Programme complet : http://www.unv-lemans.fr/~jhthomas/syll_5a_ts.html Tratement du sgnal (5 h) Jean-Hugh Thomas (jean-hugh.thomas@unv-lemans.fr) Sgnaux aléatores Analyse spectrale 3 Systèmes lnéares stochastques Modèles AR, MA, ARMA Prédcton lnéare Estmaton spectrale «moderne» 4 Temps-fréquence, temps-échelle (Ondelettes) Fches TP : http://www.unv-lemans.fr/~jhthomas/fches/fches.html
Bblographe Théore et tratement des sgnaux (F. de Coulon), Dunod, 984. Tratement numérque des sgnaux (M. Kunt), Presses polytechnques romandes, 984. Méthodes et technques de tratement du sgnal et applcatons aux mesures physques (J. Max), Tome Masson, 985. Technques modernes de tratement numérque des sgnaux (M. Kunt), Presses polytechnques romandes, 99.
Bblographe (sute) Tratement numérque du sgnal une ntroducton (A.W.M. Van Den Enden,.A.M. Verhoeckx), Masson 99. Sgnaux et systèmes lnéares (Y. Thomas), Masson, 994. Temps-fréquence (P. Flandrn), Hermès, 993.
4 Bblography Modern Spectral Estmaton (S. M. Kay), Englewood Clffs, J:Prentce Hall, 988. Dscrete-Tme Sgnal Processng (A. V. Oppenhem and R. W. Schafer) Englewood Clffs, J:Prentce Hall, 989. Dgtal Sgnal Processng: Prncples, Algorthms and Applcatons (J. G. Proaks and D. G. Manolaks), Upper Saddle Rver, J:Prentce Hall, 996. A wavelet tour of sgnal processng (S. Mallat), Academc Press, 999.
5 Sgnaux aléatores Concept Représentatons statstques 3 Statonnarté 4 Ergodcté 5 Spectres 6 Sgnaux partculers
6 Sgnaux aléatores 3 expérences x (t) Processus aléatore (t) x (t) x 3 (t)
Processus aléatore 7
8 Foncton de répartton Densté de probablté F(x) f(x) x x F( ) F( )
9 Exemples de sgnaux aléatores Electrocardogramme Sgnal de parole Rouls d un navre Consommaton d électrcté Presson dans chambre de combuston d un moteur
Pussance en kw 6 Exemples 3 Température en C 3 Temps 5 Temps
Moyenne et varance Presson atmosphérque en mbar 95 x( t), x ( t), x3( t) m ( t) 9 m ( t) ( t) 85 3 4 5 Echantllons
Exemples de sgnaux aléatores Electrocardogramme Sgnal de parole Rouls d un navre Consommaton d électrcté Presson dans chambre de combuston d un moteur
Ergodcté 3 Moyennes d ensemble t Moyennes temporelles lm E ( t) ( t) x
4 Ergodcté m lm E ( t) x( t) dt T T T ( t) lm x( t) m dt T T T E c T T R E t t lm ( ) ( ) ( ) x ( t) x ( t ) T T T T dt
5 Analyse spectrale Estmaton Pérodogramme 3 Pérodogramme moyenné 4 Pérodogramme modfé 5 Corrélogramme
6 Chaîne de mesure Fltre ant-replement Echantllonnage Sgnal x(t) FFT Spectre (f) Fenêtrage
7 x Brut Estmaton y x Système g y x : Vecteur de varables nconnues y : Vecteur de varables mesurées x : Estmaton
Qualté d un estmateur 8 Bas de l estmateur Matrce de varance-covarance E E E Varance (cas monovarable) E E Erreur quadratque moyenne E x b Estmateur consstant b E x T lmb lm
9 Estmaton de corrélaton x n Talle du support de R - - - x n+ Temps -- -- Temps
Estmaton de corrélaton x n Support de n donné - x n+ n Somme sur + échantllons n + -
Estmaton de corrélaton x n Support de n x n+ - n + - donné n Somme sur - échantllons
Estmateur de corrélaton Rˆ ' n n n Rˆ ' n n n Bas b ˆ ' R Varance proportonnelle à Estmateur consstant
Estmateur de corrélaton 3 R n n n R n n n Bas b R R Varance proportonnelle à Estmateur consstant
4 Algorthme de calcul Calcul par FFT de la TFD de { n } sur ponts. FFT - de f 3 Calcul de R FFT f
5 Pérodogramme smple x n TFD. s f Transformée de Fourer de l estmaton basée de l autocorrélaton du sgnal pondéré par une fenêtre x n r basé TFD s f
6 Pérodogramme ˆ S f f Estmateur nconsstant Bas b Sˆ f k k R k e f k Varance S f S f
Pérodogramme moyenné 7 M fenêtres rectangulares L ponts x x L- x L- x - Bartlett (948) pas de recouvrement
Pérodogramme moyenné 8 s B ( f ) s ( ) ( f ) K K ˆ ( ) f s L L n x n e j f n Segment =,...K- x ( n) x( n L) =,...K- n=,...l-
9 Pérodogramme moyenné S B ( f ) S ( ) ( f ) K K Estmateur consstant k b S B f L R ( k ) e k f k Bas S f S ( ) f Varance K B L
3 Pérodogramme modfé M fenêtres D ponts x x D- x D- x - L ponts x L- x D+L- Welch (967) Recouvrement : L - D ponts (M - ) D + L =
Pérodogramme de Welch 3 M s W ( f ) s ( ) ( f ) M Segment =,...M- ( ) L j fn s ( f ) x ( n) w( n) e LU n L U w ( n) L n
3 Pérodogramme de Welch M S W ( f ) ( ) ( ) M S f Estmateur consstant W Sˆ f S f * S W f Espérance S W f L S ( ) f Varance M
33 Corrélogramme Sˆ BT f k M M Rˆ ( k) w( k) e j f k x n r TFD s f Blackman et Tukey (958)
34 Corrélogramme BT Sˆ f S f * W B f Espérance Varance Sˆ BT f S f m M M w ( m) Estmateur consstant
35 Systèmes lnéares stochastques Transmsson d un sgnal aléatore dans un système lnéare Processus générateurs d un sgnal aléatore : fltres formeurs du er ordre
36 Transmsson d un sgnal aléatore dans un système lnéare n H(z) Y n Valeur moyenne de la sorte? Intercorrélaton entre la sorte et l entrée? Autocorrélaton de la sorte? Densté spectrale de pussance de la sorte?
