Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre des boréliens................................................ 3 1.3 Définition d une variable aléatoire........................................... 3 1.4 σ-algèbre associée à une variable aléatoire X.................................... 3 1.5 Opérations sur les variables aléatoires......................................... 3 1.6 Fonction de répartition d une variable aléatoire réelle............................... 3 2 Espérance et conditionnement pour les variables aléatoires discrètes. 4 2.1 Définition de l espérance et de l espérance conditionnelle............................. 4 2.2 Théorème de transfert................................................... 4 2.3 Existence d une espérance par domination...................................... 4 2.4 Croissance de l espérance pour les variables aléatoires discrètes......................... 4 2.5 Formule de l espérance totale.............................................. 5 2.6 Moments d ordre r (r ) d une variable aléatoire discrète........................... 5 2.7 Variance........................................................... 5 2.8 Ecart-type.......................................................... 5 2.9 Variable centrée, réduite, centrée réduite...................................... 6 2.10 Fonction génératrice (hors programme)....................................... 6 2.10.1 Définition..................................................... 6 2.10.2 Propriétés..................................................... 6 2.10.3 Cas où X est une variable aléatoire finie.................................. 6 3 Lois discrètes usuelles 6 3.1 Variables de Bernoulli................................................... 6 3.2 Variables binomiales.................................................... 7 3.3 Variables uniformes discrètes............................................... 7 3.4 Variables géométriques.................................................. 7 3.5 Variables de Poisson.................................................... 8 4 Compléments sur les variables aléatoires à densité. 8 4.1 Définition d une variable aléatoire à densité..................................... 8 4.2 Propriétés d une variable aléatoire à densité : lien entre densité et probabilité................ 8 4.3 Caractérisation de la fonction de répartition d une v. a. r. à densité....................... 9 4.4 Caractérisation d une fonction de densité....................................... 9 4.5 Variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans un intervalle........................ 9 4.6 Trois lois usuelles..................................................... 9 4.7 Contre-exemple : v.a.r. ni discrète ni à densité.................................... 10 4.8 Exemples simples de calculs de fonctions de répartition et de densités de fonctions d une variable aléatoire à densité..................................................... 10 4.8.1 Loi de Y = ax + b où (a, b).................................... 10 4.8.2 Loi de Y = X................................................... 10 4.8.3 Loi de Y = X 2................................................... 11 4.8.4 Loi de Y = X................................................... 11 4.8.5 Loi de Y = e X................................................... 11 4.8.6 Loi de Y = 1/X.................................................. 11 1

4.8.7 Loi de Y = ϕ X. dans le cas où ϕ est de classe C 1 strictement monotone.............. 11 4.8.8 Loi de Y = ϕ X dans des cas particuliers où ϕ n est pas continue.................. 12 4.9 Définition de l espérance................................................ 12 4.10 Exemple de variable aléatoire à densité n admettant pas d espérance..................... 12 4.11 Théorème de transfert.................................................. 12 4.12 Propriétés de l espérance des variables aléatoires réelles à densité....................... 12 4.13 Moments d ordre r où r............................................. 13 4.14 Moments centrés d ordre r où r......................................... 13 4.15 Variance, écart-type................................................... 13 4.16 Variable centrée, réduite, centrée réduite...................................... 14 5 Loi uniforme. 14 5.1 Définition.......................................................... 14 5.2 Fonction de répartition.................................................. 14 5.3 Espérance et variance................................................... 14 6 Loi exponentielle. 15 6.1 Définition.......................................................... 15 6.2 Fonction de répartition.................................................. 15 6.3 Espérance et variance................................................... 15 6.4 Caractérisation par absence de mémoire........................................ 16 7 Étude de loi normale (0, 1). 16 8 Étude de la loi normale de paramètres (m, σ 2 ). 18 8.1 Stabilité de la loi normale par transformation affine................................ 18 8.2 Espérance et variance................................................... 18 9 Lois γ. 19 9.1 Définition.......................................................... 19 9.2 Espérance et variance................................................... 19 2

