Calcul numérique d un temps de descente Grégory Vial 2 juin 26 Résumé Dans ce texte court, on s intéresse au calcul approché du temps que met une bille à descendre un toboggan dont la forme est donnée. Différentes méthodes sont décrites et mises en œuvre, illustrant la difficulté d intégrer une fonction présentant une singularité. Le problème de descente. Description du problème On considère un toboggan, dont la forme est donnée par une fonction y : [, ] R (on impose la normalisation y() = et y() =, l axe des ordonnées étant dirigé vers le bas, cf. figure ). Une bille est lâchée sans vitesse initiale en haut du toboggan, i.e. en x = y = ; on souhaite connaître le temps qu elle met à arriver au bas du toboggan, i.e. en x = y =. On assimile la bille à un point matériel de masse m qui se déplace sans frottements sur la courbe y = y(x). Afin de déterminer le temps de descente, on va effectuer un bilan d énergie. Si on note s l abscisse curviligne sur la courbe, alors l énergie cinétique au temps t est donnée par E c (t) = ( ) ds 2 2 m. dt L énergie potentielle, quant à elle, s écrit E p (t) = mgy(x(t)). La conservation de l énergie totale entre les instants t =, initial, et t = T(y), où la bille arrive au bas du toboggan, fournit 2 m ( ) ds 2 mgy =, dt d où s (t) = 2gy. Le temps de descente est alors donné par T(y) = T(y) dt = l(y) ds = 2gy + y (x) 2 dx. 2gy(x) Le but de ce texte est de mettre au point une méthode efficace pour calculer T(y). Département de Mathématiques, ENS Cachan antenne de Bretagne, Campus de Ker-Lann, 357 Bruz. gregory.vial@bretagne.ens-cachan.fr
2 Agrégation externe de mathématiques ENS Cachan Bretagne FIG. La courbe définissant le toboggan.2 Un peu d Histoire : la brachistochrone Une question naturelle est de se demander quelle forme doit avoir le toboggan afin que le temps de descente de la bille soit minimal : c est le problème de la brachistochrone (du grec brakhisto le plus court et chronos temps.). Le premier scientifique à s être posé cette question semble être Galilée en 638. Il constate qu il ne s agit pas de la ligne droite mais ne parvient pas à trouver la solution au problème. Quelques dizaines d années plus tard (696), Jean Bernoulli formule le problème de manière plus précise et le résout : la courbe brachistochrone est un arc de cycloïde. Avant de publier sa solution, il lance le problème en défi aux mathématiciens de son temps. Des solutions de Newton, Leibnitz et Jacques Bernoulli seront ainsi publiées aux côtés de la sienne. La résolution du problème de la brachistochrone a été rendue possible grâce au développement du calcul différentiel et a donné naissance au calcul des variations, branche des mathématiques encore largement active aujourd hui. 2 Calcul approché du temps de descente 2. Première idée : une méthode ouverte Soit y : [, ] R + une fonction de classe C donnée (on suppose aussi connue la fonction dérivée y ) ; on suppose y() =, y() = et y(x) > pour x =, et on cherche à approcher la quantité + y T(y) = (x) 2 dx, () 2gy(x) on a pris g = dans tous les calculs qui suivent. La méthode la plus simple consiste à utiliser une formule de quadrature ouverte, pour éviter la singularité en x =. La plus élémentaire d entre elles est la méthode du point milieu : T(y) T N (y) := N N i= ( 2i + f ), (2) où on a posé f (x) = +y (x) 2 2gy(x). Cette méthode n est cependant pas très précise en raison de la singularité en x =. Plus précisément, on a le résultat suivant : Proposition On suppose que la fonction f s écrit sous la forme f (x) = x β + g(x) où g est régulière, alors la méthode du point milieu est d ordre β ( < β < ).
