Fonction quadratique et trajectoire

Fonction quadratique et trajectoire saé La sécurité routière On peut établir que la vitesse maimale permise sur une chaussée mouillée doit être inférieure à celle permise sur une chaussée sèche La vitesse maimale sur une chaussée sèche étant de 9 km/h, on peut donc émettre une conjecture raisonnable et dire que la vitesse sur une chaussée mouillée devrait être de 7 km/h Ainsi, on peut espérer que la distance d arrêt d une voiture qui roule à cette vitesse sur une chaussée mouillée soit à peu près égale à celle d une voiture qui roule à 9 km/h sur une chaussée sèche Démonstration de cette conjecture On détermine la distance d arrêt (D A ) d une voiture à l aide de la distance de réaction de l automobiliste (D R ) et de la distance de freinage de la voiture (D F ) D A D R D F On détermine la distance de réaction (D R ) en considérant le temps de réaction moen d un automobiliste devant un obstacle, soit, s D R,V, où V représente la vitesse initiale de la voiture en m/s La distance de freinage (D F ) est proportionnelle au carré de la vitesse initiale, et le coefficient de proportionnalité est a, où a représente la décélération de la voiture Pour assurer un maimum de sécurité, il est préférable de considérer la décélération la moins efficace, autant sur une chaussée sèche, soit m/s, que sur une chaussée mouillée, soit, m/s Sur une chaussée sèche : D F V, où V représente la vitesse initiale de la voiture en m/s Sur une chaussée mouillée : D F V,,8 où V représente la vitesse initiale de la voiture en m/s Calculer la distance d arrêt d une voiture qui roule à 9 km/h, soit m/s, sur une chaussée sèche D A D R D F D A (V ),V V D A (), D A () 9 Une voiture qui roule à 9 km/h, ou m/s, sur une chaussée sèche aura besoin de 9 m pour s immobiliser Calculer la vitesse maimale sécuritaire permise sur une chaussée mouillée dans une zone de 9 km/h par temps sec On peut supposer qu une voiture qui a une distance d arrêt de 9 m sur une chaussée mouillée est dans une situation aussi sécuritaire qu une voiture qui roule à 9 km/h sur cette même chaussée qui est sèche Pour déterminer cette vitesse maimale sur une chaussée mouillée, il suffit de résoudre l inéquation ci-contre On peut résoudre cette inéquation en analsant le signe de la fonction V D A (V ),V 9,8 Les zéros d une fonction de la forme générale f () a b c sont : b b ac b b et ac a a, et,8 Ainsi, pour que D A (V ) soit inférieure ou égale à, il faut que la vitesse V soit entre et,8 m/s (on ne retient que les valeurs positives de V ) Ainsi, pour que la voiture s immobilise sur une distance aussi sécuritaire, soit, au plus, 9 m, il faut qu elle roule au plus à, m/s, soit 77 km/h, sur une chaussée mouillée Il est donc raisonnable de permettre une vitesse maimale de 7 km/h sur une chaussée mouillée, comme on l avait présumé dans la conjecture de départ saé La science du cirque Données importantes Diamètre de la balle de tennis :, cm Longueur du filet : 8, cm Diamètre intérieur de l anneau :, cm Hauteur minimale du centre de l anneau :, cm Hauteur de laquelle la balle sera lancée : cm Modélisation de la situation Après quelques essais, on a remarqué qu il est plus facile d eécuter le tir lorsque l anneau est placé près de soi et à la hauteur des épaules environ On placera donc le centre de l anneau à m de la ligne de tir et à une hauteur de, m De plus, le sommet de la trajectoire de la balle doit correspondre à la position du centre de l anneau pour faciliter le passage de la balle à l intérieur de l anneau 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 77 D A 9 D R D F 9 V,V 9,8 V,V 9,8 D A (V ),,8 V

Hauteur (m),, Trajectoire de la balle P(,,) S(,,),,,, Distance de la ligne du tir (m) On trouve l équation associée à la trajectoire de la balle a( ),, a( ), a,,( ), On détermine la position du centre du filet qui correspond à l abscisse à l origine de cette trajectoire,( ),, ( ), ( ) ou Le centre du filet se trouve donc à m, soit à environ, m Le début et la fin du filet se trouvent alors à, m, m, soit à, m et à,8 m de la ligne de tir Pour que le tir soit réussi selon la disposition des appareils qu on a choisie, la balle devra être lancée d une hauteur de, m, soit la hauteur où elle se trouvera lorsqu elle passera au-dessus de la ligne de tir Elle s élèvera ensuite jusqu à ce qu elle atteigne le sommet de sa trajectoire, soit, m, à une distance horizontale de m de la ligne de tir C est à cette hauteur maimale qu elle franchira l anneau La balle redescendra ensuite jusqu à son arrivée dans le filet, complétant ainsi sa trajectoire parabolique Mise en place pour le numéro de l homme-obus Après quelques recherches, et en se fiant au données relatives à David Smith, on peut voir qu un canon mesure environ m et que le tir est effectué en fonction d un angle d environ La hauteur de départ au moment de l éjection de la bouche du canon est donc d environ 7 m La hauteur maimale atteinte est de m et le filet se trouve à environ m du canon, à m du sol On propose un montage où l anneau est placé au sommet de la trajectoire parabolique Hauteur de la bouche du canon : 7 m Distance entre l anneau enflammé et la ligne de tir : m Hauteur du centre de l anneau enflammé : m La trajectoire de ce tir est représentée par l équation 7 ( ) On détermine la position du centre du filet en remplaçant par dans l équation puisque le filet se trouve à m du sol 7 ( ) 9 ( ) 7 8 8 ou 7 7 On en déduit donc que le centre du filet doit se trouver à, m de la ligne de tir saé Paraboles et chuchotements Eplication du phénomène Pourquoi les trajets effectués par les parties de l onde ont-ils tous la même longueur? Chaque parabole est constituée de l ensemble des points qui sont situés à égale distance d un foer et d une droite Cette droite est perpendiculaire à l ae de smétrie de la parabole Dans le cas présent, elle est donc verticale, comme dans l illustration ci-dessous Voici une représentation des deu paraboles avec les foers F et F et les droites d et d qui les définissent Deu trajectoires ont été tracées : F ABF et F CDF On peut démontrer que ces deu trajectoires ont la même longueur On prolonge d abord les segments AB et CD jusqu au droites d et d, puis on marque les segments qui sont isométriques E A A d Ae de smétrie F F d C D d F F G H d C D d On constate alors que la longueur de la trajectoire F ABF est égale à la distance entre les points E et F De la même façon, la longueur de la trajectoire F CDF est égale à la distance entre les points G et H Mais d(e, F) d(g, H) car, les droites d et d étant parallèles, tous les segments perpendiculaires qui les relient ont la même mesure F B B F 78 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