1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements. Definition 1 On appelle σ-algèbre (ou tribu) sur Ω, tout sous-ensemble de (Ω) tel que Ω, A, A, pour toute famille finie ou dénombrable (A i ) i I d éléments de, i I A i. Considérant une expérience aléatoire et l ensemble de ses résultats Ω, toute tribu de (Ω) est appelée tribu d événements de Ω. Exemple : Lorsque l univers Ω est fini ou dénombrable, on choisit le plus souvent pour tribu d événements : = (Ω) Definition 2 On appelle espace probabilisable le couple (Ω, ), où Ω est l univers des résultats associés à une expérience aléatoire et une tribu d événements liés à. Definition 3 Si (A i ) i I est une famille d événements, on appelle tribu (ou σ-algèbre) engendrée par la famille (A i ) i I la plus petite tribu de Ω au sens de l inclusion contenant tous les A i, i I. 1.2 σ-algèbre des boréliens. Definition 4 Si Ω = la tribu utilisée est la tribu engendrée par les intervalles de. est appelée la tribu des boréliens. 1.3 Définition d une variable aléatoire. Definition 5 X est une variable aléatoire réelle définie sur l espace probabilisable (Ω, ) si et seulement si X est une application de Ω dans vérifiant x, [X x]. Propriété : Pour tout borélien B et pour toute variable aléatoire réelle X définie sur (Ω, ), [X B] appartient à. 1.4 σ-algèbre associée à une variable aléatoire X. Definition 6 La σ- algèbre associée à la variable aléatoire X est la tribu engendrée par la famille ([X x]) x. Elle sera notée X C est la plus petite tribu contenant les événements [X x] pour tout réel x. Elle représente l information fournie par X. 1.5 Opérations sur les variables aléatoires. Théorème 7 Une somme, un produit de variables aléatoires sont des variables aléatoires. 1.6 Fonction de répartition d une variable aléatoire réelle. On considère un espace probabilisé (Ω,, P). Definition 8 Soit X une variable aléatoire réelle. La fonction de répartition de X est l application F de dans [0, 1] définie par : x, F(x) = P ([X x]). 3

Théorème 9 Si F est la fonction de répartition d une variable aléatoire réelle X alors F est croissante. lim F(x) = 1. x + lim F(x) = 0. x F est continue à droite (c est-à-dire pour tout x 0 de lim F(x) = F(x 0 ).) x x0 > Théorème 10 Si F est une application de dans vérifiant ces quatre propriétés alors F est une fonction de répartition. 2 Espérance et conditionnement pour les variables aléatoires discrètes. Dans ce paragraphe, les variables aléatoires réelles X définies sur (Ω, ) sont discrètes c est-à-dire X (Ω) est un ensemble fini ou dénombrable. 2.1 Définition de l espérance et de l espérance conditionnelle. X est une variable aléatoire discrète telle que X (Ω) = x i, i I où I est une partie de. Definition 11 X admet une espérance lorsque la série de terme général x i P([X = x i ]) est absolument convergente et on note alors X = E(X ) = x i P([X = x i ]) = x P([X = x]) i I Definition 12 Soit A un événement de probabilité non nulle. Si la série de terme général x i P A ([X = x i ]) est absolument convergente, on appelle espérance conditionnelle de X sachant A (et on la note E(X A)) l espérance de X pour la probabilité conditionnelle P A c est-à-dire E(X A) = x i P A ([X = x i ]) = i I x X (Ω) x X (Ω) x P A ([X = x]) 2.2 Théorème de transfert. Théorème 13 Soient X une variable aléatoire discrète telle que X (Ω) = x i, i I, g une application définie sur X (Ω) alors l application g X notée abusivement g(x ) est une variable aléatoire discrète. De plus lorsque cette série est absolument convergente. E(g(X )) = g(x i )P([X = x i ]) = i I x X (Ω) g(x)p([x = x]) En particulier, (a, b), E(aX + b) = ae(x ) + b (lorsque X admet une espérance). 2.3 Existence d une espérance par domination. Théorème 14 Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes vérifiant 0 X Y presque sûrement, et si Y admet une espérance, alors X admet également une espérance. Dans ce cas, E(X ) E(Y ). 2.4 Croissance de l espérance pour les variables aléatoires discrètes. Théorème 15 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé (Ω,, P) et admettant chacune une espérance. On suppose que X Y presque sûrement. Alors E(X ) E(Y ). En particulier si X (Ω) + et si E(X ) existe alors E(X ) 0. 4