37 Paramètres statstques Moyenne n h R R h Y n Intercorrélaton Autocorrélaton R h h R DSP f f f SY S
38 Fltres formeurs du er ordre Y a Y avec a t t t E t E Y y E t V E Y y P E t t E Y t t
39 Fltre formeur du er ordre Y t- et t corrélés? E Y t t { t } {Y t } t- t- t- t t+
4 Analyse t Brut blanc centré de varance V er ordre Y t Caractérstques statstques de Y t? Moyenne? Varance? Autocorrélaton?
4 Fltre formeur du er ordre Y t corrélé à t, t+,... t+ -, t+ -? { t } {Y t } t t+ -
4 Caractérstques statstques de la sorte du processus du er ordre Moyenne Varance P a P V t t E Y a y y t lm t Pt t V a t P a P a a L a V t t Autocorrélaton 4 t R Y a V a
43 Synthèse R Y P a x t? y t V a P H z z a z
44 Modélsaton paramétrque Modèle AR Prédcton lnéare 3 Modèles MA, ARMA 4 Estmaton spectrale 5 Exemples
Processus générateurs : 45 MA, AR, ARMA Brut blanc centré x n Sgnal AR, fltre IIR H(z) y n Sgnal MA, fltre FIR z Sgnal ARMA a z z z b z a z b z
46 Modélsaton autorégressve t Brut blanc centré de varance V z Réponse mpulsonnelle h du fltre? Pussance de Y t? a z Y t Autocorrélaton de Y t?
47 Processus générateur AR Réponse mpulsonnelle du fltre : h Pussance : V R V R a R Y Y Y R V a R Y Y Autocorrélaton : R a R Y Y
48 Equatons de Yule Walker R R R. R R R R. R R... R R R R.. R.. V a a a.. R a V
.. 3. 4. Algorthme de Durbn-Levnson a, V R, V R a, n n n V V 49 s n 5. a a a, n, n, n s n 6. s n
5 Synthèse d un sgnal AR Processus aléatore y t Estmaton de la séquence d autocorrélaton { R Y } t Brut blanc centré de varance V z a, z Y t Calcul des a, et V par l algorthme de Levnson =,... )
5 Prédcton lnéare { y t } { y t } Valeurs de y et y à l nstant t? y t yˆ t yˆ t y t t- E Y Y t t t t Temps
5 Analoge Y t H - (z) E t Fltre MA prédcteur d erreur t H (z) Y t Fltre AR
53 Equatons de Yule Walker R R R. R R R R. R R... R R R R.. R.. V a a a.. R a V
54 Modélsaton moyenne moble t z b z Y t Brut blanc centré de varance V Réponse mpulsonnelle h du fltre? Pussance de Y t? Autocorrélaton de Y t?
55 Processus générateur MA Coeffcents du fltre : h b Pussance : R V h Y Autocorrélaton : R Y V h h
56 Synthèse d un sgnal MA Processus aléatore y t Estmaton de la séquence d autocorrélaton { R Y } t Brut blanc centré de varance V z b z Y t Calcul des b par programmaton non lnéare =,... )
57 Modélsaton autorégressve et moyenne moble Brut blanc centré de varance V t z b z a z Y b a Y t t t Y t Autocorrélaton de Y t?
58 Processus générateur ARMA Autocorrélaton : R a R b E Y Y Y t t R Y a R Y R a R b b V Y Y
59 Modélsaton ARMA R R R. R R R R. R R... R... R. R R.. R a a a b b V.. Equatons de Yule Walker
6 Synthèse d un sgnal ARMA Processus aléatore y t Estmaton de la séquence d autocorrélaton { R Y } Brut blanc centré de varance V t b z Calcul des a, par l algorthme de Levnson =,... ) U t a, z Y t
6 Synthèse d un sgnal ARMA 3 Détermnaton des { U t } U Y a Y t t t 4 Estmaton de la séquence d autocorrélaton { R U 5 Calcul des b par programmaton non lnéare R V b b U b,
6 Estmaton de la DSP à partr du modèle AR du sgnal Estmaton de la séquence d autocorrélaton {R y (k)}. Calcul des a, et V par l algorthme de Levnson. Détermnaton de la Densté Spectrale de Pussance : V S f Y n a, n e j f nt e
63 Estmateur de DSP Brut blanc centré de varance sn z 4 5 t z 3 sn 3 4 t Sgnal MA + + Estmateur de DSP
64 Estmateur de DSP Brut blanc centré de varance 45. z 8. z Brut de mesure de varance Sgnal AR Estmateur de DSP