Donc, les deu trajectoires ont la même longueur Voilà pourquoi on peut affirmer que les trajets effectués par toutes les parties de l onde sonore d un foer à l autre ont la même longueur Détermination de la position des foers Voici une représentation des paraboles dans le plan cartésien L unité est le mètre Les trajectoires F ABF et F S S F ont la même longueur Grâce à la smétrie, on peut écrire : longueur de la trajectoire F ABF d(b, F ); longueur de la trajectoire F S S F,8 d(s,f ) On a donc d(b, F ),8 d(s,f ),ce qui équivaut à l équation suivante : d(b, F ), d(s,f ) Soit (, ), les coordonnées du foer F En appliquant la formule de la distance, on obtient : d(b, F ) ( ) ( ) et d(s,f ), L équation encadrée ci-dessus devient donc,8 En l élevant au carré, on obtient,,, La résolution de cette équation donne 9,77, La distance entre le sommet S et le foer F est de,, soit, 9,77 Les foers doivent donc se trouver sur l ae de smétrie des paraboles, à mm du sommet de chacune d elles RÉVISION Réactivation A(, ) B(, ) S (,, ) S (,, ) F F Page 9 a a, où a correspond au salaire horaire de M Leboeuf b, où b correspond au revenu annuel de M me Beausoleil c, où c correspond au revenu par match de Victor Karpov d, où d correspond au revenu mensuel de M me Parvenue b b ) b ) d c ) ) a a c ) b 8 ) d ) c ) a d Salaire horaire de M Leboeuf : [, [ Revenu annuel de M me Beausoleil : [, 8 [ Revenu par match de Victor Karpov : [, + [ Revenu mensuel de M me Parvenue : [, [ Réactivation a P() P() P() Ces valeurs montrent que la production de contenants se traduira par des pertes de $, et que la production de et de contenants générera des profits de $ b Profit (en milliers de dollars) Rentabilité d une entreprise P ( ),8( ) 8 Page 9 Quantité de contenants produits (en milliers) c 8 Plusieurs interprétations possibles Eemple : Le nombre 8 correspond à l investissement nécessaire (en milliers de dollars) pour commencer à produire le médicament On peut aussi dire que si l entreprise ne produisait rien pendant la période visée, elle subirait une perte de 8 $ d Le profit sera nul pour la production de ( ) et de ( ) milliers de contenants, soit, à la centaine près, 8 et contenants e ) Si l entreprise produit moins de 8 contenants ou plus de contenants ) Si l entreprise produit entre 8 et contenants f L entreprise contenants et le profit sera de $ 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 79

Mise à jour Page 98 a) ) 7 ) ) ), ), (,) b) Plusieurs réponses possibles Eemple : 8,7 $ a) ], [ b), + c) ],[ d) ], ] e), f)[ 8, + [ g) h) ], [ i) a) Soit, la température d hier La température d aujourd hui est donc de 8 ( 8) On a donc b) La température actuelle se situe entre 9 et 8 C a) B b) B c) B Mise à jour (suite) a) Hauteur de la pierre lancée par Patrice Hauteur relative du sommet de la falaise à la falaise (m) 8 Temps (s) 8 Page 99 b) Durant s c) Une hauteur de 7, m au-dessus du sommet de la falaise d) L ordonnée est, Cette valeur représente la hauteur (en m), relativement au sommet de la falaise, de laquelle Patrice a lancé la pierre e) La hauteur en m où la pierre se trouve plus basse que le sommet de la falaise f)la pierre se trouve plus basse que le sommet de la falaise lorsque t 7,, +, c est-à-dire,9 environ, s après le lancer g) La falaise a une hauteur de, m a) [, ] b) ],,] [,, + [ c), section La fonction quadratique (forme générale) Problème Page La hauteur atteinte serait d environ, m et la balle tomberait sur le sol après 8,9 s, environ Plusieurs démarches possibles Eemple : L epérience qui est décrite se passe sur la Terre Par conséquent, dans la règle de la fonction h(t) at bt c, la valeur du paramètre a est,9 La hauteur initiale de la balle lancée est de m, donc c Il ne reste qu à déterminer la valeur du paramètre b Sachant que h(t) si t,, on a,9(,) b(,) La résolution donne b 7, Si l on répète la même epérience sur la Lune, la hauteur sera donnée par la règle h(t),8t 7t En construisant une table de valeurs ou un graphique à l aide d un outil technologique, on peut observer que le zéro positif de cette fonction, arrondi au diième près, est 8,9 et que le maimum de la fonction, arrondi au diième près, est de, Activité a Page Valeur Valeur Valeur Abscisse Règle de la fonction de a de b de c du sommet 8 8 8 8 b L abscisse du sommet est égale à a b f () a( h) k f () a ah ah k Le paramètre b de la forme générale f() a b c est donc égal à ah En isolant le paramètre h, qui représente l abscisse du sommet, on détermine que h b a c Plusieurs réponses possibles Eemple : Une fois que l on connaît la première coordonnée du sommet, représentée par le paramètre h, on évalue la fonction pour cette valeur, soit f (h) Eemple : Soit f () 8 h b 8 a L ordonnée du sommet est f ( ) ( ) 8( ) 8 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

Activité a Règle sous Règle sous Coordonnées Ordonnée la forme canonique la forme générale du sommet à l origine f () ( ) 9 f () = + (, 9) f () ( ) f () = (, ) f () ( ) f () = + 8 (, ) 8 f () = ( + ) f () (, ) f () = ( ) f () (, ) 9 8 9 8 f () = ( ) + f () 9 (, ) Page b Premièrement, on sait que le paramètre a est le même dans les deu formes d écriture Quant au paramètre h, on peut b le calculer à l aide de la relation h que l on a établie a dans l activité En évaluant la fonction en h, on obtient ensuite la valeur du paramètre k Il ne reste alors qu à écrire la règle sous la forme canonique en utilisant les valeurs des paramètres a, h et k que l on a déterminées c f () a b ac b a a d Pour f : et Pour f : et Pour f : et Pour f : et Pour f : et 9 9 Pour f : et 8 8 k e i h a f i b b ac a Activité Page a Après s, la distance entre le koudou et la lionne sera dem La lionne l aura donc attrapé Plusieurs démarches possibles Eemples : Par la complétion du carré,t t,t t t 8t t 8t (t ) t ±, c est-à-dire t ou t t ou t À l aide de la calculatrice à affichage graphique À l aide de la formule quadratique Pour les zéros t et t, on a : b b t i ac a ( t i ) ( ) (,)() (,) t i On obtient donc t et t Peu importe la méthode emploée, on ne doit garder, selon le contete, que la solution la plus petite, soit t b Non, car la fonction qui décrit l avance du koudou serait alors f (t),t t, et cette fonction n a aucun zéro c Non, car la fonction qui décrit l avance du koudou serait alors f (t),t t Cette fonction a un zéro qui est d Si b ac, alors la fonction a un seul zéro Si b ac, alors la fonction a deu zéros Si b ac, alors la fonction n a aucun zéro Par la factorisation,t t,(t 8t ),(t )(t ) t ou t t ou t Technomath Page a Plusieurs réponses possibles Eemple : ) La parabole est de plus en plus fermée ) L ae de smétrie s éloigne de plus en plus de l ae des ordonnées ) L ordonnée à l origine s éloigne de plus en plus de l ae des abscisses 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 8