2.5 Formule de l espérance totale. Théorème 16 Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω,, P), soit (A n ) un système complet d événements et J l ensemble des entiers n tels que P(A n ) 0. Alors X admet une espérance pour P si et seulement si la série : x P An ([X = x]) P(A n ) (x,n) X (Ω) J converge absolument. Dans ce cas, pour tout n dans J, l espérance E(X A n ) est définie et E(X ) = E(X A n )P(A n ). n J Théorème 17 : Cas particulier des variables aléatoires discrète à valeurs positives Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l espace probabilisé (Ω,, P) à valeurs dans +. Soit (A n ) un système complet d événements et J l ensemble des entiers n tels que P(A n ) 0. Alors : n J, E(X A n ) existe et X admet une espérance la série E(X A n )P(A n ) conver ge Dans ce cas E(X ) = E(X A n )P(A n ) n J n J 2.6 Moments d ordre r (r ) d une variable aléatoire discrète. Definition 18 Soit r On appelle moment d ordre r de la variable aléatoire discrète X et on note m r (X ) la quantité E(X r ) si cette espérance existe. m r (X ) = E(X r ) = x r P([X = x]) lorsque cet te série est absolument conver gente. x X (Ω) Definition 19 Soit r On appelle moment centré d ordre r de la variable aléatoire discrète X et on note µ r (X ) la quantité E((X E(X )) r ) si cette espérance existe. µ r (X ) = E((X E(X )) r ) = (x E(X )) r P([X = x]) lorsque cet te série est absolument conver gente. x X (Ω) Propriétés Soit r. Si m r (X ) existe alors m p (X ) existe pour tout p [[1, r]]. Soit r. Alors µ r (X ) existe m r (X ) existe. 2.7 Variance Definition 20 On appelle variance de la variable aléatoire discrète X la quantité µ 2 (X ) si elle existe. V (X ) = E((X E(X )) 2 ) = (x E(X )) 2 P([X = x]) lorsque cet te série est absolument conver gente. x X (Ω) Propriétés de la variance d une variable aléatoire discrète X admet une variance si et seulement si X admet un moment d ordre 2 et dans ce cas on a : V (X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2 (formule de Huygens). Si X admet une variance alors V (X ) 0. De plus : V (X ) = 0 X est constante presque sûrement ( c est-à-dire : m /P([X = m]) = 1) Si X admet une variance alors : (a, b) 2, V (ax + b) = a 2 V (X ). 2.8 Ecart-type Definition 21 Si X est une variable aléatoire discrète admettant une variance, on appelle écart-type de X le nombre σ X = V (X ). Propriétés de l ecart-type d une variable aléatoire discrète (a, b) 2, σ ax +b = a σ X. 5

2.9 Variable centrée, réduite, centrée réduite Definition 22 Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et si cette espérance est nulle. La variable aléatoire Y centrée associée à la variable aléatoire X est : Y = X E(X ). Definition 23 Une variable aléatoire est dite réduite si elle admet une variance et si cette variance est égale à 1. Definition 24 Une variable aléatoire est dite centrée réduite si elle admet une variance, si son espérance est nulle et si sa variance est égale à 1. La variable aléatoire X centrée réduite associée à la variable aléatoire X (non constante ou quasi-constante) est : X = X E(X ) σ X. 2.10 Fonction génératrice (hors programme) 2.10.1 Définition Soit X une variable aléatoire à valeurs dans. La fonction génératrice de X est la fonction définie par : 2.10.2 Propriétés G X (t) = + k=0 P([X = k])t k ( lorsque cette série converge). Parfois, on définit simplement la fonction génératrice G X sur l intervalle [0, 1]. (On remarque que pour tout t [0, 1], la série converge). G X (1) = 1 t [0, 1], G X (t) = E t X. 2.10.3 Cas où X est une variable aléatoire finie Si on suppose que : N / X (Ω) [0, N ], alors G X est une fonction polynomiale. On peut montrer que : E(X ) = G X (1). V (X ) = G X (1) + G X (1) G X (1) 2 X et Y étant deux variables aléatoires finies à valeurs dans, on a : X et Y ont la même loi G X = G Y. 3 Lois discrètes usuelles 3.1 Variables de Bernoulli. Epreuve de Bernoulli : une épreuve ayant deux résultats possibles notés S et E (succès et échec) est une épreuve de Bernoulli. Soit X une variable aléatoire définie sur l espace (Ω, A, P). Definition 25 Soit p ]0, 1[. On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p si i. X (Ω) = {0, 1}. ii. P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 p. On note alors X 1, p ou X p Exemples Types. Soit une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est p. La variable X qui vaut 1 lorsque l épreuve donne un succès et 0 sinon, est une variable de Bernoulli de paramètre p. X est la variable de Bernoulli associée à l épreuve Soit A un événement. La variable χ A définie par 1 si ω A ω Ω, χ A (ω) = 0 si ω / A 6

