverse est une fonction décroissante sur Quel que soit, et. De plus d où car la fonction inverse est décroissante sur. La fonction inverse est une fonction décroissante sur Quel que soit, et. De plus d où car la fonction inverse est décroissante sur. 5
Ne pas dire : «La fonction inverse est décroissante sur car cela signifierait : «pour tous réels et de tels que on a» ce qui est faux : 2.4 Fonction valeur absolue Définition de la valeur absolue d un réel Soit. Sour une droite munie d un repère on considère le point. On appelle valeur absolue de la distance. Ce nombre est noté. Exemples : 6
Définition de la fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est la fonction définie sur par. D après la définition précédente, Exemples : si alors si alors La fonction valeur absolue est donc une fonction affine par intervalles (on dit aussi affine par morceaux) : Propriétés La valeur absolue d un nombre est toujours positive ou nulle. Les valeurs absolues de deux nombres opposés sont égales. Pour tout réel La fonction valeur absolue est définie sur. Elle est décroissante sur et croissante sur. Quel que soit, et De plus d où car la fonction valeur absolue est décroissante sur 7
3 Fonction racine carrée Définition : La fonction racine carrée est la fonction définie sur par. Exemples : si alors si alors La courbe de la fonction racine carrée est une demi parabole. Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur Démonstration : Soir et deux réels tels que. On a donc ce qui s écrit aussi. Pour étudier le sens de variation de la fonction, on cherche à comparer et. Pour comparer et, on étudie le signe de la différence. On multiplie et on divise par le réel non nul (qui est l expression conjuguée 1 de ). Or et donc est positif. 1 Le but de la multiplication par l expression conjuguée est de faire apparaitre 8
Conclusion : et sont deux réels tels que et donc la fonction est strictement croissante sur. Quel que soit, et. De plus. Donc car la fonction racine carrée est croissante sur. Ecriture de la valeur absolue à l aide d une racine carrée Pour tout, 4 Positions relatives des réels et Premier cas : si Si alors 9
Démonstration : En multipliant les trois membres par le réel positif on a : Et : car la fonction est croissante sur Donc, en rapprochant les deux résultats : Deuxième cas : si Si alors 10
Démonstration : En multipliant les trois membres par le réel positif on a : Et : car la fonction est croissante sur Donc, en rapprochant les deux résultats : Interprétation graphique : Soit la courbe de la fonction, la courbe de la fonction et la courbe de la fonction Si alors est en-dessous de qui est elle-même en-dessous de. Si alors est au-dessus de qui est elle-même au-dessus de. Quel que soit, comparer les trois réels, et. Réponse : Pour tout réel on a : Donc on a aussi Faisons le changement de variable On a donc : Donc : Finalement : pour tout réel. 11
5 Opérations sur les fonctions et sens de variation 5.1 Fonction Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel. La fonction notée est la fonction pour tout Soit la fonction définie pour tout par. La fonction est la fonction définie pour tout par. La fonction est la fonction définie pour tout par. Sens de variation de Les fonctions et ont le même sens de variation sur l intervalle. Soit la fonction définie sur par. Dresser le tableau de variation de. Réponse : avec et. Or est croissante sur. Donc est croissante sur. 12
5.2 Fonction Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel. La fonction notée est la fonction pour tout Exemples : Soit la fonction définie pour tout par. La fonction est la fonction définie pour tout par. La fonction est la fonction définie pour tout par. Sens de variation de Si alors les fonctions et ont le même sens de variation sur l intervalle. Si alors les fonctions et ont des sens de variation contraires sur l intervalle. Soit la fonction définie sur par. Dresser le tableau de variation de. Réponse : avec et. Or est croissante sur et. Donc est décroissante sur. 13
5.3 Fonction Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle et telle que pour tout, La fonction inverse de est notée. C est la fonction pour tout Soit la fonction définie pour tout par. Puisque pour tout, alors la fonction est la fonction définie pour tout par. Sens de variation de Si pour tout réel, ne s annule pas et garde la même signe, alors la fonction et la fonction ont des sens de variation contraires sur l intervalle. Soit la fonction définie sur par. Dresser le tableau de variation de. Réponse : avec, et., et. et sur donc a le sens de variation contraire de. 14
5.4 Fonction Soit une fonction définie sur un intervalle et telle que pour tout, La fonction racine de est notée. C est la fonction pour tout Soit la fonction définie pour tout par. Puisque pour tout, alors la fonction est la fonction définie pour tout par. Sens de variation de Si pour tout réel, reste positive ou nulle, alors la fonction et la fonction ont le même sens de variation sur l intervalle. Soit la fonction définie sur par. Dresser le tableau de variation de. Réponse : avec, et., et. et sur donc a le même sens de variation que. 15
5.5 Somme de deux fonctions Soit et deux fonctions définies sur un intervalle. La fonction est la fonction définie pour tout par. Soit la fonction définie pour tout par et soit la fonction définie pour tout par. Alors la fonction est la fonction définie pour tout par Sens de variation de 1 er cas Si pour tout réel, et sont croissantes alors la fonction est croissante sur l intervalle. Soit la fonction définie sur. Dresser le tableau de variation de. Réponse : avec et est croissante sur et est croissante sur. Donc, par somme, est croissante sur. 16
Sens de variation de 2 èmr cas Si pour tout réel, et sont décroissantes alors la fonction est décroissante sur l intervalle. Soit la fonction définie sur. Dresser le tableau de variation de. Réponse : avec et avec donc a le sens de variation contraire de la fonction racine carrée. Donc est décroissante sur et est décroissante sur. Donc, par somme, est décroissante sur. Sens de variation de 3 ème cas Si pour tout réel, est croissante et est décroissante alors on ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de la fonction sur l intervalle. Soit la fonction définie sur. Dresser le tableau de variation de. Réponse : est croissante sur et est décroissante sur Donc on ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de sur (Voir le graphique précédent). 17
5.6 Produit de deux fonctions Soit et deux fonctions définies sur un intervalle. La fonction est la fonction définie pour tout par. Soit et les fonctions définies pour tout par et. Alors la fonction est la fonction définie pour tout par. Sens de variation de On ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de la fonction sur l intervalle. Soit la fonction définie sur. Dresser le tableau de variation de. Réponse : est le produit des fonctions et Donc on ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de (Voir le graphique précédent). sur 18