b Si l on considère la fonction de base, seule la modification des paramètres b et c entraîne un changement dans la position du sommet c Lorsqu on fait varier le paramètre b dans l équation b, le sommet se déplace le long d une parabole dont l équation est Mise au point a) b) (, ),, a) 7 7 9 b) (, ),, c) Plusieurs réponses possibles d) 9 8 7 9 8 7 7 Page 7 7 7 a) (, ) (, ) b) et c) f () 8 f () d) h h 8 k k 8 e) et a) (, ) (, ) b) et Aucun c) f () f () = 8 d) h h k k 8 8 e) et Aucun 8 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

a) (, ) (, ) b) f () ( ) f () ( ) Si k c, alors b et h ac b En effet, k b c b Si k c, alors, a a a b donc b Puisque h, si b, alors h a Mise au point (suite) a) zéros, et b) zéro, c) zéros, et d) Aucun zéro e) zéros, et f) zéro, 7 a) ) Après, s ) Après environ, s b) Après s ou s 8 a) ) f () ( ) ) f () ) f () b) Plusieurs façons de procéder Eemple : f () ( ) ( ) () ( ) Mise au point (suite) a) (, ), b) f () ( ) f () 8 Page 9 9 a) La température maimale a été de, C et a été atteinte vers h 8 a) 7 b) [, + [ ],], c) (, ) (, ), 7 d) Page 8 e) Minimum de Maimum de Maimum de 7 f) et Aucun g) [, + [ ], ], h) ],] [, + [, + i) ], ] [, + [ { } Aucun j) [, ] b) Vers h c) L ordonnée à l origine est,7 C est la température (en C) qu il aurait fait à minuit au début de la journée du février 8 si le modèle pouvait s appliquer à toute la journée a) R(),8 b) Domaine : [, ] Image : [, ] c) Les zéros sont et Ils représentent les deu pri de vente qui feront que son profit sera nul d) $ e) ), $ ) 9, $ Mise au point (suite) a) ),9 m ) 9, m b) Après environ, s c) Après environ, s d) a) ),9 m ) 9, m b) Après environ,7 s c) Après environ, s a) Plusieurs réponses possibles Eemple : b) Sommet : (,,) Ordonnée à l origine : Abscisses à l origine : environ, et 9, Mise au point (suite) Page Page a) f() b) Il s agit de l aire du carré ABCD (en cm ) Lorsque la distance vaut, les deu carrés coïncident c) 8 Il s agit de l aire minimale du carré EFGH (en cm ) pouvant être inscrit dans le carré ABCD d) La fonction f est croissante dans [, ] La fonction f est décroissante dans [, ] a) f() b) ], [ c) ],,] d) Pour, 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 8

e) Il a deu solutions Les deu côtés parallèles peuvent mesurer (soit environ,8 m) et l autre côté devra alors mesurer ( ) m (soit environ 7, m) ou Les deu côtés parallèles mesurent m m (soit environ, m) et l autre côté mesurera alors ( ) m (soit environ,7 m) Soit un rectangle dont le périmètre est P P L aire de ce rectangle peut être représentée P par la fonction f() ou, sous la forme générale, par f() P Le paramètre a étant négatif, la fonction admet un maimum qui est obtenu lorsque la valeur de correspond à la première coordonnée du sommet b P P Le maimum est donc atteint lorsque a ( ) Dans ce cas, le rectangle possède côtés isométriques P de longueur Parmi tous les rectangles aant un périmètre donné, c est donc le carré qui a la plus grande aire section P La fonction quadratique et les inéquations Problème Page Au mètre près, le raon du clindre imaginé par O Neill devrait avoir un raon d au moins, km Plusieurs démarches possibles Eemple : Puisque la hauteur du clindre est de km, son aire totale est une fonction de son raon r, soit A(r) πr πr L intervalle de croissance de cette fonction hors contete est [, + [ Puisque la valeur de r, selon le contete, est supérieure à, on peut donc affirmer que cette fonction est croissante pour tout le domaine de la définition de la variable Le raon minimum pour que le clindre ait une aire de km est donc la solution positive de l équation πr πr, qui équivaut àπr πr π π La résolution donne π π 9, π Activité a f() b Aire (dm ) 8 8 8 8 c ou d N importe quelle valeur de dans l intervalle [,9, 7,7] e Plusieurs démarches possibles Eemple : La fonction est g() 8 Voici sa représentation graphique : L aire d une fenêtre Aire (dm ) 8 8 8 8 L aire d une fenêtre 8 8 8 8 Page Largeur (dm) On voit qu une partie de la courbe est supérieure à On peut donc construire une fenêtre aant une aire de plus de dm en utilisant ce modèle de fenêtre 8 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

Activité (suite) a ( ) ( ) 8 8 b ( )( ) c A et B ont le même signe d e ], [ ],, + [ f En se basant sur le graphique et les zéros, on conclut comme précédemment f ( ) g ],, [ Mise au point a) Valeur de ], [,, + Signe de ( ) + + + Signe de ( ) + 9 8 7 f ( ) 7 8 9 b) [, ] c) ) ], [ ),, + ) ) Page L ensemble-solution est ], ], + a) ], [, + b), c) 7, d) ], 8[ ]8, + [ Page 7 Valeur de ], [ ], [ ], [ + Signe de ( ) + + + Signe de ( ) + + + e) ], [ ], + [ f), g) ], ] [, + [ h) ], 7] [, + [ i) ], [ ], + [ a) ], [ ], + [ b) c) d) e), f),, + a) Les personnes âgées de ans ou moins et les personnes âgées de 8 ans ou plus b) Il est impossible d obtenir ce rabais puisque l inéquation obtenue n a pas de solution Mise au point (suite) a) L aire du caisson est de c 8c L inéquation associée à la situation est c 8c D où l on trouve c 8c b) ) Oui ) Oui ) Non c) Si l on considère une précision au millimètre près, l arête du cube (en dm) doit être comprise dans l intervalle ],,] 7 Si l on considère une précision au centimètre près, cet ajout (en m) doit être compris dans l intervalle ], 9,7] Mise au point (suite) Page 8 Page 9 8 a) f(),, b) Il faudrait au moins personnes 9 a) ) N ) 7 N ) 7 N b) Si l on considère une précision au centimètre près, l étirement de l élastique durant les essais devrait se situer dans un intervalle allant de 79 cm à 9 cm Plusieurs réponses possibles concernant la procédure à suivre pour effectuer le test Eemple : Joëlle peut utiliser un montage d une longueur de, m auquel elle attachera la bande élastique de, cm ; ce montage lui permettra d étirer l élastique de 8 cm un millier de fois Le paramètre a doit se trouver dans l intervalle, Plusieurs démarches possibles Eemple : L inéquation a, équivaut à a, On analse la fonction g() a, Le paramètre a étant positif, la parabole représentant cette fonction est ouverte vers le haut Cette fonction ne sera donc positive pour toutes les valeurs de que si elle a 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 8