est une variable de Bernoulli de paramètre P(A). χ A est la variable indicatrice de l événement A. Espérance et variance. Théorème 26 Si X 1, p alors l espérance et la variance de X valent respectivement E (X ) = p et V (X ) = pq où q = 1 p. 3.2 Variables binomiales. Soit X une variable aléatoire définie sur l espace (Ω, A, P). Definition 27 Soit p ]0, 1[. On dit que X est distribuée selon la loi Binomiale de paramètre n et p si i. X (Ω) = [[0, n]]. n ii. k [[0, n]], P (X = k) = p k q n k où q = 1 p. k On note alors X n, p Exemples Types. Le nombre X de succès obtenus sur n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p est distribué selon la loi binomiale n, p. Espérance et variance. Théorème 28 Si X n, p alors l espérance et la variance de X valent respectivement E (X ) = np et V (X ) = npq où q = 1 p. 3.3 Variables uniformes discrètes. Soit X une variable aléatoire définie sur l espace (Ω, A, P). Definition 29 On dit que X est distribuée selon la loi uniforme sur x 1, x 2,, x N si i. X (Ω) = x 1, x 2,, x N où les xi sont distincts. ii. P X = x 1 = P X = x2 = = P X = xn = 1 N. On note alors X x 1, x 2,, x N Exemple Type. Si X est un numéro choisi au hasard dans [[1, N]]. alors X [[1, N]] Espérance et variance. Théorème 30 Si X [[1, N]], alors l espérance et la variance de X valent respectivement 3.4 Variables géométriques. E (X ) = N + 1 2 Soit X une variable aléatoire définie sur l espace (Ω, A, P). et V (X ) = N 2 1 12. Definition 31 Soit p ]0, 1[. On pose q = 1 p. On dit que X est distribuée selon la géométrique de paramètre p si i. X (Ω) = {+ }. ii. k, P (X = k) = pq k 1. On note alors X p. 7

Exemple Type. X est le temps d attente du premier succés dans une suite d épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p. Remarque. Si X p, P(X = + ) = 0. X prend presque sûrement des valeurs réelles, on peut convenir de négliger les éventualités pour lesquelles X ne prend pas une valeur réelle et on écrira X (Ω) =. Espérance et variance. Théorème 32 Si X (p) alors l espérance et la variance de X valent respectivement E (X ) = 1 p et V (X ) = q p 2. 3.5 Variables de Poisson. Soit X une variable aléatoire définie sur l espace (Ω, A, P). Definition 33 On dit que X est distribuée selon la loi de Poisson de paramètre λ (λ + ) si i. X (Ω) =. ii. k, P (X = k) = λk k! e λ. On note alors X (λ). Espérance et variance. Théorème 34 Si X (λ) alors l espérance et la variance de X valent respectivement E (X ) = λ et V (X ) = λ 4 Compléments sur les variables aléatoires à densité. 4.1 Définition d une variable aléatoire à densité. On dit qu une variable aléatoire X est à densité lorsque sa fonction de répartition F X est continue sur et de classe 1 sur éventuellement privé d un nombre fini de points. De plus, toute fonction f X : positive sur et telle que f X (x) = F X (x) pour tout réel x sauf éventuellement en un nombre fini de points est appelée densité de la variable aléatoire X. 4.2 Propriétés d une variable aléatoire à densité : lien entre densité et probabilité Théorème 35 Soit X une variable aléatoire réelle à densité. On note f X une densité de X et F X sa fonction de répartition. Alors : x, (X = x) = 0, x, (X < x) = (X x) = F X (x) = x x, (X x) = (X > x) = 1 F X (x) = f X (t)dt. En conséquence : Pour tout couple (x, y) 2 vérifiant x < y, on a : x f X (t)dt (x X y) = (x X < y) = (x < X y) = (x < X < y) = De manière générale, on a pour tout intervalle I de : (X I) = I f X (t)dt = I y x f X f X (t)dt = 1 f X (t)dt = F X (y) F X (x), 8

