Objecifs ELE3 Représenaion des données JP David Connaîre e comprendre La représenaion d un nombre dans une base quelconque e en pariculier dans les formas binaires. Êre capable de Converir un nombre d une base à une aure Réaliser des opéraions sur les nombres Addiion sousracion muliplicaion division Déecion / correcion d erreurs Inspiré des acéaes de Ami Casonguay (M.Sc) e du livre de référence : Digial Principles (D.Givone) sepembre 6 Circuis logiques - JP David Plan Inroducion. Définiions. Réalisaion echnique.3 Conversions. Arihmeique binaire.5 Codes.6 Conrôle des erreurs Quelle heure es-il? : 3 : 59 heures + 3 minues + 59 secondes : : 99 heures + 99 secondes : : 3799 3799 secondes : : (-) heures + minues - seconde!!! à comper à parir du changemen de jour!!! sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
Dans h,57m,3s, il sera : 3 : 59 + : 3 : 3 = : 7 : 3 heures + 3 minues + 59 secondes heures + 57 minues + 3 secondes ---------------------------------------------------- heures + 7 minues + secondes Vore ami(e) arrive à 3:5: Es-ce avan ou après? Peu-on normaliser la représenaion? Quelles son les règles à respecer? sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5 Revenir à la base Comper en secondes : 7 : 3 x 36 secondes + 7 x 6 secondes + 3 secondes = 793 Cela revien à uiliser la base 793 x secondes + 7 x secondes + 9 x secondes + x secondes + 3 x secondes sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6 Une base es un paque Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : 5 = 5 paques de + Il y a 5 paques + auo, soi 5 auos sepembre 6 Circuis logiques - JP David 7 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
La base Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : La base (suie) Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : sepembre 6 Circuis logiques - JP David 9 sepembre 6 Circuis logiques - JP David La base (suie) Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : La base (suie) Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : sepembre 6 Circuis logiques - JP David sepembre 6 Circuis logiques - JP David
La base (suie) Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : La base (suie) Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3 sepembre 6 Circuis logiques - JP David La base (suie) La base (suie) Comper en base, cela signifie qu on va faire des paques de objes : sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6
La base (suie) La base (suie) sepembre 6 Circuis logiques - JP David 7 sepembre 6 Circuis logiques - JP David La base (suie) Définiions 3 = x = x = x 6 Lecures recommandées : Givone.: Posiional Number Sysem.: Couning in a Posiional Number Sysem Lecures faculraives : Givone.3 : Basic Arihmeic Operaions sepembre 6 Circuis logiques - JP David 9 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
Forme générale d un nombre [ an an L a a, a a L a m] ( b ) parie enière n chiffres parie fracionnaire m chiffres. Définiions base Valeur : Forme générale d un nombre (suie) [ an an L a a, a a L a m] ( b ) b b L b b b b L b n n m a b + a b + L + a b+ a n n n n. Définiions + a b + a b + L + a b - - - m - - - m sepembre 6 Circuis logiques - JP David sepembre 6 Circuis logiques - JP David. Définiions. Définiions Exemple Exemple 5 =. 5 +. +. 3 +. +. +. = 3 + 6 + + + + 5 = ((((().+).+).+).+).+ 6 3 6 / / / / 6 / 3 / 6 Base 5 5,5 3 6 /3 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
Quelques bases usiées. Définiions Quelques bases usiées (suie). Définiions SYSTÈME BASE CHIFFRES BINAIRE OCTAL DÉCIMAL HEXADÉCIMAL 6 Exemples : a a i i i a a i {,} {,,,3,,5,6,7} {,,,3,,5,6,7,,9} {,,,3,,5,6,7,,9,A,B,C,D,E,F} 3 3,( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 5,36( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) 3( ) = + + ( ) + 6( ) ( ) 3,6( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + 3( ) ( ) + 6( ) ( ) A,( 6) = ( 6) ( 6) + ( 6) ( 6) + A( 6) ( 6) + ( 6) ( 6) BINAIRE OCTAL 3 5 6 7 3 5 6 7 DÉCIMAL 3 5 6 7 9 3 5 6 HEXADÉCIMAL 3 5 6 7 9 A B C D E F sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6 Réalisaions echniques. Réalisaion echnique. Réalisaion echnique D où viennen les nombres? Réalisaion echnique : 5 vols Diagramme emporel manipulaion de nombres binaires représenés par des ensions élecriques v() +5 vols (bi ) ou vol (bi ) empéraure, 9,5 9,,5, INFORMATION ANALOGIQUE emps 5 vols v() 9,3 9,7 9,,,,7 9, 9,,9, 9,3 vol Informaion binaire : sepembre 6 Circuis logiques - JP David 7 INFORMATION NUMÉRIQUE À NOTER : VARIATION DISCRÈTE PRÉCISION FINIE sepembre 6 Circuis logiques - JP David
