DROITES ET PLANS DE L ESPACE

Chapitre 15 DROITES ET PLANS DE L ESPACE Les schémas du mathématicien, comme ceux du peintre ou du poète, doivent être beaux ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'assembler de façon harmonieuse. La beauté est le premier test : il n'y a pas de place durable dans le monde pour les mathématiques laides. Godfrey Harold HARDY 1 NOTION DE PLAN Un plan P est déterminé par : trois points A, B et C non alignés, Ou par deux droites (d) et (d ) sécantes, Ou par deux droites (d) et (d ) parallèles, Ou par une droite (d) et un point A n'appartenant pas à (d). Dénition 1. On dit alors que les droites (d) et (d ) sont coplanaires. On dit également que 4 points ou plus sont coplanaires lorsqu'ils appartiennent à un même plan. LYCÉE BLAISE PASCAL 1 S.DELOBEL M.LUITAUD

2 Chapitre 15. Droites et plans de l espace 2 POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE PLANS 2.1 Positions relatives de deux droites Soient (d) et (d ) deux droites de l'espace. On a alors diérents cas de gure : d et d sont parallèles. d d = d et d sont coplanaires. (Il existe donc un plan P qui contient les droites d et d.) d et d sont sécantes. d d = I d et d ne sont pas coplanaires. (Il n'existe donc pas de plan P qui contient les droites d et d.) d d = Dans l'espace, deux droites qui n'ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles. Exercice 1 ABCDE est une pyramide dont la base ABCD est un trapèze avec (BC)//(AD). 1. Quelle est la position relative des droites (AD) et (EC)? (Tracer leur intersection si elles sont sécantes.) 2. Quelle est la position relative des droites (AB) et (CD)? (Tracer leur intersection si elles sont sécantes.)

Cours de Terminale S 3 Exercice 2 ABCDEF GH est un carré de centre O. Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). Questions Réponses 1. Les droites (AB) et (EG) sont : sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 2. Les droites (EC) et (AG) sont : sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 3. Les droites (HC) et (EB) sont : sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 2.2 Positions relatives d une droite et d un plan Soient d une droite et P un plan. On a alors diérents cas de gure : d et P sont strictement parallèles. d P = d et P sont parallèles. On note d//p. d est incluse dans P (d P ) d P = d d et P sont sécants. d P = I

4 Chapitre 15. Droites et plans de l espace Exercice 3 Les droites et plans suivants sont-ils sécants ou parallèles? 1. (AB) et (EF G) 2. (AB) et (EF C) 3. (DF ) et (ABC) 4. (AB) et (DHF ) 5. (AB) et (HF C) 6. (AG) et (EHF ) Méthode 2. Pour construire l'intersection (si elle existe) d'une droite (d) et d'un plan P, on cherche dans le plan P une droite (d ) telle que (d) et de (d ) soient coplanaires. Il sut ensuite de construire l'intersection de (d) et (d ). On prouve ensuite que le point construit est le point recherché. Exercice 4 ABCDEF GH est un cube. Le point I appartient à l'arête [F G] distinct de G. Construire l'intersection de la droite (DI) et du plan (ABE). Exercice 5 ABCDEF GH est un cube, I est le milieu de [EH] et M est le point de [BG] tel que 4BM = BG. Construire l'intersection de la droite (IM) et du plan (ABC).

Cours de Terminale S 5 Exercice 6 ABCD est un tétraèdre. I est un point de la face ACD et J un point de la face ABC. Construire de deux manières l'intersection de la droite (IJ) et du plan (BCD). 2.3 Positions relatives de deux plans Soient P et P deux plans. On a alors diérents cas de gure : P et P sont sécants. P et P sont parallèles. Si P et P sont confondus : P P = d P P = P Si P et P sont strictement parallèles : P P = Méthode 3. Pour construire l'intersection de deux plans P et P, on choisit judicieusement deux droites (d) et (d ) de P et on trace leurs intersections avec P. Les deux points construits dénissent la droite d'intersection de P et de P.