Texte. Calcul numérique d un temps de descente 3 PREUVE. On isole le premier terme dans l erreur : N T(y) T N (y) f (x) dx ( ) N f + N f (x) dx N N i= ( 2i + f Le premier terme est un O(N β ). Par ailleurs, l estimation de l erreur d interpolation sur chaque sous-intervalle J i = [ i N, i+ N ] (i ) montre que le second terme est majoré par ). N N 3 i= f,ji N ( ) i 2 β N 3 + N N i= 2 g,[,] = O(N β ). Exemple Afin d évaluer la précision de la méthode précédente, on l applique au calcul simple de l intégrale I = x 3 4 dx = 4 La figure 2 montre l évolution, en fonction du nombre N de sous-intervalles, de l erreur entre l intégrale approchée et l intégrale exacte (ce sont les logarithmes de ces quantités qui sont en fait représentés). On observe bien une convergence d ordre /4. FIG. 2 Courbe de convergence pour le calcul de x 3 4 dx par la méthode du point milieu. Exemple 2 La même courbe de convergence est obtenue pour le calcul de J = ( + x 2 )x 3 4 dx = 4 9. 2.2 Une méthode hybride pour la prise en compte de la singularité Si l on connaît la forme de la singularité de la fonction f en, il est possible d approcher l intégrale de manière plus précise. En effet, si la courbe définissant le toboggan est régulière et vérifie y(x) c.x α en x =, alors f admet une singularité en x β, où on a noté { α 2 si α < ; β = α (3) 2 si < α < 2.
4 Agrégation externe de mathématiques ENS Cachan Bretagne On peut alors récrire le temps de descente T(y) sous la forme (le nombre réel h reste à préciser) h T(y) = f (x) dx + f (x) dx. h La seconde intégrale n étant pas singulière, on peut lui appliquer la méthode du point milieu décrite au paragraphe précédent. Quant à la première intégrale, on l approche par une méthode gaussienne à un point : h La méthode hybride obtenue s écrit donc f (x) dx h β β f (hu)(hu)β, avec u = β 2 β. T(y) h β β f (hu)(hu)β + h N ( N f i= h + 2i + ) ( h). (4) Exemple 3 La figure 3 montre la courbe de convergence obtenue pour le calcul de l intégrale I = x 3 4 dx = 4 à l aide de la méthode hybride (le paramètre h vaut ici 2 et on a pris β = 3 4 ). On retrouve une convergence d ordre 2. FIG. 3 Courbe de convergence pour le calcul de x 3 4 dx par la méthode hybride. Exemple 4 Pour le calcul de l intégrale J = ( + x 2 )x 3 4 dx = 4 9, la figure 4 laisse apparaître une convergence d ordre 2 pour le choix h = 3, qui sature pour N grand. Pour des valeurs de h trop grandes, on observe le phénomène de saturation plus tôt (cas h = ici). Le point d équilibre se situe pour h de l ordre de / N, cf. graphe du bas ; l ordre de convergence est alors égal à 9/8.
Texte. Calcul numérique d un temps de descente 5 FIG. 4 Calcul de J par la méthode hybride (h =, h = 3 et h = / N resp.) 2.3 Une méthode de changement de variable Si, comme au paragraphe précédent, on suppose connu le comportement en de la fonction y : y(x) c.x α en x =, alors f admet une singularité en x β, où β est défini par les relations (3). Le changement de variable x = u ρ (ρ > ) donne T(y) = f (u ρ )ρu ρ du, si bien que cette intégrale perd son caractère singulier pour la valeur ρ = ( β). On peut alors appliquer la méthode du point milieu pour l approcher, ce qui fournit T(y) ρ N N i= f ([ 2i + ] ρ ) [ ] 2i + ρ. Exemple 5 La figure 5 présente la courbe de convergence obtenue pour le calcul de l intégrale J = ( + x 2 )x 3 4 dx = 4 9, par la méthode de changement de variable avec la valeur ρ = 4. On retrouve un ordre de convergence égal à 2, contre /4 par la méthode du point milieu non modifiée. 2.4 Calcul de quelques temps de descente Dans ce paragraphe, on applique les trois méthodes décrites plus haut au calcul des temps de descente correspondant aux formes de toboggan suivantes (voir figure 6) :. toboggan plan : y(x) = x ; 2. toboggan raide : y(x) = x ;
6 Agrégation externe de mathématiques ENS Cachan Bretagne FIG. 5 Calcul de J par la méthode de changement de variable x = u ρ. FIG. 6 Les toboggans. plan 2. raide 3. doux. 3. toboggan doux : y(x) = 2 x 3 2 (5 3x). Les calculs qui suivent permettent de comparer les temps de descente pour les trois toboggans ci-dessus. C est le toboggan raide qui fournit le temps le plus court, et le toboggan doux le plus long. Les résultats montrent clairement que la ligne droite n est pas brachistochrone. La solution du problème de la brachistochrone est donnée par la courbe paramétrée suivante : { x(θ) = C(θ sin θ), y(θ) = C( cos θ). La constante C est définie par C = ϕ sin ϕ, où la valeur du paramètre ϕ est la plus petite solution non-nulle de l équation cos ϕ = ϕ sin ϕ. Le temps de descente pour cette arc de cycloïde est T = ϕ C g.577334.