.3 Conversions Conversions Lecures recommandées : Givone. : Polynomial Mehod of Number Conversion.5 : Ieraive Mehod for Convering Inegers.6 : Special Conversion Procedures Conversion par muliplicaion Exemples : () = ((((()x+)x)x)x+)x+ = 5 5 = (5) x + = () x () + = () sepembre 6 Circuis logiques - JP David 9 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3.3 Conversions.3 Conversions Conversion par division Exemples : 5 / = 5 rese (LSB) 5 / = rese / = 6 rese 6 / = 3 rese 3 / = rese / = rese (MSB) / = rese () / = rese (5) sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3 Binaire, ocal e hexadécimal binaire 5 7 ocal 9 5 F hexa Jusificaion? Conv. de base par division sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3
Arihméique. Arihmeique L addiion binaire : 7 + Lecures recommandées : Givone.7 : Signed Numbers and Complemens. : Addiion and Subracion wih r s Complemens.9 : Addiion and Subracion wih (r-) s Complemens 6 3 6 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 33 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3. Arihmeique. Arihmeique Le décalage La muliplicaion 3 6 / / / / 6 / 3 / 6 Base 5 5,5,5 6,5 3,, 3 x 35 = ( x + x + 3) x 35 = 3 x 35 = 5 + x 35 x = 7 + x 35 x = 35 = 35 en base : x = ( x + x + ) x = x = + x x = + x x = = sepembre 6 Circuis logiques - JP David 35 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 36
. Arihmeique La sousracion : 7 - La sousracion : 79 -. Arihmeique 6 3 6 6 3 6 + + + + - - - - sepembre 6 Circuis logiques - JP David 37-56 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3 Les nombres négaifs. Arihmeique Soi une archiecure bis N (soi 55) + = Si ( + ) =, alors = - Toues les opéraions son % (modulo) 56 Les nombres négaifs son en fai 56-n - 55, - 5, -3 53-55 3 = (3 + 55) % 56 = 55 - = (55 + 55) % 56 = 5 3 = ( + 53) % 56 = 5 (=56-) sepembre 6 Circuis logiques - JP David 39. Arihmeique La noaion complémen à Soi un nombre V de N bis V[N- ] Commen savoir si sa valeur es : V[N-..] ou V[N-..] - N 5 ou - (5-56) On défini que V[N-] es le bi de signe Si V[n-] =, alors V es posiif V = V[N-..] Si V[n-] =, alors V es négaif V = V[N-..] - N V = V[N-] (- N- ) + V[N-..] En bis, on peu représener les nombres eniers de - à +7 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
. Arihmeique Le calcul du complémen à Par définiion : / x = N x Par sousracion : x Par complémen à : N x = ( N ) x + = /x + / () = + = + = sepembre 6 Circuis logiques - JP David + + - -. Arihmeique Reour à la sousracion 6 3 6-56 sepembre 6 Circuis logiques - JP David. Arihmeique. Arihmeique La division binaire Virgule fixe - -76 = x 6 76 3 9 96 - - = x - - = x rese / = 7,rese La représenaion en virgule fixe signifie que l on fixe le nombre de bis de la parie fracionnaire Ex : 5 bis d enier + 3 bis après la virgule Pour les addiions sousracions Aucun changemen Pour les muliplicaions/divisions Remere la virgule au bon endroi sepembre 6 Circuis logiques - JP David 3 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
Exemples en virgule fixe. Arihmeique Virgule floane. Arihmeique En virgule fixe 5.3 9.375 +.75 = / (75 + 67). +. =. ( + ) =. () =. 9.375 x.75 = (/) x (75 x 67) =. ( x ) =. () =. (fixe.6) Converir 37.69 en virgule fixe De 37, par / successives, on a : De.69, par x successives, on a :. 37.69 =. sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5 Les rès peis/grands nombres décimaux,5 =,5 x -9 (,5-9) 75 = 7,5 x (7,5 ) POUR INFO son représenés par deux nombres La manisse (un nombre en virgule fixe) SEULEMENT L exposan (un nombre enier) En binaire, c es le même principe : Signe V = ±.YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY x (XXXXXXXX-7) EXP = XXXXXXXX MAN =.YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6. Arihmeique Exemple en virgule floane Converir.5 au forma S 3 S = car c es un nombre posiif POUR INFO.5 = x.5 = x.5 = 3 x.65.65 x 3 = 99,6 arrondi à 99 SEULEMENT Manisse =. Si on ravaille avec un exposan excess 7 Exposan = 3, manisse =.65 (en décimal) Exposan = 7 + 3 = 3 =.5 = Codes Lecures recommandées : Givone. : Codes sepembre 6 Circuis logiques - JP David 7 sepembre 6 Circuis logiques - JP David