4.3 Caractérisation de la fonction de répartition d une v. a. r. à densité. Théorème 36 Soit F :. Alors F est la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité X si et seulement si : (1) F est croissante, (2) F est continue sur, (3) F est de classe 1 sur éventuellement privé d un nombre fini de points, (4) lim x + F(x) = 1 et lim F(x) = 0 x Remarque Si on sait déjà que F est une fonction de répartition, seules les propriétés (2) et (3) doivent être vérifiées. 4.4 Caractérisation d une fonction de densité. Théorème 37 Soit f :. Alors f est une densité d une variable aléatoire à densité X si et seulement si : f est positive sur, f est continue sur sauf éventuellement en un nombre fini de réels, f (t)dt converge et vaut 1. Remarques Soit X est une variable aléatoire réelle de densité f continue sur. On note F sa fonction de répartition. Alors F est de classe 1 sur et x, F (x) = f (x) Déterminer la loi d une variable aléatoire réelle à densité, c est déterminer sa fonction de répartition ou une fonction de densité. 4.5 Variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans un intervalle. Soit X une variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans [a, b] alors x < a F X (x) = 0 donc F X (x) = 0. x > b F X (x) = 1 donc F X (x) = 0. On choisira donc f X vérifiant : x / [a, b], f X (x) = 0. Soit X une variable aléatoire de densité f X vérifiant : x / I (où I est un intervalle de ) f X (x) = 0 alors (X I) = 1. X est donc presque sûrement à valeurs dans I. Par exemple si x < 0, f X (x) = 0 alors (X < 0) = 0. X est donc presque sûrement à valeurs dans +. Pour une variable aléatoire X à densité, on ne cherchera pas à épiloguer pour savoir si telle valeur ponctuelle x 0 fait partie ou non de X (Ω) car dans tous les cas (X = x 0 ) = 0. 4.6 Trois lois usuelles. Loi uniforme sur [0,1] La fonction : 1 [0,1] : x 0 si x / [0, 1] 1 si x [0, 1] est une fonction de densité. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l intervalle [0, 1] si et seulement si l une de ses densités est la fonction 1 [0,1] et on note alors : X ([0, 1]) Les fonctions 1 [0,1[, 1 ]0,1] et 1 ]0,1[ sont aussi des densités de X ([0, 1]). 9

Loi exponentielle Pour tout réel λ > 0, la fonction : x λe λx 1 [0,+ [ (x) = 0 si x < 0 λe λx si x 0 est une fonction de densité. Soit λ un réel strictement positif. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ si et seulement si l une de ses densités est la fonction x λe λx 1 [0,+ [ (x), ce que l on note : X (λ) Loi normale centrée réduite La fonction : x 1 exp x 2 2π 2 est une densité de probabilité. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si et seulement si l une de ses densités est la fonction x 1 exp x 2 et on note : 2π 2 X (0, 1) 4.7 Contre-exemple : v.a.r. ni discrète ni à densité. Soit X (1). On pose Y =Max (1, X ). Déterminer la fonction de répartition de Y. Représenter graphiquement cette fonction de répartition. Y est-elle une variable aléatoire à densité? 4.8 Exemples simples de calculs de fonctions de répartition et de densités de fonctions d une variable aléatoire à densité. Dans tout ce paragraphe, X est une variable aléatoire réelle de densité f et de fonction de répartition F et on recherche la loi de Y = ϕ X souvent abusivement notée ϕ(x ). Les résultats obtenus dans ce paragraphe ne sont pas à connaitre par coeur mais doivent être retrouvés. 4.8.1 Loi de Y = ax + b où (a, b) La fonction g définie sur par : est une densité de la variable aléatoire Y = ax + b. g(y) = 1 y b a f a 4.8.2 Loi de Y = X. La fonction g définie sur par : g(y) = f ( y) est une densité de la variable aléatoire Y = X. 10