Texte. Calcul numérique d un temps de descente 7 2.4. Toboggan plan Avec les notations précédentes, α = et β = 2. N Point Milieu Hybride Chgt. var. 2.4988958589.6324555323368.627776335 4.53722668964.6324555323368.6269496565827 8.564928576548.6324555323368.6279757589645 6.584659896892.6324555323368.62929847484 32.598647286243.6324555323368.629949487884 64.685464227384.6324555323367.6365699475878 28.6554853584.6324555323367.6374667463 256.62527339237.6324555323367.635466658487 52.624846265.6324555323368.63876956798 24.62647785873294.6324555323368.639999399549 248.6282286758356.6324555323366.632332454342 496.62946669263455.632455532337.63222759378683 892.6334232478.6324555323369.6322943387372 6384.63962623.6324555323356.6323454534 32768.633988759747.6324555323387.632374929783 La valeur exacte est connue ici : T(x x) = 2.6324555323368, qui est fournie à la précision machine près par la méthode hybride. 2.4.2 Toboggan raide Ici, α = 2 et β = 3 4. N Point Milieu Hybride Chgt. var. 2.3623337942624.5766548488867.5699755624 4.394994579332.57448837935336.574349929285 8.423397462636.5749656784.57748825349 6.447729448457.5745296295888.578265898676 32.46838627287.575997898.5784569224366 64.485849225498.575596938.57855757966 28.5567633.5759639735665.5785795894 256.5295368752824.5763657578346.5785266285 52.52338469892.576729576.57852773626 24.532522856952.57698877357.5785296433749 248.539529489689.5772344774255.578522222 496.5457326234925.577436462327.578522239423 892.5594938882777.57769446576.5785222692237 6384.555336233793.5777542468422.5785222766742 32768.5592552355.5778763796836.5785222785369
8 Agrégation externe de mathématiques ENS Cachan Bretagne 2.4.3 Toboggan doux Ici α = 3 2 et β = 3 4. N Point Milieu Hybride Chgt. var. 2.5267465499.887926483743.842288272662 4.574732877538.8266473984526.862426 8.6746786627.79833547532587.82482963628 6.637677472399.79763233.885274956 32.66327533479382.7978946623884.8249474477 64.68577248933.79845755867.8223969984 28.736234292547.7989438952.82439242535 256.7924953728.7994285657472.82494435 52.7324862399.799852769438.8252973239 24.74353726348.822629.82564945 248.752838573554.859264896.8256945565 496.766762936279.87779437295.825744722 892.767274274866.8996294483.825764452 6384.772822956939.87968647.825776947 32768.7774889889965.83345772265.8257877 Suggestions. (le candidat est libre de ne pas les suivre). on pourra détailler la preuve de l ordre de la méthode du paragraphe 2. et l illustrer numériquement ; 2. on pourra détailler la construction de la méthode hybride du paragraphe 2.2 et expliquer le phénomène de saturation observé.