(CAS IDÉAL).5 Codes Inroducion au code de Gray Le code de Gray.5 Codes v () v () v () Nombre observé : v () v () (CAS RÉEL) v () v () v () Nombre observé : v () Nombre observé : sepembre 6 Circuis logiques - JP David 9 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5 Débu Consrucion du code de Gray Il es possible de consruire la séquence du code de Gray de façon iéraive jusqu au nombre de bis désiré. des des Iéraion Iéraion résula précéden mirroir des des résula précéden mirroir.5 Codes sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5.5 Codes Décimal Codé Binaire (BCD) Quand on veu afficher la valeur 3h7 (par exemple sur un four à micro-ondes), il fau afficher chiffres décimaux. On peu alors uiliser un codage binaire pour chaque chiffre pluô que pour le nombre lui-même. 37 = 3 7 = On uilise donc bis pour coder la valeur de chaque chiffre sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5
Le exe (codage ASCII).5 Codes Le conrôle des erreurs L \ H 3 5 6 NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK DLE DC DC DC3 DC NAK SYN SP! " # $ % & 3 3 5 6 @ A B C D E F 5 P Q R S T U V 6 ` a b c d e f 7 p q r s u v Lecures recommandées : Givone. : Error Deecion. : Error Correcion 7 BEL ETB ' 7 G W g w BS CAN ( H X h x 9 HT EM ) 9 I Y i y A LF SUB * : J Z j z B VT ESC + ; K [ k { C FF FS, < L \ l D CR GS = M ] m } E SO RS. > N ^ n ~ F SI US /? O _ o DEL sepembre 6 Circuis logiques - JP David 53 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5 Illusraion de la problémaique : BITS ÉMIS v() f {v()} + BRUIT v().6 Conrôle des erreurs D où viennen les erreurs? ÉMETTEUR CANAL RÉCEPTEUR BRUIT f {v()} + BRUIT DISTORSION COUPURES BITS REÇUS ERREUR ERREUR sepembre 6 Circuis logiques - JP David 55 La disance Hamming.6 Conrôle des erreurs Définiion : Nombre d inversion de bis enre mos : Exemple : A = e B = A XOR B =, soi une disance de 3 Le principe de la déecion d erreur consise à augmener arificiellemen la disance enre quelconques mos de données en ajouan des bis supplémenaires Pour des mos de 3 bis, on peu ajouer un bi de parié : Soi combinaisons licies/6 e la disance de Hamming minimale enre deux mos vau sepembre 6 Circuis logiques - JP David 56
.6 Conrôle des erreurs Exemple : le bi de parié.6 Conrôle des erreurs Exemple : le bi de parié (suie) Le bi p es el que : b b L b b b p n n 3 n bis d informaion bi de parié (ou d imparié) codage le plus uilisé le nombre de bis es pair ou le nombre de bis es pair ou le nombre de bis es impair ou le nombre de bis es impair Disance minimale observée : bi Aucune déecion d erreur possible NOMBRE BINAIRE MOT DE CODE Disance minimale observée : bis Une erreur dans un mo de code es déecable. Capacié de déecion : erreur par mo de code sepembre 6 Circuis logiques - JP David 57 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 5.6 Conrôle des erreurs Exemple : le bi de parié (suie) INFORMATION À TRANSMETTRE : BITS ÉMIS : BITS REÇUS : PARITÉ NON VÉRIFIÉE L ERREUR EST DÉTECTÉE PARITÉ VÉRIFIÉE PARITÉ VÉRIFIÉE LES ERREURS NE SONT PAS DÉTECTÉES PARITÉ NON VÉRIFIÉE L ERREUR EST DÉTECTÉE sepembre 6 Circuis logiques - JP David 59 La correcion d erreurs.6 Conrôle des erreurs Pour déecer des changemens sur n bis, il fau une disance de Hamming de n+ enre ous les mos licies. Pour déecer e corriger des changemens sur n bis, il fau une disance de Hamming de n+ enre ous les mos licies. Ex, n=5, D= Si un mo subi 5 inversions de bi, il sera à une disance 5 du mo d origine e minimum 6 de ous les aures. On peu donc le rerouver en cherchan le seul e unique mo donc la disance es inférieure ou égale à 5. sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6
La parié orhogonale.6 Conrôle des erreurs.6 Conrôle des erreurs La parié orhogonale (suie) INFORMATION : BITS ÉMIS : BITS REÇUS : Vérificaion : PARITÉ NON VÉRIFIÉE L ERREUR EST CORRIGIBLE BITS ÉMIS : PARITÉ NON VÉRIFIÉE sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6 Le code de Hamming.6 Conrôle des erreurs.6 Conrôle des erreurs Le code de Hamming (suie) Soi un mo de N bis numéroés b..b N- On crée un nouveau mo de N+P bis numéroés H..H N+P- H x es un bi de parié pour x = j (,, ) H i es un bi de donnée b k sinon. Soi B(i), l expression binaire de i H i paricipe au codage de parié de H x si e seulemen si B(i) a un commun avec B(x) A Parié A b b b 3 Parié C C b Parié B B sepembre 6 Circuis logiques - JP David 63 sepembre 6 Circuis logiques - JP David 6
sepembre 6 Circuis logiques - JP David 65.6 Conrôle des erreurs A B C Parié A =? Parié B =? Parié C =? En parié paire, le nombre de doi êre pair. Parié A = Le code de Hamming (suie) sepembre 6 Circuis logiques - JP David 66.6 Conrôle des erreurs Encoder le nombre : Le bi se code en binaire :, il ser donc à calculer la parié de : (5), (6), (7), (), (3), (), (5), (), () 9 7 6 5 3 9 7 6 5 3 Le code de Hamming (suie)