un seul zéro ou n en a aucun (si le sommet se situe sur l ae des ou au-dessus de celui-ci ) En d autres termes, il faut que le discriminant soit inférieur ou égal à Le discriminant : b ac ( ) a(,),a La résolution de l inéquation,a donne a Mise au point (suite) a), kw b) En considérant les vitesses du vent au km/h près, on détermine qu il doit souffler à une vitesse allant de km/h à km/h pour fournir la puissance suffisante a) Aire latérale du cône : πr 8πr Aire du carré : (r ) r r Double de l aire du carré 8r 8r La situation est représentée par l inéquation πr 8πr 8r 8r Cette inéquation équivaut à : πr 8r 8πr 8r (π 8)r (8π 8)r b) Soit f (r) (π 8)r (8π 8)r Le paramètre a de la fonction f étant négatif, cette fonction est positive entre les zéros Zéros de f : (8π 8) (8π 8) (π 8)( ), (π 8) soit, approimativement,, et, Dimensions du cône de balisage au millimètre près Raon : de, cm à, cm Apothème : de 8, cm à, cm Côté de la base : de, cm à, cm c) Non, c est impossible Plusieurs justifications possibles Eemple : On doit résoudre l inéquation (π 8)r (7π 8)r La valeur du paramètre a étant toujours négative, la solution se situe encore une fois entre les zéros de la fonction associée au membre de gauche Mais, dans ce cas, la fonction n a aucun zéro, comme le montre le calcul du discriminant : (7π 8) (π 8)( ) Mise au point (suite) a) La hauteur du centre de gravité de Jim lorsqu il est en position debout b) Au millimètre près, Jim atteint une hauteur de,79 m c) Au centième de seconde près, le centre de gravité de Jim se trouvera au-dessus de, m de,8 s à, s d) Non Jim a été moins de, s au-dessus de la hauteur de, m 8 Page Page Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol a) Pour tous les nombres réels, sauf b) A et B ont des signes contraires c) Valeur de ], [ ], [ ], + [ d) ) L ensemble-solution est ], [ ], + [ ) ) section Signe de ( ) Signe de ( ) L ensemble-solution est, L ensemble-solution est,, L ensemble-solution est ], ], La recherche de la règle Problème Page Plusieurs réponses possibles Eemple : On représente les données dans un plan cartésien, puis on modélise le nuage de points par une fonction quadratique Résultat après un entraînement Amélioration de la capacité respiratoire (%) Valeur de,,, + Signe de ( + ) Signe de ( ) 7 8 9 Valeur de ], [,,, + Signe de ( + ) Signe de ( ) Signe de ( + ) Signe de ( ) Valeur de ], [,, ], + [ Signe de ( + ) Signe de ( ) de semaines S(8, 8) 789 Intensité de l entraînement (%) Selon ce modèle, on peut lire sur le graphique que l augmentation de la capacité respiratoire sera d environ 7 % 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

Activité Page a Ces fonctions ont les mêmes zéros, et, et possèdent le même ae de smétrie en b Plusieurs réponses possibles Eemple : f () 8 g() 8 9 h() c Plusieurs conjectures possibles Eemple : La règle de chacune de ces fonctions peut s écrire sous la forme f () a 8a a, ou f () a( 8 ) pour une certaine valeur de a Plusieurs arguments possibles Eemple : Toutes les fonctions de cette famille peuvent s écrire sous la forme f () a( ) k puisque l équation de l ae de smétrie est De plus, le graphique de chaque fonction passe par le point (, ) On a donc f () a( ) k a k Il en résulte que k a La règle de la fonction est donc f () a( ) a a 8a a d et et Il a un seul zéro, e f () = 8 f () = f () = 9 b c f est la somme des zéros, est le produit des zéros a a Soit et, les zéros d une fonction Alors la fonction peut s écrire : f () a( )( ) f () a( ) f () a a( ) a On en déduit que b a( ), donc que b ( ) c a De la même façon, c a, donc a Activité Page a Fontaine de Tourn Puisqu on connaît le sommet, on privilégie l écriture sous la forme canonique de la fonction f () a( ) On remplace ensuite et f () par les coordonnées du point connu pour déterminer la valeur du paramètre a, a( ) a En utilisant cette valeur, on obtient : f () ( ) Fontaines de Barcelone Puisqu on connaît les zéros, on privilégie l écriture sous la forme factorisée de la fonction f () a ( ) On remplace ensuite et f () par les coordonnées du point connu pour déterminer la valeur du paramètre a 8, a( ) a, En utilisant cette valeur, on obtient : f (), ( ) b ( 7,, ), soit, au centimètre près,,7 m à gauche de la base du centre de la fontaine c,8 m Activité a Hauteur (m) b Le zéro est, soit, approimativement,, C est la durée du lancer en secondes La balle a touché le sol environ, s après avoir été lancée par Olivier c Temps écoulé (s) Trajectoire du lancer d Olivier P 9 8 7 P, P Lancer d Olivier, 8,,,, 8, P, P P, d,( ), ou, sous la forme générale,,,7 e L abscisse à l origine est, soit, approimativement,, Elle représente le déplacement horizontal de la balle avant qu elle ne touche le sol Ce déplacement est d environ, m P Temps (s) Page 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 87