4.8.3 Loi de Y = X 2. La fonction g définie sur par : 0 si y 0 g(y) = 1 2 f y + f y si y > 0 y est une densité de la variable aléatoire Y = X 2. 4.8.4 Loi de Y = X. La fonction g définie sur par : g(y) = est une densité de la variable aléatoire Y = X. 0 si y 0 f y + f y si y > 0 4.8.5 Loi de Y = e X. La fonction g définie sur par : 0 si y 0 g(y) = 1 f (ln y) y si y > 0 est une densité de la variable aléatoire Y = e X. 4.8.6 Loi de Y = 1/X. La fonction de répartition G de Y est définie par : F(0) F(1/y) si y < 0 G(y) = F(0) si y = 0 F(0) + 1 F(1/y)) si y > 0 On en déduit que Y admet pour fonction de densité la fonction g définie par : y, g(y) = 1 1 y 2 f. y 4.8.7 Loi de Y = ϕ X. dans le cas où ϕ est de classe C 1 strictement monotone Soit f une densité d une variable aléatoire X. Soit ϕ une fonction de classe 1, strictement monotone et de fonction dérivée ϕ ne s annulant pas sur un intervalle I contenant X (Ω). Alors, Y = ϕ X est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction g définie sur par : g(y) = f ϕ 1 (y) ϕ ϕ 1 (y) si y ϕ(i) 0 sinon 11

4.8.8 Loi de Y = ϕ X dans des cas particuliers où ϕ n est pas continue Exercice 1 Soit X (α) α > 0. 1. Déterminer la loi de Y = [X ]. ([x] désigne la partie entière de x). 2. Déterminer la loi de Y + 1.En déduire l espérance de Y. 3. Déterminer la loi de Z = X [X ]. Exercice 2 Soit X une variable aléatoire de densité x 1 ln 2 1 1 + x 1 [0,1](x). Montrer que Y = 1 1 X suit la même loi que X. X 4.9 Définition de l espérance Definition 38 Soit X une variable aléatoire à densité dont f est l une de ses densités. On dit que X admet une espérance si et seulement si l intégrale Si X admet une espérance alors on appelle espérance de X le réel : Remarques t f (t)dt converge si et seulement si X = (X ) = t f (t)dt t f (t)dt converge. t f (t)dt converge absolument. Si X est une variable aléatoire réelle à densité et prenant ses valeurs dans l intervalle [a, b] (a, b) 2, a < b, alors X possède une espérance. 4.10 Exemple de variable aléatoire à densité n admettant pas d espérance Soit f définie par : x, f (x) = 1 1 π 1 + x 2 Vérifier que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité f. Montrer que X n admet pas d espérance. 4.11 Théorème de transfert Théorème 39 Soit X une variable aléatoire à densité prenant ses valeurs dans un intervalle ]a, b[ de (avec a < b + ). Soit f une densité de X et ϕ une fonction continue sur ]a, b[ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire ϕ(x ) admet une espérance si et seulement si l intégrale absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a : (ϕ(x )) = b a ϕ(t)f (t)dt b a ϕ(t) f (t)dt converge 4.12 Propriétés de l espérance des variables aléatoires réelles à densité (1) Soit X une variable aléatoire réelle possédant une densité et une espérance alors pour tout (a, b) 2, ax + b possède une espérance donnée par : (ax + b) = a(x ) + b. 12