6 Chapitre 15. Droites et plans de l espace Exercice 7 ABCDEF GH est un cube. Les questions suivantes sont indépendantes. 1. Construire l'intersection des plans (ACH) et (BDG). 2. Construire l'intersection des plans (IJK) et (ACD). 3 PARALLÉLISME 3.1 Droites parallèles Propriété 4. 1. Étant donné une droite d et un point A, il existe une droite et une seule passant par A et parallèle à d. (C'est même l'un des axiomes de la géométrie euclidienne) 2. Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre. 3.2 Droite et plan parallèles Théorème 5. Une droite d est parallèle à un plan P si et seulement si elle est parallèle à une droite d de P. Exercice 8 Dans le cube ABCDEF GH, M, N et P sont les milieux respectifs des segments [AD], [EH] et [F G]. Démontrer que la droite (GM) est parallèle au plan (NP B).

Cours de Terminale S 7 Propriété 6. 1. Si deux droites sont parallèles alors tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. 2. Si deux droites sont parallèles alors tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre. 3. Si une droite d est parallèle à deux plans sécants P et P alors d est parallèle à leur droite d'intersection d. Théorème 7 (Théorème du toit). Soient deux droites d et d parallèles. Soient P un plan contenant d et P un plan contenant d. Si P et P sont sécants en alors la droite est parallèle à d et à d. Exercice 9 SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un carré. Construire l'intersection des plans (SBC) et (SAD). 3.3 Plans parallèles Théorème 8. Deux plans P et P sont parallèles si et seulement si l'un contient deux droites sécantes d 1 et d 2 parallèles à l'autre.

8 Chapitre 15. Droites et plans de l espace Exercice 10 ABCDEF GH est un cube. I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [EH], [EF ], [HG] et [GF ]. Démontrer que les plans (AIJ) et (BKL) sont parallèles. Propriété 9. 1. Étant donné un plan P et un point A, il existe un plan et un seul passant par A et parallèle à P. 2. Si deux plans sont parallèles alors toute droite qui coupe l'un coupe l'autre. 3. Si deux plans sont parallèles alors toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre. 4. Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. 5. Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et leurs droites d'intersection sont parallèles. Exercice 11 Construire les sections du cube ABCDEF GH par le plan (IJK) dans chacun des cas suivants :

Cours de Terminale S 9 4 OR THOGONALITÉ 4.1 Orthogonalité de deux droites Dénition 10. Dire que deux droites d et (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales signie que les parallèles d et respectivement à d et menées par un point quelconque I sont perpendiculaires. On note d. Il ne faut pas confondre des droites orthogonales et des droites perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires doivent être sécantes alors que deux droites orthogonales peuvent être sécantes ou non coplanaires. En fait, deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais deux droites orthogonales ne sont pas forcément perpendiculaires. Propriété 11. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. 4.2 Orthogonalité d une droite et d un plan Dénition 12. Une droite d et un plan P sont dits orthogonaux lorsque d est orthogonale à toute droite de P. On note d P.

10 Chapitre 15. Droites et plans de l espace Théorème 13. Une droite d et un plan P sont orthogonaux si et seulement si d est orthogonale à deux droites sécantes de P. Exercice 12 On considère une pyramide SABCD régulière à base carrée. Le point O est le centre du carré ABCD. (SO) est donc la hauteur de cette pyramide. Le point I est le milieu de [BC]. 1. Démontrer que (SO) et (BC) sont orthogonales. 2. En déduire que la droite (BC) est orthogonale au plan (SOI). Propriété 14. 1. a. Étant donné un point A et un plan P, il existe une unique droite orthogonale à P et passant par A b. Étant donné un point A et une droite d, il existe un unique plan P orthogonal à d et passant par A. 2. a. Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils sont parallèles. b. Si deux plans sont parallèles alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre. 3. a. Si deux droites sont parallèles alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre. b. Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont parallèles.

Cours de Terminale S 11 4.3 Plans perpendiculaires Dénition 15. Deux plans P et P sont dits perpendiculaires si l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Exercice 13 ABCD est un tétraèdre régulier. I, J et K sont les milieux respectifs de [AC], [AD] et [DC]. 1. Montrer que les droites (BI) et (JK) sont orthogonales. 2. Montrer que la droite (JK) est orthogonale au plan (BDI). 3. Que peut-on dire des plans (BDI) et (BJK)?