f Les deu graphiques présentent des paraboles ouvertes vers le bas aant le même maimum et la même ordonnée à l origine Les graphiques diffèrent par l ouverture des paraboles, donc par leur abscisse à l origine De plus, le premier graphique présente deu variables au dimensions différentes, une d espace et l autre de temps, alors que, dans le second, il s agit de deu dimensions d espace Technomath Page a Ces données représentent les valeurs des paramètres a, b et c de la courbe quadratique qui approime le mieu le nuage de points de l écran b ) ) Mise au point (suite) Page f () ( ) 8 a) f () b) f () 8 7 c) f () d) f () e) f () f)f () g) f () h) f () 7 f () f () f () f () 8 f () ( ) f () ( ) 9 f f f Zéros de la fonction et et et c ) 9,778 ) 8,9 Mise au point Fonction a) f () 7 f () 7 f () 7 b) La courbe f a) b) c) a) b) d 7 a) Intervalle de croissance :, + Intervalle de décroissance : 7, b) f () 7 c) 9, 8 + 88 8 a) P P P 8 S S S b) et et et Fonction a) P P P S S S b) et et Page 9 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol et Coordonnées du sommet (, ) (, ) (, 8) Ordonnée à l origine Mise au point (suite) 8 a) En plaçant l origine au point d impact de la balle, on obtient 8 7 b) Au mètre près, la balle a atteint une hauteur de m 9 a) 8 m b) Trajectoire orange :,9, 8, On détermine le sommet de la trajectoire verte en évaluant la trajectoire orange en 8 On trouve alors S(8,,) Trajectoire verte :,9, Mise au point (suite) f f f Zéros de la fonction et et, et, Ordonnée à l origine 8 Coordonnées du sommet, (, ) (, 9) Page Page a) Plusieurs réponses possibles, selon la courbe tracée Eemple : Par la droite de régression quadratique que l on peut obtenir à l aide d une calculatrice à affichage graphique, on détermine que f (),,9, b) L ordonnée à l origine correspond à la hauteur à laquelle le projectile quitte la fronde du trébuchet et l abscisse à l origine, à la distance horizontale parcourue par le projectile c) Plusieurs réponses possibles, selon l équation trouvée Eemple : En modélisant la situation par la courbe de régression quadratique, on trouve 8 m 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

a) f () ; f () ; f () =,, b) Pour f : Pour f : Pour f : c Eplication : la valeur du second zéro est de puisque c a le produit des zéros est et qu un des zéros vaut a c) et a) Le deuième zéro est Plusieurs démarches possibles Eemple : b k La somme des deu zéros est, car a k L un des zéros étant, l autre zéro est donc b) Le deuième zéro est Plusieurs démarches possibles Eemple : c k Le produit des zéros est égal à, car a k La valeur du premier zéro étant, le second doit donc valoir c) Plusieurs démarches possibles Eemple : Le produit des zéros est égal à k Puisque le premier zéro est, le second est k La somme des zéros est égale à k Donc k k, ce qui permet de conclure que k a) Hauteur (m) b) s et s Les zéros représentent respectivement le moment où la balle est frappée et le moment ou elle touche le sol lunaire c) Soit : le déplacement horizontal de la balle (en m) ; : la hauteur de la balle (en m) Balle frappée par Alan Shepard sur la Lune 7 8 9 Trajectoire de la balle frappée par Shepard sur la Lune Temps (s) Mise au point (suite) a) Temps record (s) 8 7 Records américains au m chez les femmes 7 8 9 Âge (années) Page b) Plusieurs réponses possibles, selon la courbe tracée en a) En modélisant les données par la courbe de régression quadratique, on obtient : f (),,7,899 c) Plusieurs réponses possibles, selon la règle de la fonction quadratique trouvée en b) Selon la règle présentée ici, on obtient, au diième de seconde près, 8,7 s d) f () 8 e) À m de l astronaute Mise au point (suite) a) Soit : le déplacement horizontal de la balle (en m) ; : la hauteur de la balle (en m) relativement au point de départ du lancer 7 8 9 b) Plusieurs réponses possibles, selon la position des aes Eemple : Pour la trajectoire tracée ci-dessus, l équation est : ( ) c),8 m a) f () 7 b) À 8, cm du bord du récipient 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 89 7 8 9 Trajectoire de la balle (,,9) Page

La distance et la fonction quadratique Problème Page Plusieurs réponses possibles Eemple : Aucune restriction n affecte le paramètre a ; il peut prendre toutes les valeurs négatives Quant au paramètre b, il doit être supérieur à Démonstration On a représenté la parabole de l équation a b dans le plan cartésien ci-dessous, puis on a tracé le triangle rectangle ACS section A (, ) b S, C a b a b B, a Par la relation de Pthagore, on obtient (m ) AS (m AC) (m ) CS (m ) AS b b b b a a a b a On obtient aussi m AB a On suppose que m AS m AB Puisque m AS et m AB sont des nombres positifs, on peut affirmer que (m ) AS (m AB) b On a donc l inéquation suivante : b b a a a b En divisant chaque terme par, qui est un nombre positif, b on obtient a La résolution donne b Puisque b est nécessairement positif, cela équivaut à b Dans ce cas, la passerelle mesurerait, m, soit (, 9) Il s agirait alors de la longueur minimale pour une passerelle reliant les deu toits c La longueur de ce câble est de 7 m, soit environ,8 m d m CD 7 m DE 7 m CE 8 Le périmètre est donc de (7 7 ) unités, soit environ, unités e À partir de deu points quelconques, on peut tracer un triangle rectangle dont l une des cathètes est horizontale et mesure (ou l opposé de cette epression si ) et l autre est verticale et mesure (ou son opposé) Il suffit alors d appliquer la relation de Pthagore pour obtenir d(p,p ) ( ) ( ) Activité a ) Puisque, la distance entre les points A et P est ( ) On a donc d(a, P) ) d(s, P) 8 b 8 787 c Sabine peut se diriger vers n importe quel point du segment dont les etrémités ont pour coordonnées, et 7,, c est-à-dire vers un point situé entre, m et 7, m à la droite du point le plus proche d elle sur la route Activité a Plusieurs réponses possibles Eemple : Mur Page 7 Page 8 Activité a, Passerelle b Il serait possible d installer une passerelle perpendiculairement au deu immeubles Page 9 Enseignant b Plusieurs réponses possibles Eemple : La courbe est smétrique par rapport à la droite qui est perpendiculaire au mur et qui passe par la position de l enseignant Le point le plus près du mur est situé à michemin entre l enseignant et le mur La courbe a la forme d une parabole c Les ordonnées sont respectivement, et d ) ) 7 ) ) 7 e Les deu élèves se trouvent à m l un de l autre, soit environ, m 9 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