(2) Positivité de l espérance Si X est une variable aléatoire à densité admettant une espérance et telle que X (Ω) + alors (X ) 0. (3)Croissance de l espérance Soit X et Y deux variables aléatoires réelles à densité définies sur le même espace probabilisé (Ω,, ) admettant chacune une espérance. On suppose que X Y presque sûrement. Alors : (X ) (Y ) 4.13 Moments d ordre r où r Definition 40 Soit r. Soit X une variable aléatoire à densité dont f est l une de ses densités. On dit que X admet un moment d ordre r si et seulement si l intégrale (équivalent à la convergence!). Si X admet un moment d ordre r alors on appelle moment d ordre r de X le réel : m r (X ) = (X r ) = 4.14 Moments centrés d ordre r où r t r f (t)dt t r f (t)dt converge absolument Definition 41 Soit r. Soit X une variable aléatoire à densité dont f est l une de ses densités. On dit que X admet un moment centré d ordre r si et seulement si l intégrale converge absolument (équivalent à la convergence!). Si X admet un moment centré d ordre r alors, on appelle moment centré d ordre r le réel : µ r (X ) = m r (X X ) = (X X ) r = Propriétés Soit r. Si m r (X ) existe alors m p (X ) existe pour tout p [[1, r]]. Soit r. Alors µ r (X ) existe m r (X ) existe. t X r f (t)dt (t X ) r f (t)dt 4.15 Variance, écart-type Definition 42 On appelle variance de la variable aléatoire réelle à densité X la quantité µ 2 (X ) si elle existe. V (X ) = E((X E(X )) 2 ) Propriétés de la variance d une variable aléatoire à densité X admet une variance si et seulement si X admet un moment d ordre 2 et dans ce cas on a : V (X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2 (formule de Huygens). Si X admet une variance alors V (X ) 0. Si X admet une variance alors : (a, b) 2, V (ax + b) = a 2 V (X ). Definition 43 Si X est une variable aléatoire à densité admettant une variance, on appelle écart-type de X le nombre σ X = V (X ). Propriété de l ecart-type d une variable aléatoire à densité (a, b) 2, σ ax +b = a σ X. 13

4.16 Variable centrée, réduite, centrée réduite Definition 44 Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et si cette espérance est nulle. Propriété Soit X une variable aléatoire réelle possédant une espérance alors X X est une variable aléatoire réelle centrée. Definition 45 Une variable aléatoire est dite réduite si elle admet une variance et si cette variance est égale à 1. Definition 46 Une variable aléatoire est dite centrée réduite si elle admet une variance, si son espérance est nulle et si sa variance est égale à 1. Propriété Soit X une variable aléatoire possédant une variance non nulle. Alors X = X X σ X est une variable aléatoire réelle centrée réduite appelée variable aléatoire réelle centrée réduite associée à X. 5 Loi uniforme. 5.1 Définition. Propriété Pour tout couple (a, b) de réels tels que a < b, la fonction : est une fonction de densité. 1 0 si x / [a, b] b a 1 [a,b] : x 1 si x [a, b] b a Definition 47 Soit (a, b) un couple de réels tel que a < b. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi 1 uniforme sur l intervalle [a, b] si et seulement si une de ses densités est la fonction b a 1 [a,b] et on note alors : X ([a, b]) Remarque Les fonctions 1 [a,b[, 1 ]a,b] et 1 ]a,b[ sont aussi des densités X ([a, b]). 5.2 Fonction de répartition. Soit (a, b) un couple de réels tel que a < b. Soit X ([a, b]). La fonction de répartition de la variable aléatoire X est donnée par : 5.3 Espérance et variance. 0 si x < a x a x, F X (x) = si a x b b a 1 si x > b Théorème 48 Soit (a, b) un couple de réels tel que a < b. Soit X ([a, b]). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus : (X ) = a + b 2 (b a)2 et (X ) = 12 14

Propriété Soit (a, b) un couple de réels tel que a < b. Alors : X ([0, 1]) (b a)x + a ([a, b]) Ce résultat est à la base de la simulation informatique de X ([a, b]) 6 Loi exponentielle. 6.1 Définition. Propriété Pour tout réel λ > 0, la fonction : x λe λx 1 [0,+ [ (x) = est une fonction de densité. 0 si x < 0 λe λx si x 0 Definition 49 Soit λ un réel strictement positif. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 si et seulement si l une de ses densités est la fonction x λe λx 1 [0,+ [ (x), ce que l on note : X (λ) 6.2 Fonction de répartition. Soit λ un réel strictement positif et X (λ). La fonction de répartition de la variable aléatoire X est donnée par : x, F X (x) = 1 e λx 1 [0,+ [ (x) = 0 si x < 0 1 e λx si x 0 6.3 Espérance et variance. Théorème 50 Soit λ un réel strictement positif et X (λ). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus : (X ) = 1 λ et (X ) = 1 λ 2 Propriété Soit λ un réel strictement positif. Alors : X (1) 1 X (λ) λ Propriété Soit X (]0, 1]) alors ln X (1) Ces deux propriétés permettent de simuler la loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). 15