Mise au point d(a, B),7 d(c, D) 9, d(e, F),7 d(g, H) a) Longueur du rectangle : Largeur du rectangle : L aire est de 8 unités carrées puisque 8 b) 7,9 unités c) d(a, C) d(b, D) a) A(, ) B(, ) C(, 8) D(, 9) E(, 8) F(, ) G(, ) b) 9, unités c) En utilisant un plus grand nombre de points sur la courbe Plusieurs réponses possibles Eemples : A(, ) H(,,,7) B(, ) I(,,,7) C(, 8) J(,, 8,7) D(, 9) K(,, 8,7) E(, 8) L(,,,7) F(, ) M(,,,7) G(, ) La longueur estimée au centième près de la trajectoire serait alors de 9, unités Mise au point (suite) a) : déplacement horizontal de Fabien dans les airs ; : hauteur de Fabien dans les airs par rapport à son point de départ Trajectoire du saut de Fabien 7 D(, ) S(, ) 7 8 9 A(9, ) Page b) La distance franchie est de 7 m, soit environ,8 m c) m Page a) m AB 7, ; m BC,7 ; m AC b) AC est le plus grand côté et AB est le plus petit c) m AD 9 9, ; m BE,7 ; m CF 7 d) CF est la plus grande médiane et BE est la plus petite e) Oui Au plus long côté est associée la plus petite médiane, et au plus petit côté est associée la plus longue médiane a) Oui d(a, M) d(b, M) = d(a, B) = On constate que d(a, M) d(b, M) d(a, B) b) Le milieu M de CD est (, 7) Si M est le point milieu, on aura d(c, M) d(d, M) d(c, D), ce qui est le cas ici En effet : m CM (( 9) ) (( ) ( 7)) m DM ( ) (( ) ( 7)) m CD ( ( 9)) (( ) ( )) Mise au point (suite) Page 7 a) ) S(, ) ) (, ) et (, ) b) ( ) c) (, ) et (, ) La distance entre ces deu points est de m, soit environ, m d) Environ 88,7 m e) Environ, m 8 Si on utilise la position du bateau pirate comme origine du plan cartésien, l unité étant le mètre, le nouveau manège se situera au point (, ) Plusieurs démarches possibles Eemple : Pour que le nouveau manège soit situé à égale distance du bateau pirate et du carrousel, il doit se trouver sur la droite d équation =, donc à un point de coordonnées (, ) Pour qu il soit située à égale distance du bateau pirate et des autos tamponneuses, il faut que ( ) ( ) ( ) ( ) En élevant au carré les membres de chaque côté de l équation, on peut la résoudre et obtenir B(, ) Mise au point (suite) Page A(, ) F(, ) E(7, ) D(9, ) C(, ) 9 L ordonnée du point B sera ou 9 Plusieurs démarches possibles Eemple : Soit (, ) les coordonnées du point B Il faut donc résoudre l équation ( ) ( ), qui se ramène à 9 Les deu solutions sont et 9 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9

a) Le côté du triangle mesure 8 unités, soit environ, unité Plusieurs démarches possibles Eemple : Les triangles ADF et ABE étant rectangles, et puisque m AE m AF et que m AB m AD, on peut en déduire que m BE m DF D F C A Soit r, la mesure de ces deu derniers segments On a donc E(, r) et F(r, ) De plus, d(a, E) d(f, E) Par conséquent, on a ( ) (r ) ( r) (r ), qu on peut ramener à l équation r r On ne doit conserver que la solution inférieure à, soit r,8 La mesure du côté du triangle est : d(a, E) r ( ) 8, b) L aire du triangle est de ( ) unités carrées, soit environ, unité carrée Plusieurs démarches possibles Eemple : En procédant par soustraction, on obtient : Aire du Δ AFE aire du carré aire du Δ ABE aire du Δ ADF aire du Δ FEC ( ( )), a) À,8 m à la droite du point A Marie M(, ) A m E B m R(, ) Antoine A(, ) Plusieurs démarches possibles Eemple : Si l on situe l origine du plan cartésien au point A, les coordonnées du point de rencontre R sont (, ) Il suffit alors de résoudre l équation 9 ( ), qu on simplifie à une équation polnomiale de degré dont la solution est,8 b) Au centimètre près, la distance qui les sépare du point A est de, m B m c) Au décimètre près, à, m à la droite du point A ou à 9,7 m à la gauche du point A Plusieurs démarches possibles Eemple : La situation se traduit par l équation 9 ( ), qu on peut simplifier à 89 7 La solutions est d) Au centimètre près, la somme des distances qu ils auraient à parcourir est,8 m e) Oui Par eemple, à,7 m du point A, la somme des distances à parcourir est, au centimètre près,,8 m a) Plusieurs réponses possibles Eemple : N(,,) P(, ) b) Plusieurs réponses possibles, selon la représentation faite en a) Eemple : Après t secondes, Patrick se trouvera au point de coordonnées (t, ) et Nanc, au point de coordonnées ( t,,) c) Ils pourront se toucher la main pour la première fois après, s Plusieurs démarches possibles Eemple : Patrick et Nanc pourront se toucher la main lorsque la distance entre eu sera de, m Cela correspond à l équation (( t) t),, Cette équation peut être simplifiée à ( t), La solution est t, On doit utiliser la plus petite valeur comme solution Mise au point (suite) Page Au centimètre près, la hauteur du point A est de 7,8 m a) c b) d(a, B) c) : d) Oui Les points A et B aant la même ordonnée que le foer, ils se trouvent à la même distance de la directrice que celui-ci, soit à c Selon la définition de la parabole, ils sont donc également situés à une distance de c du foer On en déduit que la distance entre les points A et B est toujours de c, soit une distance fois plus grande que la distance entre le foer et le sommet de la parabole 9 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

RUBRIQUES PARTICULIÈRES Chronique du passé a) 9 La formule de Cardan permet de déterminer que 8 est une solution de cette équation b) Par le théorème du reste, on sait que le polnôme 9 est divisible par ( 8) En effectuant cette division, on obtient le quotient 8 On a donc l équation ( 8)( 8 ), ce qui implique que 8 ou 8 Or, l équation 8 n a pas de solution réelle, car son discriminant a une valeur négative de Chronique du passé (suite) a) (7 )(7 ) Cette epression correspond à une différence de carré 9 ( ) Lorsqu on élève au carré une racine carrée, la valeur obtenue est celle du radicande Dans ce cas-ci, on obtient donc 9 ( ) b) ( i )( i ) 9i 9 a) b) ( 9)( ), d où l on trouve 9 et Les solutions de l équation sont,, et c) [, ] [, ] Le monde du travail Plusieurs démarches possibles Eemple : Page Page 7 Page 8 sur un cercle de m de raon centré à l origine du plan cartésien On sait également que les terriers ne peuvent pas être situés à moins de m des limites du terrain ; dans le plan, cela signifie qu aucun des points représentant les terriers ne doit avoir une ordonnée inférieure à On choisit l emplacement des premiers terriers, A et B, en prenant cette valeur limite de comme ordonnée, et on détermine l abscisse de ces points en appliquant la relation de Pthagore La distance entre les terriers est alors de 8, soit environ,7 m Pour être certain que l emplacement des derniers terriers est au moins à m des premiers, on choisit les points qui se trouvent sur le cercle dont l ordonnée a une valeur supérieure de à celle des points A et B, soit l ordonnée On calcule ensuite l abscisse de ces points en utilisant la relation de Pthagore, comme on l a fait pour les points A et B Les coordonnées des points C et D sont donc respectivement (, ) et (, ) Il ne reste qu à vérifier si la distance entre les terriers C et D est supérieure à m, ce qui est le cas puisqu elle est d environ,7 m Le monde du travail (suite) Plusieurs réponses possibles Le modèle peut varier légèrement d un ou une élève à l autre Le tete devrait epliquer, sur la base des propriétés du modèle comme le sommet, les intervalles de croissance et de décroissance et les zéros, l évolution de la qualité du raisin en fonction de la température Évaluation de la qualité du raisin (%) 9 8 7 Qualité du raisin,,, 7, 8, 9, Température moenne durant la saison de croissance ( C) Page 9 f ( ),( 7,7) 9 D(, ) C(, ) m Point d eau A( 8, ) B(8, ) Pour faciliter les eplications, on utilise un plan cartésien dans lequel la position du point d eau est l origine Selon la première contrainte, les terriers doivent se trouver à m du point d eau ; cela signifie qu ils doivent être placés Vue d ensemble Page a) 7 b) 7 c) 7 d) e) 7 f) 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9

a) f (n) n(n ) Pour que le schéma corresponde à cette règle, il doit montrer que les joueurs jouent deu parties contre chacune des personnes participant au tournoi b) joueurs c),, 7 ou 9 parties on été disputées Fonction a) ], [ ], + [ ], [ ], + [ b) {, } {, } c) ], [ ], [ Fonction a),, Vue d ensemble (suite) Plusieurs réponses possibles Eemple : Le chemin proposé sur le plan ci-dessous mesure,89 km B A C b),, c),, + km F a) ) Après s ) La fusée se trouvait à 8,7 m, à m et à m de hauteur b) ) Après s ) La fusée a atteint une hauteur de 8 m E D Page a) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) b) f () c) Oui Les paramètres a des deu règles sont opposés l un à l autre, et les paramètres c sont identiques d) Soit la règle f () a b c L équation de la parabole formée par la position des différents sommets lorsque la valeur du paramètre b varie est a c Démonstration Si b, l équation est a c et les coordonnées du sommet sont (, c) Si b, l équation est a c et les coordonnées du sommet sont, a a c Si b, l équation est a c et les coordonnées du sommet sont, a a c Par smétrie, on voit que le sommet de la parabole formée par les sommets des équations est (, c) Donc, a c En utilisant le point, a a c, on détermine que a a et, par conséquent, que l équation de la parabole formée par l ensemble des sommets est a c Vue d ensemble (suite) 7 a) Oui En plaçant l origine du sstème d aes sur le bord du toit de l immeuble le plus haut, on trouve l équation de la trajectoire, soit ( ) Le traceur arrivera à la hauteur du toit de l immeuble en contrebas lorsque Le déplacement horizontal du traceur sera alors de m, ce qui est supérieur à la distance entre les deu immeubles b) m, soit environ,7 m 8 a) À, m b),7(,), c) Au centimère près, la distance est de 9 cm Vue d ensemble (suite) Page Page 9 a) ( n)( n) n n n n n b) Oui Le nombre de groupes supplémentaires de passagers ecédentaires devrait se situer entre et L avion doit transporter entre et passagers pour que la compagnie ait un revenu de plus de $ 9 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

a) Masse volumique de l eau (g/ml) b) Plusieurs réponses possibles Eemple : La courbe de régression quadratique déterminée à l aide d une calculatrice à affichage graphique donne f () 7,979,7,99987 c) La masse volumique de l eau à C d) Non Il pourrait être valable pour des températures allant de à C puisque, en dehors de cet intervalle, l eau n est plus sous forme liquide et il serait inapproprié de présumer que le modèle est toujours valable Par ailleurs, la masse volumique devant être supérieure à, on vérifie que c est le cas sur tout le domaine de la fonction Dans le cas où l eau serait à C, on trouve que sa densité serait de,9 g/ml, ce qui est une valeur possible pour la masse volumique Vue d ensemble (suite) a) Amorti court : f () Amorti long : g() 7 9 b) À m c) La balle a atteint m de hauteur, soit, au centimètre près,, m d) Environ,9 fois a) ], [ b) [, + [ c) [, + [ a) ( ) b) ], [, ou au millimètre près, entre, et, mm Vue d ensemble (suite),9998,999,999,999 Masse volumique de l eau 7 8 9 Température ( C) Page Page a) Oui La bouteille se trouvera à la hauteur de la nacelle, s après le lancer de Raoul b) Non La bouteille se trouverait, au minimum, à m sous le niveau de la nacelle, et ce, s après le lancer de Raoul a) La lance doit se trouver, au mètre près, par rapport au mur, à une distance allant de m à m ou de m à m b) La lance doit se trouver, au mètre près, par rapport au mur, à une distance allant de m à m a) f (),( ) f (),( ) 8 b) A(, 8) B(, ) C(, ) D(, ) c) P 8 u 9, u A u, u Banque de problèmes 7 La hauteur atteinte par la balle au deuième rebond est de, m Plusieurs démarches possibles Eemple : On peut représenter cette situation dans le plan cartésien, comme ci-dessous La hauteur recherchée correspond alors à l ordonnée du point D A(,,) B(,,7) C L équation de la re parabole Le point B est le sommet de cette parabole On a donc a( ),7 En utilisant les coordonnées du point A, on obtient, a( ),7 Donc, a, L équation est,( ),7 L abscisse du point C Il suffit de remplacer par dans l équation précédente et de résoudre cette équation,( ),7 ( ),, On doit conserver la solution positive L abscisse du point C est donc, L ordonnée du point D Puisque les deu paraboles ont la même ouverture, les deu équations ont donc le même paramètre a L équation de la e parabole est donc,(,)(,) Le point D étant le sommet de cette parabole, son abscisse est, L ordonnée du point D est,(,,)(,,), D E(,, ) Page 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9