6.4 Caractérisation par absence de mémoire. Théorème 51 Soit X une variable aléatoire réelle. X suit une loi exponentielle si et seulement si : X est presque sûrement à valeurs dans ]0, + [ et (x, y) +2 X > x + y = ([X > x])( X > y ) Interprétation Si X mesure la durée de vie d une machine alors l absence de mémoire (l absence de vieillissement ici) signifie que sa probabilité de fonctionner encore x unités de temps sachant qu elle a déjà fonctionné y unités de temps est la même que sa probabilité de fonctionner x unités de temps dès après sa fabrication. 7 Étude de loi normale (0, 1). Propriété La fonction ϕ : x ϕ(x) = 1 2π exp x 2 2 est une densité de probabilité. Definition 52 On dit qu une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres (0, 1) si et seulement si l une de ses densités est la fonction x 1 exp x 2 et on note : 2π 2 X (0, 1) Propriété t, ϕ (t) = tϕ(t) Cette propriété sera utile lors d intégrations par parties. Fonction de répartition de X (0, 1) La fonction de répartition de X (0, 1) est souvent notée Φ : x, Φ(x) = (X x) = 1 2π x Remarque Il est illusoire de chercher à exprimer Φ(x) sans intégrale... On utilise une table lorsque cela est nécessaire : Propriété de Φ Soit X (0, 1). Alors, pour tout réel x, on a : Φ( x) = 1 Φ(x) e t2 2 dt. 16

Table de la loi normale (0, 1) Soit X (0, 1). La table donne les valeurs de Φ(x) = (X x). Par exemple, pour x = 1, 24 (intersection de la ligne 1,2 et de la colonne 0,04), on obtient Φ(x) = 0, 8925. x Φ(x) = P(X x) = x 1 2π e t2 2 d t et Φ( x) = 1 Φ(x). t 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 17

Théorème 53 Soit X (0, 1)). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus : (X ) = 0 et (X ) = 1. On dit que X suit la loi normale centrée réduite. 8 Étude de la loi normale de paramètres (m, σ 2 ). Propriété Pour tout réel m et tout réel σ > 0, la fonction : x 1 σ 2π exp (x m)2 2σ 2 est la densité d une variable aléatoire. Definition 54 Soit m un réel et σ un réel strictement positif. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres (m, σ 2 ) si et seulement si l une de ses densités est la fonction x 1 σ 2π exp (x m)2 2σ 2 et on note : X (m, σ 2 ) 8.1 Stabilité de la loi normale par transformation affine. Théorème 55 Soit m, σ ]0, + [ et X (m, σ 2 ). Soit (a, b) 2 avec a 0 alors ax + b (am + b, a 2 σ 2 ). Corollaire Soit m, σ ]0, + [ alors : X (m, σ 2 ) = X m σ (0, 1) 8.2 Espérance et variance. Théorème 56 Soit m, σ ]0, + [ et X (m, σ 2 ). Alors X admet une espérance et une variance et : (X ) = m et (X ) = σ 2 Notation Soit m, σ ]0, + [ et X (m, σ 2 ). Alors on note X = X m σ X (0, 1). X est la variable aléatoire centrée réduite associée à X. À retenir Si X suit une loi normale alors ax + b (a 0) suit aussi une loi normale. On trouve les paramètres de cette loi normale en calculant (ax + b) et (ax + b) 18

9 Lois γ. 9.1 Définition. Propriété Pour tout réel α > 0, la fonction : 0 si t 0 t 1 Γ(α) tα 1 e t si t > 0 est une densité de probabilité. Definition 57 Soit α un réel strictement positif. On dit qu une variable aléatoire X suit la loi gamma de paramètre α si et seulement si l une de ses 0 si t 0 densités est la fonction t 1 Γ(α) tα 1 e t et on note alors : si t > 0 X γ(α) Remarque X γ(1) X (1) 9.2 Espérance et variance. Théorème 58 Soit α un réel strictement positif et X γ(α). La variable aléatoire X admet une espérance et une variance. De plus : (X ) = α et (X ) = α Exercice 3 Soit α un réel strictement positif et X γ(α). Montrer que X admet des moments de tous ordres et que : r 1 r, m r (X ) = (α + k). k=0 19