8 Plusieurs réponses possibles, selon le choi de la position des aes Eemple : Dans un plan cartésien, on peut représenter schématiquement la trajectoire de la balle, telle qu elle est vue par le cultivateur A B L ae des est situé à la hauteur du bord de la fenêtre du train L ae des passe par l endroit, dans le champ de vision du cultivateur, où la balle est lancée par la personne A est la position de la balle au début du lancer, à t B est la position de la balle au milieu du lancer, à t, C est la position de la balle à la fin du lancer, à t,8 Selon cette position des aes, l ordonnée de chaque point de la trajectoire correspond à la hauteur de la balle à différents moments du lancer Ordonnée de A : h() () (),, Ordonnée de B : h(,) (,) (,), Ordonnée de C : h(,8) (,8) (,8),, L abscisse du point C correspond au déplacement du train vers la droite durant les,8 s que dure le lancer Ce déplacement est de m, soit,8 L abscisse du point B est la moitié de celle du point C Par conséquent, les coordonnées des trois points sont A(,,), B(8, ) et C(,,) La courbe est une parabole dont le point B est le sommet Son équation est de la forme a( 8) En utilisant les coordonnées du point A, on obtient, a( 8) La résolution donne a 8 L équation de la trajectoire est donc ( 8) 8 C Puisque le point A est situé sur la parabole, on a d (A, C) d (A, F), ce qui se traduit par l équation : ( 8) ( 8) ( ) En élevant au carré, on obtient ( 8) ( 8) La résolution donne 9 De la même façon, on trouve l abscisse du point B On a d (B, D) d (B, F), ce qui se traduit par l équation : ( 8) ( 8) ( ) En élevant au carré et en isolant la variable, on obtient La distance entre les points A et B est : ( ), 9 Plusieurs conjectures et démonstrations possibles Eemple : Conjecture La somme d un nombre positif et de son inverse est toujours supérieure ou égale à Démonstration Soit, un nombre réel positif différent de Son inverse est On détermine l ensemble-solution de l inéquation : Puisque, on peut multiplier chaque membre de cette inéquation par sans changer le sens de l inégalité On obtient alors les inéquations équivalentes suivantes : ( ) Cette dernière inéquation admet toutes les valeurs de comme solution, puisque le carré d un nombre réel est toujours positif L ensemble-solution de l inéquation est donc ], + [, ce qui démontre la conjecture Banque de problèmes (suite) 9 La distance est de, m, environ Plusieurs démarches possibles Eemple : On peut représenter la situation dans un plan cartésien de la façon suivante La parabole est formée de tous les points qui sont situés à égale distance du foer F et de la droite d équation 8 9 C( 8, ) D( 8, ) A(, ) S(, ) F(8, ) B(, ) Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol Page 7 Banque de problèmes (suite) Page 8 La vitesse du courant doit être inférieure à m/min, soit approimativement, m/min Plusieurs démarches possibles Eemple : En été, lorsqu il n a pas de courant, il faut min à Lsandre pour franchir m Sa vitesse est donc de m/min Soit, la vitesse du courant au printemps (en m/min) Lorsque Lsandre avance en suivant le courant, sa vitesse par rapport à la rive est de ( ) m/min, car la vitesse du courant s ajoute alors à la vitesse de Lsandre par rapport à l eau À l inverse, lorsqu elle avance à contre-courant, sa vitesse par rapport à la rive est de ( ) m/min Puisque, à l aller comme au retour, elle parcourt m, le temps du trajet à l aller est égal à min et celui au retour, à min 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée

On doit donc résoudre l inéquation suivante : On peut supposer que, sinon Lsandre ne pourrait pas revenir de la plage ; de plus,, selon le contete En multipliant chaque membre de l inégalité par ( )( ), qui est nécessairement un nombre positif dans le cas présent, et en simplifiant, on obtient : ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) La valeur de étant positive, on a donc, ce qui équivaut à c( Les coordonnées du sommet sont, ) Plusieurs démarches possibles Eemple : La règle d une fonction quadratique écrite sous la forme factorisée est f () a( )( ) Puisque f () c, on a la suite d égalités c a( )( ) a c Par conséquent, a La règle de la fonction peut donc s écrire sous la forme suivante : c( f () )( ) Soit (h, k) les coordonnées du sommet L abscisse h correspond à la moenne des zéros, car le sommet se trouve sur l ae de smétrie On a donc h L ordonnée du sommet est k f (h) f c c( Après réduction, on obtient k ) Plusieurs solutions possibles Eemple : re étape : La représentation des zéros irrationnels s et t Puisque les coefficients de la fonction quadratique sont des nombres entiers, on peut, en se servant de la formule quadratique, eprimer les zéros de la fonction sous la forme A B, où A et B sont des nombres rationnels Sachant que s et t sont des zéros de cette fonction et que s t, on peut écrire : s A B et t A B De plus, puisque s et t sont des nombres irrationnels, on sait que B n est pas un carré parfait, donc que B est un nombre irrationnel e étape : La détermination des valeurs de A et de B En substituant ces epressions à s et t dans l équation s t, on obtient : (A B) (A B) A AB B A B (A B A) ( A)B On obtient une somme de deu termes qui est égale à Le premier terme de cette égalité, soit (A B A), est un nombre rationnel Puisque est un nombre rationnel, l égalité n est possible que si le deuième terme, ( A)B, est également rationnel Or, ( A)B est un nombre rationnel si et seulement si A égale On peut donc conclure que A En remplaçant A par dans l équation ci-dessus, on obtient ( B) Donc, B e étape : La vérification de l égalité t + s = On a donc s et t On constate alors que t s ( ) ( ) Banque de problèmes (suite) Page 9 Oui, c est possible si la décélération de la voiture se situe dans l intervalle allant de, m/s à, m/s Plusieurs justifications possibles Eemple : Pour que la voiture ne s immobilise pas avant s, il faut que l abscisse du sommet associé à la fonction d(t) soit supérieure ou égale à Cela se traduit ( par l inéquation ) Cette inéquation équivaut a à a 8 Pour que la voiture n ait pas dépassé l intersection lorsque le feu passe au vert après s, il faut que d() soit positif Cela se traduit par l inéquation a() () Cette inéquation équivaut à a Par conséquent, si le paramètre a se trouve dans l intervalle,, la voiture 8 ne s immobilisera pas avant s (l automobiliste n a pas besoin d accélérer) ni n arrivera à l intersection avant s (l automobiliste n a pas besoin de freiner) Les deu boules ne se toucheront pas Elles seront le plus près l une de l autre après, s, environ Plusieurs démarches possibles Eemple : On peut représenter la position du centre des deu boules dans un plan cartésien en situant les aes sur leur trajectoire Soit B(,, ) et R(,,), la position du centre des deu boules au départ Chaque boule se déplace à une certaine vitesse dans la direction indiquée par les flèches? 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 97

B B t R t La boule blanche se déplace à une vitesse de,8 m/s Après t secondes, elle se trouvera à,8t mètre à la droite de son point de départ La position du centre de cette boule après t secondes sera donc B t (,,8t, ) La boule rouge se déplace à une vitesse de, m/s Après t secondes, elle se trouvera à,t mètre au-dessus de son point de départ La position du centre de cette boule après t secondes sera donc R t (,,,t) La distance entre le centre des deu boules après t secondes est donc décrite par la fonction d(t) ((,,8t) ) ( (,,t)), qui peut se réduire à d(t),89t,t,8 Puisque le raon des boules est de cm, ou, m, les boules se toucheront si et seulement si d(t), pour une certaine valeur de t En élevant au carré chaque membre de cette équation, on obtient l équation suivante, qu on peut chercher à résoudre,89t,t,8,,89t,t,8 Le discriminant : (,) (,89)(,8),98 Puisque le discriminant est négatif, il n a pas de solution réelle Les deu boules ne se toucheront pas Pour déterminer le moment où les boules seront le plus près l une de l autre, il faut déterminer à quelle valeur de t la distance sera minimale ou, ce qui revient au même, à quelle valeur de t la distance au carré sera minimale La distance au carré est une fonction quadratique dont la règle est : f (t),89t,t,8 Puisque le paramètre a est positif, le minimum de la fonction est atteint au sommet, c est-à-dire lorsque ( t,), (,89) R 98 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol 9, Les Éditions CEC inc Reproduction autorisée